TEORÍA DE CONJUNTOS. En un libro de COU de 1975 puede leerse la siguiente definición de conjunto: Un conjunto es una colección de objetos, cualquiera que sea su naturaleza. Pregunta 1 Es correcta esta definición? Por qué? Para aclarar las ideas, sea A la colección de todos los números naturales que pueden escribirse con menos de veinte palabras. Como esta colección está formada por una cantidad finita de objetos y éstos son números naturales, pueden ordenarse de menor a mayor. Sea n el mayor de todos ellos. Está claro que n+1 no es un objeto de la colección A. Sin embargo, n+1 es el número natural siguiente al mayor número natural que puede escribirse con menos de veinte palabras, es decir, se acaba de escribir con menos de veinte palabras! (exactamente, con quince). Por tanto, una posible definición correcta de conjunto sería: Definición 2 Un conjunto es una colección de objetos dotados de una propiedad que permita decidir, sin ninguna ambigüedad posible, si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección. Definición 3 Los objetos que forman un conjunto se llaman sus elementos y la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia. Se escribe x A y se lee (el objeto) x pertenece a (el conjunto) A. Un conjunto puede describirse, o bien exhaustivamente (es decir, nombrando a todos sus elementos, que, en tal caso, se escribirán entre llaves), o bien especificando la propiedad que caracteriza a tales elementos, según la Definición 2. Además, un conjunto puede ser finito o infinito, dependiendo de la cantidad de objetos que tenga. Definición 4 Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto de B (en tal caso, se escribe A B y se lee (el conjunto) A está contenido en (el conjunto) B ) si todo elemento de A es elemento también de B. Pregunta 5 Qué propiedades verifica esta relación de inclusión? Si por se denota al conjunto que no tiene ningún elemento (llamado conjunto vacío), es subconjunto de algún conjunto? 1
Definición 6 Dos conjuntos A y B se dice que son iguales y se escribe A = B si cada uno de ellos es subconjunto del otro, es decir, si se verifica que A B y que B A. Por tanto, téngase en cuenta que para probar que dos conjuntos son iguales, será siempre necesario probar que cada uno de ellos está contenido en el otro (dos pruebas). Este proceso se llama prueba por doble inclusión. Pregunta 7 Cuáles son las propiedades de esta relación de igualdad? Un ejemplo muy utilizado lo constituyen los conjuntos cuyos elementos son, a la vez, otros conjuntos. Así, se denota por P(A) al conjunto de las partes del conjunto A, formado por todos los subconjuntos de A, incluyendo el conjunto vacío y el propio A. Pregunta 8 Cuántos elementos tiene P(A)? Dados un conjunto A y un elemento x A, qué relaciones de pertenencia, inclusión o igualdad se dan entre x, {x}, {{x}}, A y P(A)?. Definición 9 Dados dos conjuntos X e Y, una correspondencia entre X e Y es una ley que asigna a elementos de X elementos de Y. Pregunta 10 Dada una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, existe, de manera natural, la correspondencia inversa entre Y y X. Como está definida? Poner algún ejemplo. Definición 11 Una correspondencia f entre X e Y se llama una aplicación y se escribe f : X Y, si verifica que a todo elemento de X se le asigna un elemento y sólo uno de Y. Pregunta 12 Poner algún ejemplo de una correspondencia que no sea una aplicación. Pregunta 13 Dada una aplicación f entre X e Y, es su correspondencia inversa una aplicación entre Y y X? Qué propiedades debe cumplir para que lo sea? En tal caso, se denota por f 1 : Y X y se llama aplicación inversa. Definición 14 Una aplicación entre X e Y se dice que es inyectiva si a elementos distintos de X se le asignan elementos distintos de Y y se dice que es sobreyectiva si todo elemento de Y es asignado a algún elemento de X. Si es ambas cosas, se llama biyectiva. 2
