GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS IV

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1 GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS IV TURNO MATUTINO ELABORO: ACADEMIA DE MATEMATICAS

2 Propósito: Los alumnos desarrollarán las habilidades para identificar, reconocer, y graficar funciones de distintos tipos, ya sea por medio de una gráfica o mediante un modelo funcional; realizar operaciones con diferentes funciones. Competencias disciplinares a desarrollar: 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. 5.- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6.- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean. 7.- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. BIBLIOGRAFIA a) ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, Walter Fleming y Dale Varberg, edit. Prentice Hall, Pearson Educación. México, b) MATEMATICAS 4, Ortiz-Ortiz-Ortiz, Grupo editorial patria, México, 2010 c) MATEMATICAS IV, René Jiménez, Pearson, México, d) MATEMATICAS IV, Julio Pimienta, Pearson, México,

3 BLOQUE I: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. En este bloque se establecen las características que definen la relación entre dos magnitudes enfatizando el carácter funcional. 1. Investiga los siguientes conceptos y anota un ejemplo de cada uno, incluir gráficas. a) Relación. b) Función c) Dominio d) Rango, contradominio y/o imagen. e) Variable y constante f) Variable dependiente y variable independiente g) Regla de Correspondencia h) Gráfica (plano cartesiano, coordenada, eje de las abscisas y eje de las ordenadas). i) Clasificación de funciones: - Crecientes y decrecientes. - Algebraicas (constantes, identidad, lineales, cuadráticas, cúbicas polinomiales, racionales e irracionales) y trascendentes. - Continuas y discontinuas. - Uno a uno, sobreyectivas y biyectivas. j) Intervalos (abierto y cerrado) k) Prueba de la línea vertical. l) Prueba de la línea horizontal. 2. Realice las siguientes funciones según corresponda. Ejemplo 1) Sea f(x) = x 2 + 2x 1, encuentre: f( 2) Entonces sustituimos f( 2) en la función dada como sigue: f( 2) = ( 2) 2 + 2( 2) 1 = = 1 Entonces: f( 2) = 1 3

4 Ejercicio 1: Sea la siguiente función halle el valor que se pide: a. Sea f(x) = 2x 2 + 3x + 1, encuentre: f( 1), f(3), f(5) b. Sea f(x) = x 1, encuentre: f(1), f(0), f(5). c. Sea f(x) = x + 2, encuentre: f(1), f( 3), f(0). x 3 d. Sea f(x) = x2 + x 1 ; encuentre: f(1), f( 2), f(5), f ( 1 x ). e. Sea f(t) = 2t 3 + t 4, encuentre: f(1), f(2), f(3) + f( 1). f. Sea f(x) = cos(x), encuentre: f(30 ), f(60 ), f(60 ) + f(120 ) BLOQUE II: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÀFICAS. En este bloque se distinguen y describen diferentes tipos de funciones matemáticas, así como operaciones geométricas y/o algebraicas. Dominio de una función: Ejemplo 2) Cuál es el dominio de la siguiente función? f(x) = x + 3 x 1 Para hallar el dominio de la siguiente función (racional), tenemos que buscar los valores que evitan que el denominador valga cero, para esto igualamos a cero el denominador de la función dada, entonces: Igualando a cero el denominador de la función: x + 1 = 0 Resolviendo la ecuación, x = 1; Entonces el dominio de la función es: x 1 = { 1} Ejercicio 2: Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes: a. f(x) = x + 3 b. f(x) = 2x 2 + x 2 c. f(x) = x+3 x 4

5 d. f(x) = x2 +x+3 x 2 e. f(x) = x 1 f. f(x) = (x 5) 2 g. f(x) = x 2 h. f(x) = x Inversa de una función: x 2 1 i. f(x) = (x 2 1) j. f(x) = x 7 x+3 Ejemplo 3) Hallar la inversa de la siguiente función f(x) = (x 4) 2 + 6: Usando la regla de los cuatro pasos. Paso 1: f(x) se hace y; y = (x 4) Paso 2: cambiamos "x" por "y" y "y" por "x"; x = (y 4) Paso 3: Despejamos a "y"; x 6 = (y 4) 2 ; x 6 = y 4; x = y Paso 4: y se vuelve f 1 (x); por lo tanto, la inversa es: f 1 (x) = x Ejercicio 3: Hallar la inversa de la cada una de las siguientes funciones: a. f(x) = 2x 3 b. f(x) = x+3 2 c. f(x) = x 2 5 d. f(x) = x 6 e. f(x) = 3x f. f(x) = x g. f(x) = 3 7 x h. f(x) = 2x+1 j. f(x) = 4 x + 1 x 3 i. f(x) = sen(x) 5

