EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN APROXIMADA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO 1. Objetivo El objetivo de esta aplicación es ilustrar cómo se pueden integrar las ecuaciones diferenciales de equilibrio, con sus respectivas condiciones de borde, para determinar la distribución de tensiones de corte en elementos estructurales consistentes en barras de momento de inercia variable en forma de cuña (Figura 1). α1 α 2 Figura 1. Elemento estructural en forma de cuña La cuña de la Figura 1 tiene la capacidad de representar el comportamiento mecánico-estructural de diversos elementos estructurales muy corrientes en la ingeniería civil. Algunos de ellos están ilustrados en la Figura 2. Las principales características del elemento en forma de cuña son: 1) Se trata de elementos que pueden ser representados en un plano, es decir en un dominio 2-D. Las caras que definen el borde superior e inferior (o bordes laterales según la aplicación específica) son tales que las tensiones de corte y normal en ambas caras son conocidas. Se trata de bordes normalmente libres, es decir en los que la fuerza distribuida exterior aplicada en un elemento cualquiera de la superficie del borde, denominada con la notación f n, donde n es la normal saliente a la superficie, es igual a cero. También son de interés bordes bajo presión hidrostática, o sometidos al empuje de suelos, en ambos casos con valores conocidos en cada punto del borde. 2) La geometría y fuerzas exteriores actuantes son tales que es posible definir secciones planas en las que se puede aproximar las tensiones normales que actúan sobre ella a través de las expresiones conocidas para las tensiones en vigas prismáticas. Si bien no se trata de verdaderas vigas prismáticas ya que las caras superior e inferior no son en general paralelas como corresponde a un elemento prismático, se considera que las tensiones en dichas secciones son muy próximas a las conocidas expresiones de la teoría de flexión de vigas prismáticas.
Figura 2. Casos típicos de elementos en forma de cuña Los casos más típicos en la ingeniería civil se elementos de estas características son las presas de gravedad de hormigón, los muros de contención de gravedad y las zonas de apoyo de vigas con cartelas que se ilustran en la Figura 2. A continuación se ilustran sólo casos representativos de una presa de gravedad y otras formas de cuñas denominadas Vigas de Corte en los que la naturaleza del problema es similar a la de las vigas con cartelas. 2. Condiciones de borde Considérese un punto genérico en el borde inclinado de la sección transversal de la presa (Figura 3). σ 11 σ 12 σ 21 α σ 22 medio Q σ 21 = σ 21 B medio α σ 21 σ 22 σ = 21 2.Q B σ tanα B 11 σ = = 12 H 2 B σ11 = σ12.tan α = σ22. H σ 21 B tanα σ = = H 22 Figura 3. Sección triangular sometida a presión hidrostática
La fuerza por unidad de superficie en dicho punto es nula ya que se trata de un borde libre, es decir que f n = 0. La condición generalizada de reciprocidad entre los vectores tensión en dos planos ν y µ que pasan por el mismo punto establece que: σ ν. µ = σ µ. ν (1) En el presente caso, si el plano de la superficie libre del borde se designa con µ y se lo define a través de su normal µ, y se designa con ν al plano horizontal definido a través de su normal ν, surge que como σ µ = 0, también deberá ser nulo el producto escalar σ ν. µ, es decir que el vector σ ν debe ser ortogonal al plano µ. De esta manera resulta que la tensión de corte σ 12 en el borde será tal que la resultante de la componente σ 22 con σ 21 sea paralela al borde libre, es decir que: σ 21 = σ 22 tan α (2.1) Con un argumento similar, y teniendo en cuenta que σ 21 = σ 12, resulta que en el mismo punto del borde inclinado se tiene que: σ 11 = σ 12 tan α = σ 22 (tan α) 2 (2.2) Por otro lado, la tensión σ 22 puede ser estimada de una manera aproximada a través de la teoría de flexión de vigas prismáticas: σ 22 = M y / I = 6 M / B 2 (3) en la que M es el momento flector debido a las cargas exteriores en la sección horizontal considerada, y es la distancia del punto considerado al centro de gravedad de la sección ( y = B / 2), e I es el momento de inercia de la sección. Por lo tanto resulta que: σ 21 = σ 22 B / H = 6 M / B H (4) El momento flector M en la sección está dado para la carga hidrostática por: M = Q H / 3 (5) Luego: σ 21 = 6 M / B H = 2 Q / B (6.1) σ 11 = - σ 12 tan α = - 2 Q / H (6.2) La expresión (6.1) indica que la tensión de corte en el borde inclinado σ 12 es igual al doble de la tensión media de corte que habría en la sección si la distribución de tensiones de corte fuera uniforme, es decir el doble que σ medio 21 = Q / B. La expresión (6.2) indica que la tensión normal σ 11 en el borde inclinado es igual al doble de la que se produciría si la fuerza de corte se distribuyera de manera uniforme en el paramento vertical de la sección. Por otro lado, teniendo en cuenta que el esfuerzo de corte Q = γ H 2 / 2, resulta que: σ 21 = 2 Q / B = γ H (H / B) (7.1) σ 11 = - 2 Q / H = - γ H (7.2) La expresión (7.1) indica que la tensión de corte en el paramento inclinado de una presa de gravedad es igual al producto de la presión hidrostática en esa misma cota multiplicada por la
