Tema 5: Cinemática ESQUEMA DE TRABAJO 1. Concepto de movimiento. 2. Elementos para la descripción del movimiento. 3. Tipos de movimientos. 3.1 Movimiento rectilíneo uniforme. 3.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. 3.3 Caída libre. Lanzamiento vertical. 3.4 Composición de movimientos: 2 MRU 1 MRU + 1 MRUA (tiro horizontal y tiro parabólico) 3.5 Movimientos circulares Movimiento circular uniforme. Movimiento circular uniformemente acelerado. 1
La cinemática es la parte de la Física que se encarga de estudiar el movimiento de los cuerpos sin entrar a valorar las causas que lo origina. 1. Concepto de movimiento. Un cuerpo se encuentra en movimiento cuando cambia de posición respecto a otro que tomamos como referencia. Sin embargo el concepto de movimiento es relativo, y depende de las características de la referencia tomada. El viajero de la vagoneta se encuentra en movimiento respecto al observador A pero está en reposo respecto al observador B 2. Elementos para la descripción del movimiento. En este tema nos vamos a centrar en el estudio del movimiento de un punto material. Para ello, vamos a necesitar un sistema de referencia, es decir, un sistema de puntos fijos con los que poder conocer la posición del objeto estudiado en cada instante en el colocaremos al observador. Sobre este sistema de referencia situaremos el origen de un sistema de ejes coordenados. Así, la posición del móvil viene descrita por las coordenadas del punto: De tal forma que si las coordenadas del móvil cambian para un tiempo t, afirmamos que se produce movimiento y al camino seguido por el objeto se le denomina trayectoria A la longitud de trayectoria recorrida por un móvil en un instante, t, se le denomina espacio (S) y su unidad de medida en el SI es el metro (m). 2
2.1 Vector de posición y vector desplazamiento La posición de un móvil respecto a un sistema de referencia se puede obtener mediante: Sus coordenadas cartesianas (x, y, z) Su vector de posición r 2.1.1 Vector de posición El vector de posición, r, es un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo está situado en la posición del móvil en un instante determinado. r = r x + r y + r z = x u x + y u y + z u z (3 dimensiones) r = r x + r y + r z = x u x + y u y (2 dimensiones) Los vectores u x, u y y u z son vectores unitarios de dirección de los ejes X e Y respectivamente, de aquí en adelante utilizaremos: i vector unitario de dirección del eje X j vector unitario de dirección del eje Y k vector unitario de dirección del eje Z El módulo del vector de posición indica la distancia al origen y se calcula: r = x 2 + y 2 Si observamos un cambio de coordenadas del vector de posición en el tiempo, estamos observando un movimiento. Si expresamos el vector de posición en función del tiempo, obtenemos una expresión que recibe el nombre de ecuación del movimiento 2.1.2 Vector desplazamiento r(t) = x (t) i + y (t) j+ z (t) k Si en el instante t 1 el móvil se encuentra en la posición P 1 y un instante después, t 2, alcanza la posición P 2, entendemos que el móvil ha experimentado un movimiento que viene descrito por un vector, llamado vector desplazamiento, r= r 2 r 1 r= r 2 r 1 = (x 2 -x 1 ) i + (y 2 -y 1 ) j su módulo se calcula: 3
El espacio recorrido entre los puntos P 1 y P 2 es la longitud de trayectoria comprendida entre P 1 y P 2.El espacio coincidirá con el módulo del vector desplazamiento cuando la trayectoria sea rectilínea. 2.2 Velocidad y celeridad. 2.2.1 Velocidad y celeridad media Supongamos un móvil que en un instante t 1 se encuentra en la posición P 1, se desplaza y en un instante t 2 se encuentra en p 2 Llamamos velocidad media a la relación existente entre el vector desplazamiento y el tiempo transcurrido entre ambas posiciones: La velocidad media es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con los del vector desplazamiento. Como el móvil ha recorrido un espacio en ese tiempo podemos definir celeridad media como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en ello: La celeridad media es una magnitud escalar, cuyo valor coincidirá con el módulo de la velocidad media si la trayectoria es rectilínea. Ambas magnitudes se miden en el S.I. en m/s. 2.2.2 Velocidad y celeridad instantánea La velocidad instantánea es la velocidad que presenta el móvil en un instante determinado o en un punto de su trayectoria. La velocidad instantánea o velocidad, es una magnitud vectorial tangente a la trayectoria en cada punto de la misma y que puede expresarse en función de sus coordenadas cartesianas: V = V x + V y V = V x i + V y j 4
