Esfuerzo de Corte en Elementos Uniaxiales. Introducción Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones tangenciales en la sección transversal de una viga debido a la acción de fuerzas cortantes transversales. Se considera además, el problema relacionado con vigas de secciones armadas con partes longitudinales unidas entre si por tornillos, pegamento, o soldadura. El estudio que se realiza en este capítulo, sólo se limita al análisis elástico de la sección transversal.. Observaciones Preliminares Es importante puntualizar que la fuerza de corte está inseparablemente ligada a una variación del momento de flexión en secciones adacentes de una viga. Entonces, si una fuerza de corte un momento de flexión están presentes en una sección de una viga, un momento de flexión diferente existirá en una sección adacente, aunque la fuerza de corte permanezca constante. Esto conduce al establecimiento de las tensiones de corte sobre los planos longitudinales imaginarios que son paralelos al eje del miembro. Por lo tanto, como en un punto del sólido existen tensiones de corte iguales sobre planos mutuamente perpendiculares, quedarán determinadas las tensiones de corte cua dirección coincide con la de la fuerza de corte en una sección. Considerar la viga simplemente apoada mostrada en la Fig., en conjunto con sus respectivos diagramas de momento de flexión fuerza (esfuerzo) de corte. Del equilibrio de momento se obtiene la relación entre la variación del momento de flexión esfuerzo de corte para una longitud diferencial dx de la viga. Esta relación tiene la forma siguiente dm Vdx o dm V () dx
P P Diagrama de momento de flexión dx a + P a + Pa - P Diagrama de esfuerzo de corte Fig.. Diagramas de fuerza de corte momento flexión para la carga mostrada Antes de proceder con un análisis detallado, puede resultar conveniente analizar la secuencia de fotografías mostrada en la Fig., en que el modelo representa un segmento de una viga I. En la Fig. a, pueden verse bloques que simulan la distribución de tensiones normales causados por momentos de flexión. Se supone que el momento de flexión a la derecha de la sección en maor que el de la izquierda. Este sistema de fuerzas está en equilibrio siempre que las fuerzas de corte verticales V (no mostradas) actúen también sobre el segmento de viga. Separando el modelo a lo largo de la línea neutra se obtienen dos partes separadas del segmento de viga, tal como se muestra en la Fig. b. Cada segmento de viga debe estar en equilibrio. Si estos segmentos de viga estuviesen conectados por un perno, las fuerzas axiales en la parte superior o inferior causadas por los momentos de flexión deben estar en equilibrio por una fuerza en dicho perno. La fuerza horizontal transmitida por el perno, es la necesaria para equilibrar la fuerza axial neta causada por las tensiones de flexión actuando sobre las dos secciones adacentes. La fuerza axial neta se muestra esquemáticamente en la Fig. c, donde suponiendo un momento de flexión cero en la izquierda, sólo las tensiones normales debido al incremento del momento de flexión en el segmento de la viga, tienen que mostrarse actuando sobre la derecha. Si inicialmente esta viga de sección I es considerada de una pieza no requiere de un perno para su fabricación, puede usarse un plano longitudinal imaginario para separar el segmento de viga en dos partes, tal como lo muestra la Fig. d.
