MATEMÁTICAS ºACT TEMA. REPASO. NÚMEROS NATURALES. Cuando contamos los alumnos y alumnas de una clase o el número de losetas que hay en el suelo, lo contamos con los números naturales. Los números naturales son, como ya sabes, 0,,,,,0,,,00,0, hay infinitos. Los números naturales se representan sobre una recta del siguiente modo: 0 Los números naturales sirven para numerar. Por ejemplo, decimos que una alumna es la º (decimoquinta) de la lista.. NÚMEROS ENTEROS A veces para contar necesitamos números negativos: Para Europa y América, el año -0 es el año 0 antes de Cristo. Un saldo en el banco de -0 significa que se deben 0 Los números enteros negativos junto con los naturales forman los números enteros que se denominan Z. on ellos además de sumar y multiplicar, podemos restar con la seguridad de que el resultado será un número entero. Los números enteros se pueden representar sobre una recta: - - - - - - - 0 Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos. Si a y b son números naturales y a<b, entonces a>-b. Valor Absoluto de un número entero El valor absoluto de un númerro es la magnitud del mismo prescindiendo de su signo. Se escribe así, x, y se define del siguiente modo: El valor absoluto de un número natural es él mismo:, 0 0 El valor absoluto de un número negativo es su opuesto: Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al 0. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Suma y resta. Para sumar números positivos y negativos: Si los dos números tienen el mismo signo, se suman y el resultado tiene ese mismo signo. + +=+0 - -=-0 IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT Si tienen signos distintos se restan y el resultado tendrá el signo del mayor. - + = + + = - Al suprimir un paréntesis que tiene delante un signo más, los signos interiores no varían: +( + ) = + = Al quitar un paréntesis que tiene delante un signo menos, los signos interiores se cambian: mas por menos y menos por mas. -( +) = - + = -. Multiplicación y división En la multiplicación y la división se emplea la misma regla de signos, que es la siguiente: El producto de dos números es: - Positivos si los factores tienen signos iguales. - Negativo si los factores tienen signos distintos. Operaciones combinadas En las operaciones combinadas, la regla de prioridad es:. Se hacen las operaciones que están dentro del paréntesis. Las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el que aparecen.. Las sumas y restas ACTIVIDADES ) --= ) -+-= ) (-)+(-)-(-)-(-)= ) -+(-)-(-)= IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT ) (-)(-) = ) (+-)(-) = ) (+)(-9+):(-) = ) (--0):(---) = 9) -[-(-)-] :(-) = 0) (-)-(-)+(-) = ) (-)-(-)-(-)= ) -0:(+-)-: = ) +:9-0:[+(-)]= ) :[-(-0)-]= ) -:[+(-)+] = MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS DE DOS O MÁS NÚMEROS. El mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios números, es el menor de sus múltiplos comunes. Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y de todos los factores se toman los comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Así para calcular el m.c.m de, y habría que descomponer esos números en sus factores primos: = = m.c.m (,,)= =0 =. El máximo común divisor (M.C.D) es el mayor de sus divisores comunes. Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y se toman sólo los factores comunes elevados al menor exponente. Para calcular el MCM de 0, y 0, se descompondrían en sus factores primos: 0= = M.C.D (,0,0)= = IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT 0= NÚMEROS RACIONALES. Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de número fraccionario: La mitad, la quinta parte, la milésima parte de la unidad. Son números fraccionarios:, ; ; ; ; 00 000 En todas estas fracciones, el numerador es menor que el denominador y por tanto son partes de la unidad. También son fraccionarios los números: ; Cada uno de ellos se componen de varias unidades enteras más una fracción de la unidad. También son fraccionarios los números representados por fracciones negativas. Los números fraccionarios complementan a los enteros dando lugar, entre todos a los números racionales, Q. Los elementos de Q se caracterizan porque se pueden poner en