Procesamieno Digial de Señal Tema : Análisis de Señal e Inroducción a los Sisemas Definición de señal sisema Señales coninuas discreas Transformaciones elemenales Funciones elemenales coninuas discreas Definición de sisemas propiedades Señales Definición de Señal Las señales son parones de variación que represenan información codificada. Una señal se define como una magniud física que varía con el iempo el espacio o cualquier ora variable independiene permie ransmiir información. Ejemplos: El sonido es una función de una variable, el iempo, para cada insane de iempo variable independiene exise un valor único de la función variable dependiene. Una imagen es un función de dos variables x,, o si esá en movimieno de res variablesx,, que oma un valor que codifica el color RGB del puno en cada insane.
Señales Señales coninuas discreas. Analógicas, x : Ampliud Tiempo coninuos. Muesreadas, x s [n] : Tiempo Discreo, Ampliud coninua. Cuanizada, x Q : Tiempo Coninuo, Ampliud discrea. Digial, x Q [n] : Tiempo Ampliud discreos. Definición de Energía Poencia de una señal: Energía de una señal : E x x d Poencia de una señal : Señales Clasificacion en función de su energía poencia Una señal se dice que es de energía si E x es finio, lo que implica que P x es. Ej. Pulsos limiados en el iempo. Una señal se dice que es de poencia si P x es finio, lo que implica que E x es infinio. Ej. Una señal periódica. Px lim T T T x d
Señales Propiedades de las señales para su clasificación Coninuas: Se definen para odo iempo. Periódicas: Aquellas que verifican x p x p ±nt, donde T es el periodo n es un enero. Causales: Son para <. Se definen sólo para el eje posiivo de. Anicausales: Son para >. Se definen sólo para el eje negaivo de. No causales: Se definen para odo el eje de. Señales Clasificación de señales basadas en simerías: Simería Par: x x- Simería Impar: x -x- Ejercicio: Se pide demosrar que una señal no simérica puede siempre expresarse como la suma de una función par f p una función impar f i.
Señales Transformaciones elemenales: Desplazamieno en el iempo: Señal adelanada rerasada en el iempo x-, desplazamieno a la dereca. Rerasada x, desplazamieno a la izquierda. Adelanada Reflexión: Inversión en el iempo de x x- Cambios lineales de escala en la variable independiene: Compresión en el iempo de x x Dilaación en el iempo de x x/ Señales Ejemplos de Transformaciones elemenales: Sea s s s, para, 3, para el para reso 3 El desplazamieno en el iempo s - es:, para, 5, para el 3 para reso 3 5
Señales Funciones elemenalesconinuo : Funciones elemenalesdiscreo : Escalónunidad: u u, u, Escalónunidad: u u[ n ], para n u[ n ], para n Impulso δ o función dela de Dirac δ, δ τ d τ Impulso uniaro δ[n] o dela de Kronecker δ [ n ], para n δ [ n ], para n Señales Oras Funciones elemenales: Escalón unidad : u Rampa : r u Pulso : u/-u-/ Triangular : rir-rr- Seno Cardinal, Senc : senc sen π π
Señales.8.6.4. - -.5 - -.5.5.5 Tiempo.8.6.4. Función dela de Dirac Función pulso unidad - - Tiempo.8.6.4. Función riangular unidad - - Tiempo.8.6.4. Función escalón unidad.8.6.4. -. - - Tiempo.5.5 Función rampa unidad - Tiempo Función Sinc -5 5 Tiempo Señales Propiedades de inerés enre las funciones elemenales: δ u d u d δ τ d τ δ [ n] u[ n] u[ n ] u[ n] k δ [ n k ] δ [ α β ] x δ α x α δ α x δ α d δ β α x α x[ n] δ [ n] x[] δ [ n] x[ n] δ [ n n ] x[ n ] δ [ n n ] x[ n ]
Procesamieno Digial de Señal Sisemas Lineales e Invarianes en el Tiempo Sisemas LTI. Principio de Superposición Respuesa al impulso de un sisema LTI Concepo definición convolución Represenación de sisemas en iempo discreo. Sisemas Un sisema físico es un conjuno de disposiivos conecados enre sí, cuo funcionamieno esá sujeo a lees físicas. Desde nuesro puno de visa, es odo aquello que realiza un proceso sobre una señal un procesador de señal. La represenación de un sisema en iempo coninuo se realiza normalmene a ravés de ecuaciones diferenciales. Se relacionan la salida la enrada x mediane consanes, parámeros variables independienes iempo: n n m d d d d x dx a a... a a b... b b x n n n n m m m d d d d d La represenación de un sisema en iempo discreo se realiza por su ecuación en diferencias o por su diagrama de bloques. [ n] N k a [ n k] k M k k b x[ m k]
Sisemas La señal o señales a ser procesadas forman la exciación o enrada x del sisema. La señal procesada es la respuesa o salida del sisema. Dominios de inerés: El análisis de sisemas implica el esudio de la respuesa del sisema a enradas conocidas. La sínesis de sisemas se realiza especificando las salidas que deseamos para una enradas dadas esudiando que sisema es el más adecuado Idenificación de sisemas. Sisemas x x[n] [n] x: enrada del sisema : salida del sisema ó n ; variable independiene Clasificación de los sisemas: Lineales: Los coeficienes no dependen de x ó. No a érminos consanes. No lineales: Los coeficienes dependen de x ó. Ha érminos consanes. Invarianes en el iempo: Los coeficienes no dependen de. Varianes en el iempo: Los coeficienes son funciones explícias de.
