SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA ETAPA FINAL "VIII EDICIÓN DE LAS OLIMPIADAS DE LA SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA" Soluciones Segundo Nivel Infantil 21 de mayo de 2011 1. El resultado de la siguiente operación 4 15 15 2 + 2 3 9 4 es: a) menor que 7/3 b) mayor que 1/2 c) igual a 13/6 d) Todas las anteriores e) Ninguna Solución. La respuesta correcta es la opción b), pues: y 4 15 15 2 + 2 3 9 4 = 2+ 3 2 = 7 2, 7 2 > 7 3, 7 2 > 1 2, 7 13 = 2 6. 2. Se sabe que una cancha para baloncesto puede ser construida por 10 albañiles, que trabajan en forma idéntica, en 30 días. Cuántos días les tomaría construir 4 canchas a 15 albañiles? a) 60 b) 75 c) 85 d) 90 e) Ninguna Solución. La respuesta correcta es la opción e). En efecto, un albañil, en un día, contribuye con la construcción de 1 10 30 = 1 300 parte de la cancha. Por lo tanto, 15 albañiles, en un día, contribuirán con la construcción de 15 1 300 = 1 20 parte de la cancha. Luego, 15 albañiles construirán una cancha en 20 días, de donde se colige que 4 canchas serán construidas en 80 días por 15 albañiles. 3. En la figura, el número que debe escribirse en una casilla en blanco se calcula al restar del número que debe estar en la casilla inferior el número que debe estar en la casilla de la derecha. Qué número debe ser escrito en la casilla sombreada? 3 2 0 3 5 3 1
a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) Ninguna Solución. La respuesta correcta es la opción c) como se muestra a continuación: 3 2 2 0 3 5 4 2 3 9 6 5 15 11 26 4. Cuántos grados mide el ángulo formado por las dos líneas de color rojo en el cubo? a) 45 b) 60 c) 90 d) 120 e) Ninguna Solución. La respuesta correcta es la opción b). En efecto, si se unen los extremos no comunes de los segmentos de color rojo mediante una recta (de color azul y entre-cortada), se obtiene un triángulo equilátero, pues los tres lados son las diagonales de tres caras del cubo que son cuadrados cuyos lados son todos de la misma longitud. Por lo tanto, el ángulo que forman las líneas de color rojo mide 60 grados. 5. Cuál es el menor número de baldosas rectangulares de 30 centímetros de largo por 10 centímetros de ancho que se necesitan para cubrir un piso cuadrado de tres metros y medio de lado? Se permite hacer cortes a las baldosas. a) 409 b) 385 c) 400 d) 410 e) Ninguna 2
Solución. Para cubrir un piso de 3.30 m de base y 3.50 m de altura, se necesitan 35 filas de 11 baldosas cada una; es decir, se requieren 385 baldosas. De la parte restante, un rectángulo de 20 cm centímetros de base y 3.50 m de altura, con 22 baldosas se puede cubrir una superficie de 20 cm de base y 3.30 m de altura. Finalmente, para cubrir el cuadrado de lado 20 cm que falta, se requieren 2 baldosas más; una o la dos deberán ser cortadas. En total, se requieren 409 baldosas. 6. Para comprar un obsequio para tu mamá por el Día de las Madres, dispones de monedas de todas las denominaciones. Hay tantas monedas de diez centavos como de uno, el doble que las de veinticinco, dos menos que las de cinco y seis más que las de cincuenta centavos. Además, tienes tres monedas de un dólar. De cuánto dinero dispones si hay diez monedas de diez centavos? Solución. En la siguiente tabla se resume la cantidad de dinero que hay por cada tipo de moneda: Tipo de moneda Cantidad Dinero en dólares 1 centavo 10 0.10 5 centavos 12 0.60 10 centavos 10 1.00 25 centavos 5 1.25 50 centavos 4 2.00 1 dólar 3 3.00 Dispones de siete dólares con noventa y cinco centavos. 7. Un coleccionista tiene 9 piezas iguales. Se le informa que una de ellas es falsa y que pesa menos que las otras. Dispones de una balanza como la que se muestra a continuación: 7.95 pero no dispones de pesas. Identifica la pieza falsa haciendo únicamente dos pesadas. Solución. Se procede de la siguiente manera: (a) Se agrupan las 9 piezas en grupos de 3. (b) Se toman al azar dos grupos y se colocan, uno en un plato de la balanza y el segundo, en el otro plato. Si pesaran lo mismo, en el tercer grupo de piezas se encontraría la falsa. Si no pesaran lo mismo, la pieza falsa estaría entre las piezas del grupo que se encuentra en el plato que habrá descendido en la pesada. En cualquier caso, con esta primera pesada, se identifica el grupo de piezas que contiene a la falsa. (c) Se toman al azar dos piezas del grupo que contiene a la falsa, una de ellas se coloca en uno de los platos, y la segunda pieza, en el otro plato. Si pesaran lo mismo, la tercera pieza es la falsa. En el caso contrario, la pieza falsa estará en el plato que habrá descendido en la segunda pesada. 8. Julia Flores es la mamá de Ariel, y usó el siguiente método para crear su clave secreta de acceso a su computadora: (a) Escribió su nombre y apellido juntos, sin dejar ningún espacio, y bajo cada letra, de izquierda a derecha, escribió números consecutivos empezando desde el cero: 3
