CAPÍTULO VIII LEY DE INDUCCIÓN FARADAY

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. CAPÍTULO VIII LEY DE INDUCCIÓN FARADAY 8.1. Ley e Faaay En 1831 Faaay obsevó expeimentalmente que cuano en una bobina que tiene conectao un galvanómeto como se muesta en la Fig. y se hace vaia un campo magnético intoucieno un imán, se pouce una esviación en el galvanómeto lo que es equivalente a pouci una coiente inucia en la bobina, peo este fenómeno sucee únicamente cuano el imán está en movimiento. De este y otos expeimentos, Faaay estableció que se inuce una fem (fueza electomotiz) en la bobina one está conectao el galvanómeto, y cuya magnitu epene e la vaiación el campo y el áea con especto al tiempo, es eci el cambio el flujo magnético con especto al tiempo, se puee expesa en la foma: Φ ε = (8.1) A la ecuación anteio se conoce como Ley e la Inucción e Faaay, one ε es la fem inucia, Φ y Φ es la azón el cambio el flujo magnético, con especto al tiempo, 16

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. el signo menos tiene una elación con la polaia e la fem inucia como lo veemos en la siguiente sección. 8.. Ley e Lenz En la sección anteio se analizó cómo se inucen las fem peo no se mencionó naa aceca e la iección e esta fem, ni (e las coientes inucias. Fue H. F. Lenz, contempoáneo e Faaay, quien en una foma sencilla, estableció el sentio e las coientes inucias, meiante el siguiente enunciao que se conoce con el nombe e Ley e Lenz: La coiente que es inucia en un cicuito tená una iección e tal foma que se oponga a la causa que la pouce ; que es una consecuencia iecta el pincipio e la consevación e la enegía. 8.3. fem inucia De acueo a la Ley e Faaay que se efine con la Ec. (8.1) se pueen inuci fem cuano existe una azón e cambio el flujo magnético con especto al tiempo, vamos a consiea un ejemplo sencillo en el cual se tiene una espia ento e un campo magnético (el eje e la espia es paalelo a la iección el campo paa simplifica el ejemplo) si el campo magnético vaía con el tiempo, entonces, se inuce una fem en la espia, si movemos la espia pepeniculamente a la iección el campo magnético, que se mantiene unifome (con una velocia constante), también se inuce una fem. Al ealiza un análisis cuantitativo vamos a consiea pimeo el caso en que tenemos una espia ectangula e alambe con esistencia R, la cuál se encuenta pacialmente ento e un campo magnético, como se muesta en la Fig. la espia se mueve hacia afuea el campo magnético con una velocia υ. El flujo magnético enceao po la espia en un instante ao es: l x (8.) = 161

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. one lx es el áea e la espia; como y l no vaían, obviamente se tiene que: x υ = la velocia es igual x ya que x está ececieno. El cambio el flujo magnético con especto al tiempo e acueo a la Ley e Faaay nos a la fem inucia, esto es: ε x = = l = lυ (8.3) La fem inucia pouce una coiente en el alambe que es igual a: ε lυ i = = (8.4) R R one R es la esistencia el alambe. 16

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. La fueza que apaece en los segmentos af y bc son iguales en magnitu, peo tienen iecciones opuestas, como se muesta en la figua anteio. 8.4. Campos magnéticos vaiables en el tiempo Las foma en las que el flujo magnético puee vaia, se eben a la vaiación el áea con especto al tiempo, y también a la vaiación el campo magnético. La fem está aa po ε = E l (8.5) una foma más geneal e expesa la Ley e Faaay es a pati e las combinaciones e las ecuaciones (8.1) y (8.5), esto es: E l = (8.6) e aquí se concluyeque en que un campo magnético que vaia en función el tiempo nos inuce un campo eléctico. De acueo a la Ec. (8.6) se tiene que el áea enceaa po la tayectoia lineal ceaa sobe el campo eléctico inucio equivale al áea el flujo magnético. 163