De manera similar podemos entender a la celeridad instantánea como: 2.3 Aceleración. La aceleración es el cambio que experimenta la velocidad con la que se mueve un cuerpo en la unidad de tiempo. 2.3.1 Aceleración media Supongamos un móvil que en un instante t 1 se encuentra en la posición P 1, se desplaza con una velocidad v 1 y en un instante t 2 se encuentra en p 2 con una velocidad v 2 Llamamos aceleración media a la relación existente entre la variación de velocidad y el tiempo transcurrido entre ambas posiciones: La aceleración media es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con los de la variación de velocidad y su unidad de medida en el S.I. es el m/s 2 2.3.2 Aceleración instantánea La aceleración instantánea es la aceleración del móvil en un instante o en una posición determinada de su trayectoria La aceleración instantánea o aceleración, es una magnitud vectorial que puede expresarse en función de sus coordenadas cartesianas: a = a x + a y a = a x i + a y j 2.4 Componentes intrínsecas de la aceleración. La vector aceleración en un punto de la trayectoria puede descomponerse en dos vectores, uno tangente a la trayectoria y el otro normal a la misma y perpendicular al anterior. De esta descomposición surgen las dos componentes intrínsecas de la aceleración: aceleración tangencial, a t, y aceleración normal, a n La aceleración tangencial indica el cambio de módulo que experimenta la velocidad en la unidad de tiempo: 5
a t = dv dt u t La aceleración normal representa el cambio de dirección que experimenta la velocidad en la unidad de tiempo. Se calcula mediante la expresión: 3.- Tipos de movimientos. 3.1 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Las características del MRU uniforme son las siguientes: Trayectoria rectilínea. Velocidad constante. Al ser la velocidad constante, las componentes intrínsecas de la aceleración son nulas, por lo que la aceleración también lo es: Módulo de velocidad constante a t = 0 Dirección de la velocidad constante a n =0 a = a t + a n = 0 La ecuación que rige el MRU es la siguiente : S = S o + vt Las gráficas que identifican a este tipo de movimiento son las siguientes: Gráfica espacio/tiempo Gráfica velocidad/tiempo S = S o + vt (ecuación de una recta) V = cte. 6
3.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. (MRUA) El MRUA se caracteriza por presentar una trayectoria rectilínea y una velocidad que varía de forma uniforme, presentando una aceleración constante. Si nos fijamos en estas características, deducimos fácilmente las componentes intrínsecas de la aceleración en este movimiento: Trayectoria rectilínea dirección de velocidad constante a n =0 Módulo de velocidad varia uniformemente a t = cte a = a t + a n a = a t Las ecuaciones que rigen el MRUA son las siguientes: [1] V = V o + at [2] S = S o + V o t + 1 2 at2 Operando con las ecuaciones [1] y [2] obtenemos la ecuación: [3] V 2 - V 0 2 = 2aS De la ecuación [1] podemos despejar la aceleración: a = V V 0 t a = ΔV t Atendiendo a la expresión anterior, podemos hablar de movimientos acelerados, cuando la variación de velocidad es positiva, o movimientos decelerados, cuando la variación de velocidad es negativa, es decir, cuando los móviles pierden velocidad en un intervalo de tiempo. Por ello la aceleración en los movimientos decelerados será negativa. Gráficas del MRUA Gráfica espacio/tiempo Gráfica velocidad/tiempo S = S o + V o t + 1 2 at2 Ecuación de una parábola V = V o + at Ecuación de una recta Y= c + bx + ax 2 y = b + ax 7