6 BLOQUE III: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS. En este bloque se determinas las situaciones de modelos funcionales de grado cero, uno y dos, empleando criterios de comportamientos. Ejemplo 4) De la siguiente función lineal f(x) = 1 x + 2; graficar la función, que de 3 acuerdo al modelo de la función lineal f(x) = ax + a 0 Primero identificamos el valor del coeficiente principal:a = 1 3 ; haciendo a = m = 1 3 = y x A continuación el coeficiente constante: a 0 = 2; este valor nos da la ubicación del punto sobre el eje de las y. La gráfica queda así: 6

7 Ejercicio 4: Graficar cada una de las siguientes funciones lineales. a. f(x) = 3x + 1 b. f(x) = 3x + 2 c. f(x) = 3 4 x + 3 d. f(x) = 5 4 x 6 e. f(x) = 5 2 x 3 f. f(x) = 4x g. f(x) = 1 2 x h. f(x) = 5 x i. f(x) = 1 x j. f(x) = x Un ciclista parte del kilómetro 10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros hora. a) Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el punto kilométrico de la carretera con el tiempo transcurrido desde el inicio. b) Representa la función en una gráfica. 2.- Se ha realizado una campaña de vacunación en una comunidad autónoma. Los gastos de distribución son 600 euros y los gastos de vacunación son 5 euros por cada vacuna puesta. a) Determina la expresión algebraica de esta función. b) Representa la función con una gráfica. Para colaborar con las personas sin techo, una ONG elabora un periódico de reparto callejero. Cada vendedor recibe un fijo de 25 euros al mes y, además, 50 céntimos por ejemplar vendido. a) Escribe la fórmula y representa la gráfica de la función que relaciona el número de periódicos vendidos con el dinero recibido al mes. b) Cuántos ejemplares tiene que vender un sin techo para cobrar en un mes 185 euros? 3.- Juan recibe una factura mensual de 100 minutos de teléfono. Dos nuevas compañías telefónicas le realizan las siguientes ofertas. 7

8 a) Cuál es más beneficiosa para Juan? b) Existe algún número de minutos consumidos en el que la factura sea la misma en las dos compañías? 4.- La siguiente gráfica muestra el recorrido que sigue una persona a lo largo del día. a) Indica la fórmula de la función de cada tramo. 5.- En una etapa con final en alto un escapado está a 8 km de la meta y circula a 10 km/h. Un segundo corredor se encuentra a 10 km del final corriendo a 15 km/h. Alcanzará el segundo corredor al escapado si mantienen las velocidades ambos corredores? En caso afirmativo, Cuánto tardarán y a qué distancia de la meta se encontrarán? En mismo gráfica represente las posiciones de ambos corredores. 6.- Esta tabla muestra lo que cuesta imprimir una hoja publicitaria en una imprenta: Nº DE EJEMPLARES COSTO ( ) a) Cuánto costaría imprimir un solo ejemplar? Y ejemplares? b) Halla la expresión analítica de la función número de ejemplares-costo. c) Represéntala gráficamente como si fuera continua. 6.- La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 C, y en la Fahrenheit es 32 F. La ebullición del agua es 100 C, que equivale a 212 F. 8

