ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO ROBBILIDD Definiciones: - Experiencia leatoria: es aquella cuyo resultado depende del azar: lanzamiento de un dado, una moneda, extraer una bola, una carta, etc. - Espacio Muestral: E es el conjunto de todos los resultados posibles de una experiencia aleatoria. En el lanzamiento de un dado Ε {,,3,4,5,6 }. En el lanzamiento moneda Ε { C, } - uceso. Es cualquier subconjunto de E. En el lanzamiento de un dado: sacar un nº par, sacar un múltiplo de 3, sacar un ó 6 son sucesos. Los elementos de E son los ucesos Elementales. es el suceso imposible: Nunca ocurre. E es el suceso seguro: iempre ocurre. - Operaciones con ucesos: UNIÓN: B INTERECCIÓN: B DIFERENCI: B - Complementario de es el suceso E-, también se llama contrario de y se verifica cuando no se verifica. - ucesos Incompatibles: y B se dicen incompatibles si B. ropiedades de las Operaciones con ucesos: robabilidad: DITRIBUTIV: B C B C B C B C DE IMLIFICCIÓN: B B COMLEMENTRIO: B B B B B B El resultado de una experiencia aleatoria depende del azar: no puede predecirse. in embargo, si repetimos la experiencia N veces, cuando el número de repeticiones tiende a infinito N, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima a un número al que llamaremos probabilidad de.
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO lim f N r f Ley de los Grandes Números N lim N La probabilidad es una función tal que a cada suceso le hace corresponder un número y que debe cumplir los siguientes: XIOM: 0 para cualquier suceso i B B B E Cualquier función que cumpla estos axiomas se dice que es una función de probabilidad. demás, se cumplen los siguientes Teoremas:.. 0 3. i B B B 4. i B B 5. i,,... K son sucesos incompatibles dos a dos... K... K 6. En general, B B B 7. i E es un espacio muestral finito y un suceso { x, x,..., x k } entonces, x x... x k En la práctica, para asignar la probabilidad a un suceso: - e repite la experiencia un número elevado de veces y se toma un valor aproximado de la frecuencia relativa o bien, - i todos los sucesos son equiprobables, puede aplicarse la Ley de Laplace : nº de. casos. favorables. a. nº de. casos. posibles Experiencias compuestas: on las formadas por varias experiencias simples: Ejemplos: ueden ser: - Lanzar una moneda y un dado - Lanzar dos dados lanzar uno y luego el otro. - Extraer dos cartas de una baraja: Con reemplazamiento: extraer una carta, devolverla y extraer otra. in reemplazamiento: extraer una carta y, sin devolverla, extraer otra. Es igual que sacar dos cartas a la vez.
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO Experiencias Independientes: El resultado de una no influye en la otra. La probabilidad de que ocurra en la primera y en la segunda se calcula: en ª y en ª en ª. en ª Ejemplos: robabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga un 6 en el primero y par en el segundo: 6 en º y par en º 6 en º. par en º 6 robabilidad de que al extraer con reemplazamiento dos cartas de una baraja sean dos ases: s en ª y s en ª s en ª. s en ª 4 40 4 40 00 Experiencias Dependientes: El resultado de una influye en la otra. La probabilidad de que ocurra en la primera y en la segunda se calcula: en ª y en ª en ª. en ª suponiendo que ocurrió ª Ejemplo: robabilidad de que al extraer, sin reemplazamiento, dos cartas de una baraja sean dos ases: s en ª y s en ª s en ª. s en ª suponiendo que la ª fue 4 3 40 39 30 robabilidad condicionada: Dados dos sucesos y C, se llama probabilidad de condicionada a C y se escribe C a la probabilidad de que ocurra el suceso a sabiendo que ha ocurrido el suceso C. Mide la proporción de veces que ocurre de entre las veces que ocurre C. C C Es decir: C C C C o bien C C Definición: Dos sucesos y C son independientes si C y C C. Luego, para los sucesos independientes será: C C robabilidad total: Dados n sucesos incompatibles dos a dos y tales que su unión sea el espacio muestral: Es decir: φ y... n E i j ara cualquier suceso se cumple que :
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO... n n robabilidad Total en el caso de pruebas sucesivas: Consideramos dos etapas: En la primera etapa pueden darse n posibilidades diferentes:,,...n, incompatibles dos a dos. Es decir, si ocurre una no ocurre la otra. El suceso es una de las posibilidades de la segunda etapa. ª Etapa ª Etapa... n n robabilidad a posteriori: Fórmula de Bayes. En las mismas condiciones de pruebas sucesivas, como resulta:... n n i i i El teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades a posteriori. 3 4 n n n
