CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras manteniéndolas constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa como o o fx (donde es una 'd' redondeada conocida como el 'símbolo de la derivada parcial') Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir: A = f(x,y,z,...) Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el algebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función. Ejemplos Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula La derivada parcial de V respecto a r es ; y describe la velocidad de cambio con que el volumen de un cono cambia si su radio varía y su altura se mantiene constante. La derivada parcial respecto a h es 30
y representa la velocidad de cambio con que el volumen cambia si su altura varía y su radio se mantiene constante. Otro ejemplo tiene que ver con el área A de un círculo, aunque éste sólo depende del radio r del círculo de acuerdo con la fórmula A = p r 2 La derivada parcial de A respecto a r es Otro ejemplo, dada la función A = 3x3y + 2x2y2 + 7y la derivada parcial de A respecto de x es: mientras que con respecto de y es: 4.2 REGLAS DE DERIVACIÓN En análisis matemático, la regla del producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables. Puede declararse así: o en la notación de Leibniz así: o informalmente 31
"la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" Ejemplo Supón que quieres derivar f(x) = x²sin(x). Usando la regla del producto, obtenemos la derivada f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (ya que la derivada de x² es 2x y la derivada de sin(x) es cos(x)). 4.3 REGLA DEL COCIENTE En cálculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada. La función a derivar, f(x), puede escribirse como y h(x)? 0, entonces la regla afirma que la derivada de g(x) / h(x) es igual a: Ejemplo La derivada de (4x - 2) / (x2 + 1) es: El de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, sobre el de abajo al cuadrado. 32
4.4 REGLA DE LA CADENA En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. En términos intuitivos, si una variable, y, depende de una segunda variable, u, que a la vez depende de una tercera variable, x; entonces, el ratio de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de el ratio de cambio de y con respecto a u multiplicado por el ratio de cambio de u con respecto a x. Supón, por ejemplo, que uno está escalando una montaña a un ratio de 0,5 kilómetros por hora. La temperatura es menor a elevaciones mayores; supón el ratio por el cual decrece es 6 F por kilómetro. Si uno multiplica 6 F por kilómetro por 0,5 kilómetros por hora, obtiene 3 F por hora. Éste calculo es una aplicación típica de la regla de la cadena. En términos algebraicos, la regla de la cadena (de una variable) afirma que si la función f es derivable en g(x) y la función g es derivable en x, esto es. Entonces Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como: donde indica que f depende de g como si ésta fuera una variable. 4.5 FUNCIÓN IMPLÍCITA Es función implícita la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Un ejemplo de una función implícita seria: y3 + y2 + 5xy + x2 + x + y = 0 En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra. 33
4.6 DIFERENCIAL Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable independiente se considera como una funciona que a su vez esta en funciona de la variable dependiente: Si es una función en términos de la variable independiente y es una función en términos de la variable dependiente, entonces para obtener la derivada: Ejemplo Obtener la derivada de 6x2y + 5y3 + 3x2 = 12 - x2y2 El término 6x2y Se puede considerar que son dos funciones, 6x2 y y por lo que se derivara como un producto: El termino 5y3 se deriva como: El termino 3x2 se deriva de forma normal como 6x Para el término x2y2 se puede considerar como un producto y se deriva como: Al unir todos los términos se obtiene: Agrupando los valores se obtiene: Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita: 34
4.7 TEOREMA DE TAYLOR En cálculo, el Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció en 1712. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. En términos matemáticos: Si n=0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n+1 en el intervalo abierto (a, x), entonces se cumple que: Donde, n! denota el factorial de n, y R es el resto, término que depende x y es pequeño si x está próximo al punto a. Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación: donde?, a, x, n pertenecen a los reales Si R es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral. Para algunas funciones f(x), se puede probar que el resto, R, se aproxima a cero cuando n se acerca al 8; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto a y son denominadas funciones analíticas. El teorema de Taylor con R expresado de la segunda forma es también válido si la función f tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables. 35
4.8 DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden. Se usan las siguientes notaciones: ; ; (se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función) Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales. Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores. Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro). Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total: Análogamente se define la diferencial de tercer orden. 36
Se siguen unas reglas parecidas a las potencias: Ejemplo Calcula las derivadas parciales segunda de la función: Solución: Hallamos las derivadas parciales: ; Derivando repetidamente obtenemos: ; ; 4.9 PUNTO CRÍTICO Reciben el nombre de puntos críticos aquellos puntos de la una función en los que la derivada tiene valor nulo; también pueden recibir el nombre de puntos estacionarios. Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. 37
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4.10 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Las ecuaciones casi-lineales y las ecuaciones de Pfaff aparecen para resolver los problemas que señalamos a continuación: Dado un campo vectorial se pueden pedir: 1. Superficies ortogonales al campo: se obtienen mediante la ecuación de Pfaff, comprobando previamente que es integrable. 2. Superficies tangentes al campo: Se obtienen mediante una ecuación casi lineal. Dada una familia de superficies se pueden pedir: 1. Superficies ortogonales que contengan una curva: se obtienen resolviendo una ecuación casi lineal, e imponiendo a la familia de curvas solución que contenga la curva dada. 2. Familia de curvas ortogonales: se obtienen resolviendo una ecuación casi lineal 39
Dada una familia de curvas se pueden pedir las superficies ortogonales a la familia dada. Estas se obtienen mediante una ecuación de Pfaff que se plantea como sigue: siendo el vector tangente a la familia de curvas dada que se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a cada superficie dada:, siendo y, y el vector. Ejemplos 1.) Calcular las derivadas parciales segundas y comprobar el teorema de igualdad de las derivadas parciales mixtas para funciones C2. f(x; y) = xarctan(x/y) 2.) Sean f y g dos funciones de una variable para las cuales existen f" y g". Calcular las derivadas parciales segundas de la función h definida por h(x; y) = f[y - g(x)]. 3.) Para 0 < x < y sea: f ( x; y) = y x t e log tdt Calcular las derivadas parciales segundas de la función f. 4.) Sea f 2 2 xy( x y ), x; y) = 2 ( x + y ) 0, ( 2 ( x; y) (0;0) ( x; y) = (0;0) a) Si (x; y) (0; 0), calcular f/ x y f/ y. b) Mostrar que ( f/ x)(0; 0) = 0 = ( f/ y)(0; 0). c) Mostrar que ( 2f/ x y)(0; 0) = 1 ; ( 2f/ y x)(0; 0) = -1. d) Qué sucedió? Por qué no son iguales las parciales mixtas? 5.) Teorema de Taylor. Sea f(x; y) = ey. 40
Obtener la fórmula de Taylor de tercer orden en torno al punto (1; 0). Aprovechar el desarrollo anterior para calcular el valor aproximado de 0,90,2 y compararlo con el valor obtenido por calculadora. 6.) Hallar los puntos críticos de la siguiente función: f(x; y) = (x + y)(xy + 1) 41