9 a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y represéntala en una gráfica. b) Expresa en grados Fahrenheit las siguientes temperaturas: 25 C; 36,5 C; 10 C. c) Pasa a grados centígrados 86 F y 63,5 F. Ejemplo 5) Graficar la siguiente función cuadrática. f(x) = x 2 4x + 3 Recordemos que una función cuadrática tiene como modelo f(x) = ax 2 + bx + c; Entonces de la dada Primero determinamos, el coeficiente principal y constante: coeficiente principal: a = 1 > 0, entonces la función es cóncava hacia arriba. coeficiente constante: c = 3; la función corta al eje y en el punto P(0, 3) Ahora encontramos las coordenadas del vértice V(k, k): Determinando h = b ; donde. h = 4 = 4 = 2, entonces. h = 2 2a 2(1) 2 A continuación encontramos k, sustituimos a k en la función dada como sigue k = (2) 2 (2) + 3 = = 1, entonces k = 1 Por lo tanto el vértice es: V(2, 1) Ahora hacemos una tabla de valores como sigue asignando valores a x, y procedemos a encontrar los valores de y x f(x)

10 La gráfica queda así: Por último encontramos donde la función corta al eje x Hacemos f(x) = 0, entonces x 2 4x + 3 = 0 y resolviendo la ecuación por fórmula general x = b ± b2 4ac 2a x = 4 ± 2 2 Resolviendo para x 1 = = ( 4) ± ( 4)2 4(1)(3) 2(1) = 3, y para x 2 = = 1 La función corta al eje x en los puntos (3, 0) y (1, 0) Ejercicio 5: a. f(x) = x 2 8x 2 b. f(x) = x 2 25 c. f(x) = 2x 2 7x 2 d. f(x) = 4x x e. f(x) = x 2 + 6x + 7 f. f(x) = x 2 + 4x + 4 g. f(x) = x 2 x 3 h. f(x) = 2x 2 + x 1 i. f(x) = 3x 2 + 4x + 4 j. f(x) = 3x x + 72 k. f(x) 3 4 x x 1 2 l. f(x) = x 2 2x 1 10

11 Transformación de la forma general [(f(x) = ax 2 + bx + c)]a la forma estándar [(f(x) = a(x h) 2 ) + k] las siguientes funciones cuadráticas. Ejemplo 6 Transforma la función cuadrática siguiente f(x) = 3x x + 38 a la forma estándar y luego grafícala. Para transformar la función a la forma estándar completamos el trinomio cuadrado perfecto como sigue f(x) = 3x x + 38 = 3(x 2 + 8x) + 38 = 3 (x 2 + 8x + ( 8 2 )2 ) ( 8 2 )2 f(x) = 3(x + 4) 2 10; forma estándar. De aquí obtenemos las coordenadas del vértice V( 4, 10) Ahora encontramos los ceros de la función, haciendo f(x) = 0 Donde x = 0 y sustituyendo en la función estándar 3(x + 4) 2 10 = 0, ecuación a resolver x = ± ; Resolviendo para x 1 = ; x 2 = La función corta al eje x en los puntos: ( 10 La función corta el eje y, cuando x = 0 y = 3(0 + 4) 2 10 = 38, entonces corta al eje (0, 38) Por último hacemos una tabla de valores como sigue. 3 4, 0) y ( , 0) 11

12 x f(x) Ejercicio 6: Transforma a la forma estándar y luego grafica cada una de las siguientes funciones cuadráticas. a. f(x) = 3x 2 b. f(x) = 5x 2 15x c. f(x) = x 2 + 4x 21 d. f(x) = x 2 + 8x + 15 e. f(x) = x f. f(x) = x x 14 g. f(x) = 3x 2 + 6x + 1 h. f(x) = 5x 2 20x + 29 i. f(x) = 6x x + 99 BLOQUE IV: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO. En este bloque se reconocen patrones de gráficos, se describen propiedades geométricas y se obtienen soluciones de ecuaciones factorizables. Investiga cuantas son las posibilidades de ceros con el eje x tiene una polinomial de grado 3 y grado 4. Investiga de acuerdo al coeficiente principal cual es la forma de una función polinomial de grado tres y grado cuatro. Ejemplo 7) Bosqueja cada una de las siguientes de grado 3 y cuatro Bosqueja la siguiente función f(x) = 2(x 3)(x + 1) 2 Para bosquejar la función primero identificamos que es una función de grado 3, y que además tiene un raíz simple y una raíz doble y que por el 12