Fig.. Modelo del flujo de corte en una sección de una viga I. Aplicando equilibrio en la dirección longitudinal, puede encontrarse el valor de la fuerza neta que debe desarrollarse en el plano de corte imaginario para mantener el equilibrio. Dividiendo esta fuerza entre el área del corte horizontal imaginario, se obtiene la tensión de corte promedio que actúa en este plano. Después de encontradas las tensiones de corte sobre uno de los planos longitudinales, las tensiones de corte en el plano perpendicular a éste de un elemento infinitesimal, también resultan conocidas a que deben ser numéricamente iguales. 3
El proceso descrito es bastante general, dos ilustraciones adicionales de la determinación de las tensiones tangenciales se muestran en las Figs. e f. En la Fig. e se muestra el cálculo de las tensiones de corte en un plano longitudinal ubicado en la conexión del ala con el alma de la viga I. En cambio, en la Fig. e el plano de corte es vertical, lo que permite el cálculo de las tensiones tangenciales en dicho plano. 3. Flujo de Corte Considerar una viga (lineal) elástica formada por varios elementos longitudinales continuos cuas secciones transversales se muestran en la Fig. 3a. El análisis presentado a continuación es válido para una viga de sección transversal arbitraria. Para que esta viga trabaje como un miembro integral, se supone que los elementos longitudinales están sujetos entre sí por medio de pernos verticales. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas perpendiculares al eje de la viga, se muestra en la Fig. 3b. Si el elemento mostrado en la Fig. 3b está sometido a un momento de flexión +M A en el extremo A a +M B en el extremo B, se desarrollan tensiones de flexión que actúan normales a la secciones. Estas tensiones varían linealmente desde los respectivos ejes neutros, en cualquier punto (fibra) a una distancia de eje neutro son - M B /I sobre el extremo B M A /I sobre el extremo A. Se aísla el elemento superior de la sección de la viga, tal como lo muestra la Fig. 3c. Se pueden calcular las fuerzas resultantes longitudinales F A F B en los extremos A B respectivamente, a partir de la distribución de tensiones normales de las áreas sobre cuales éstas actúan. En el extremo B se tiene que M B M BQ F B M B da da (a) I I I A fghj A fghj Q da Afghj (b) A fghj La integral que define a Q (Ec. (b)) es el primer momento o momento estático del área fghj respecto al eje neutro. Por definición, es la distancia del eje neutro al centroide o centro de gravedad del área fghj (A fghj ). 4
Fig. 3. Análisis sobre elementos longitudinales para obtener el flujo de corte en una viga. En forma análoga, basándose en la Fig. 3c, se obtiene el valor de la fuerza normal resultante en el extremo A. Por lo tanto, F A M AQ M A da (3) I I Aabde donde el significado de Q es el mismo que en la Ec. () a que para vigas prismáticas un área fghj es igual al área abde. Para una mejor compresión del significado del valor de Q, la Fig. 4 ilustra la manera de calcular su valor. Si los momentos de flexión en los extremos A B fuesen iguales, se tendría que F A F B los pernos mostrados en la Fig. 3a sólo mantendrían los elementos longitudinales unidos sin resistir ninguna fuerza longitudinal conocida. 5
Fig. 4. Procedimiento para determinar Q Por otra parte, si M A es diferente a M B, lo que ocurre cuando existe la presencia de esfuerzo de corte entre dos secciones adacentes, F A es distinto de F B generando una maor fuerza resultante axial en uno de los extremos de la viga (A o B) considerados. Entonces, si M A M B, el equilibrio axial en la Fig 3c sólo puede alcanzarse si se desarrolla una fuerza resistente R en el perno (Fig. 3d). Si M A < M B, se cumple la relación F A + R F B. La fuerza R tiende a cortar el perno en el plano del elemento edfg. Es importante señalar que las fuerzas ( F B - F A ) R no son colineales, pero el elemento mostrado en la Fig. 3c está en equilibrio. Para evitar confusiones, las tensiones de corte que actúan en los planos verticales se omiten en el diagrama. Considerando equilibro de momento en el elemento de viga de longitud dx (Fig. 3b), se tiene que M B M A + dm. De igual manera, el equilibrio de las fuerzas longitudinales se satisface si F B - F A df. Sustituendo estas relaciones en las expresiones de F B F A, con las áreas fghj abde tomadas iguales, se obtiene una expresión para el empuje o tirón longitudinal df, dada por df M A + dm M A dm FB FA Q Q Q (4) I I I 6
