PRINCIPIOS DEL MODELAJE DE SISTEMAS

16 de Enero de 2012 PRINCIPIOS DEL MODELAJE DE SISTEMAS (Parte 2) Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 1

Puntos a tratar 1. Clasificación de los modelos 2. Modelos en Investigación de Operaciones 3. Modelos de simulación 4. Metodología para modelar problemas de Programación Lineal Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 2

Modelos mentales y modelos formales Modelos Mentales. Depende de nuestro punto de vista, suele ser incompletos y no tener un enunciado preciso, no son fácilmente transmisibles. Ideas, conceptualizaciones Modelos Formales. Están basados en reglas, son transmisibles. Planos, diagramas, maquetas Piedra de Sayhuite, Abancay Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Modelos icónicos y modelos abstractos Modelos físicos Modelos a escala Modelos analógicos Simulación por computadora Modelos matemáticos icónico abstracto Exactitud Abstracción 1. Planta piloto 2. Modelo de un átomo, globo terráqueo, maqueta 3. Reloj, medidores de voltaje, gráfica de volumen/costo 4. Modelos de colas, modelos de robots 5. Velocidad, ecuaciones diferenciales Modelo analógico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real está representada por una propiedad sustituida, por lo que en general se comporta de la misma manera. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Tipos de modelos estocástico determinístico tiempo-continuo estático dinámico tiempo-discreto Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Tipos de modelos Estocástico. Uno o más parámetros aleatorios. Entradas fijas produce salidas diferentes. Determinístico. Entradas fijas producen salidas fijas. Estático.Estadodelsistemacomounpuntoenel tiempo. Dinámico. Estado del sistema como cambios en el tiempo. Tiempo-continuo. El modelo permite que los estados del sistema cambien en cualquier momento. Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Estocástico Determinístico Estocástico Determinístico Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo no se puede determinar con los datos del estado actual Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo se puede determinar con los datos del estado actual x i y i x i y i Método analítico: usa probabilidades para determinar la curva de distribución de frecuencias Método numérico: algún método de resolución analítica Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Continuo Discreto Continuo El estado de las variables cambia continuamente como una función del tiempo Discreto El estado del sistema cambia en tiempos discretos del tiempo Método analítico: usa razonamiento de matemáticas deductivas para definir y resolver el sistema Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Estático Dinámico Estático Si el estado de las variables no cambian mientras se realiza algún cálculo Dinámico Si el estado de las variables puede cambiar mientras se realiza algún cálculo Método analítico: algún método de resolución analítica. Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Clasificación de modelos según Forrester M O D E L OS ABSTRACTOS FISICOS DINAMICOS ESTATICOS DINAMICOS ESTATICOS LINEAL NO LINEAL LINEAL NO LINEAL Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Clasificación de modelos según Brockington MODELOS MATEMATICOS MECANISTICOS INSUMO-PRODUCTO SIMULACION OPTIMIZACIÓN DETERMINISTICOS ESTOCASTICOS CONTINUOS DISCRETOS CONTINUOS DISCRETOS Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Modelos en Investigación de Operaciones DIAGNOSTICO TIPOS DE PROBLEMAS Planeación de la Producción Distribución Asignación de recursos limitados Inventarios Programación de Actividades Pronósticos de Demanda Medio Ambiente Análisis de Líneas de Espera Analisis de Sistemas de Producción Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema bajo estudio Seleccionar el Modelo Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos Programación Lineal Soluciones Reales Programación Lineal Entera Soluciones Enteras Programación Lineal por metas Soluciones en orden de prioridad Programación Dinámica Soluciones en Etapas continuas Optimización de Redes Soluciones orientadas a la distribución óptima Control de Inventarios Soluciones por etapas (n+1) Pronósticos Comportamiento futuro sistema basado en datos históricos Teoría de Colas Determinación de tiempos de espera y longitud de la cola promedio Simulación de Sistemas Estimación de las medidas de desempeño del sistema modelado HERRAMIENTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 13

