es con núm eros Los soldados revelaron al rey dónde se iba a producir la rebelión. Coma. Sin embargo. Coma. Ya no más, por favor! suplica el pequeño John con la esperanza de que le oiga su abuelo. Quizá si le escucha quejarse, se apiad ará de su nieto favorito y le librará del larguísimo dictado que, como cada día, escribe con su tutor particular. Pero hoy su abuelo tiene la mente en otras cosas. * Diccionario revelaron: descubrieron, rebelión: revuelta, desobediencia. se apiadará: tendrá compasión, soberano: persona que ejerce o tiene autoridad. No molestes al señor Napier y sigue copiando dice el tutor : Sin embargo. Coma. El soberan o... La voz del profesor se pierde entre los pensamientos del señor Napier, el viejo matemático. Lleva días buscando una manera clara y sencilla para escribir los números decimales y no le llega la inspiración. Veamos repasa mentalmente mientras las palabras del dictado resuenan a lo lejos. Debe de haber un modo más simple de expresar 3 unidades, 2 décimas, 7 centésimas y 4 milésimas que el ideado por el gran Stevin. No podemos usar ocho cifras cada vez que tengamos que escribir un número que solo necesita cuatro! Cómo podría...? Puede ir más despacio? vuelve a quejarse el niño Qué dijo? Una vez más. Coma. El rey. Coma? 3.274 Eso es! Ya lo tengo! Y todo gracias a mi pequeño. Ya les dije a tus padres que no se arrepentirían de haberte puesto mi nombre! exclama el matemático mientras señala orgulloso un pequeño pero revelador signo sobre el papel. Apenas es una hormiga en la página, un piojo con una pata, un punto despeinado, una ola en miniatura. Pero es la solución al problema... y la salvación del pequeño John! j f e P O N T E EN M A R C H A Cuál es el nombre completo del matemático de la historia? Por qué estaba tan contento Napier? Qué había descubierto? Escribe, como lo hacemos hoy día, el número decimal que se menciona en el texto. Busca en la ilustración el modo en que lo escribían anteriormente. Qué ventajas tiene la notación actual?
A veces un pequeño detalle puede tener mucha importancia. Piensa en algún detalle que hayas tenido con alguien y haya cambiado el rumbo de los acontecimientos. EMBÁRCATE en la unidad R ecordarás los núm e ros decim ales y sus operaciones.
rnúmeros decimales. Comparación Los números decimales tienen dos partes separadas por una coma. y ordenación La parte entera está situada a la izquierda de la coma y la forman las cifras de las unidades, decenas, centenas... parte parte entera decimal U d c m 9, 1 6 1 9.161 = 9U + 1d + 6 c + 1m 9.161 = 9 + 0,1 + 0,06 + 0,001 La parte decimal está situada a la derecha de la coma y la forman las cifras de las décimas, centésimas, milésimas... Observa que en el número 9,161 la cifra 1 se repite, pero su valor cambia. Un número decimal está formado por parte entera y parte decimal. Para comparar números decimales seguimos estos pasos: Q Comparamos la parte entera 0 Si la parte entera coincide, Q Si las décimas coinciden, de cada número. comparamos las décimas. comparamos las centésimas. U d c m 9, 1 6 1 9, 2 6 4 9, 2 7 8 U d c m 9, 1 6 1 9, 2 6 4 9, 2 7 8 U d c m 9, 2 6 4 9, 2 7 8 1d<2d 6c<7c La parte entera coincide. El número menor es 9,161. El número mayor es 9,278. Podemos ordenar los números decimales: - de menor a mayor: 9,161 < 9,264 < 9,278 - de mayor a menor: 9,278 > 9,264 > 9,161 Actividades Completa la tabla en tu cuaderno. número parte entera parte decimal se lee 6,25 1 38 013 11 unidades y 7 centésimas
Copia los números y rodéalos según este código, n j El valor de la cifra 7 es mayor que 0,7. r u El valor de la cifra 7 es 0,7. n j El valor de la cifra 7 es menor que 0,7. f 6,317 f 273,8 ] f 0,706 f 417,09 f 12,037 V. / \ / \ / V. / V. Descompon estos números como en el ejemplo, y escribe cómo se leen. 523,904 = 500 + 20 + 3 + 0,9 + 0,004 4.826,5 l 68,244 [ ] 0,305 j Il0 7 0 9 p j a 7 3 ^ Escribe en tu cuaderno el signo > o < según corresponde. 57,23 7,23 4,06 6,04 81,099 81,1 CÁLCULO MENTAL Sumar números completando centenas 53 + 102 53 + 100 + 2 55 + 100 155 74 + 105 607 + 33 25 + 102 209 + 21 37 + 402 305 + 85 2 Ordena de menor a mayor. 23,671 I 22,761 ' 32,671 23,661 3 2,76 J J 6. Escribe un número que esté entre 6,3 y 6,4. Cuántos se te * ocurren? Reflexiona primero: Qué cifra puede ocupar la posición de las centésimas? Y de las milésimas? Problemas Cuánto mide el árbol? - La parte entera es un número par. - La cifra de las décimas es mayor que la de las centésimas. - Las cifras de la parte decimal suman 12., BIEN HECHO! Quién es el más alto? Jimena Martín Olga 2,63 m 2,57 m 3,84 m 2,75 m En qué orden llegaron los corredores a la meta? corredor Cristina César Javier tiempo 16,7 s 17,6 s 16,6 s 1,59m 1,61 m 1,57 m 1,61 m > 1,59 m > 1,57 m Martín es el más alto.