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO. Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos y independientemente uno del otro. El programa detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0,9 y el programa detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0,8. Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? 0,0.. En un colegio el 4 % de los chicos y el % de las chicas miden más de 75 cm de estatura. demás, el 60 % de los estudiantes son chicas. i se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 75 cm, cuál es la probabilidad de que el estudiante sea chica?. 0,7. 3. Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma: Cada uno lanzará el dado a lo sumo una vez. i el primero en lanzar saca un 6, gana y se acaba la partida; si no saca un 6, lanza el segundo, que gana si obtiene un cuatro o un cinco, acabando la partida. i tampoco gana éste, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene 3, dos o uno y, aunque no gane el tercero, la partida se termina. Halla la probabilidad que tiene cada uno de ganar y la probabilidad de que la partida se termine sin ganador. La probabilidad de que gane el º es 6, la del º 58 y la de que gane el 3º 58. La probabilidad de que no gane ninguno es de 58. 4. Una fábrica dispone de tres máquinas, y 3 que fabrican tornillos. e sabe que la máquina produce un % de tornillos defectuosos, la máquina un 3 % y la máquina 3 un %. La máquina produce el 5 % del total de unidades, la máquina el 40 % y la máquina 3 el 35 %. l cabo de un día se toma un tornillo al azar de la producción total y se pide: a Calcula la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso. 0,05. b i ha resultado ser defectuoso, calcula la probabilidad de que pertenezca a la máquina. 0,56 5. En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3 pares de calcetines blancos y 4 pares de calcetines rojos; en otro cajón guarda 4 corbatas blancas, rojas y azules. ara vestirse saca al azar del primer cajón un par de calcetines y del segundo una corbata. Halla la probabilidad de que los calcetines y la corbata sean del mismo color. 54 6. Una comisión delegada de cierto ayuntamiento está formada por 0 concejales de los cuales 5 pertenecen al partido, 4 al B y al C. e eligen tres personas al azar y sucesivamente de dicha comisión. a Calcula la probabilidad de que las tres pertenezcan al partido. b Calcula la probabilidad de las tres pertenezcan al partido C. 0 7. e estima que la probabilidad de que un jugador de balonmano marque un gol al lanzar un tiro de siete metros es del 75 %. i en un partido le corresponde lanzar tres de estos tiros, calcula: a La probabilidad de marcar un gol tras utilizar tres lanzamientos. 0,4065 b La probabilidad de marcar dos goles tras realizar los tres lanzamientos. 0,4875 c La probabilidad de marcar tres goles tras realizar los tres lanzamientos. 0,4875 d La probabilidad de marcar sólo en el primer lanzamiento. 0,046875 8. El 70 % de los estudiantes aprueba una asignatura y un 60 % aprueba otra asignatura B. abemos, además, que un 35 % del total aprueba ambas. a Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar apruebe la asignatura B, supuesto que ha aprobado la. b Calcula la probabilidad de que dicho estudiante apruebe la asignatura B, suponiendo que no ha aprobado la. 0,83
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO 9. En una rifa con 500 papeletas, 75 tienen un premio de 00 euros, 50 tienen un premio de 5 euros y 75 un premio de 0 euros. Elegida una papeleta al azar, calcula la probabilidad de que: a e obtenga un premio de 5 euros. 30 b e obtenga un premio menor de 00 euros.70 0. ean y B dos sucesos tales que 0,60, B 0,5 y B 0,55. Calcula B. 0,9ç. De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada 3 disparos, y el otro consigue 3 dianas de cada 4 disparos. i los dos disparan simultáneamente, calcula: a La probabilidad de que los dos acierten. b La probabilidad de que uno acierte y el otro no. 5 c La probabilidad de que ninguno acierte. d La probabilidad de que alguno acierte.. En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. e saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que: a La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. 38 63 b La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca. 95 3. Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 40 páginas, el segundo 00, el tercero 50 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el % del tercero tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores. a Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? 