Proceso general Definición del Problema Establecer Objetivos y Plan General del Proyecto Conceptualización Modelo Recolección de Datos Construcción del Modelo no Verificado? no Validado? no Diseño de Experimentos Corridas de Producción / Análisis de Resultados si Más Corridas? si Reportes Preliminares, Documentar y Reportes Finales Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Proceso general Definición del Problema Conceptualización Modelo Recolección de Datos Construcción del Modelo Verificación y Validación Conducir Experimentos Analizar Resultados Define el Problema a ser estudiado, incluyendo una declaración escrita del objetivo. Abstraer el sistema en un modelo describiendo todos sus elementos, sus características y sus interacciones (gráficos). Identificar, especificar y colectar datos en apoyo del modelo. Traducir el modelo conceptualizado utilizando los constructos de algún lenguaje de simulación. Establecer si el modelo ejecuta lo que postula y si existe una concordancia entre el modelo y el sistema real. Hacer corridas de simulación controladas. modificando los niveles de una variable de control y manteniendo el resto exactamente igual. La variación en la salida se atribuye a estos cambios. Estudiar los resultados de la simulación para inferir nueva información y hacer recomendaciones para la resolución del problema. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Sistemas y procesos Reglas de Operación (Controles) Sistema Entidades que Entran Actividades Entidades que Salen Recursos Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Esquema líneas de espera Clientes que entran al Sistema de Servicio y Esperan ser Atendidos Instalaciones de Servicio Población o Fuente de Entrada de Clientes Al Sistema SISTEMA Clientes Servidos salen del Sistema de Servicio y vuelven a la Población Algunos Clientes pueden no entrar al sistema de Servicio Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Método de Monte Carlo Idea: Es la aproximación a la solución de un problema por medio del muestreo de un proceso al azar. Esto no ayuda mucho lo que es el Método de Monte Carlo pero podemos familiarizarnos por la vía de ejemplos: Caso 1 dx dx = 1 2 R π { 2 2 ( x, y) : x, y R x + 1} R = y y x Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Procesos de fabricación Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Logística Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Salud Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Servicios bancarios Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Pasos para modelar problemas de Programación Lineal Comienzo Descripción del problema Definición de variables Documentar la definición A Escribir la FOBJ SI Son coherentes las dimensiones? SI NO Definición de restricciones Definición del RHS Documentar la definición SI Son coherentes las dimensiones? NO Representa lo que se desea? SI Optimizar el problema Analizar los resultados SI SI NO Cumple la solución con los requerimientos? NO Representa lo que se desea? FIN SI A SI Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero

Principios de la metodología Se presenta una metodología para la formulación de modelos de programación lineal; con la cual se facilita la modelización de sistemas complejos; los cuales involucran el uso de recursos financieros, materiales, humanos; y concentran diferentes procesos de transformación de insumos para la generación de diferentes bienes o productos. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 26

Principios de la metodología Se podrá visualizar un sistema como un ente que consume recursos, representados por equipos, maquinarias, recursos financieros y recursos humanos. Y desde el cual emana un torrente de productos, representados por bienes y servicios, que es volcado a su exterior. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 27

Principios de la metodología Dentro de este ente (el sistema), ocurren diferentes procesos en los cuales los recursos son consumidos y transformados en productos que forman parte del torrente de productos del sistema, o que son a su vez consumidos o transformados en otros procesos internos para la generación del producto final. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 28

Principios de la metodología La presente metodología se basa en el hecho de que se podrán identificar todos los elementos del sistema, especialmente aquellos elementos sobre los cuales tenemos un mayor control, y que influyen en su funcionamiento o comportamiento. Una vez definidos estos elementos, y establecida una medida de eficiencia del comportamiento del sistema, se podrán seleccionar valores de estos elementos, que a nuestro juicio, se identifiquen con una optimización del funcionamiento del sistema. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 29

Definiciones básicas Es así que se puede idealizar un sistema cualquiera, como un ente caracterizado por los siguientes elementos: Recursos. Flujo de objetos que son dirigidos desde el exterior hacia el sistema y son consumidos por él. Productos. Flujo de objetos que emanan del sistema y son dirigidos hacia el exterior; y son generados por el sistema. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 30

Definiciones básicas Variables de decisión. Conjunto de variables, que pueden ser manipuladas a voluntad, dentro de límites viables, y que tienen influencia en el comportamiento del sistema. Variables de estado. Conjunto de variables que dan toda la información del sistema en un estado determinado, y no son manipuladas a voluntad. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 31

Definiciones básicas Medida de eficiencia del sistema. Función matemática, que relaciona las variables de decisión y las variables de estado y da una medida de la eficiencia del comportamiento del sistema; es conocida como función objetivo, función de criterio, etc. Procesos. El proceso o procesos que ocurren dentro del sistema son transparentes; es por ello que nos referimos al sistema como una caja negra. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 32

Definiciones básicas Es así como los sistemas podrán representarse en forma abstracta como una caja negra; a la cual entran flechas que representan flujos de entradas o insumos; desde la cual salen flechas que representan flujos de salidas o productos; sobre la cual entra un vector de decisión, que ordena las variables de decisión; y existe además, una función asociada, que representa una medida de la eficiencia del sistema. (ver figura 1) Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 33

Definiciones básicas Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 34

Definiciones básicas Una vez identificados todos los elementos del sistema debemos proceder al análisis del mismo, con el propósito de descomponerlo, desde el punto de vista funcional en sus unidades elementales. Estas unidades representarán una función o proceso elemental del sistema, y como tales no podrán descomponerse a su vez, y estarán caracterizadas o identificadas por una sola variable de decisión del sistema. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 35

Pasos de la metodología 1. Idealización del sistema 2. Descomposición del sistema en unidades funcionales 3. Construcción de relaciones de flujo material 4. Establecimiento de condiciones en las variables de decisión, establecimiento de condiciones y objetivos del sistema 5. Construcción de la o las funciones objetivos Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 36