13 coeficiente principal a = 2 tiene la forma que sigue, su rama izquierda decrece y su rama derecha crece, como sigue: f(x) = (x 3)(x + 1) 2 Haciendo x 3 = 0 y resolviendo la ecuación x = 3, aquí se tiene una raíz simple. Haciendo x + 1 = 0 y resolviendo la ecuación x = 1, aquí se tiene una raíz doble por la potencia al cuadrado; aquí entonces la función besa o roza al eje x. La gráfica que de la siguiente manera Ejercicio 7: Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones polinomiales de grado tres y cuatro. a. f(x) = (x 2)(x + 2)(x + 3) b. f(x) = (x 2) 2 (x + 1) c. f(x) = (x + 3) 2 (x 4)(x 3) d. f(x) = 3(x 5)(x + 3)(x 4) e. f(x) = (x 5)(x + 2)(x 6) f. f(x) = (x 5) 2 (x 2) 2 g. f(x) = 2(x + 3)(x + 5)(x 1)(x + 6) h. f(x) = x(x 5)(x + 2) 13

14 i. f(x) = x 2 (x 3) 2 j. f(x) = 4(x + 5)(x 2) 2 k. f(x) = (2x 1)(x 4)/(4x + 1) Ejemplo 8) a.- Encuentra la función polinomial que corta al eje x con los siguientes ceros. x = 2, 1, 3 b.- Bosqueja a la función. Para encontrar el modelo funcional hacemos lo siguiente x = 2; despejando a x, queda: x + 2 = 0 x = 1; despejando a x, queda: x 1 = 0 x = 3; despejando a x, queda: x 3 = 0 Escribimos: f(x) = (x + 2)(x 1)(x 3) = x 3 2x 2 5x + 6 Ejercicio 8: Encuentra el modelo funcional que corta al eje x en los ceros siguientes a. 0, 1, 3, 5 b. 3, 0, 3 c. 0, 1, 2 d. 2, 1, 0, 1 e. 2, 1, 3 f. 2, 3, 4 g. 6, 4, 2 h. 5, 0, 5 i. 2, 6, 9 j. 4, 1, 0, 3 14

15 BLOQUE V: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES. En este bloque se reconocen patrones de gráficos, se describen propiedades geométricas y se obtienen soluciones de ecuaciones factorizables; además los ceros de las funciones factorizables,y las raíces de la funciones. Ejemplo 9) De la siguiente función f(x) = y = x 3 2x 2 5x + 6, encuentra los ceros de la función con el eje x, bosqueja su gráfica. Para empezar buscamos donde la función corta al eje x, es decir las raíces reales. Recordemos que la función cúbica tiene como modelo f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d; en donde identificamos al; donde el coeficiente principal es: a = 2 > 0, y al coeficiente constante es: d = 6 tanto al coeficiente principal, como al coeficiente constante le buscamos sus divisores, tanto positivos como negativos, así como, el cociente d a divisores d = 6 ±1 ±2 ±3 ±6 a = 1 ±1 d ±1 ±2 ±3 ±6 a Ahora buscamos el número de raíces reales tanto positivas; como negativas, para esto usamos la regla de los signos de Descartes. Cada raíz es un corte con el eje x (cero de la función). Entonces las raíces reales positivas son: f(x) = x 3 2x 2 5x + 6, Tomamos los signos de los coeficientes de la función cúbica y observamos los cambios de signo, y por cada cambio de signo existe una real de signo positivo. + + Cambio de signo Cambio de signo 15

16 Como observamos hay dos cambios de signo, entonces hay 2 raíces reales positivas Para saber el número de raíces reales negativas hacemos lo siguiente cambiamos x por x y sustituimos en la función original f( x) = ( x) 3 2( x) 2 5( x) + 6 f( x) = x 3 2x 2 + 5x + 6 Ahora tomamos los signos de la función obtenida + + Cambio de signo Como observamos hay un cambio de signo, entonces hay 1 raíz real negativa. En resumen: corta al eje x del lado positivo y una vez del lado negativo Ahora vamos a encontrar los valores de x por donde pasa la función. Usando la división sintética para hallar dichos valores Empezamos por averiguar cuando x = La función pasa cuando x = 1, entonces, corta en el punto (1, 0) Ahora cuando x = La función pasa cuando x = 3, entonces, corta en el punto (3, 0) Ahora cuando x = La función pasa cuando x = 2, entonces, corta en el punto ( 2, 0) 16