forma de fracción: ; ; ;0 0 OPERACIONES CON FRACCIONES.. Simplificación de fracciones. Si el numerador y denominador se puede dividir por el mismo número, al hacerlo decimos que la hemos simplificado o reducido. Por ejemplo: ; 000 ; 00 Cuando una fracción no se puede reducir más diremos que es una fracción irreducible.. Fracciones equivalentes. Cada número racional se puede expresar mediante infinitas fracciones: 0 9... IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando se simplifican dando lugar a la misma fracción irreducible.. Comparación de fracciones. Dos fracciones con distinto denominador resultan difíciles de comparar. Por eso para comparar fracciones, las reducimos a común denominador, es decir, buscamos fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador. Este denominador común debe ser un múltiplo común de los denominadores de partida, preferiblemente el mínimo común múltiplo de ellos. Por ejemplo, comparemos, y. El mcm de los denominadores es 0. 0:=0 0 0 0 0 Ahora tienen el mismo denominador y basta compararlos numeradores: 0:= 0 0:= 0. Suma y resta de fracciones. Para sumar o restar fracciones, tienen que tener el mismo denominador, y se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador: 0 0 0 0 0 0 0. Producto de fracciones. En el producto de dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores, obteniendo una nueva fracción. 0. Cociente de fracciones. IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT El cociente de fracciones se realiza en cruz, es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es el numerador del resultado y el denominador de la primera por el numerador de la segunda es el denominador de la fracción resultado : Si el cociente está expresado mediante fracciones se realizará multiplicando los extremos dividido del producto de medios Las dos son formas de expresar un cociente y por tanto la misma operación. ACTIVIDADES Calcula: ) ( ) = ) : = ) = ) ( ( ) ) = ) ) IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT ) ) = 9) de 0) de 0 ) ) ) ) 0 = ) = ) : : = ) ) 9) 0 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero: IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT 0) ) : : POTENCIACIÓN.. Potencias de exponente natural. El producto a a a a a tiene sus cinco factores iguales. Este producto se indica de forma abreviada así: a a se llama potencia, y el factor a, base El número de veces que se repite el factor se llama exponente.. Propiedades Si m y n son números naturales distintos de cero, se cumple: a m a n = a m+n por ejemplo: = a m b m = (a b) m por ejemplo: ( ) = (a m ) n = a mn por ejemplo: ( ) = a m : a n = a m-n por ejemplo: a m : b m = (a:b) m por ejemplo: n m m a n a por ejemplo: Cualquier número elevado a 0 es la unidad 0 Por ejemplo Una potencia de exponente negativo, expresa la inversa de esa potencia, es decir a -n = por ejemplo n a ACTIVIDADES IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT ) ) ) 9 9 ) = ) ) = ) 0 ) = 9) Reduce y expresa como potencia: 0) ) = ) Calcula: ) a = ) ) Ordena de menor a mayor: -, -, 0, -, - IES ANTONIO CALVÍN 9
MATEMÁTICAS ºACT ) Expresa como una potencia de : ) Reduce y expresa como una potencia: Calcula: ) 0 9) a 0) = ) En un puesto de frutas y verduras, los del importe de las ventas de un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 9, qué caja ha hecho el establecimiento? ) En un depósito, el lunes había 000 litros de agua y estaba lleno. El martes se gastó del depósito. El miércoles se sacaron 0 litros. Qué fracción queda? ) Los de un poste están pintados de blanco; los del resto, de azul, y el resto que mide, m de rojo Cuál es la altura del poste? Cuánto mide la parte pintada de azul? ) Un vendedor ambulante lleva una cesta de naranjas. En la primera casa que visita vende la mitad de las naranjas más media. En la segunda casa vende la mitad de las que le quedaban más media. En la tercera y la cuarta casa, repite la mima operación, con lo que se le agota la mercancía Cuántas naranjas llevaba? NOTA: En ningún momento parte naranjas ) De un solar se venden primero los dos tercios de su superficie y después los dos tercios de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 00 m restante para un parque público. Cuál era la superficie del solar? Reduce a una sola fracción cada una de las siguientes expresiones IES ANTONIO CALVÍN 0