En vez de trabajar con una fuerza resultante df que se desarrolla en una longitud dx, resulta más conveniente obtener una fuerza similar por unidad de longitud de la viga. Esta cantidad se obtiene dividiendo la fuerza df por la distancia dx. La cantidad df/dx se designará por q se le llama flujo de corte. Luego, recordando que dm/dx V, se obtiene la siguiente expresión para el flujo de corte en elementos sometidos a flexión df dm q da VA dx dx I A fghj I fghj VQ I (5) En la Ec. (5), I es el momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje neutro; V representa el esfuerzo de corte en la sección investigada; para determinar Q el área a considerar se extiende a un lado del nivel donde q se investiga. 4. Determinación de la Tensión de Corte. La fórmula para determinar las tensiones de corte para vigas puede obtenerse modificando la fórmula del flujo de corte. En forma análoga al procedimiento anterior, un elemento de viga sometido a flexión puede aislarse entre dos secciones adacentes tomadas perpendicularmente al eje de la viga. Considerar la Fig. 5 en que se muestra el equilibrio de un elemento de viga de longitud dx sometido a flexión. Para tal elemento, existe una variación del diagrama de momento en su longitud lo que induce a la existencia del esfuerzo de corte (Fig. 5a). Del equilibrio longitudinal se obtiene df dm dmq da dma I fghj (6a) I I A fghj Suponiendo que la tensión de corte τ está uniformemente distribuida sobre la sección de ancho t (Fig. 5c), la tensión de corte en el plano longitudinal puede obtenerse dividiendo df entre el área tdx. Sin embargo para un elemento infinitesimal, tensiones de corte numéricamente iguales actúan sobre planos mutuamente perpendiculares (Fig. 5b). 7
Fig. 5. Obtención de las tensiones de corte en una viga. Por lo tanto, la misma relación da simultáneamente la tensión de corte longitudinal la tensión de corte en el plano de la sección vertical en el corte longitudinal. Entonces, df dm Afghj τ (6b) dxt dx It resultando Esta relación puede simplificarse considerando que dm/dx V por la Ec. (5), A VQ q τ V fghj (7) It It t Para desarrollar la fórmula que permite obtener la tensión de corte τ en vigas, Ec. (7) que se conoce como fórmula de Jourask, se utilizaron los tres conceptos básicos de la mecánica de sólidos:. Condiciones de equilibrio a. determinar fuerza de corte en una sección b. relación entre la fuerza de corte variación del momento de flexión 8
c. determinar fuerza en sección longitudinal que permite obtener la tensión de corte promedio.. Geometría de deformación a. secciones planas permanecen planas después de ocurrida la deformación (variación lineal de las deformaciones unitarias normales) b. se asume que el efecto de alabeo debido al esfuerzo de corte es despreciable 3. Le constitutiva a. Le de Hooke es válida Estas condiciones hacen que el problema sea tratado como unidimensional la geometría de deformación supuesta es insensible a los efectos de las fuerzas concentradas /o cambios en las secciones transversales de vigas. Nuevamente se aplica en principio de Saint-Venant: sólo a distancias maores que la altura del miembro desde tales perturbaciones, son exactas las soluciones. 5. Alabeo de Secciones Planas debido a las Tensiones de Corte Una solución basada en la teoría matemática de la elasticidad para una viga rectangular sometida simultáneamente a flexión corte, muestra que las secciones perpendiculares al eje de la viga se alabean, es decir, no permanecen planas. De acuerdo a la le de Hooke, las deformaciones unitarias de corte deben estar asociadas a tensiones de corte. La variación parabólica de las tensiones de corte en la sección transversal de una viga de sección rectangular, indica que la tensión deformación unitaria máximas de corte se producen en 0 (eje neutro). Este comportamiento alabea las secciones inicialmente planas de una viga, como se muestra en la Fig. 6a, contradice la hipótesis fundamental de la teoría de flexión pura. Sin embargo, con base en análisis rigurosos, se sabe que el alabeo de las secciones es importante en elementos mu cortos que es tan pequeño para miembros esbeltos que puede ser ignorado. Esto puede ser justificado por los estudios de elementos finitos bidimensionales en los voladizos rectangulares mostrados en la s Figs. 6b 6c. 9
(a) (b) (c) Fig. 6. (a) Distorsiones por corte en una viga; configuración deformada de un modelo de elementos finitos: (b) de un voladizo corto (c) voladizo esbelto. En la Fig. 6b, se observa un alabeo considerable de las secciones inicialmente planas del voladizo corto. En contraste, para el miembro esbelto de la Fig. 6c, el alabeo de las secciones es imperceptible. Este estudio, junto con un examen de los resultados de estudios analíticos experimentales, sugiere que la hipótesis de secciones planas es razonable. 6. Limitaciones de la Fórmula de la Tensión de Corte La fórmula de la tensión de corte para vigas se basa en la fórmula de la flexión. Por consiguiente, todas las limitaciones impuestas a la fórmula de flexión le son aplicables. El material se supone de comportamiento lineal-elástico con el mismo módulo elástico en tracción en compresión. La teoría desarrollada sólo se aplica a vigas rectas, existiendo además otras limitaciones que no están presentes en la fórmula de la flexión. Considerar una sección a través de una viga I, tal como se consideró en algún ejemplo anterior mostrado en la Fig. 7a. Las tensiones de corte que se calculan para el 0
nivel - son aplicables al elemento infinitesimal a. La tensión de corte vertical es cero para este elemento, igualmente que para un elemento infinitesimal ubicado en un plano perpendicular. Además este último plano es la superficie superior de la viga, por condición de borde o frontera, es superficie libre (sin tensiones). Una condición diferente se encuentra cuando se estudian las tensiones de corte en el nivel - de la viga I. Las tensiones de corte son no nulas para los elementos infinitesimales b c, lo que induciría tensiones de corte no nulas en los planos perpendiculares respectivos. En estos últimos planos deben satisfacerse las condiciones de borde o frontera de la viga, que indican que son superficies libres de tensiones. Por lo tanto, las condiciones de frontera no son satisfechas en los elementos infinitesimales b c. Procedimientos más avanzados de la teoría matemática de la elasticidad o del análisis tridimensional de elementos finitos deben usarse para obtener una solución exacta del problema. Sin embargo, la limitación antes mencionada de la fórmula de la tensión de corte para vigas, no es seria. Las tensiones de corte verticales en las alas de la viga I son pequeñas, comparadas con las tensiones desarrolladas en el alma. Por lo tanto, ningún error apreciable se comete al usar la formula de tensión de corte (Ec. (7)) para miembros de pared delgada la maoría de las vigas pertenecen a este grupo. (a) (b) Fig. 7. Limitaciones de la fórmula de tensión de corte.
Una situación similar a la anteriormente descrita se tiene en el caso de vigas de sección circular maciza (Fig. 7b). Un análisis de las condiciones de borde de miembros circulares, lleva a la conclusión que cuando las tensiones de corte están presentes deben actuar en forma paralela a la frontera. Como no pueden existir tensiones de corte concordantes sobre la superficie libre de la viga, ninguna componente de la tensión de corte puede actuar de manera normal a la frontera. Sin embargo, de acuerdo a la Ec. (7), tensiones de corte verticales de igual intensidad actúan en todo nivel, como el ac de la Fig. (7b). Esto es incompatible con las condiciones de frontera para los elementos a c por lo que la solución entregada por la Ec. (7) es inconsistente. Afortunadamente, las tensiones de corte máximas que ocurren al nivel del eje neutro satisfacen las condiciones de frontera (para maor detalle ver, A.H.E. Love, Mathematical Theor of Elasticit, 4ª ed. Nueva York, Dover, 944, pp. 348). Para este caso, las tensiones son paralélelas al eje - (Fig. 7b) es razonable suponer que su distribución es uniforme a lo largo de la línea neutra. Para el caso de una sección circular hueca con radios interno externo iguales a r r respectivamente, las tensiones tangenciales en puntos ubicados sobre la línea neutra son paralelas al eje -, es razonable suponer que se distribuen en forma uniforme a lo ancho del espesor de la sección. Además es importante señalar que la fórmula de Jourask, Ec. (7), no es válida aplicarla en vigas no prismáticas. 