Sisemas Propiedades que definen los sisemas: Coninuos. Discreos Lineales Invarianes en el iempo Con Memoria. Inveribles Causales Esables e Inesables Sisemas LinealesL Definición de sisema Lineal Sea la respuesa de un sisema a una enrada x, sea la salida correspondiene a la enrada x. Enonces el sisema es lineal si :. La respuesa a x x es PROPIEDAD de ADITIVIDAD. La respuesa a kx es k donde k es una consane compleja cualquiera PROPIEDAD de ESCALAMIENTO u HOMOGENIEDAD
Principio de Superposición Un sisemas lineal saisface el principio de superposición: Si al aplicar individualmene, como enradas al sisema, las señales x, x,...,x n obenemos como salida del sisema las señales,,..., n. x x x 3 3 La respuesa del sisema a una señal de enrada x formada por la combinación lineal de dos o más señales x ax b x... kx n es igual a la combinación lineal de la suma de las respuesas del sisema a cada una de las señales a b... k n x Sisemas Invarianes en el iempo Se dice que un sisema es invariane en el iempo cuando su comporamieno sus caracerísicas permanecen fijos en el iempo La respuesa depende sólo de la enrada x no de en que iempo se aplica al sisema. Si T{x}, enonces T{x- } -, donde T{}represena el sisema. Por ano, conocida si el sisema es invariane la salida a x- se pueda calcular a parir de un desplazamieno emporal. x x- - - -
Sisemas LTI Mucos sisemas coninuos de inerés son del ipo lineal invariane en el iempo LTI. La respuesa al impulso de un sisema se represena por corresponde a la salida de un sisema LTI cuando la enrada es la señal impulso unidad d. δ A parir de la respuesa al impulso se puede esudiar la respuesa a cualquier ipo de enrada. Para ello basa con conseguir expresar la enrada x en función del impulso unidad Por esa razón ambién se denomina función de ransferencia del sisema. Concepo Definición de Convolución Mediane la convolución calcularemos la respuesa de un sisema a una enrada arbiraria x. Dos condiciones para realizar la convolución: Sisema LTI. Se conoce que la respuesa al impulso del sisema es. Basándonos en el principio de superposición en que el sisema es invariane en el iempo: Si T { δ } T{ K δ } K Una señal arbiraria de enrada x puede expresarse como un ren infinio de impulsos.
Definición de Convolución Una señal arbiraria de enrada x puede expresarse como un ren infinio de impulsos. Se define la función δ impulso d como: su versión desplazada con las siguienes propiedades: δ δ τ dτ x τ δ τ dτ x Concepo Definición de Convolución La úlima propiedad permie la descomposición de una enrada arbiraria x como una suma de impulsos mediane la formula: Aplicando el principio de superposición al ser un sisema LTI: T x x τ δ τ dτ { x } T x λ δ λ dλ x λ T{ δ λ } dλ x λ λ dλ x Mediane convolución se consigue deerminar la respuesa del sisema a una señal de enrada a parir de la respuesa del sisema al impulso.