relación (H / B). Valores típicos de la relación (H / B) en presas de gravedad de hormigón se encuentran entre (1 / 0.7) y (1/ 0.8), es decir que la tensión de corte máxima en una sección horizontal cualquiera de la presa es igual a la presión hidrostática en ese mismo nivel multiplicada por un factor entre 1.25 y 1.4. Por otro lado, la tensión de compresión horizontal σ 11 resulta igual a la presión hidrostática en el paramento inclinado, independiente del valor de la relación (H / B). Estos resultados aproximados son únicamente válidos para el caso que la superficie libre del agua coincida con el vértice del perfil triangular. A pesar de esa limitación de los resultados, estos son de interés ya que dan una idea general del estado de tensiones en una presa debido a la presión hidrostática, como así también una aproximación a la distribución general de tensiones de corte en el interior de la sección, que como se podrá apreciar más adelante es bastante diferente de la parábola simétrica típica de vigas prismáticas. Por otro lado, la tensión de corte σ 21 en el paramento vertical en el que actúa la presión hidrostática es nula, y la tensión horizontal es σ 11 = γ H. De este resultado surge que la tensión horizontal σ 11 en ambos paramentos es igual a la presión hidrostática. 3. Integración aproximada de las ecuaciones de equilibrio Con las condiciones de borde definidas en la sección anterior se ha completado la formulación del problema y se está en condiciones de intentar abordar la solución de las ecuaciones diferenciales de equilibrio para determinar la variación de las tensiones σ 11 y σ 21 en el interior del cuerpo de la sección. Para el caso de fuerzas másicas F nulas, las ecuaciones diferenciales de equilibrio son: σ 11 / x 1 + σ 21 / x 2 = 0 (8.1) σ 12 / x 1 + σ 22 / x 2 = 0 (8.2) Ahora se procede a encontrar una solución aproximada de la ec.(8.2) a través de un proceso de integración en el que σ 22 es conocido en el interior de la sección según la teoría de flexión de vigas. En la solución aproximada de la teoría de vigas prismáticas la tensión σ 22 varía linealmente en función de x 1, por lo cual de la ecuación (8.2) surge que la variación de σ 21 sería cuadrática en x 1 si se simplifican las expresiones y se supone en el cálculo del término σ 22 / x 2 que las tensiones dependen exclusivamente de la variación del momento flector respecto a x 2, y que el momento de inercia I y el ancho se la sección B es independiente de x 2. De esta manera σ 22 / x 2 resulta con una variación lineal en x 1, y por integración de la ec. (8.2) se justifica proponer para las tensiones de corte una expresión parabólica de la forma: σ 21 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 (9.1) Las condiciones de borde de σ 21 son: En x 1 = 0: σ 21 = 0 (9.2) En x 1 = B: σ 21 = γ H (H / B) (9.3) De las ecs. (9.1) y (9.2) surge que a 0 = 0. Además se deben cumplir la ec.(9.3) y la condición global de equilibrio de fuerzas horizontales por encima de la sección considerada: σ 21 = 2 Q / B = γ H (H / B) = a 1 B + a 2 B 2 (10.1)
De estas ecuaciones surge que: Q = σ 21 dx 1 = a 1 B 2 / 2 + a 2 B 3 / 3 (10.2) a 1 = 2 Q / B 2 (11.1) a 2 = 0 (11.2) En definitiva, las tensiones de corte resultan con una variación lineal a lo ancho de la sección horizontal, desde cero en el paramento mojado (vertical) hasta un máximo en el paramento seco. Tal como ya se señaló en la sección anterior, el valor medio de la tensión de corte en la sección resulta igual a la mitad del valor máximo. Para resolver en forma aproximada la ec.(8.1) se puede apreciar en las ecs. (10.1),(11.1) y (11.2) que σ 21 es tal que: De la ec.(8.1) surge que:, de la cual resulta: σ 21 / x 2 γ 2 H x 1 / B 2 (12.1) σ 11 / x 1 = - σ 21 / x 2 = γ 2 H x 1 / B 2 (13) σ 11 (σ 11 ) x1 = 0 + γ H x 1 2 / B 2 = - γ H [ 1 - (x 1 /B) 2 ] (14) Se puede apreciar que el valor de σ 11 para x 1 = B resulta igual a cero en la ec.