70 b upongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? 67 4. Un examen consta de una parte teórica y una parte práctica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0.7 y la de que se apruebe la parte práctica es 0.75. e sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. a Calcula la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. 0,95 b Calcule la probabilidad de aprobar la parte práctica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. 0,833 c on independientes los sucesos aprobar parte teórica y aprobar parte práctica? on dependientes 5. edro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, edro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. i se selecciona un día del año al azar, a Cuál es la probabilidad de que edro no haya cogido el paraguas? 0,578 b Cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día edro ha cogido el paraguas? 0,98 6. Una compañía aseguradora realiza operaciones de seguros médicos y de seguros de vida. El 0% de las operaciones corresponde a seguros médicos y el resto a seguros de vida. El porcentaje de operaciones en las que no se producen
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO retrasos en los pagos es del 0% en los seguros médicos y del 5% en seguros de vida. a Halle el porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos. 4 % b De las operaciones que han sufrido retrasos en los pagos, qué porcentaje corresponde a los seguros de vida? 79 % 7. En el departamento textil de unos grandes almacenes se encuentran mezcladas y a la venta 00 camisetas de la marca, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que una marca tenga tara es 0,0 para la marca ; 0,0 para la marca B y 0,03 para la marca C. Un comprador elige una camiseta al azar. a Calcula la probabilidad de que la camiseta tenga tara. 0,07 b Calcula la probabilidad de que la camiseta sea de la marca B. 0,3 c abiendo que la camiseta elegida tiene tara, cuál es la probabilidad de que sea de la marca B? 0,35 8. De los turistas que visitaron sturias el año pasado, el 5 % eran españoles y viajaban en avión. demás se sabe que un 0 % eran extranjeros y que el 5 % de los que viajaron en avión eran españoles. a i se selecciona un turista al azar, cuál es la probabilidad de que haya viajado en avión? 0, b i seleccionamos un turista al azar entre los extranjeros, cuál es la probabilidad de que haya viajado en avión? 0,75 9. En su primer año de carrera, las probabilidades que un alumno tiene de aprobar las tres asignaturas más difíciles, B y C, son de 7, 4 9 y 3, respectivamente. a Cuál es la probabilidad que tiene de suspender las tres? 0,6 b Cuál es la probabilidad que tiene de suspender solo una de las tres asignaturas? 0,4 c Cuál es la probabilidad de aprobar al menos una? 0,74 0. egún un estudio, el 40 % de los hogares europeos tienen contratado acceso a Internet, el 33 % tiene contratada televisión por cable y el 0 % disponen de ambos servicios. a i elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, cuál es la probabilidad de que tenga acceso a Internet? 0,6 b e selecciona un hogar europeo al azar. Cuál es la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos servicios? 0,47. ean los sucesos y B, tales que 5 y B. Halla la probabilidad del suceso B sabiendo que y B son independientes. 35. En un instituto se estudian tres modalidades de Bachillerato: Tecnología, Humanidades y rtes. El pasado curso el 5 % de los alumnos estudió Tecnología, el 60 % Humanidades y el 5 % rtes. En la convocatoria de junio aprobó todas las asignaturas el 70 % de los estudiantes de Tecnología, el 80 % de los de Humanidades y el 90 % de los de rtes. i se elige un estudiante al azar del curso pasado de ese instituto: a Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado todas las asignaturas en la convocatoria de junio? 0, b i nos dice que ha aprobado todas las asignaturas en la convocatoria de junio, cuál es la probabilidad de que haya estudiado Humanidades? 0,6 3. e realiza un análisis de mercado para estudiar la aceptación de las revistas y B. Éste refleja que del total de entrevistados que conocen ambas revistas, al 75 % les
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO gusta la revista, al 30 % no les gusta la revista B y sí les gusta la revista y al 5 % no les gusta ninguna de las dos. uponiendo que estos datos son representativos de toda la población y que se ha elegido al azar un individuo que conoce ambas revistas, se pide: a La probabilidad de que le gusten las dos revistas. 0,45 b La probabilidad de que le guste la revista B. 0,55 c i sabemos que le gusta la revista, la probabilidad de que no le guste la revista B. 0,4 4. e quiere hacer un estudio sobre la figuración laboral de los trabajadores en tres sectores de la economía, que denotaremos B, B y B 3. La mitad de los trabajadores pertenece al primer sector B y el resto se reparten a partes iguales entre los otros dos sectores B y B 3. El 8 % de los del sector B, el 4 % de los del sector B y el 6 % de los del sector B 3 están en paro. a Calcula el porcentaje de paro entre los trabajadores de dicho estudio. 6,5 % b Qué porcentaje de los que tienen trabajo pertenecen al tercer sector B 3? 5,3 % 5. Una persona cuida de su jardín pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es 3. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0,5. i el jardín se ha estropeado, cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo? 34 6. Una fábrica produce tornillos niquelados y dorados, siendo el 75% de los tornillos que produce niquelados. El porcentaje de tornillos defectuosos producidos es del 4% para los tornillos niquelados y del 5% para los dorados. e elige al azar un tornillo y resulta no ser defectuoso. Cuál es la probabilidad de que sea niquelado? 0,75 7. En una cierta facultad se sabe que el 5% de los estudiantes suspenden matemáticas, el 5% suspenden química y el 0% suspenden matemáticas y química. e selecciona un estudiante al azar. a Calcular la probabilidad de que el estudiante no suspenda química ni matemáticas. 0,7 b i sabemos que el estudiante ha suspendido química, cuál es la probabilidad de que suspenda también matemáticas? 0,6667 8. Los gerentes de unos grandes almacenes han comprobado que el 40% de los clientes paga sus compras con tarjeta de crédito y el 60% restante lo hace en efectivo. hora bien, si el importe de la compra es superior a 00 euros, la probabilidad de pagar con tarjeta pasa a ser 0,6. i además sabemos que en el 30% de las compras el importe es superior a 00 euros, calcular: a robabilidad de que un importe sea superior a 00 euros y sea abonado con tarjeta. 0,8 b robabilidad de que un importe sea superior a 00 euros, sabiendo que fue abonado en efectivo. 0, 9. En una ciudad se publican dos periódicos, el periódico y el periódico B. La probabilidad de que una persona lea el periódico es 0,, la probabilidad de que una persona lea el periódico B es 0, y la probabilidad de que lea ambos es 0,0. a Calcular la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. 0,0 b Calcular la probabilidad de que una persona lea sólo un periódico. 0,6. 30. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.. i éste se produce, la probabilidad de que la
ROBBILIDD TEORÍ Y EJERCICIO alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haber peligro es 0.03. Hallar: a robabilidad de que habiendo funcionado la alarma no haya habido peligro. 0, b robabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione. 0,005 3. Dos urnas y B contienen bolas. La tiene 4 bolas rojas, verdes y 3 negras. La B tiene 3 rojas, blancas y 4 negras. De una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta. i la carta extraída es un oro o una figura, se extrae una bola de la urna. En caso contrario la bola se extrae de la urna B. Cuál es la probabilidad de que al realizar este proceso se obtenga una bola negra? 0,39 b er médico pero no biólogo. 0,35 c Tenga una especialidad distinta a las anteriores. 0, 35. obre la mesa tengo tres cajas con botones; la primera tiene 5 botones, la segunda 7 y la tercera 8, pero en cada una de ellas hay un único botón negro. i elijo al azar una caja y saco de ella un botón: a Cuál es la probabilidad de que sea un botón negro? 0,5595 b i he sacado un botón negro, cuál es la probabilidad de que sea el de la primera caja? 0,4748 3. En una urna,, hay tres bolas rojas y dos blancas y en otra, B, hay 6 rojas, blancas y negras. e lanza un dado correcto y si sale un número par se saca una bola de la urna, mientras que si sale un número impar, la bola se elige de la urna B. a Cuál es la probabilidad de que se obtenga una bola blanca? 0,3 b Cuál la de que se obtenga una negra? 0, 33. En una urna hay 4 bolas iguales con las letras O, H, y L. e extraen sucesivamente las cuatro bolas. Calcula la probabilidad de que formen la palabra HOL en los siguientes casos: a Devolviendo las bolas a la urna. 0,004 b in devolverlas. 0,04 34. En un centro de investigación genética el 55 % de los investigadores son médicos, el 55 % biólogos y el 0 % tiene ambas especialidades. i se selecciona un investigador al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a er médico o biólogo. 0,9