Propiedades Propiedades de la de la Convolución Convolución Supóngase que x* enonces: [ ] [ ] x x x x x x x K K x K x K x x n m n m α α α α δ β α β α α α d x x* Inerpreación Inerpreación Gráfica Gráfica de la de la Convolución Convolución Enlace original: p://www.ju.edu/~signals/convolve/index.ml
Convolución Discrea La convolución discrea se define en base a la respuesa de un sisema LTI a cualquier enrada [] n x[] n [] n x [] k [ n k] s k s Ese resulado se conoce como la suma de convolución la operación del miembro dereco define la convolución de las secuencias x[n] [n] Propiedades sobre la duración de la convolución discrea. El índice del comienzo de la convolución es la suma de los índices de comienzo de las respecivas señales. Si las dos señales comienzan en nn nn, la convolución comienza en nn n. Para dos secuencias de duración M N, su convolución se exiende durane MN- muesreos. Convolución Discrea Propiedades de la convolución discrea x[n]*[n][n] δ u [] n x[][ k n k ] k [ Ax Bx ] x[ n ] [ n α ] x[ n α ] [ n ] [ n α ] x[ n α ] [ n β ] [ n α β ] [] n [] n [] n [] n δ [] n [] n { u[] n u[ n ] } [] n [] n [ n ] [] n x[] n x[] k k { x[] n x[ n ] } [] n [] n [ n ] u u
Convolución Discrea Méodos para calcular la convolución a parir de dos secuencias Méodo de la ira deslizane Méodo de las Suma por Columnas Méodo de la malla. [n] n x[n] 3-3 - 6 4-9 3 6-3 3 7 3 6 4-3 3 4 5 3 [n] [n]{3,7,3,6,4,-3,, }, n,,,...,5 Inerpreación Gráfica de la Convolución Enlace original: p://www.ju.edu/~signals/discreeconv/index.ml
Correlación Correlación: Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de que en la correlación no se reflejar una de las señales: CONTINUO DISCRETO R R R x La correlación nos da una medida de la similiud enre dos señales. No exise la propiedad conmuaiva por lo que dadas dos señales x e se definen dos correlaciones: x x que sólo coinciden en : R x R x x x λ λ dλ x x x τ τ d τ R x [] n x[][ k k n] x R x τ x τ d τ [] n x[][ k k n] k para n, ±, ±, ± 3, L R x [] n [][ k x k n] k k Auocorrelación La correlación de una señal consigo misma se denomina auocorrelación: CONTINUO R xx x x x λ x λ dλ DISCRETO R xx [] n x[][ k x k n] k para n, ±, ±, ± 3, L La auocorrelación represena la similiud enre una señal su desplazada. El máximo de auocorrelación se obiene cuando no a desplazamieno. La auocorrelación es simérica con respeco al origen, a que R xx R xx -.
Sisemas Digiales Sisema discreo x[n] x[n] T [n] [n] Sisema Lineal e Invariane en el Tiempo [n] Una señal discrea se puede descomponer en función de δ[n] x n x k δ n k [] [][ ] k Si el sisema esa caracerizado por la respuesa [n] es LTI [] n T{ δ [ n]} Enonces: [] n T{ x[ n]} T{ x[][ k δ n k ] k [] n x[] k T{δ [ n k ] k [] n x[] k [ n k ] k [ n k ] T{ δ [ n k ]} } } lineal invariane Sisemas Discreos LTI Sisema discreo x[n] x[n] T [n] [n] Sisema Lineal e Invariane en el Tiempo [n] El sisema se caraceriza por la respuesa al impulso [n] [] n T{ δ [ n]} Caracerísicas La salida depende de x[n] [n] [n] es la convolucion de x[n] con [n] Ecuación de convolución [] n Causal, n < Esable [] n x[ n]* [ n] x[] k [ n k ] k [] n <
Sisemas Discreos La maor pare de los sisemas digiales de inerés son LTI Las señales de enrada vienen dadas por secuencias la operación que realiza el sisemas es una ecuación del ipo [] n A [ n ] A [ n ] L AN [ n N ] B x[] n B x[ n ] L B x[ n M ] M que se denomina ecuación en diferencia. Es fácil comprobar que ese ipo de sisema saisface Linealidad Invariancia en el iempo Sisemas Discreos Clasificación de sisemas digiales Por la respuesa del sisema [n] Sisemas FIR: caracerizado por ener una respuesa al impulso finia Sisemas IIR: con respuesa al impulso infinia En cuano a su realización Sisemas No Recursivos Sisemas Recursivos Sisemas Realizables
Sisemas Digiales Sisemas caracerizados por ecuaciones en diferencias finias Sisema de inerés prácico Sisemas Digiales Sisemas caracerizados por ecuaciones en diferencias finias Sisemas de inerés Prácico: IMPLEMENTACION