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. La iección el campo eléctico inucio se puee obtene a pati e la Ley e Lenz, consieano que el campo eléctico que pouce la coiente inucia está en la misma iección que está en la Fig. a), tenemos un campo magnético entano al plano e la hoja y su azón e cambio especto al tiempo es positivo, es eci, que está aumentano, entonces se pouce un campo eléctico tangente a una tayectoia cicula con una iección que es contaia a la iección e movimiento e las manecillas el eloj. En la Fig. b), la azón el cambio el campo magnético especto al tiempo es negativo, es eci, que está ececieno, entonces, la iección e E es igual a la iección el movimiento e las manecillas el eloj. Algo que es muy impotante hace nota es la ifeencia ente campos elécticos poucios po caga eléctica y los campos elécticos inucios que son poucios al vaia un campo, magnético con especto al tiempo, mientas que los campos elécticos que son poucios po caga eléctica son consevativos, es eci, que cualquie integal e línea ceaa sobe el campo E es ceo, esto es: E l = (paa campos elécticos que son poucios po caga eléctica) Po oto lao, en los campos elécticos inucios la integal e línea ceaa sobe el campo E es igual a / e acueo a la Ley e Faaay, que se efine matemáticamente po: E l = 164

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. es eci, que los campos elécticos poucios po campos magnéticos en función el tiempo no son consevativos. Poblemas esueltos Poblema 8.1 Esciba la Ley e Faaay en foma ifeencial Solución La ley e Faaay escita en foma intego-ifeencial tiene fa foma ε = E l = one = s, sustituyeno en la expesión anteio, se tiene E l = ) t ( s ) ( s Utilizano el teoema e Stokes E l = ( E) s Compaano las os últimas ecuaciones, se encuenta 165

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. E = t La expesión anteio, se conoce con el nombe e foma ifeencial e la Ley e Faaay, y foma pate e una e las ecuaciones e Maxwell, que a su vez coespone a una e las cuato ecuaciones funamentales el electomagnetismo Poblema 8. Un solenoie e. [m] e longitu como se muesta en la Fig. tiene vueltas, el aio e una e las vueltas es e.5 [m] y su esistencia es e 4 [ Ω ]. En su inteio hay un solenoie e igual longitu y e 4 vueltas con un aio. [m] caa una e las vueltas. Si se conecta el solenoie inteio a una fuente e coiente senoial i = i sen π ν t one ν es la fecuencia e la fuente e coiente y es e 6 [Hz], etemine la máxima coiente que cicula po el solenoie exteio: i = 1 [A]. Solución: De la Ec. 7.6 calculamos el campo magnético en el solenoie inteio 166

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. N1 = n1 i = l i el flujo magnético lo eteminanos a pati e la Ec. (6.1). N1 = A = i π 1 sen π ν t l e la Ec. (8.1) tenemos que la fem inucia en el solenoie exteio es N1 ε = N = N π 1 i π f cos πν t l Paa el cálculo e la fem inucia se toma el aio el solenoie inteio ya que poemos especia el campo magnético fuea e esta egión. De la Ec. (4.5) calculamos la coiente máxima inucia, esto es: Sustituyeno valoes: 1 i i máx ε π ν N1N = = R l R i máx = 5.95 1 [A]. Poblema 8.3 Detemine la ifeencia e potencial ente el cento y uno e los extemos e una baa metálica e longitu L que gia con velocia angula constante ω ento e un campo magnético unifome como se muesta en la Fig. 167

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. Solución: Si escogenos un pequeño ifeencial e longitu e la baa a una istancia x el cento e otación tená una velocia tangencial υ = ω x, ente el cento y sus extemos se pouciá una ifeencia e potencial. De acueo a la Ec. (8.3) tenemos que: ε = υ x = ω x x entonces: L L x ε = ε = ω x x = ω = ωl 8 Tenán los extemos e la baa el mismo potencial? Poblema 8.4 Una baa conuctoa e longitu L se mueve con velocia υ constante, pepenicula a un lago alambe ecto que conuce una coiente I, tal como se muesta en la siguiente figua. Mueste que la magnitu e la fem geneaa ente los extemos e la baa es υ I ε = π L 168

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. y I = ( kˆ) π z x I L υ Solución De la ley e Faaay se tiene que ε = con = s De la Fig. se ve que s s = s, aemás: I =, s = xy, entonces π = s = I π x( t) x L y IL == x( t) π Sustituyeno en ε =, se encuenta υ I ε = L ; π υ = x ( t) 169

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. Poblema 8.5 Una baa conuctoa e longitu L con velocia υ paalela a un lago alambe que conuce una coiente estable I. El eje e la baa se mantiene pepenicula ala alambe con el extemo cecano a una istancia, como se muesta en la siguiente figua. Demueste que la magnitu e la fem en la baa es = I L ε υ ln 1 + π I υ L Solución De la ley e Faaay se tiene que ε = con = s De la Fig. se ve que s s = s, aemás: I =, s = y, entonces π = s = I y π Luego el flujo está ao po 17