(14), mientras que la condición de borde, ec.(7.2), su valor resulta igual a - γ H. Esta discrepancia es consecuencia de la aproximación introducida al inicio del presente desarrollo respecto a la variación de σ 22 en el interior de la sección según la teoría de flexión de vigas prismáticas. En otras palabras, la expresión obtenida para σ 11 al integrar la ec.(8.1) no cumple con el valor de la misma anticipado para el paramento inclinado. Las Figuras 4.a, 4.b y 4.c ilustran la variación de las tensiones σ 11, σ 22 y σ 21 en un plano horizontal que corresponde a una altura de 22.5 m (es decir a una profundidad de 77.50 m) sobre la base de un perfil triangular de 100 m de altura total. En las figuras se compara la solución aproximada aquí desarrollada con los resultados de modelos de elementos finitos triangulares y rectangulares con el programa SAP2000 y una malla de 20 m elementos en la altura H. Las líneas en color verde indican los resultados de la solución aproximada aquí desarrollada, mientras que las de color azul y rojo representan los resultados de los modelos de elementos finitos rectangulares y triangulares respectivamente. Estos resultados confirman que la variación lineal de σ 22 adoptada es una buena aproximación, y que las tensiones de corte no siguen exactamente una ley lineal sino algo más parecido a un polinomio de tercer grado. L as tensiones σ 11 no resultan con una ley parabólica ni constante como se obtuvieron a través de las aproximaciones propuestas. De todos modos, estas tensiones no juegan un rol importante en la estabilidad de la presa ya que se trata de tensiones de compresión que son muy inferiores a la resistencia a compresión del hormigón típico que se utiliza en presas de gravedad de hormigón.
Figura 4.a. Distribución de tensiones σ 11 Figura 4.b Distribución de tensiones σ 22 Figura 4.c. Distribución de tensiones σ 21 Estos resultados ponen en evidencia que aún en casos de cargas, geometría y condiciones de borde simples como el aquí considerado, la solución directa de las ecuaciones diferenciales de equilibrio requiere de herramientas especiales, y que las aproximaciones ad hoc como la desarrollada requieren de hipótesis o aproximaciones no siempre fáciles de formular. Una de esas herramientas es la conocida como Función de Tensión de Airy que se analiza más adelante en el curso, y otra más general aún es la que resulta de resolver las ecuaciones diferenciales de equilibrio, ecs. (8.1) y (8.2) expresando a las tensiones en funciones de las deformaciones dando origen a las Ecuaciones de equilibrio en función de los Desplazamientos, también conocidas como las Ecuaciones de Navier. Este procedimiento, conocido como el Método de los Desplazamientos, ha sido aplicado para estructuras de
barras prismáticas en el Curso de Análisis Estructural en forma de ecuaciones algebraicas de equilibrio nodal. Una versión similar a esa será desarrollada más adelante en el presente curso a través del Método de Elementos Finitos. Una solución similar puede obtenerse para otros estados de carga. Supóngase que el diagrama de presión en el paramento vertical no es lineal sino que es tal que la posición en altura de la resultante de las cargas exteriores Q no está a H/3 sino a un valor menor, por ejemplo H/6, como se ilustra en la Figura 5. Figura 5. Ejemplo de una carga con resultante por debajo del tercio de la altura En este caso, las condiciones de borde de tensión (2.1) y (2.2) responden a la misma expresión general, pero expresadas en función de Q son: σ 21 = σ 22 tan α = (Q H / 6) (6 /B 2 ) (B/H) = Q / B (15) Sobre la base de los mismos argumentos expuestos en el caso anterior, se adopta una expresión parabólica para la distribución de tensiones de corte en la sección, y las condiciones para determinar las constantes son ahora: Q / B = a 1 B + a 2 B 2 (16.1) Q = σ 21 dx 1 = a 1 B 2 / 2 + a 2 B 3 / 3 (16.2) De ahí resulta: a 1 = 4 Q / B 2 (17.1) y a 2 = - 3 Q / B 3 (17.2) Para x 1 = B resulta: σ 21 = Q / B 2 [4 x 1 3 (x 1 ) 2 / B] (18) Se puede apreciar que a diferencia del caso de presión hidrostática, la distribución de tensiones de corte es ahora parabólica y presenta un máximo en el interior de la sección. (Figura 6)