3.3. Movimiento de caída libre y lanzamiento vertical Se denomina caída libre al movimiento que realiza un cuerpo sometido sólo a la acción de la fuerza de la gravedad, sin tener en cuenta los condicionantes aerodinámicos. De tal forma, los movimientos de caída libre son movimientos rectilíneos uniformemente acelerados provocados por la fuerza de la gravedad. La aceleración con la que se mueven estos cuerpos se denomina aceleración de la gravedad, g, y siempre estará dirigida verticalmente hacia el centro de la Tierra. Cabe decir que el valor de g varía con la latitud y la altura sobre el nivel del mar que presente el punto considerado. Sin embargo, para facilitar el estudio de este movimiento, fijaremos un valor constante para g, así tendremos que g=9,8 m/s 2. Una creencia errónea y bastante difundida es que los cuerpos de mayor masa caen con mayor velocidad que los de menor masa. En los movimientos de caída libre, la masa no tiene ninguna influencia sobre las características cinemáticas de los cuerpos, el hecho de que cuerpos de diferentes masas caigan unos más rápidos que otros se debe a características aerodinámicas y nunca tendrá como razón la relación entre las masas de los mismos. Las ecuaciones que rigen la caída libre son las siguientes: [4] V = V o + gt [5] h = h o + V o t + 1 2 gt2 Operando con las ecuaciones [4] y [5] obtenemos la ecuación: [6] V 2 - V 0 2 = 2gh En los movimientos de caída libre, al dejar caer los objetos, la velocidad inicial será siempre cero. Sin embargo, si efectuamos un lanzamiento vertical, ya sea ascendente o descendente, la velocidad inicial del objeto será siempre distinta de cero. Existen diferentes criterios para asignar signo a g, nosotros nos decantaremos por el cinemático: En los movimientos de bajada, el valor de g será positivo (aumenta la velocidad) En los movimientos de subida, g tendrá signo negativo (disminuye la velocidad) 3.4 Composición de movimientos Principio de superposición de Galileo El principio de superposición afirma que el movimiento resultante de un cuerpo sometido a varios movimientos se obtiene sumando vectorialmente los movimientos, tanto si son simultáneos o sucesivos. Composición de dos MRU El movimiento resultante es otro MRU. Podremos considerar dos casos: Los dos movimientos en la misma dirección: V = V 1 + V 2 Por ejemplo: un barca en un rio navegando a favor o en contra de corriente: 8
Los dos movimientos presentan direcciones paralelas: Eligiendo los ejes en la dirección de cada movimiento: V = V x + V y V = V x i + V y j Composición de un MRU con un MRUA Si los dos movimientos presentan direcciones perpendiculares, se produce un movimiento parabólico, como el tiro horizontal y como el tiro oblicuo. Tiro horizontal Un cuerpo describe un tiro horizontal cuando lo lanzamos horizontalmente desde cierta altura. Este movimiento se puede entender como la composición de: 1. Un MRU en el eje X de velocidad V o cte. X = V o t ; V x = V o ; a x = 0 2. Un MRUA (caída libre) en el eje Y: Y = H - 1 2 gt2 ; v y = - g t ; a y = - g Tiro oblicuo Un cuerpo describe un tiro oblicuo cuando lo lanzamos con una velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal. Este movimiento se puede entender como la composición de: Un MRU en el eje X de velocidad V ox X = V o t cos ; V ox = V o cos ; a x = 0 Un MRUA (caída libre) en el eje Y: Y = H + V o sen 1 2 gt2 ; v y = V o sen - g t ; a y = - g 9
Las anteriores ecuaciones permiten el cálculo de parámetros de interés como: 1. La altura máxima: es la altura que alcanza el cuerpo cuando se anula v y 2. El tiempo de vuelo: Es el tiempo que tarda el móvil en llegar al suelo. 3. El alcance máximo: es la distancia horizontal que recorre el objeto. 4. El ángulo de trayectoria: es el ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal en un momento dado 3.5 Movimientos circulares. Un cuerpo realiza un movimiento circular cuan.do la trayectoria que dibuja es una circunferencia. El estudio de los movimientos circulares es más sencillos si utilizamos las magnitudes angulares. Magnitudes angulares Si situamos nuestro sistema de referencia en el centro de la circunferencia, el módulo del vector posición es constante y coincide con el radio de la trayectoria. Este vector varía su dirección, que podemos expresar mediante el ángulo que forma con el semieje positivo. Este ángulo recibe el nombre de posición angular, su unidad de medida en el SI es el radián (rad) y es función de tiempo (t). Si un móvil, en el instante, t 1, se encuentra en una posición 1, ésta vendrá descrita por su ángulo 1. Si transcurrido un instante t 2, cambia de posición, esta vendrá descrita por su correspondiente ángulo 2. A la magnitud que relaciona el ángulo descrito y el tiempo invertido 10
en ello, se le denomina velocidad angular podremos hablar tanto de velocidad angular media como velocidad angular instantánea: Velocidad angular media : = Δφ Δt = φ2 φ1 t2 t1 Velocidad angular instantánea: = lim Δt 0 Δφ Δt = dφ dt La unidad de medida de la velocidad angular en el SI es el radian/segundo (rad/s). Auue en ocasiones puede venir expresada en revoluciones por minuto (rpm). Si la velocidad angular no se mantiene constante, aparece una nueva magnitud que recibe el nombre de aceleración angular que nos relaciona el cambio que experimenta en un tiempo determinado: Aceleración angular media : = Δω Δt = ω2 ω1 t2 t1 Aceleración angular instantánea: = lim Δt 0 Δω Δt = dω dt La unidad de medida de la aceleración angular en el SI es el radián por segundo cuadrado (rad/s 2 ). Las magnitudes angulares se relacionan fácilmente con las magnitudes lineales: S= R V = R a t = R Movimiento circular uniforme (MCU) Un cuerpo realiza un movimiento circular uniforme cuando cumple las siguientes características: Trayectoria circular dirección de velocidad variable a n =cte Módulo de velocidad constante a t = 0 a = a t + a n a = a n Velocidad angular constante: recorre ángulos iguales en tiempos iguales Es un movimiento periódico, pues sus características se repiten cada cierto intervalo de tiempo. 11
La ecuación que rige este movimiento es la siguiente: = o + t En el MCU se pueden definir los conceptos: Periodo (T): es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta. Su unidad de medida en el SI es el segundo. = 2π T Frecuencia (f) : es el número de vueltas que describe el móvil en la unidad de tiempo. La unidad de media de la frecuencia en el SI es el s -1 o hertzio (Hz). T= 1 f = 2f El módulo de la aceleración normal se calcula mediante la expresión: a n = V2 R Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado cuando recorre una circunferencia con aceleración angular constante. Las características de este movimiento son los siguientes: Trayectoria circular dirección de velocidad variable a n cte Módulo de velocidad varia a t = cte Velocidad angular varía uniformemente. Aceleración angular constante cte. a = a t + a n Las ecuaciones propias de este movimiento son: = + t Combinando estas ecuaciones: 2 - ω 0 2 = 2 = + t + 1 2 t2 12
Relación de ejercicios y problemas de cinemática 1.- El observador A está pescando en la orilla de un río y el observador B está sobre una balsa que es arrastrada por la corriente del río. Indica para cuál de estos observadores es cierta cada una de las afirmaciones siguientes: a) Los árboles de la orilla están en movimiento. b) La balsa está en reposo. c) Los árboles de la orilla y la balsa están en reposo. 2.- Halla la expresión del vector posición, y su módulo, para los siguientes puntos: a) P 1 ( 2, 4). b) P 2 (2, 0). c) P 3 (0, 4). d) P 4 (0, 4). 3.- El vector posición de un cuerpo viene dado por la ecuación: expresada en unidades del S.I. Calcula, para dicho cuerpo: a) Su posición inicial. b) Su distancia al origen en t = 3 s. c) La expresión del vector desplazamiento y su módulo, entre los instantes t 1 = 1 s y t 2 = 4 s. 4.- Un móvil está en el instante t 1 = 1 s, en P 1 (3, 5), y en t 2 = 5 s, en P 2 (15, 21). Las coordenadas se miden en m. Calcula la velocidad media entre ambas posiciones. 5.- Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 2 + 3 t ; y = t 2 en unidades del S.I. Calcula su velocidad media entre los instantes t 1 = 1 s y t 2 = 3 s. 6.- La ecuación del movimiento de un cuerpo es: En unidades del S.I. Calcula, para el intervalo comprendido entre t 1 = 2 s y t 2 = 4 s, la velocidad media del cuerpo. 7.- El vector posición de un móvil es: expresado en unidades del S.I. Calcula: a) Su velocidad media entre t = 2 s y t = 6 s. b) Su velocidad en el instante t. c) El módulo de su velocidad para t = 2 s y para t = 6 s. 8.- Un cuerpo se mueve de acuerdo con la siguiente ley horaria: s = 5 + 10 t + t 2, donde s se expresa en m, y t, en s. Calcula: a) El espacio inicial y el espacio a los 5 s. b) La celeridad media durante los cinco primeros segundos. c) Su celeridad en cualquier instante. 9.- La velocidad de un cuerpo viene dada por la ecuación: unidades del S.I. Calcula: a) Su velocidad inicial y su velocidad al cabo de 2 s. b) Su aceleración media entre ambos instantes. c) Su aceleración instantánea para t = 2 s. 10.- Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 2 t 2 ; y = 10 + t 2, expresadas en unidades del S.I.: a) Calcula el vector posición para t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s y t = 4 s. b) Dibuja la trayectoria del móvil y escribe su ecuación. c) Calcula el vector desplazamiento entre t = 1 s y t = 4 s, y entre t = 2 s y t = 3 s. d) Coincide el módulo del vector desplazamiento con el espacio recorrido en un intervalo cualquiera? 11.- El vector posición de un móvil, en unidades del S.I., es: 13
Calcula: a) Su vector posición para el instante inicial y para t = 5 s. b) La velocidad media entre ambas posiciones. c) La velocidad inicial y en el instante t = 5 s. 12.- Las ecuaciones de la trayectoria de un cuerpo son: x = 6 t + t 2, y = 10 + 5 t, donde x e y se expresan en m y t en s. Determina: a) La velocidad media durante el primer segundo y durante el tercer segundo. b) Su velocidad en cualquier instante. c) El módulo de la velocidad al cabo de un segundo y al cabo de tres segundos. 13.- Un cuerpo se mueve con la siguiente velocidad: en unidades del S.I. Calcula: a) Su aceleración media entre t = 2 s y t = 5 s. b) Su aceleración media durante los dos primeros segundos de su movimiento. c) Su aceleración instantánea 14.- Razona sobre la veracidad o la falsedad de las siguientes proposiciones: a) En un movimiento circular siempre existe aceleración. b) En los movimientos rectilíneos no hay aceleración normal. c) En un movimiento circular uniforme no hay aceleración. d) En todo movimiento circular, la aceleración normal es constante. 15.- El módulo de la velocidad de un cuerpo que recorre una circunferencia de 300 m de radio varía de acuerdo con la expresión: v = 10 + 4 t en unidades del S.I. Calcula: a) La aceleración tangencial del cuerpo en cualquier instante. b) Su aceleración normal para t = 5 s. c) El módulo de su aceleración para t = 5 s. 16.- La ecuación del movimiento de un cuerpo es: expresada en unidades del S.I. Calcula su aceleración instantánea. 17.- El vector posición de un cuerpo es: Expresado en unidades del S.I. Calcula: a) La ecuación de la trayectoria. b) La velocidad, y su módulo, en cualquier instante. c) Su aceleración en cualquier instante. d) Las componentes intrínsecas de la aceleración. 18.- Dos hermanos van desde el pueblo A al pueblo B, que dista 3 km del primero. El hermano mayor, que camina con una rapidez de 9 km/h, sale del punto A y, en el mismo instante, pero 500 m por delante de él, sale el más pequeño caminando a 7,2 km/h. Calcula: a) El tiempo que tarda cada uno en llegar al pueblo B. b) El tiempo que tarda el mayor en adelantar al pequeño. c) La distancia a la que se encuentra de A cuando lo adelanta. Dibuja en un mismo diagrama la gráfica x-t de ambos movimientos. 19.- Un automóvil que parte del reposo alcanza una velocidad de 100 km/h en 10 s. Calcula su aceleración y el espacio recorrido en ese tiempo. Dibuja las gráficas x-t y v-t del movimiento. 20.- Calcula la aceleración de un cuerpo que parte del reposo y posee una velocidad de 20 m/s después de recorrer 100 m. 14
21.- Un autobús que circula a 90 km/h frena y se detiene en 5 s. Calcula la aceleración de frenado y el espacio que recorre hasta pararse. Dibuja las gráficas x-t y v-t en este caso. 22.- Desde qué altura se ha de soltar un cuerpo para que llegue al suelo con una velocidad de 100 km/h? Cuánto tiempo está en el aire? 23.- Se deja caer un cuerpo y tarda 3 s en llegar al suelo. Calcula desde qué altura se soltó y su velocidad al llegar al suelo. 24.- Desde el suelo lanzamos verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 12 m/s. Calcula el tiempo que tarda en volver al suelo, la altura máxima que alcanza y la velocidad con que llega al suelo. 25.- Lanzamos desde el suelo una moneda verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s y, en el mismo instante y desde una altura de 40 m, se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad de 5 m/s. Calcula la altura a la que se cruzan. La moneda está subiendo o bajando en ese instante? Dónde está la piedra cuando la moneda alcanza su altura máxima? 26.- Un avión vuela horizontalmente a 150 m/s y suelta un paquete que tarda 10 s en caer al suelo. Calcula: a) La altura de vuelo del avión. b) La distancia hasta la vertical del punto de lanzamiento a la que cae el paquete. 27.- Si un arquero dispara una flecha horizontalmente desde una altura de 1,50 m y llega al suelo a una distancia de 200 m, calcula la velocidad con que sale la flecha del arco y con la que llega al suelo. 28.- Obtén las expresiones de la altura máxima, del tiempo de vuelo y del alcance, para un cuerpo lanzado desde el suelo con una elevación. 29.- Un jugador de baloncesto lanza el balón desde una altura de 2,50 m con una elevación de 37 y encesta en la canasta situada a 6,25 m de distancia y 3,05 m de altura. Calcula la velocidad con que lanzó el balón. 30.- Calcula la velocidad con que se ha lanzado un balón para que choque a 3 m de altura con una pared situada a 9 m, si sale con una elevación de 30. El balón está ascendiendo o descendiendo cuando choca con la pared? 31.- Para cada una de las manecillas de un reloj (segundero, minutero y horario), calcula: a) El período. b) La frecuencia. c) La velocidad angular, en rad/s. 32.- Un taladro eléctrico puede trabajar en dos modos: 1 000 r.p.m. y 2 500 r.p.m. Expresa en rad/s la velocidad angular con que gira la broca en cada situación y calcula la velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro de 1 cm. 33.- Un cuerpo recorre una circunferencia de 20 m de radio con una velocidad lineal de 15 m/s. Calcula: a) El período y la frecuencia. b) Su velocidad angular. c) Su aceleración. d) El número de vueltas que da en 10 minutos. 34.- Un disco de 30 cm de diámetro, inicialmente en reposo, empieza a girar alrededor de un eje perpendicular y que pasa por su centro con una aceleración angular de 5 rad/s2. Calcula, a los 20 s: a) Su velocidad angular y el número de vueltas que ha dado. b) La velocidad lineal y el espacio recorrido por un punto del borde del disco. 35.- El velocímetro de una bicicleta estática indica la velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda. Si inicialmente marca 36 km/h y a los 40 s marca 72 km/h, y la rueda tiene un diámetro de 50 cm, calcula: a) La velocidad angular inicial y final. b) La aceleración angular. c) Las vueltas que ha dado la rueda en ese tiempo. 15
36.- La gráfica x-t del movimiento de un cuerpo es la representada en la figura adjunta: Calcula: a) La velocidad del cuerpo en cada etapa. b) Su distancia al origen en t = 20 s y t = 50 s. c) Su velocidad media entre t = 20 s y t = 50 s. Cómo está el cuerpo en t = 35 s? 37.- Un cuerpo parte del reposo desde el origen de coordenadas y alcanza una velocidad de 40 m/s en 10 s. Calcula su aceleración, supuesta constante. Escribe las ecuaciones de este movimiento y dibuja las gráficas x-t y v-t. Calcula su velocidad y el espacio recorrido a los 7 s. 38.- La gráfica v-t del movimiento de un cuerpo es: Calcula: a) La aceleración en cada etapa. b) Su velocidad a los 20 s, a los 50 s y a los 120 s. c) El espacio total recorrido por el cuerpo. 40.- Un autobús circula a 108 km/h. Al pasar por delante de un motorista, este arranca con una aceleración de 5 m/s 2. Qué distancia hay entre ambos al cabo de 5 s? Cuánto tarda el motorista en alcanzarlo? Cuál es su velocidad en ese instante? 41.- Se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 30 m/s: a) En qué instantes la altura de la pelota es de 20 m? b) Cuándo tiene la pelota una velocidad de 20 m/s hacia arriba? c) Y hacia abajo? d) Calcula la altura, la velocidad y la aceleración en el punto más alto. 42.- Calcula la velocidad con la que se lanzan verticalmente hacia arriba dos cuerpos si uno sube 20 m y el otro está en el aire 5 s. 43.- Un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo desde una altura de 50 m tarda 2 s en llegar al suelo. Calcula la velocidad con que fue lanzado y la velocidad con que llegó al suelo. 44.- Desde la azotea de un edificio de 75 m de altura se suelta una piedra. En el mismo instante, y desde el suelo, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 25 m/s: a) Cuánto tardan en cruzarse? b) Calcula la altura y la velocidad de ambos cuerpos en ese instante. Dónde está la piedra cuando la pelota alcanza su máxima altura? 45.- Un nadador tarda 2 minutos en recorrer una distancia de 240 m en un río cuando nada a favor de la corriente, y 4 minutos si lo hace en contra de la corriente. Calcula la velocidad del 16
nadador y la velocidad de la corriente del río. Sabiendo que si nada perpendicularmente a la corriente tarda 2 minutos en llegar a la otra orilla, calcula la anchura del río y cuánto se ha desplazado del punto de partida. Si desea cruzar perpendicularmente el río, en qué dirección ha de nadar? Cuánto tarda en cruzarlo? 46.- Desde lo alto del palo mayor de un velero que navega a 6 m/s, a una altura, h, de 19,6 m, se suelta una piedra. Calcula: a) El tiempo que tarda la piedra en llegar a la cubierta del barco. b) El punto de la cubierta donde cae la piedra. Qué tipo de movimiento realiza la piedra para un observador situado en el velero? Y para otro situado en la orilla? 47.- Un atleta lanza un peso a 23 m de distancia. La trayectoria de lanzamiento se inicia a 2 m de altura y con una elevación de 45. Calcula el tiempo que está el peso en el aire, la velocidad inicial del peso y la altura máxima que alcanza en su movimiento. 48.- Desde la línea de 6,25 m, un jugador de baloncesto lanza el balón con una elevación de 35 y desde una altura de 2 m. Con qué velocidad ha de lanzar el balón para que entre en la canasta, situada a 3,05 m de altura? 49.- Dos alumnos están a la misma distancia de una papelera de 30 cm de altura, en la que intentan meter una bola de papel. Un alumno está de pie y lanza horizontalmente la bola con una velocidad de 10 m/s desde una altura de 2,10 m. El otro está sentado y lanza la bola con una elevación de 30 y una velocidad de 8 m/s desde una altura de 75 cm. Si el alumno que está de pie hace canasta, calcula la distancia entre la papelera y los alumnos. Hace canasta el alumno que está sentado? Considera g = 10 m/s2. 50.- Un disco de 25 cm de radio ha dado 70 vueltas en 10 s, momento en el cual su velocidad angular es 64 rad/s. Calcula: a) Su aceleración angular y su velocidad angular inicial. b) La velocidad lineal y el espacio recorrido por un punto de su periferia a los 5 s. 51.- Dos cuerpos parten del mismo punto de una circunferencia de 20 m de radio y la recorren en sentidos contrarios. Uno tarda 40 s en dar una vuelta y el otro se mueve a 1 r.p.m. Calcula: a) El tiempo que tardan en cruzarse. b) El ángulo descrito y el espacio recorrido por cada uno. 17