Pregunta 15 Escribir con símbolos las definiciones anteriores. Probar que una aplicación tiene aplicación inversa si y sólo si es biyectiva. Definición 16 Dada una aplicación f : X Y, si A X se puede construir un subconjunto f(a) Y, llamado conjunto imagen (por f) de A mediante f(a) = {f(x)/x A} y, dado un subconjunto B Y, se puede construir un subconjunto f 1 (B) X, llamado imagen inversa o anti-imagen (por f) de B por: f 1 (B) = {x X/f(x) B}. Pregunta 17 Es f(x) = Y? Si la respuesta es negativa, bajo qué condiciones lo es? Dado A X, cuándo es f(a) =? Es f 1 (Y ) = X? Dado B Y, puede ser f 1 (B) =? Dado y Y, tienen sentido f 1 (y) y/o f 1 ({y})? Por qué? Pregunta 18 Dado un subconjunto A X, qué relación de inclusión existe entre A y f 1 f(a)? Probar que son iguales si y sólo si f es inyectiva. Dados un subconjunto B Y, qué relación de inclusión existe entre B y ff 1 (B)? Cuándo son iguales? Definición 19 Dos conjuntos X e Y se dice que tienen el mismo cardinal (o que tienen el mismo número de elementos) si existe una aplicación biyectiva f : X Y. Un conjunto infinito se dice que es numerable si tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales N y se dice que es no numerable si tiene un cardinal mayor. 1 Pregunta 20 Justificar las definiciones anteriores. Probar que el conjunto de los números naturales pares A = {2n/n N} es numerable. Quiere ésto decir que A y N tienen el mismo número de elementos? Qué ocurre con el conjunto de los números naturales impares? Y con el conjunto Z de los números enteros? Definición 21 Dados dos conjuntos A y B, se pueden considerar entre ellos tres operaciones: 1 Es conocido, aunque no es objeto de este problema, que N y el conjunto de los números reales R no tienen el mismo cardinal; de hecho, se sabe que el cardinal de N es estrictamente menor que el cardinal de R. Por tanto, R es un ejemplo de conjunto no numerable. 3
1. La unión A B, dada por: 2. La intersección A B, dada por: 3. La diferencia A B, dada por: Cuadro de propiedades: A B = {x/x A ó x B}. A B = {x/x A y x B}. A B = {x/x A y x / B}. Propiedad Unión Intersección Idempotente A A = A A A = A Con el A = A A = Conmutativa A B = B A A B = B A Asociativa A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Además, se verifican las siguientes dos propiedades distributivas: A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C). Pregunta 22 Probar las propiedades anteriores (por doble inclusión). Pregunta 23 Dados A, B X y f : X Y una aplicación, bajo qué condiciones es f(a B) = f(a) f(b)? Bajo qué condiciones es f(a B) = f(a) f(b)? Responder las mismas preguntas con las anti-imágenes. Definición 24 Dado un conjunto X y A X, se llama complementario de A al subconjunto B X definido por: B = {x X/x / A}. Pregunta 25 Probar que el complementario de A es realmente X A. Cuál es el complementario de X? Y el de? Pregunta 26 Probar que el complementario de la intersección de dos subconjuntos de X es la unión de sus complentarios, es decir, que si A, B X, entonces, X (A B) = (X A) (X B) 4
y que el complementario de la unión de dos subconjuntos de X es la intersección de sus complementarios, es decir: X (A B) = (X A) (X B). Estos dos últimos resultados se conocen con el nombre de Leyes de Morgan. Pregunta 27 Dada una aplicación f : X Y y dados A X y B Y, se da alguna inclusión entre f(x A) y f(x) f(a)? Bajo qué condiciones son iguales? Probar que f 1 (Y B) = X f 1 (B). Sea X un conjunto y A P(X) una familia de subconjuntos de X. En general, tanto X como A serán infinitos. Entonces, A se podrá escribir como {A i /i I}, siendo I un conjunto de índices finito, numerable o no numerable, según el cardinal de A y A i X, para todo i I. Pregunta 28 Cuál de las dos siguientes expresiones es correcta: A i A o A i A? Por qué? Pregunta 29 Describir, dada una familia de subconjuntos de X, A = {A i /i I}, los siguientes subconjuntos de X: A i ; i I A i. Son elementos de A? Enunciar y probar las leyes distributivas para la unión y la intersección de elementos de A. Enunciar y demostrar las leyes de Morgan para los elementos de A. i I 5