Figura 6. Tensiones de corte σ 21 para el caso de presión con resultante a H/6 Si en lugar de tener M = Q H / 6 como se propuso en el ejemplo anterior se tuviera que M = Q H / n, donde n es cualquier número positivo, la ec.(15) daría que la tensión de corte: σ 21 = σ 22 tan α = (Q H / n) (6 /B 2 ) (B/H) =6 Q / n B, es decir que la tensión de corte en el paramento inclinado resulta inversamente proporcional a n, y la parábola tiende a la solución de la distribución de corte en una viga de caras paralelas para valores altos de n, con un máximo al centro igual a 1.5 veces el valor medio de la tensión de corte en la sección. 3.1 Viga de corte Un caso interesante es el de una cuña en la que ambas caras o paramentos son inclinados. Si por simplicidad se supone que ambas caras tienen la misma inclinación α respecto a la vertical y si las cargas exteriores son tales que el momento flector es igual a Q H / 3 como en el ejemplo anterior, las tensiones de corte en ambas caras de la sección estarán dadas por la ec.(2.1): σ 21 = σ 22 tan α = 6 M / B 2 tan α = (6 Q H / 3 B 2 ) (B / 2H) = Q / B Si bien este resultado es para una posición de la resultante equivalente a la de una presión hidrostática (H / 3), no corresponde a una presión hidrostática en el paramento (supuesta igual a cero) sino a una fuerza másica típica de las solicitaciones sísmicas en una presa de tierra o escollera. A través de un análisis similar al realizado para la sección con una cara vertical, la parábola de segundo grado se reduce a una constante a 0 = Q / B, y las otras dos constantes a 1 y a 2 son nulas. Este resultado indica que las tensiones de corte de la cuña se distribuyen de una manera uniforme en la sección transversal. Este tipo de cuña es muy utilizado para representar el comportamiento de una presa de tierra o de escollera, y se lo conoce genéricamente como una Viga de corte en la que las tensiones de corte son uniformes en una sección transversal. Esta es una solución aproximada de amplia aplicación en la ingeniería sísmica de presas de tierra o escollera, de ahí su interés de traerlo como ejemplo en este curso.
4. Solución aproximada de otros problemas relacionados 4.1. Problema 1 Se propone al lector resolver con la técnica aproximada desarrollada para en caso de presión hidrostática el mismo perfil triangular de 100 m de altura y 75 m de base sometido a una presión uniforme de 50 t/m 2 en el paramento vertical; en este caso la resultante del esfuerzo de corte Q se encuentre a H/2. A los efectos de ilustrar los resultados esperables en las Figuras 7.a, 7.b y 7.c se presenta la distribución de tensiones σ 11, σ 22 y σ 21 obtenidas para este ejemplo con un modelo de elementos finitos para una sección horizontal ubicada a 77.5 m por debajo del vértice superior de la sección. Figura 7.a. Distribución de σ 11 Figura 7.b. Distribución de σ 22
Figura 7.c. Distribución de σ 21 4.2 Problema 2 En las Figuras 8.a, 8.b y 8.c se ilustran las tensiones en una sección horizontal a 77.5 m del vértice para el caso de una carga distribuida de variación lineal en el paramento vertical, desde un valor máximo en el vértice superior igual a 100 t/m 2, hasta un valor nulo en la base. Este tipo de carga es utilizado en las aplicaciones prácticas de la ingeniería como una aproximación al empuje de suelos que se genera en el contacto de un muro de contención debido a una acción sísmica horizontal. Figura 8.a. Distribución de σ 11
Figura 8.b. Distribución de σ 22 Figura 8.c. Distribución de σ 21 Los presentes resultados ilustran que las tensiones σ 22 no presentan una distribución tan próxima a la lineal como el caso de la presión hidrostática, y por lo tanto la propuesta de aproximación para las condiciones de borde de las tensiones en el primer ejemplo no son tan válidas como resultaron en ese caso. 5. Conclusiones Los ejemplos de solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de equilibrio a partir de ciertas hipótesis sobre la distribución de algunas componentes del campo de tensiones pueden resultar en soluciones de interés práctico para aplicaciones específicas de la ingeniería. Sin embargo, dichas soluciones constituyen una aproximación a la verdadera distribución de tensiones cuya validez está condicionada por la veracidad de dichas hipótesis. Para el caso de la sección triangular sometida a presión hidrostática típica de presas de gravedad de hormigón, la distribución de tensiones es razonablemente próxima a la obtenida con otras técnicas de solución más consistentes. La solución consistente de una gran variedad de problemas elásticos requiere de técnicas numéricas que encaran la solución de todas las ecuaciones que gobiernan el problema. Entre dichas técnicas, se encuentra por un lado el uso de la Función de Tensión de Airy que permite cumplir en forma exacta las ecuaciones de equilibrio en problemas en dos dimensiones, y la técnica de Elementos Finitos que encara la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos.