RELACIONES DE ORDEN Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto parcialmente ordenado ( A, R ) es un par formado por un conjunto A y una relación de orden R definida en él. Los elementos a y b del conjunto ordenado (A, R) se dicen comparables si a R b o b R a. (A, R) es un conjunto totalmente ordenado si dos elementos cualesquiera de A son comparables. 1
Ejemplos 1) (N, ) es un conjunto totalmente ordenado. a b existe n tal que b = a + n 2) (N, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un conjunto parcialmente ordenado. a b existe n tal que b = a n 3) Sea D n = { z / z divide a n } (D n, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un conjunto parcialmente ordenado. 4) ( (S), ) es un conjunto parcialmente ordenado. 2
DIAGRAMAS DE HASSE (Helmut Hasse, 1898 1979) 1. El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado finito es una representación del mismo en la que cada elemento se representa por un punto del plano. 2. Si a R b se dibuja a por debajo de b y se une a con b por medio de un segmento. 3. Finalmente se suprimen los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva, es decir, si a R b y b R c se suprime el segmento correspondiente a a R c. 3
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS Sea ( A, ) un conjunto ordenado. m A es maximal de A si no existe x A tal que m x. m A es minimal de A si no existe x A tal que x m. m A es máximo de A si x A, x m. m A es mínimo de A si x A, m x. El máximo de A, se nota I y se llama elemento unidad. El mínimo de A, se nota O y se llama elemento cero. 4
Sea S un subconjunto no vacío del conjunto ordenado ( A, ). c A es cota superior de S si x S, x c. c A es cota inferior de S si x S, c x. S está acotado si tiene una cota superior y una cota inferior. s A es supremo (o mínima cota superior) de S si es cota superior de S y cota superior c de S se tiene que s c. i A es ínfimo (o máxima cota inferior) de S si es cota inferior de S y cota inferior c de S se tiene que c i. 5
Ejercicio Representar el diagrama de Hasse del conjunto ordenado (D 48, ) y hallar los maximales y minimales, las cotas superiores e inferiores, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo (si los hay) del subconjunto A = {2, 3, 4, 6, 12} en el conjunto ordenado (D 48, ). Solución cotas superiores de A = {12, 24, 48} cota inferior de A = {1} supremo de A = {12}, ínfimo de A = {1} maximal de A = {12}, minimales de A = {2, 3} máximo de A = {12} y no existe mínimo de A. 6
Definición Si ( A, R ) y ( B, S ) son dos conjuntos ordenados, en el conjunto producto A B se pueden definir dos relaciones de orden: Orden producto: ( a, b ) Prod ( c, d ) a R c y b S d Orden lexicográfico: ( a, b ) Lex ( c, d ) a c y a R c a = c y b S d. Si ( A, R ) y ( B, S ) son dos conjuntos totalmente ordenados, (A B, Lex ) es totalmente ordenado. (A B, Prod ) no es necesariamente totalmente ordenado. 7
Ejemplo Sean (A = {1, 2, 3}, R) y (B = {,,, }, S) conjuntos ordenados según los diagramas de Hasse siguientes entonces 8
Ordenación topológica Si (A, P ) es un conjunto finito ordenado, entonces existe un orden total (A, T ) que lo contiene, es decir, si a P b entonces a T b. Demostración Sean a 1 elemento minimal en A, a 2 elemento minimal en A {a 1 },, a i minimal en A {a 1, a 2,, a i 1 }, Como A es finito, en un número finito de pasos se obtiene un orden total para los elementos de A: a 1 T a 2 T T a i T T a n 9
RETÍCULOS Definición A) Un conjunto ordenado ( L, ) es un retículo si para todo par de elementos a, b L existen sup { a, b } L e inf { a, b } L. 10
Ejemplos 1) (N, ) es un retículo. Sup {a, b} = máx {a, b} inf {a, b} = mín {a, b} 2) (N, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un retículo. Sup {a, b} = mcm {a, b} inf {a, b} = mcd {a, b} 3) Sea D n = { z / z divide a n } (D n, ), donde indica la relación de divisibilidad, es un retículo. Sup {a, b} = mcm {a, b} inf {a, b} = mcd {a, b} 4) ( (S), ) es un retículo. Sup {A, B} = A B inf {A, B} = A B 11
5) Si ( A, R ) y ( B, S ) son retículos, entonces ( A B, Prod ) es retículo sup Prod {(a, b), (c, d)} = (sup R { a, c }, sup S { b, d }) inf Prod {(a, b), (c, d)} = (inf R { a, c }, inf S { b, d }) ( A B, Lex ) es retículo sup Lex {(a, b), (c, d)} = ( sup R { a, c }, inf S { b, d }), si a c ( a, sup S { b, d } ), si a = c inf Lex {(a, b), (c, d)} = ( inf R { a, c }, sup S { b, d }), si a c ( a, inf S { b, d } ), si a = c 12
Definición B) Un retículo es una terna ( L,, ) donde L es un conjunto y, son dos operaciones binarias definidas en L que cumplen las siguientes propiedades: 1. idempotente : a a = a, a a = a 2. conmutativa : a b = b a, a b = b a 3. asociativa : (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) 4. absorción : a (a b) = a, a (a b) = a. 13
Proposición Las dos definiciones anteriores son equivalentes: a b sup { a, b } a b = inf { a, b } La relación entre las operaciones y el orden es: a b a b b a b a 14
Definiciones Un retículo L es acotado si posee elemento máximo y mínimo. Se designa por 1 al elemento máximo y por 0 al mínimo. 1 es el elemento neutro para : x 1 = x, x L 0 es el elemento neutro para : x 0 = x, x L Un retículo ( L,, ) es distributivo si a, b, c L se cumple: a ( b c ) ( a b ) ( a c ) a ( b c ) ( a b ) ( a c ) 15
Ejemplos 1) (D n, ) es retículo acotado y distributivo n. 2) Los siguientes retículos acotados no son distributivos ya que a ( b c ) ( a b ) ( a c ) Teorema Un retículo (L,, ) es no distributivo si y sólo si contiene a uno de los dos retículos del ejemplo anterior 2). 16
Definiciones Sea ( L,, ) un retículo acotado. a L se dice que a L es complementario de a si a a = 1 a a = 0 Un retículo acotado L es complementario si todos sus elementos poseen complementario. Ejemplos 1) ( (S), ) es retículo acotado, distributivo y complementario. 2) (B n ={0, 1} n, PROD ) es retículo acotado, distributivo y complementario. 17
3) (D, ) es retículo acotado, distributivo y complementario. 4) (D, ) es acotado y distributivo, pero no es complementario. 5) Los siguientes retículos acotados, no distributivos, son complementarios, pero el complementario del elemento c no es único.,,,, 18
Teorema Sea ( L,, ) un retículo acotado y distributivo. El complementario de cada elemento, si existe, es único. Definición Un álgebra de Boole es un retículo acotado, distributivo y complementario. George Boole (1815 1864), en Las leyes de la verdad (1854) utiliza el álgebra para tratar expresiones de lógica proposicional. Claude Shannon (1916 2001), en su tesis doctoral demostró cómo utilizar las leyes de la lógica para diseñar circuitos (1938). 19