CINEMÁTICA CONCEPTO DE CINEMÁTICA: es el estudio del movimiento sin atender a las causas que lo producen CONCEPTO DE MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición, de un cuerpo, con el tiempo (este cuerpo que se mueve recibirá el nombre de móvil). El movimiento es relativo, es decir puede haber movimiento respecto a un sistema de referencia y puede no haberlo respecto a otro. Ejemplos: una persona en la Tierra no detecta el movimiento de la Tierra, pero una persona en la Luna sí apreciaría el movimiento de la Tierra una persona sube al tren y deja la maleta en el asiento de al lado. Para esta persona la maleta no se mueve, pero para otra persona situada fuera del tren la maleta sí se mueve (cada vez está más lejos) SISTEMA DE REFERENCIA: analizados los ejemplos anteriores queda claro que hay que indicar respecto a qué hay movimiento. El lugar donde se encuentra el observador que mide la posición del móvil se conoce como Sistema de Referencia, y en dicho lugar situamos nuestros ejes de coordenadas TRAYECTORIA: es la línea seguida por un móvil en su movimiento. Se obtiene por la unión de las distintas posiciones que toma un móvil POSICIÓN (r ): es un vector que nos indica la posición de un móvil en un determinado instante. Tiene su origen en el centro del sistema de referencia y su extremo en el punto de la trayectoria que corresponde a dicho instante DESPLAZAMIENTO (Δr ): es un vector que viene dado por la diferencia entre la posición final de un móvil y la inicial. Cómo tal vector puede ser negativo o positivo. El desplazamiento entre 2 puntos será un vector que tiene su origen en el primer punto y su extremo en el segundo punto 1 2 Δ r = r 2 r 1 Aplicando la suma de vectores, obtenemos: r 1 + Δ r = r 2 Y despejando sacamos que el desplazamiento es igual a la diferencia de los vectores de posición: Δ r = r 2 r 1
ESPACIO RECORRIDO (DISTANCIA RECORRIDA (Δs): es un escalar (queda definido únicamente con un número y su unidad) que mide la longitud recorrida sobre la trayectoria Si la trayectoria es rectilínea, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido en valor absoluto, aunque no necesariamente en signo EJERCICIO: La posición de una partícula viene dada por el siguiente vector posición: Determina: Solución: r = 2 t i + (4 t 1) j a) La posición a los 2 segundos b) Ecuación de la trayectoria c) Desplazamiento entre 1 y 3 segundos a) r = 2 2 i + (4 2 1) j = 4 i + 7 j b) r = 2 t i + (4 t 1) j c) x = 2t t = x/2 y = 4t 1 y = 4 x/2 1 = 2 x 1 ecuación de la trayectoria: y = 2 x 1 r 3 = 6 i + 11 j r 1 = 2 i + 3 j Δ r = 4 2 + 8 2 = 8,9 m Δ r = r 3 - r 1 = 4 i + 8 j VELOCIDAD MEDIA (v M ): la velocidad media entre dos puntos es un vector que mide el desplazamiento producido por unidad de tiempo v M = Δ r Δ t EJERCICIO: el movimiento de una partícula en una dimensión viene determinado por la ecuación: x = t 2 - t 2. Calcula: Solución: a) posición inicial b) velocidad media entre 2 y 3 segundos 1
a) t = 0 x = - 2 m b) r 3 = 9 3 2 = 4 m r 2 = 4 2 2 = 0 m Δ r = 4 0 = 4 m EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación: r = 3 t i + (2 t 2 + 3) j. Calcula velocidad media entre 0 y 3 segundos Solución: v M = Δ r Δ t = 4 m (3 2)s = 4 m/s r 3 = 9 i + 21 j r 0 = 3 j Δ r = r 3 - r 0 = 9 i + 18 j v m = Δ r Δ t = 9 i + 18 j = 3 i + 6 j 3 0 v m = 3 2 + 6 2 = 6,7 m/s CELERIDAD (RAPIDEZ) MEDIA: es un escalar que mide el espacio recorrido por unidad de tiempo υ M = Δ s Δ t VELOCIDAD INSTANTÁNEA (v ): es la velocidad media entre dos puntos tan próximos que el tiempo transcurrido prácticamente es cero La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto al tiempo v = lim Δ t 0 Δ r Δ t = d r Si tenemos la ecuación de la posición en función de sus componentes: r = r x i + r y j + r z k V x = d x V y = d y v = v x i + v y j + v z k V z = d z EJERCICIO: en el ejercicio anterior (r = 3 t i + (2 t 2 + 3) j ) determina la velocidad a los 3 segundos 2
v = d r = 3 i + 4 t j = 3 i + 12 j v = 3 2 + 12 2 = 12,4 m/s CELERIDAD INSTANTÁNEA (v ): sería la derivada del espacio recorrido respecto al tiempo ACELERACIÓN MEDIA: es la variación que experimenta la velocidad de un móvil en la unidad de tiempo a M = Δ v Δ t EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación: r = 3 t 2 i + 2 t j. Determina la aceleración media entre 1 y 4 segundos Solución: v = d r = 6 t i + 2 j v 4 = 24 i + 2 j v 1 = 6 i + 2 j Δv = 18 i a m = Δ v 18 i = Δ t 3 = 6 i ACELERACIÓN INSTANTÁNEA: es la aceleración en un instante. Al igual que en el caso de la velocidad se calcula como una aceleración media entre dos puntos tan próximos que el tiempo transcurrido prácticamente sea cero, y no haya dado tiempo, apenas, a variar su velocidad Δ v a = lim = d v Δ t 0 Δ t EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación: r = 3 t 2 i + 2 t j. Determina la aceleración a los 4 segundos r = 3 t 2 i + 2 t j v = d r = 6 t i + 2 j a = 6 i la aceleración es constante y no depende del tiempo a = 6 m/s 2 COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN: La aceleración viene dada por la derivada de la velocidad respecto al tiempo 3
a = d v La derivada de la velocidad viene dada por la variación de la velocidad cuando la variación del tiempo es prácticamente cero. La velocidad puede variar de dos maneras: variación del módulo de la velocidad da lugar a la aceleración tangencial que es un vector tangente a la trayectoria en cada punto (lleva la misma dirección que la velocidad) at = d v variación de la dirección y/o sentido de la velocidad da lugar a la aceleración normal (también llamada centrípeta) que es un vector con la dirección del radio de la curva, dirigida hacia el centro de la curva. Es decir perpendicular a la aceleración tangencial a n = a c = v2 R La aceleración en función de sus componentes quedaría de la siguiente forma: a = a t + a n = a t τ + a n η EJERCICIO: el movimiento de una partícula en una dimensión viene determinado por la ecuación: r = t 2-4t + 1, siendo el radio de la curva 4 m. Calcula la aceleración tangencial, la aceleración normal y la aceleración global cuando el tiempo es 1 segundo: Solución: r = t 2-4t + 1 v = 2 t - 4 a t = 2 m/s 2 v 1 = 2 1 4 = - 2 m/s a n = ( 2)2 4 = 1 m/s 2 a 2 = a t 2 + a n 2 ; a 2 = 2 2 + 1 2 ; a 2 = 4 + 1; a = 5 = 2,23 m/s 2 EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación: r = 3 t 2 i + 2 t j. Determina todas las aceleraciones a los 2 s, siendo el radio 30 m: r = 3 t 2 i + 2 t j 4
v = d r = 6 t i + 2 j a = 6 i la aceleración es constante y no depende del tiempo a = 6 m/s 2 v = 6 t i + 2 j = 6 2 i + 2 j = 12 i + 2 j ; v = 12 2 + 2 2 = 148 = 12,2 m/s a n = (v)2 = (12,2)2 = 4,9 m/s 2 R 30 a 2 = a t 2 + a n 2 ; 6 2 = a t 2 + 4,9 2 ; 36 = a t 2 + 24; a t = 12 = 3,5 m/s 2 TIPOS DE MOVIMIENTO UNIFORME RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO MOVIMIENTO UNIFORME CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO 5
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME En este movimiento no hay ninguna aceleración: La trayectoria es una línea recta, por tanto no existe aceleración normal (ya que el radio de una línea recta es y la a n = v2 R = 0) La velocidad es constante (uniforme) y por ello no existe aceleración tangencial, ya que no varía el módulo de la velocidad (es constante) Al ser la velocidad constante, no tiene sentido hablar de velocidad inicial, final y media ya que todas deben tomar el mismo valor; de lo contrario no sería constante v M = Δ r r 1 r 0 = = v Δ t t r 1 r 0 = v t r 1 = r 0 + v t (ecuación del movimiento rectilíneo uniforme) Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme: r V = 0 Está parado r r 0 α V > 0 Se aleja del observador r r 0 V < 0 α Se acerca al observador v r V es constante t t t t La ecuación matemática de la recta es: y = a + b x (donde a es la ordenada en el origen y b es la pendiente de la recta) que comparada con la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme r = r 0 + v t, obtenemos que r 0 (posición inicial) es la ordenada en el origen y que v (velocidad) es la pendiente de la recta v = tg α 6
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO En este movimiento la trayectoria es una línea recta, por tanto no existe aceleración normal (ya que el radio de una línea recta es y la a n = v2 R = 0). Sin embargo sí existe aceleración tangencial porque varía el módulo de la velocidad. Uniformemente acelerado quiere decir que la aceleración es constante durante todo el movimiento a = a t + a n ; Como a n = 0 entonces a = a t por tanto ya que la aceleración total es igual a la tangencial solo hablaremos de la aceleración total a Al ser la aceleración constante, aceleración media es la aceleración en cualquier instante y podemos tomar la ecuación de la aceleración media a = Δ v v v 0 = Δ t t Despejando obtenemos la primera ecuación del movimiento v = v 0 + a t (1) v M = Δ r r r 0 = Δ t t r r 0 = v m t = (v 0 + v )/2 t = (v 0 + v 0 + a t)/2 t = v 0 t + a t 2 /2 r = r 0 + v 0 t + 1 a 2 t2 (2) Despejando t en la ecuación (1) y sustituyendo en la ecuación (2) llegamos a una nueva ecuación (3) v 2 = v 0 2 + 2 a Δr (3) Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme: r r α v v = tg α aceleración positiva v = tg α aceleración negativa V constante Movimiento Uniforme t t t 7
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Entendemos por composición de movimientos cuando existen dos o más movimientos. Tenemos dos posibilidades: COMPOSICIÓN DE 2 MOVIMIENTOS CON LA MISMA DIRECCIÓN: en este caso, si tenemos 2 movimientos con velocidades de la misma dirección y sentido se suman ambas velocidades y si se trata de 2 movimientos con velocidades de igual dirección y sentidos opuestos se restan las velocidades. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS PERPENDICULARES: en este caso nos podemos encontrar con 3 posibilidades: o Composición de movimientos rectilíneos y uniformes: sería el caso de una barca que atraviesa un río perpendicularmente a la orilla con velocidad constante siendo arrastrado por una corriente horizontal, también, constante: y V x V y Hay 2 movimientos uniformes: Uno horizontal: Eje X r x = v x t Uno vertical: Eje Y r y = v y t La trayectoria seguida sería una recta, la hipotenusa del triángulo que forman ambas velocidades: r x = v x t; t = r x /v x V y r y = v y t = v y r x /v x V x r y = v y /v x r x que es la ecuación de la trayectoria (ecuación de una recta y = k x) 8
Su posición en cualquier instante se obtiene por: r = r x i + r y j Y cuando llegue a la orilla opuesta será: La velocidad se calcula así: r = x i + y j v = v x i + v y j o Composición de movimientos uno uniforme y otro uniformemente acelerado: sería el caso de los movimientos llamados lanzamiento horizontal o lanzamiento oblicuo. Lanzamiento horizontal: se lanza un objeto, desde cierta altura, horizontalmente. El objeto llevará un movimiento uniforme horizontal y un movimiento uniformemente acelerado vertical, a causa de la gravedad: v x v x y V y Hay 2 movimientos: x Uno horizontal, uniforme: Eje X r x = v x t Uno vertical, uniformemente acelerado (siendo a = - 9,8 m/s 2 ) Eje Y r y = r 0 + v 0y t + 1/2 a t 2 v y = v 0y + a t La trayectoria (despejando t en r x y sustituyendo en r y ) sería una parábola: r x = v x t; t = r x /v x r y = v y t = r 0 + v y r x /v x + 1/2 a (r x /v x ) 2 r y = r 0 + v y /v x r x + 1/2 a/v x2 r x 2 9
que es la ecuación de una parábola (y = a + b x + cx 2 ) Su posición en cualquier instante se obtiene por: La velocidad se calcula así: r = r x i + r y j v = v x i + v y j Cuando llegue al suelo la altura (r y ) es 0. Con este dato calculamos el tiempo y sustituyendo en r x obtenemos el alcance (x). r y = r 0 + v 0y t + 1/2 a t 2 = 0 se resuelve la ecuación de 2º grado y sustituimos en: r x = x = v x t Lanzamiento oblicuo: se lanza un objeto, desde el suelo con cierto ángulo sobre la horizontal. El objeto llevará un movimiento uniforme horizontal y un movimiento uniformemente acelerado vertical, a causa de la gravedad: V 0x α V 0x Y max X max En primer lugar hay que descomponer la velocidad en una componente horizontal v 0x que permanecerá constante todo el tiempo y otra componente vertical v 0y que irá variando, pasando de positiva (cuando sube) a negativa (cuando baje): v 0x = v 0 cos α v 0y = v 0 sen α Hay 2 movimientos: Uno horizontal, uniforme: Eje X r x = v 0x t; r x = v o cos α t 10
Uno vertical, uniformemente acelerado (siendo a = - 9,8 m/s 2 ) Eje Y r y = r 0 + v 0 sen α t + 1/2 a t 2 v y = v 0 sen α + a t La trayectoria (se calcula despejando t en r x y sustituyendo en r y ) sería una parábola. Su posición en cualquier instante se obtiene por: La velocidad se calcula así: r = r x i + r y j v = v x i + v y j Altura máxima (y max ): para calcular la altura máxima alcanzada, sustituimos en la ecuación de la velocidad en el eje y, la velocidad (v y ) por cero, obtenemos el tiempo y sustituyendo en la ecuación de r y calculamos su valor que será la altura máxima. v y = v 0 sen α + a t = 0; t = v 0sen α a r y = y max = r 0 + v 0 sen α t + 1/2 a t 2 = = r 0 + v 0 sen α ( v 0sen α a ) + 1/2 a ( v 0sen α Alcance máximo (x max ): se produce cuando llega al suelo. En este momento la posición vertical (altura) es cero. De la ecuación de r y cambiando este valor por cero, calculamos el tiempo que sustituido en la ecuación de r x nos permite obtener el alcance máximo r y = 0 = r 0 + v 0 sen α t + 1/2 a t 2 se resuelve la ecuación de 2º grado y se sustituye en r x = x max = v o cos α t a ) 2 11
MOVIMIENTO CIRCULAR En el movimiento circular la trayectoria es una circunferencia o parte de ella (curva), por tanto se produce un cambio en la dirección de la velocidad lo que da lugar a una aceleración, llamada normal o centrípeta. a n = a c = v2 R Equivalencia entre las magnitudes lineales (movimiento rectilíneo) y angulares (movimiento circular): RECTILÍNEO s (r) espacio (m) v velocidad (m/s) CIRCULAR θ espacio angular (rad) ω velocidad angular (rad/s) a t (a) aceleración (tangencial) (m/s 2 ) α aceleración angular (rad/s 2 ) a n (a c ) aceleración normal o centrípeta (m/s 2 ) Radián: Es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde una longitud de arco igual a la de su radio. θ R S El ángulo es 1 radián (θ =1 rad) cuando S = R y de aquí sale la fórmula que relaciona el espacio lineal y el angular: θ = S R ; despejando: S = θ R El radián es adimensional, ya que el arco S (m) entre el radio R (m), nos deja sin unidad, pero no habiendo otra unidad se pondrá radián para saber que nos referimos a un espacio angular θ = S (m) R (m) Cómo pasar de vueltas (revoluciones) a radianes? 12
La longitud de la circunferencia es 2πR (360º). Aplicamos la fórmula anterior para 1 vuelta θ = S R ; θ = 2πR R = 2π; esto quiere decir que 1 vuelta = 2π radianes Periodo: es el tiempo que tarda un móvil en dar 1 vuelta (oscilación) completa. Se representa por la letra T y se mide en segundos (s). Frecuencia: es el número de vueltas (oscilaciones) que da un móvil en la unidad de tiempo (1 s). Se representa por la letra ν y se mide en Hercios (Hz) que realmente corresponde a s -1. El periodo es la inversa de la frecuencia y viceversa: T = 1/ν Velocidad angular: es el espacio angular descrito por el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en rad/s, pero se suele dar en rpm ó rps. Ejemplo: El motor de un coche gira a 300 rpm (revoluciones por minuto), calcula los radianes/s que son: 300 rpm = 300 vueltas minuto 2π rad 1 v 1 minuto 60 s = 600 π rad 60 s = 10 π rad/s ω = Δ θ Δ t Relación entre velocidad angular y periodo o frecuencia: La velocidad angular es la variación del espacio angular por unidad de tiempo: ω = Δ θ Δ t Si tomamos 1 vuelta; el espacio angular sería 2 π radianes, mientras que el tiempo que tarda en dar 1 vuelta se llama periodo ω = 2 π T (en función del periodo) ω = 2 π ν (en función de la frecuencia) Aceleración centrípeta: es la aceleración que se origina al existir un cambio en la dirección de la velocidad v v a c = v2 R a c = v2 = (ω R)2 = ω 2 R a C = ω 2 R R R Relación entre magnitudes lineales y angulares: S = θ R 13
v = ω R a = α R MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME: ω = constante θ = θ 0 + ω t recuerda la del movimiento rectilíneo uniforme r = r 0 + v t En todas las fórmulas excepto en una (S = θ R) aparece la velocidad angular. Entonces para resolver los ejercicios la clave está en obtener la velocidad angular en rad/s y después utilizar la fórmula correspondiente, según el siguiente esquema: ω = 2 π T ω = 2 π ν W a n = ω 2 R v = ω R θ = θ 0 + ω t MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO: La aceleración angular es constante, pero la velocidad varía. Las ecuaciones que tenemos son muy similares a las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: θ = θ 0 + ω 0 t + ½ α t 2 (r = r 0 + v 0 t + ½ a t 2 ) 14
ω = ω 0 + α t (v = v 0 + a t) ω 2 = ω 0 2 + 2 α (Δ θ) (v 2 = v 0 2 + 2 a Δr) En todas las fórmulas excepto en dos (S = θ R y a = α R) aparece la velocidad angular, tal y como indica el siguiente esquema: ω = 2 π T ω = 2 π ν a n = ω 2 R W v = ω R ω = ω 0 + α t ω 2 = ω 0 2 + 2 α (Δ θ) θ = θ 0 + ω 0 t + ½ α t 2 15