7. Tensiones de Corte en Elementos de Pared Delgada En las Secciones 3 4 se determinó que para calcular el flujo de corte la tensión de corte promedio en una sección de forma arbitraria se utilizan las Ecs. (5) (7), respectivamente. Estas ecuaciones se utilizarán en esta sección para determinar tanto el flujo cortante q como la tensión de corte τ en elementos de secciones de pared delgada como lo son, entre otras, las alas de una viga T doble T, sección cajón, paredes de tubos estructurales. Considerar la viga de sección doble T mostrada en la Fig. 8a. Si, por ejemplo, los momentos de flexión positivos aumentan de izquierda a derecha (Fig. 8b), maores fuerzas normales actúan en extremo derecho. Para los elementos de longitudes dx mostrados, τtdx o qdx deben audar a la menor fuerza normal que actúa sobre el área en
estudio. Este análisis determina el sentido de las tensiones de corte longitudinales. Sin embargo, tensiones de corte numéricamente iguales actúan sobre planos mutuamente perpendiculares de un elemento infinitesimal, convergiendo o divergiendo de los vértices del elemento. (d) Fig. 8. Tensiones de corte en elementos de pared delgada. La magnitud de las tensiones de corte varía para los diferentes cortes verticales. Por ejemplo, si e corte c-c en la Fig. 8a está en el borde de la viga, el área achurada sería cero. Sin embargo, si el espesor del ala es constante el corte c-c se hace cada vez más cerca del alma, el área achurada crece desde cero a razón constante. Además, como es el mismo para cualquiera de estas áreas, Q también crece linealmente desde cero hacia el alma. Por lo tanto como V e I son constantes en cualquier sección a través de la viga, el flujo de corte q (VQ/I) sigue la misma variación lineal. Si el espesor del ala t es constante, 3
la tensión de corte τ (q/t) también variará linealmente. La misma variación de q τ se aplica sobre ambos lados del eje de simetría vertical de la sección transversal. Sin embargo, como se muestra en la Fig. 8c, estas cantidades actúan en sentidos opuestos sobre el plano de la sección de la viga. Al integrar las tensiones de corte mostradas en la Fig. 8c, se puede determinar las fuerzas equivalentes que actúan en los elementos de la sección producto del esfuerzo de corte V. La magnitud de la fuerza F mostrada en la Fig. 8d, es igual a F q b τ c max c max bt (8) Para determinar el flujo de corte en la unión del ala alma, como en el corte a-a de la Fig. 8ª, debe usarse toda el área del ala multiplicada por para obtener el valor de Q. Este procedimiento implica que para determinar el flujo de corte vertical en la sección a-a, deben sumarse los flujos horizontales que actúan en el ala en la intersección con el alma. Este análisis demuestra que para una sección I de pared delgada sometida a un esfuerzo de corte V, la resistencia al corte se desarrolla principalmente en el alma (Fig. 8d). El sentido da las tensiones flujos de corte en el alma de la viga, coincide con el sentido de la fuerza de corte V. Notar que el flujo de corte vertical (alma), se divide al llegar al ala inferior. Esto se representa en la Fig. 8d por las dos fuerzas F, que son el resultado de los flujos de corte horizontales en el ala. Las fuerzas de corte que actúan en una viga de sección I se muestran en la Fig. 8d. Por condiciones de equilibrio, las fuerzas verticales deben actuar a través del centro de gravedad de la sección transversal para que coincidan con V. En este caso, el miembro no presentará torsión. Esto se cumple para las secciones con un eje de simetría. Para evitar la torsión de tales miembros, las fuerzas aplicadas deben pasar por la intersección del plano de simetría el eje de la viga. 4