Sisemas Digiales Sisemas caracerizados por ecuaciones en diferencias finias Ejemplo: sisema de orden Sisemas Digiales Sisemas caracerizados por ecuaciones en diferencias Función de ransferencia Hz Relacion enre la salida la enrada del sisema Hz [n]/x[n] Para obener una expresión de Hz se iene en cuena que almacenar un dao significa rerasar su uso un iempo igual al periodo de muesreo. Ese reraso se represena mediane z - reraso de una unidad, así z - dos unidades, ec. Ejemplo: [n] [n-] b x[n]b x[n-] [n] z - [n] b x[n]b z - x[n] z - [n] b b z - x[n] [n]/x[n]hz b b z - / z -
Realización de Sisemas Digiales Para realizar esos sisemas digiales se debe parir de un diagrama con las operaciones a realizar: Sofware :diagrama de flujo Hardware: diagrama de bloques, que especifica los elemenos del circuio sus inerconexiones. Una correca elección del diagrama de bloques puede opimizar significaivamene las presaciones de la realización iempo de compuación, memoria necesaria, minimizar los efecos de cuanización, ec. Realización de Sisemas Digiales Propiedades de los diagramas de bloques Conexiones en cascada: La función de Transferencia global de una conexión en cascada es el produco de las funciones de Transferencia individuales. Conexiones en paralelo: La función de Transferencia global de una conexión en paralelo es la suma de las funciones de Transferencia individuales. Conexión en realimenación: La salida se realimena en la enrada direcamene o a ravés de oros subsisema. La función de Transferencia global viene dada por la relación G z HT z GzHz
Realización de Sisemas Digiales H H H H Conexión de dos sisemas en Cascada H H H H Conexión en paralelo de dos sisemas - G G GH H Un sisema sencillo con realimenación Sisemas FIR MA:Medium Average: Son sisemas no recursivos cua función de Transferencia H MA z su correspondiene ecuación diferencia [n] son de la forma, M H z B Bz L B z n [ ] Bxn [ ] Bxn [ ] L B xn [ M] MA Realización de Sisemas Digiales puede realizarse uilizando el diagrama de la figura M M x[n] B [n] z - B z - B z - B M
Realización de Sisemas Digiales Sisemas Auoregresivos AR: Son sisemas recursivos cua función de Transferencia H AR z su correspondiene ecuación diferencia [n] son de la forma, HAR z n [ ] An [ ] A n [ N] xn N N [ ] Az L L A z puede realizarse uilizando el diagrama de la figura, x[n] N z - [n] -A z - -A z - -A N Realización de Sisemas Digiales Sisemas ARMA AuoRegresivo Medium Average : Son la combinación de los dos aneriores. Su función de Transferencia ecuación diferencia son, M B Bz L BM z Hz H z H z N AR MA Az L AN z n [ ] An [ ] L ANn [ N] Bxn [ ] L BMxn [ M] El diagrama puede acerse de varias formas, x[n] z - B [n] z - B -A z - B -A z - Direca I z - z - B M H MA z H AR z -A N
Realización de Sisemas Digiales x[n] B [n] z - z - -A B z - z - -A B z - z - -A N H AR z H MA z Esa dos formas son idénicas. Se denominan forma direca I. Requieren el uso de NM elemenos de memoria, NM sumadores NM muliplicadores. Esa úlima forma sugiere la eliminación M elemenos de memoria, a que esán repeidos. El diagrama resulane se denomina forma direca II. B M Realización de Sisemas Digiales x[n] B [n] z - -A B z - -A B Forma Direca II z - -A M B M z - -A N De la forma direca II pasamos a la forma ranspuesa o canónica. Consise en susiuir los nodos por sumas, las sumas por nodos, inverir el senido de las flecas finalmene inercambiar los coeficienes x[n] e [n]. Demosración ver: Crociere Oppeneim 975
Realización de Sisemas Digiales x[n] B [n] z - B -A z - B -A Forma Transpuesa o z - Canónica B M -A M z - -A N Esa forma da lugar a una realización con N elemenos de memoria, NM muliplicadores N sumadores. Referencias WEB Curso Traamieno digial de señal por Andoni Irizar Picón p://www.cei.es/asignauras/raamieno%digial/ds5.ml Apunes en WEB : Digial Signal Processing and Specral Analsis b Abdelak Zoubir p://www.ece.curin.edu.au/~dsp34/docs/noes/manuscrip.pdf Inroducion o Digial Filers b Julius O. Smi III p://www-ccrma.sanford.edu/~jos/filers/ FUNDAMENTALS OF SIGNALS AND SYSTEMSUSING THE WEB AND MATLAB SECOND EDITION, EDWARD W. KAMEN AND BONNIE S. HECK B Prenice-Hall, Inc. p://users.ece.gaec.edu:8/~bonnie/book/