ntar números decimales en la recta. R Para representar los números 12,29 y 12,32 en la recta numérica, hacemos lo siguiente: Q Situamos en la recta la cifra de las unidades y la unidad siguiente. Dividimos este tramo en 10 partes iguales, que son las décimas. I 12 i i i i i 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 i 12,6 i 12,7 i 12,8 i 12,9 I 13 0 Dividimos cada décima en 10 partes iguales, que son las centésimas. i ' " 12... i...i...i...i...i ' " 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5...i... 12,6 " " i... 12,7 1111111111... i.....,. i... 11111... mil 12,8 12,9 I 13 Q Situamos los números decimales donde corresponde.... 12 12,29 12,32... i...i... i...i...i 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5...i 11111111111... 1111111111... i...... 1111111111 i.....,. 1111111111 i... mil I 12,6 12,7 12,8 12,9 13 Observa que 12,29 está más cerca de 12,3 que de 12,2. Por eso, decimos que 12,29 redondeado a la décima es 12,3. También podemos redondear un número decimal a la décima así: ^ Si la cifra de las centésimas es menor que 5, dejamos igual la décima y eliminamos las cifras siguientes. D U d c 1 2, 3 2 ^ Si la cifra de las centésimas es igual o mayor que 5, aumentamos la décima una unidad y eliminamos las cifras siguientes. D U d c 1 2, 2 9 2 es menor que 5. 12,32 redondeado a la décima es 12,3. 9 es mayor que 5. 12,29 redondeado a la décima es, también, 12,3. Actividades Copia la recta y sitúa en ella estos números. M M M M U M M M M I 14 14,2 14,4 14,6 14,8 15 15,2 15,4 15,6 15,8 16 15,6 15,1 14,9 14,5 16 Sf»
10 Representa en la recta numérica y ordena de menor a mayor. 2 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,68 3,46 3,09 3,99 3,15 3,74 Lee en voz alta los números decimales que se indican en la recta. 11111:iii111 ii 1111111ii 1111 1111111111111111111111111111111111 1111111111111111 11111111111 111111111 21 21,1 21,2 21,3 21,4 21,5 21,6 21,7 21,8 21,9 22 Dibuja una recta numérica y representa estos números. CÁLCULO MENTAL Sumar números completando centenas 296 + 28 300-4 + 28 N / 300 + 24 324 197 + 15 35 + 97 295 + 36 53 + 98 791 + 95 9 9 + 16 Reflexiona primero: Qué números serán el primero y el último de la recta? Necesitas señalar sólo las décimas o también las centésimas? 13 Representa estos números en una recta y redondéalos a la décima y a la unidad. Qué observas? 9,95 10,07 10,43 9,67 9,54 10,21 14. Redondea cada número a la centésima, a la décima y a la unidad. 0 Nadia pesa las cestas de fruta para poner una etiqueta con el peso aproximado a las décimas. Qué pondrá en cada etiqueta?, BIEN HECHO! Cuál es la largura aproximada de la ventana? 16. Esteban compró un bizcocho que costaba 3,20 aproximadamente. Cuál puede ser? 1,48 m 1,5 m La largura de la ventana es de 1,5 m aproximadamente. M 27
p Sumar y restar números decimales Cuánto cuestan los tres libros? Para averiguarlo, sumamos los tres precios. Q Colocamos los números de 0 Sumamos los números sin manera que las comas coincidan. tener en cuenta las comas. ^ Escribimos una coma en el resultado, alineada con las otras comas. D U d c D U d c D U d c 1 2 8 7 1 2 8 7 1 2 8 7 1 6 0 6 1 6 0 6 1 6 0 6 9 9 8 + 9 9 8 -H 9 9 8 3 8 9 1 3 8 9 1 Los tres libros cuestan 38,91. Cuánto dinero nos devuelven si pagamos con 50? Q Colocamos los números de manera que las comas coincidan. Q Restamos los números sin tener en cuenta las comas, 0 Escribimos una coma en el resultado, alineada con las otras comas. D U d c D U d c D U d c Si faltan cifras 5 0 0 Os decimales en 5 0 0 0 5 0 0 0 3 8 9 1 el minuendo, escribimos 3 8 9 1 3 8 9 1 ceros. 1 1 0 9 1 1 0 9 Nos devuelven 11,09. Para sumar o restar números decimales colocamos los números uno debajo de otro, alineados por las comas, y escribimos la coma en el resultado. Actividades Resuelve estas operaciones en tu cuaderno. 168,305 + 57,26 224,67 + 368,9 74,568 29,47 60,3 15,75 Coloca y calcula.