MATEMÁTICAS ºACT ) ) ) 9) 0 0) 9 ) Elimina paréntesis y simplifica: ) ( ) = ) (-) : ((-) = ) ) ( ) ( ) : ( ) = ) a (b c) (ab) c Calcula: ) (-) = ) - = 9) (-) = 0) - = IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT ) - = ) (-) - = ) (-) = ) (-) = ) (-) = Reduce: ) ) ( ) ) : 9) : 0) 9 ( ) ) ) : 9 ) : ) 9. APROXIMACIONES DECIMALES Y ERRORES Aproximaciones decimales por exceso y por defecto. Cuando queremos hacer la aproximación de un número, conocido su valor exacto, por ejemplo,, lo podemos hacer por defecto,, o por exceso,,. IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT Diremos pues que: Un valor aproximado lo es por exceso cuando resulta mayor que el valor exacto al que sustituye y por defecto cuando es menor Aproximaciones decimales por redondeo. El redondeo es una técnica que consiste en sustituir un número por el más próximo a él de entre todos los que tienen la cantidad de cifras deseada. Reglas de redondeo: La cifra a la que se redondea se deja como está si la que le sigue es menor que A la cifra a la que se redondea se le suma una unidad si la que le sigue es o mayor que. Por ejemplo, al aproximar el número П =,9.. a las centésimas, se obtiene,, que es el valor más utilizado. Y si lo aproximamos a las milésimas obtendríamos,. ACTIVIDADES ) Indica si las siguientes aproximaciones de =,09 lo son por defecto o por exceso: a), b), c), d), e),0 f), ) Escribe las aproximaciones por defecto y por exceso a la primera cifra decimal de los siguientes números e indica después cuál de las dos aproximaciones constituye su redondeo a las décimas: a), b), c) 0, d) 0,9 e), f), Control del error cometido IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT El error absoluto de una aproximación decimal es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el aproximado. En general, el error absoluto es desconocido pero puede controlarse. Por ejemplo, cuando decimos que la altura de un árbol es m, aproximadamente, es posible que podamos asegurar que mide entre, m y, m. En tal caso el error cometido sería error que 0,m Error absoluto < 0, m Cuando medimos experimentalmente, es difícil saber cual es el valor exacto, ya que siempre cometemos errores, en este caso haremos varias medidas, y tomaremos como valor exacto la media aritmética de los valores obtenidos. Siguiendo con el ejemplo del árbol, no es lo mismo decir que el error de medición es menor que 0, m cuando medimos la altura de un manzano, o la de un enorme ciprés. Por eso se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Por ejemplo: Raquel y su hermano pequeño han ido a medirse a la farmacia. Según la máquina, tienen una estatura de, m y 0, m, respectivamente. Sin embargo para acordarse mejor, Raquel redondea a,0 m y 0,0 m Qué error comete con estas aproximaciones? El error absoluto: Error absoluto = valor exacto - valor aproximado Raquel Error absoluto =,,0 = 0,0 Hermano Error absoluto = 0, 0,0 = 0,0 En los dos casos se comete un error de centésimas El error relativo: Error relativo = error absoluto valor exacto 0,0 Raquel error relativo =, 0, 0 0,0 Hermano error relativo = 0, 0, 0 Como 0,0<0,0, es mejor la primera aproximación ACTIVIDADES IES ANTONIO CALVÍN
MATEMÁTICAS ºACT ) Juan y Luis han obtenido la expresión decimal 0, como solución de un ejercicio. Juan redondea a la primera cifra decimal, mientras que Luis prefiere hacerlo a la tercera cifra decimal. Cuál es el error absoluto y el relativo? ) Si la velocidad de crecimiento del cabello humano es,0 - km/h, cuántos cm crece el pelo en un mes? Y en un año? 9) En g de agua hay,00 moléculas de este compuesto. Cuál es la masa en gramos de una molécula de agua? 0) Asocia cada uno de estos números con una de las cantidades dadas:,0,0-9,0 - NÚMEROS CANTIDADES Paso de un tornillo en mm Masa del electrón en kg Masa de la Tierra en Mg ) Cuál de las aproximaciones, ó, es la más próxima a error absoluto cometido en cada caso.? Calcula el ) Escribe una aproximación de los siguientes números con un error menor que cinco milésimas: a), b), c),00 IES ANTONIO CALVÍN