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. y( t) * I = y π o L I + = y( t) ln π L Sustituyeno en ε =, se encuenta = I L ε υ ln 1 + ; π υ = y ( t) Poblema 8.6 Demueste que el campo eléctico inucio es constante en una baa metálica e longitu L, que se encuente en una egión cilínica e aio R en el espacio one el campo magnético cambia con una apiez como se ilusta en la siguiente figua Solución: Paa cualquie punto ento e la egión cilínica con especto al cento, el campo eléctico se puee obtene e la Ec. (8.6): E l = La Ec. (8.6) se puee expesa también e la siguiente manea: E l = s 171

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. Evaluano ambas integales tenemos: E π = π Simplificano y espejano el campo eléctico: E = es la istancia pepenicula ente la baa y el cento e la egión cilínica que se puee etemina el teoema e Pitágoas, esto es: = R L 4 Paa cualquie tayectoia cicula e aio R se puee obtene el campo E sobe la baa. De la Fig. anteio vemos que: E baa = E cosθ one el Simplificano: cos θ = y E =, sustituyeno en la expesión anteio: E baa = E baa = 17

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. Sustituyeno el valo e obtenemos: E baa = 1 R L 4 e esta expesión obsevamos que el campo eléctico paa cualquie punto e la baa es constante. Poblema 8.7 Una bobina ectangula e N vueltas e laos l y h gia con una fecuencia f en un campo magnético unifome como se muesta en la siguiente. Detemine el voltaje inucio en las teminales e la bobina. Solución: El flujo magnético está ao = s Evaluano la integal: = A cosθ 173

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. El ángulo θ = ω t que es el ángulo ente y el vecto áea A, que está vaiano con especto al tiempo, entonces: = A cosω t eivano con especto al tiempo obtenemos la fem que se inuce: ε = = Aω senω t Sustituyeno el valo e la fecuencia angula ω = πν y el áea e la espia A = lh, se obtiene la fem inucia: ( π lh ν ) sen πν t ε = efinieno ε = voltaje máximo inucio o sea: ε = π lh ν Entonces la fem inucia se puee escibi nuevamente po: ε = ε sen πν t Poblema 8.8 En una egión cilínica en el espacio e aio a, un campo magnético vaía con una apiez. Calcule el campo eléctico paa tayectoias ciculaes con aio mayo que a. (ve Fig.). Solución: 174

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. De la ecuación 8.6 tenemos: E l = El flujo magnético se etemina e la Ec. 6.1. Esto es: = s Paa este caso: = A Sustituyeno en la Ec. 8.6 y consieano que sólo vaía con el tiempo, obtenemos que: evaluano: Simplificano y espejano: ( A) E l = = A E π = π a a E = Poblema 8.9 175

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. Un cilino (lago) conucto e conuctivia σ, e aio R y longitu h, está oeao po un solenoie e iguales imensiones que tiene n espias po unia e longitu y está ecoio po una coiente I = I senω t. Detemine: a) El campo magnético ceao po el solenoie b) El campo eléctico inucio c) La ensia e coiente inucia en el cilino. Solución a) De la ley e Ampee = l I enc ao que l l = l, aemás = = Cte, luego l = l = l = NI = b) De la ley e Faaay escita en la foma N I l = ni senω t one E l E l = El Φ E l = (E=Cte), se tiene que [ ] = s El El = E π = [ s] = ( ) Eπ = A 176

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. N Dao que A = π, y = I = ni senω t, entonces se encuenta l E = = ni ω cosω t c) Como J = σ E se obtiene J = σ ni ω cosω t Poblema 8.1 Dos ieles conuctoes foman un ángulo θ en one se unen sus extemos Una baa conuctoa en contacto con los ieles y fomano un tiángulo isósceles con ellos empieza a movese en el vétice en el instante t =, y se mueve con apiez constante υ hacia la eecha, como se muesta en la figua. Un campo magnético unifome apunta hacia fuea e la página. Detemine el flujo y la fem inucia.. θ υ Solución: Según la ley e Faaay, la fem inucia está aa po : one ε = Φ m = Φ m s θ / θ / x b(x) 177

Tópicos e Electicia y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobajian. como el campo es paalelo con el vecto áea y es constante, se tiene Φ m = A(x) e la figua se tiene que 1 A( x) = bx, eemplazano en el flujo se obtiene Φ e la figua se encuenta que: luego m 1 = b x b / tan( θ / ) =, x b ( x) = x tan( θ / ) Φ m = x eemplazano en la ley e Faaay, se encuenta Φ ε = m = tan( θ / ) ( x tan( θ / ) ) ε = xυ tan( θ / ) 178