17 Por lo tanto la función bosquejada así Ejercicio 9: Bosqueja las siguientes funciones cúbicas a. f(x) = x 3 5x 2 + 3x + 9 b. f(x) = x 3 + x 2 2x c. f(x) = 2x 3 + 5x 2 x 6 d. f(x) = 2x 3 + 4x 2 + 3x + 1 e. f(x) = x 4 + x 3 13x 2 x + 12 f. f(x) = x 3 2x x + 12 g. f(x) = 3x 3 4x 2 35x + 12 h. f(x) = x 4 + 2x x 2 14x 24 i. f(x) = 4x 3 12x 2 52x + 60 j. f(x) = 3x x 2 15x BLOQUE VI: EMPLEA FUNCIONES RACIONALES. En este bloque se describen, se trazan las gráficas y la posibilidad de las asíntotas. Ejemplo 10) De la siguiente función racional f(x) = x+3 x 1 ; encuentra: El dominio y rango de la función. La posición de las asíntotas (si existen) horizontal y vertical. Los puntos de intersección con los ejes. Dominio y codominio de la función Igualamos a cero la función denominador: x 1 = 0 y resolviendo la ecuación queda x = 1. 17

18 Por lo tanto el dominio es: x 1 = Posición de las asíntotas { 1} Asíntota vertical: x = 1 Asíntota horizontal: De la función original, cambiamos a x por y y a y por x, y sustituimos en la función quedando x = y+3 y 1 ; La posición de la asíntota es cuando: y 1 = 0, entonces y = 1 Posición horizontal: y = 1 Ceros de la función Con el eje x: Haciendo f(x) = 0, y sustituyendo en la función 0 = x + 3 ; y despejando a x x 1 0(x 1) = x = x + 3; despejando a x; x = 3, entonces la función corta al eje x en el punto (3, 0). Con el eje y: Haciendo x = 0, y sustituyendo en la función y = 0+3 = 3 = 3, entonces la función corta al eje y en el punto (0, 3)

19 Ejercicio 10: Para cada una de las funciones: Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados. Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas (si existen): Halla el dominio y el rango. a. f(x) = x 4 x+2 b. f(x) = 2x 1 x 3 c. f(x) = x+3 2x+1 d. f(x) = x2 1 x 2 e. f(x) = x2 x 2 x 2 x 6 f. f(x) = x2 +2x 3 x+1 g. f(x) = x x 2 1 h. f(x) = 1 x+3 i. f(x) = x 2 x 2 +2x 3 j. f(x) = 2 x 4 x BLOQUE VII: APLIQUE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. En este bloque se obtienen valores de funciones exponenciales y logarítmicas, así mismo, se aplican dichos valores para modelar y resolver problemas. Ejemplo 11) Grafica la siguiente función exponencial 19

20 f(x) = 4 x, usa 3 x 3 Para hacer la gráfica sustituimos los valores en la función x f(x) Ejercicio 11: Grafique cada una de las siguientes funciones exponenciales a. f(x) = 2 x, con: 3 x 3 b. f(x) = ( 3 5 )x, con: 3 x 3 c. f(x) = 4 x, con: 3 x 3 d. f(x) = e 3x e. f(x) = 2 x+1, con: 4 x 2 f. f(x) = 2(2) x, con: 2 x 3 Ejercicio 12: a. f(x) = log 2 (64) b. f(x) = log 3 ( 1 ) c. log 243 b = 3 4 d. log 8 (x) = 3 e. log b (x + 4) = log 3 (1 x) f. ln(x 2 ) = ln(12 x) g. log 4 ( x 2 = 0) 2x+3 Ejercicio 13: Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas a. log 2 (x) + log 2 (x + 2) = 3 b. ln(x + 6) ln ((10) = ln(x 1) ln(2)) c. 2log 3 (x) = 3log 3 (5) d. log(x) log(x 1) = 3 log(4) e. log(x + 2) log(x) = 2 log(4) f. log 8 ((x 6) + log 8 (x + 6) = 2 g. log1(x) + log1 28) = 2 7 7(5x h. 2log 25 (x) log 25 (25 4x) =