j u l i a f l o r e s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (b) El primer símbolo del código es la letra de su nombre que se corresponde con el primer número primo, el segundo símbolo es la letra que se corresponde con el segundo número primo, y así, sucesivamente, hasta agotar los números primos que se corresponden con su nombre. Ya que entre 0 y 10 hay cuatro primos: 2, 3, 5 y 7, los primeros símbolos de la clave de la mamá de Ariel son: lifo (c) Finalmente, se completa la clave escribiendo las letras del nombre aún no usadas en el orden original. Entonces, el código de la mamá de Ariel es: lifojualres El padre de Ariel utilizó el mismo método para crear su clave de acceso a su computadora; descubre cómo se llama si su clave es isenoalalufrandmntil Solución. El código del papá de Ariel tiene 20 letras; entonces, son 8 los números primos utilizados en la codificación, y son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Debes tomar, entonces, las ocho primeras letras (desde la izquierda) del código isenoalalufrandmntil y colocar, cada una, en la posición que indican los ocho números primos, respectivamente: - - i s - e - n - - - o - a - - - l - a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Finalmente, coloca las letras restantes del código, en el mismo orden, en los lugares vacíos, empezando desde la izquierda: l u i s f e r n a n d o m a n t i l l a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 El nombre del papá de Ariel es Luis Fernando Mantilla. 9. La siguiente tabla contiene una sola vez cada uno de los números entre 1 y 9. Observa que la suma de los números en las filas, en las columnas y en las diagonales dan 15. 4 9 2 4+9+2 = 15 3 5 7 3+5+7 = 15 8 1 6 8+1+6 = 15 4+3+8 = 15 9+5+1 = 15 2+7+6 = 15 La tabla que se muestra a continuación tiene una propiedad: dos números colocados en una de las dos diagonales (las que están rayadas), simétricamente en relación al centro, suman 37. Por ejemplo, los números 36 y 1 están colocados en una diagonal simétricamente en relación al centro; y, como puedes ver, 36 + 1 = 37. Utilizando los números del 2 al 18 (una sola vez cada número), completa la tabla de modo que todas las filas y todas las columnas sumen 111. 4
32 20 29 30 31 24 1 22 34 27 28 21 33 25 36 19 23 35 26 Solución. Como se muestra en la figura: 11 32 20 17 2 29 30 31 18 24 1 7 9 3 16 22 34 27 28 4 15 21 33 10 25 36 19 13 6 12 8 5 23 14 35 26 10. Un vendedor de flores tiene 21 rosas, de las cuales, 10 son rojas, 7, amarillas y 4, blancas. El día de hoy ha decidido vender únicamente dos tipos de ramos; el primero, formado de tres rosas, cada una de un color diferente; el segundo, también de tres rosas, pero todas del mismo color. Tipo 1 Tipo 2 El precio de cada ramo de tipo 1 cuesta 1 dólar; del tipo 2, 50 centavos. Cuántos ramos de cada tipo deberá elaborar el vendedor con las 21 rosas que tiene para obtener la mayor cantidad de dinero si vendiera todos los ramos? Solución. Elaboramos primero la mayor cantidad de ramos del precio mayor; es decir, los de las tres rosas de color diferente, y que se venden a 1 dólar cada uno. De este tipo podemos hacer 4. Nos quedan, entonces, 6 rosas de color rojo, con las cuales se pueden hacer dos ramos de 50 centavos cada uno; y 3 rosas de color amarillo, con lo que se obtiene un ramo más de 50 centavos. En resumen, si se elaboran 4 ramos de 1 dólar cada uno y 3 de 50 centavos, se obtiene la ganancia mayor. Nota adicional: No siempre la estrategia de producir la mayor cantidad posible de los ramos más caros conduce a la solución óptima. Por ejemplo, si tuviéramos 9 rosas rojas, 6 amarillas y 4 blancas, y si cada ramo del tipo 2 se vendiera a 60 centavos (en lugar de 50 centavos), al repetir 5
el procedimiento anterior formaríamos 4 ramos del tipo 1 y con las flores restantes podríamos producir un ramo del tipo 2, con rosas de color rojo. Nos sobrarían 2 rosas rojas y 2 amarillas, y nuestra utilidad total sería de 4 1+0.60 = 4.60. Si, por el contrario, formamos solamente 3 ramos del tipo 1, con las flores restantes podríamos hacer 2 ramos de rosas rojas y 1 ramo de rosas amarillas. Nos sobraría en este caso 1 rosa blanca, y la utilidad de la solución sería mayor: 3 1+3 0.60 = 4.80. Con algunas decenas de rosas, más colores y más tipos de ramos, el problema se torna muy difícil! Problemas de este tipo constituyen un campo de actualidad en la investigación matemática, conocido como optimización combinatoria. 6