Copia y une cada resta con su diferencia. 81,27-13,7 8,27-3,07 77-10,43 8,27-3,7 ( 66,57 ) ( 4,57 ) ( 67,57 ) 5,20 20 Ordena los resultados de mayor a menor. 16,32~- 6,8 + 4,27 f j 30^7^(6,54 + 8,39) J [ 16,32 ^ (6,8 T 4,2 7 7! j 7,52-4,9 + 12,12 fc PARA PENSAR Continúa esta serie con 6 términos más. O - 0,25-0,5 2 Qué número es 12 unidades y 27 milésimas menor que 23? Averigua el término que falta. 93,12 +... = 108,3 32 -... = 17,634... + 54,65 = 217,91... - 6,934 = 12,066 Si utilizas solamente sumas y restas, cuál es el mayor número que puedes conseguir con estos tres? Y el menor? # Problemas Un termo contiene 2,6 I de leche y se rellena con 1,25 I más. Si después se consumen 3,68 I, cuánta leche queda? Sofía compra un libro que cuesta 13,35 y un lápiz de 0,37. Si paga con un billete de 20, cuánto dinero le devuelven? A l1 26 Si una polea puede subir 5 kg como máximo, se pueden subir todas las cajas juntas? Calcula primero redondeando los pesos a la unidad, y después de forma exacta. 7 0.8 kg, BIEN HECHO! Juan paga 4,52 en la frutería con un billete de 10. Cuánto dinero le devuelven? 1,2 kg Héctor recorrió ayer 21,8 km, y hoy 17,4 km. Si el trayecto tiene 42 km en total, cuánto le falta por recorrer? 1 0,0 0-4,5 2 5,4 8 Le devuelven 5,48. - Sifcí*
rmultiplicar números decimales Para calcular cuánto cuestan 14,5 kg de tomates, realizamos la multiplicación 14,5 x 2,5. Multiplicamos los números sin tener en cuenta las comas. 1 4,5 x 2,5 7 2 5 + 2 9 0 3 6 2 5 ^ Se separan en el resultado con una coma, desde la derecha, tantas cifras como decimales tienen los dos factores juntos. 1 4,5 x 2,5 7 2 5 + 2 9 0 1 cifra decimal 1 cifra decimal 3 6,2 5 ------2 cifras decimales Los tomates cuestan 36,25 en total. Para multiplicar dos números decimales, los multiplicamos sin tener en cuenta las comas, y en el resultado, separamos con una coma, desde la derecha, tantas cifras como decimales tienen entre los dos factores. Para multiplicar un número decimal por 10,100,1.000... desplazamos la coma hacia la derecha tantas posiciones como ceros hay en 10, 100, 1.000... 0,55 x 10 = 5,5 0,55 x 100 = 55 0,55 x 1.000 = 550 Se completa con ceros si es necesario. Para multiplicar un número decimal por 10,100 ó 1.000, se desplaza la coma a la derecha 1, 2 ó 3 posiciones, es decir, tantas como ceros acompañen a la unidad. Actividades Resuelve en tu cuaderno. 20,38 x 6 6,7 X 2,1 12,3 X 0,25 9,65 X 7,03 Coloca y calcula. 43,12 X 5 26,52 X 4 4 ^ { 607,4 X 7 0 ^ 35,20 X 4,1 % f 19,19 X 12,1 > # 3 0 *
30 Copia y coloca la coma en el factor indicado, en cada caso, para que se cumplan estas igualdades. 41 X 2,8 = 11,48 6,2 X 37 = 22,94 867 X 0,03 = 2,601 0,4 X 291 = 1,164 37 X 2 = 0,74 4,37 X 285 = 12,4545 Resuelve. 0,32 X 10 42,5 X 100 23,548 X 100 6,02 X 1.000 0,006 X 1.000 9,32 X 10.000 % 2 HUELLAS MATEMATICAS Nosotros utilizamos el punto para separar las cifras de mil, y la coma para separar la parte entera de la decimal. Sin embargo, en otros países es al revés: utilizan la coma para separar los miles y el punto para separar las cifras decimales. Observa el ejemplo y calcula cada producto sin multiplicar. 1.200,5 1,200.5 24,5 x 0,1 = 2,45 Más información en: 9 X 0,1 30,02 X 0,1 603,4 X 0,01 852 X 0,01 47 X 0,01 1.237,34 X 0,001 #i www.e-sm.net/2mat6 Por qué el producto tiene una cifra decimal en lugar de tres? 2,56 X 2,5 = 6,4 1 34. Imagina que en una calculadora no pudieras representar números decimales. Cómo hallarías estos productos? I c93,47 X 0,85 c 294,1 X 32 II 1 I 11 I 5.602 X 4,99 12,84 X 50 II 610,7 X 7,3 7,1 X 0,003 1 Problemas Un profesor y 17 alumnos visitan un museo. Cuánto tienen que pagar en total si cada entrada cuesta 1,25? 34 Si un kilo de naranjas cuesta 0,56, cuánto costarán 3,25 kg? Cuánto dinero recauda un almacén si vende 100 kg de zanahorias, 100 kg de limones y 1.000 kg de patatas?, BIEN HECHO! Cuánto cuesta una caja de 50 bolígrafos, si cada uno vale 0,55? 0,55 X 50 = 27,50 La caja de 50 bolígrafos cuesta 27,50.
ACTIVIDADES Resuelve proble mas ( J Aproxim ar la solución El sábado pasado Jaime estuvo con sus tres sobrinos en un restaurante italiano. Pidieron un menú de adulto y tres infantiles. Después fueron al cine. Cada entrada les costó 6,90. Aproximadamente, cuánto dinero se gastaron en total? Comprende el enunciado Copia los datos necesarios para resolver el problema y busca la información en el enunciado. - Lo que cuesta el menú de adulto de lunes a viernes. - Lo que cuesta el menú infantil los fines de semana. - El precio del menú de adulto los fines de semana. - El precio de cada entrada de cine. Qué palabra del enunciado indica que es suficiente con calcular una estimación del resultado? Resuelve Redondeamos los precios. precio exacto precio redondeado menú infantil 8,05 8 menú de adulto 9,95 10 entrada de cine 6,90 7 Estimamos el gasto total. menú infantil 3 x 8 = 24 menú de adulto 1 x 10 = 10 entradas 4 x 7 = 28 total - 24 + 10 + 28 = 62 L Solución Se gastaron 62 aproximadamente. Comprueba la solución Si hallamos el gasto exacto deberíamos obtener 62 aproximadamente. (3 X 8,05) + 9,95 + (4 X 6,90) = 24,15 + 9,95 + 27,60 = 61,70 61,70 son aproximadamente 62. v Practica La semana pasada en el restaurante sirvieron 91 menús de adulto y 34 infantiles de lunes a viernes. El fin de semana sirvieron 35 menús infantiles y 68 de adulto. Cuándo recaudaron más dinero, entre semana o en el fin de semana? Aproximadamente, cuánto dinero más?
pren de a aprender Organiza la información Copia y completa en tu cuaderno. OPERACIONES CON NÚMEROS PEC/MALES comparación redondeo k. J C «O resta ^ multiplicación 15,8 ^ 18,8 42,158 12,87-50,00 14,5 16,06-38,91 x 2,5 9,276 ^ 9,264 a la centésima... + 9,98 a la décima... 3,161 ^ 3,26 a la unidad... 0,55 x 10=... 0,55 X 100=... 0,55 X 1.000=... Repasa 40 Inventa una frase con esta palabra. VOCABULARIO parte entera: cada una de las cifras que aparecen a la izquierda de la coma. Descompon cada número en sus órdenes de unidades. Qué valor tiene la cifra 3 en cada caso? 6,23 403,07 15,613 9,345 Representa estos números en una recta numérica. Ordénalos de mayor a menor. Coloca y calcula. 63,8 X 9,2 15,25 X 0,9 5.005 X 0,77 784,12 X 4,01 Averigua quién consiguió la medalla de oro, la de plata y la de bronce en la prueba de salto. Lara Javi Ruth Alba Juan 1,49 m 1,68 m 1,71 m 1,7 m 1,57 m Puede Pedro comprar todas las plantas si tiene 25? Redondea los precios a la unidad y, después, calcula la solución exacta. (3^ 3) Resuelve. 24,307 + (15,8-9,75) 578,327-395,506 + 208,43 97,637 ^ j5 4,249 + 41,928) j\2,s 5 ^ ^7, 9 8 \ ^3,05^,^6,0V^ Sonia, Nuria y Rafa miden casi lo mismo: 1,6 m aproximadamente. Cuánto podría medir cada uno? Si Sonia es 0,06 m más alta que Rafa y Nuria mide exactamente 1,6 m, cuánto puede medir cada uno?
Recuerda lo anterior m 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15^ Resuelve. 78.245 - (3.207 + 67.213) (25.917 + 2.136) - (19.003-917) Halla estos productos e indica sus términos. 60.531 X 92 59.470 X 605 50 Estas divisiones son enteras o exactas? 38.045 : 34 71.325 : 225 Agrupa las divisiones que tienen el mismo cociente sin resolverlas. Qué propiedad utilizas? Calcula. 30:6 10:3 90:18 (43 + 21) : 8 i--- -------- -'I 30:9 15:3 [""(13-5) X (17 + 8) 9 x (44-23) 1 (15 + 6) : (13-6) 53 Escribe con cifras, y separa la parte entera y la parte decimal. diecisiete unidades y tres décimas cuatro unidades y nueve centésimas ciento dos unidades y doce milésimas 54 Descompon estos números en sus órdenes de unidades. / 37,206 j j 4.530,169 / 19,003 / 8,16 A / 0,075 A Compara en tu cuaderno. 9,41 9,14 62,205 1,9 9 ^ ^ 2,0 1 35,106 61,502 35,206 56 Representa estos números en la recta numérica y redondea a la décima. 1 17,15U 17,931 17,45j; : 17,6 17,07; Utiliza la prueba de la resta para averiguar qué restas están bien hechas. Corrige las incorrectas. minuendo sustraendo diferencia 14 8,36 5,74 23,65 19,35 4,3 9,206 5,138 4,162 Coloca y calcula. 62,037 X 3,2 20,02 X 701 Completa en tu cuaderno. 287,453 X... =2.874.530 7,827 X... = 78,27 34,196 X... = 3.419,6 60 Una floristería tiene 500 claveles, 300 rosas y 1.200 margaritas. Si vende la mitad de cada especie, cuántas flores quedan? Resuelve de dos maneras diferentes. Un ordenador registra las temperaturas a lo largo del día. En qué momento del día hizo más frío? Y más calor? hora 6 12 18 24 temperatura 12 C 22 C 18 C 14 c [ Teo solamente puede transportar 100 kg cada vez. Puede con todo en un único viaje? Primero redondea a la unidad los pesos, y después comprueba la solución exacta. 7,15 kg a,as xg é ^ ; B S 34 V
Pon a prueba tus competencias O CUESTION DE ALTURA Laura prepara su clase de educación física. Quiere que los alumnos realicen un ejercicio y necesita formar parejas de estatura similar. O Javier 1,53 m Angela 1,52 m O Comprende Empareja a los alumnos de la clase de Laura para que realicen el ejercicio. Puedes hacerlo de dos formas: Redondea a la décima las estaturas y después intenta emparejar a los alumnos. Ordena las estaturas de menor a mayor y observa quién queda al lado de quién. Relaciona Observa los resultados que has obtenido en la actividad anterior. Compáralos y analiza las combinaciones que aparecen al redondear los datos. O Tienes suficiente información con el redondeo de las alturas? Razona Laura piensa que también se podría realizar el ejercicio de tres en tres. Cómo emparejarías ahora a los alumnos, de la primera o de la segunda manera? Escribe los grupos de tres que puedes formar. Escribe en tu cuaderno una situación en la que utilizar el redondeo de las alturas sea más útil o rápido que ordenarlas. Autoevaluación de la unidad 2