Ejemplo 1. Problema de transporte Sea el problema de determinar el programa óptimo de transporte que enfrenta una firma, la cual produce un bien determinado en dos plantas (p1 y p2) y debe satisfacer requerimientos de dicho bien en tres almacenes de distribución (a1, a2 y a3) de acuerdo a la siguiente información: Disponibilidades Planta p1 350 unidades Planta p2 650 unidades Total 1000 unidades Requerimientos Almacén a1 300 unidades Almacén a2 300 unidades Almacén a3 300 unidades Total 900 unidades Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 37

Ejemplo 1. Problema de transporte Costo unitario de transporte de planta pi al almacén aj. Almacén Planta a1 a2 a3 p1 2.5 1.7 1.8 p2 2.5 1.8 1.4 En este problema se pueden satisfacer los requerimientos por cuanto los mismos son superados por las disponibilidades; y se desea determinar las cantidades a ser enviadas desde cada planta pi a cada almacén aj de forma tal que el costo sea mínimo. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 38

Ejemplo 1. Problema de transporte Las entradas están representadas por las existencias del bien en las fuentes, y por recursos financieros que son consumidos en el proceso de transporte como costos; y las salidas están representadas por las unidades del bien transportadas a los diferentes destinos. Las variables de decisión corresponden a las cantidades del bien a ser enviadas desde la fuente i hasta el destino j. Estas variables de decisión se ordenan en un vector de decisión. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 39

Ejemplo 1. Problema de transporte Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 40

Ejemplo 1. Problema de transporte Para la actividad se tiene: Identificación: Envío de unidades desde pi a pj. Variable característica: xij. Entrada: xij unidades del bien que son consumidas desde la existencia en pi. cijxij recurso financiero que se consume como costo de transporte. xij unidades del bien que son recibidas como un producto en pj. Salida: xij unidades del bien que son recibidas como un producto en pj. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 41

Ejemplo 1. Problema de transporte Min 2.5x + 1.7x + 1.8x + 2.5x + 1.8x + 1.4x s.a. 11 12 13 21 22 23 x + x + x 350 11 12 13 x + x + x 650 21 22 23 x + x = 300 11 21 x + x = 300 12 22 ij x + x = 300 13 23 x 0 i = 1,2 j = 1,2,3 Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 44

Ejemplo 2. Programa de productos Una empresa produce cuatro productos p1, p2, p3 y p4; cada uno de los cuales debe ser procesado en dos departamentos: ensamblado y acabado. El número de horas hombre de trabajo requerido en cada departamento para cada producto se presenta a continuación: p1 p2 p3 p4 Ensamblado d1 4 9 7 10 Acabado d2 1 1 3 40 Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 45

Ejemplo 2. Programa de productos Debido a las limitaciones en la capacidad de la planta de la empresa, se dispone de 6000 horas-hombre en el departamento de ensamblado y de 4000 horas-hombre en el departamento de acabado. Las ganancias unitarias (ingreso menos costo) por cada producto son: Producto p1 p2 p3 p4 Ganancia 12 20 18 40 Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 46

Ejemplo 2. Programa de productos Suponiendo por una parte que existen suficientes cantidades de materia prima y suministros y por la otra que todo producto generado en el sistema es vendido; se desea determinar el programa óptimo de producción en la empresa, esto es la cantidad de cada producto que maximice la ganancia total. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 47

Ejemplo 2. Programa de productos Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 48

Ejemplo 2. Programa de productos Max 12x + 20x + 18x + 40x s.a. 1 2 3 4 4x + 9x + 7x + 10x 6000 1 2 3 4 1x + 1x + 3x + 40x 4000 1 2 3 4 x 0 i = 1,...,4 i Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 51

Ejemplo 3. Problema de inversiones Sea el caso de un inversor quien ha decidido invertir un total de Bs. 500.000 en tres tipos de activos: certificados de ahorros, bonos del Estado y acciones comerciales. El inversor no desea reinvertir el interés anual devengado, sino usarlo en otras actividades. Además desea: 1. Obtener un retorno anual de Bs. 50.000. 2. Invertir un mínimo de 100.000 en bonos. 3. La inversión en acciones no debe exceder el total de la inversión combinada en bonos y certificados. 4. Invertir entre 50.000 y 150.000 en certificados de ahorros. Se desea ayudar al inversor a seleccionar su inversión. Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 52

Ejemplo 3. Problema de inversiones Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 53

Ejemplo 3. Problema de inversiones Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 54

Ejemplo 3. Problema de inversiones 0.07x + 0.09x + 0.14x 50000 1 2 3 x + x + x 500000 1 2 3 x 50000 1 2 1 2 3 i x 100000 x x + x 0 x 0 i = 1,...,3 Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 55

Pensamiento de hoy Las simplificaciones excesivas, progresivamente corregidas en el adelanto subsiguiente, representan el recurso más poderoso, si no es el único, hacia el dominio conceptual de lanaturaleza. Ludwig Von Bertalanffy Análisis y Diseño de Sistemas José Luis Quintero 56