8. Carga Asimétrica de Elementos de Pared Delgada. Centro de Corte El análisis de los efectos de cargas transversales vistos en el capítulo de flexión en las secciones precedentes se limitó principalmente a elementos con un plano vertical de simetría a cargas aplicadas en ese plano. Se observó que los elementos se flexionan en el plano de carga, en cualquier sección trasversal el momento de flexión M esfuerzo de corte V generan tensiones normales tangenciales, respectivamente. En esta sección se analizan los efectos de cargas transversales en elementos de pared delgada sin plano vertical de simetría. Para ello, considerar la sección canal mostrada en la Fig. 9a, en que la carga vertical P pasa por su centro de gravedad. El análisis de la sección se concentra en la distribución del flujo de corte de las tensiones tangenciales producto de la carga vertical P, utilizando las Ecs. (5) (7) respectivamente. Considerar el corte vertical c-c mostrado en la Fig. 9a. En el elemento horizontal de la sección canal (ala) la distribución del flujo de corte q tensión de corte τ es lineal con un máximo en el vértice a, tal como se muestra en la Fig. 9b. Para el caso del elemento vertical de la sección canal (alma), tanto el flujo de corte como la tensión de corte varían en forma parabólica, con un máximo a la altura del centro de gravedad de la sección (eje de simetría horizontal eje neutro). La fuerza resultante F sobre el ala de la sección canal está dada por (Fig. 9c) τ F a bt (9a) la fuerza vertical sobre el alma de la sección canal está dada por (Fig. 9c) h / V τ dt (9b) h / De la Fig. 9c de las Ec. (9), se observa que en la sección canal se desarrollan una fuerza vertical V un par (momento) igual a hf. Por lo tanto, debido a que existe un momento neto distinto de cero actuando en la sección, ésta tiende a girar en torno a su eje 5
longitudinal (efecto del momento de torsión). Para impedir que la sección gire en torno a un eje longitudinal, las fuerzas externas deben equilibrar el par interno hf. Considerar la Figs. 9c d, en que la carga P se aplica con una excentricidad e a la línea centra del alma de la sección canal. La carga P es equilibrada por la fuerza de corte V, de igual magnitud sentido opuesto actuando en el alma de la sección. Para que la sección no gire, el par Pe debe ser igual al par hf (no existe torsión). Por lo tanto, Pe hf hf e P / τ abth / bthvq P PIt a a b h t 4I (0) De la Ec. (0) se deduce que el valor de e es independiente de la carga P, así como de su posición a lo largo de la viga. Un análisis similar puede realizarse considerando una carga externa P aplicada en forma horizontal a la sección de la viga, de manera de no causar una torsión neta. Para este caso, sección canal, el plano de carga coincide con el plano del eje neutro, que además es un eje de simetría de la sección. La intersección de estos dos planos mutuamente perpendiculares, planos de carga que no producen torsión neta, localiza un punto que se llama centro de corte o centro de torsión. Este punto se localiza, para cualquier sección transversal, sobre una línea longitudinal paralela al eje de la viga (cetro de gravedad). Si la fuerza transversal es aplicada a través del centro de cortante, no se induce torsión en la viga. En caso contrario, la sección girará en torno a un eje longitudinal que contiene al centro de torsión. Fig. 9. Posición del centro de cortante de una sección canal. 6
9. Energía de Deformación: Efecto Tensión de Corte Considerar un sólido tridimensional de material lineal-elástico en estado de equilibrio ante la acción de cargas externas F i. El sólido puede considerarse como un conjunto de elementos (cubos) infinitesimales sometidos a un estado particular de tensión, tal como se muestra en la Fig. 0. F 3 F σ τ z τ x τ z τ zx σ z τ xz τ x σ x F Fig. 0. Sólido deformable en equilibrio El incremento de la energía de deformación du para un elemento infinitesimal de volumen dv, puede escribirse de la siguiente forma du [ σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ ]dv x x z z x x z z xz xz () Integrando el incremento de la energía de deformación du, sobre el volumen del sólido V, se obtiene la energía total de de formación U del sistema. La expresión final de la energía de deformación U del sistema es de la forma U [ σ xε x+ σ ε + σ zε z+ τ xγ x+ τ zγ z+ τ xzγ xz]dv V () 7
8 Para el caso particular de un elemento sometido sólo a tensión de corte, considerar τ x τ x, τ xz τ z 0 de manera que la Ec () se reduce a [ ]dv U V x x γ τ (3) Considerando la fórmula de Jourask (Ec. (7)) para la determinación de τ x la le de Hooke para relacionar τ x γ x, se obtiene la siguiente expresión para la energía de deformación debido a ala tensión de corte τ x A l V V x dadl t Q G I V dv G t I Q V dv G U ) ( ) ( τ ( ) dl A G V dl GA V dadl t Q AG I A V U l l A l α α / ) ( ) ( (4) donde el término (A/α) de denomina área efectiva de corte da t Q I A A ) ( ) ( α.