TEMA 6.- GEOMETRÍA Y SEMEJANZA 1.- ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS. Ángulo recto Ángulo llano Ángulo agudo Ángulo obtuso (mide 90º) (mide 180º) (mide menos de 90º) (mide más de 90º) Tipos de ángulos Ángulos complementarios Ángulos suplementarios (suman 90º. B = 90º - A) (suman 180º. D = 180º - C) Para medir ángulos se usan principalmente dos sistemas de medida: - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es 1/90 del ángulo recto. En este sistema el ángulo recto mide 90º y el ángulo llano 180º Medida de ángulos - El sistema circular que usa como unidad de medida el radián. Un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio. Para pasar de grados a radianes o viceversa, puedes usar la equivalencia: 180º π rad Tipos de triángulos Equilátero Isósceles Escaleno Triángulo rectángulo (lados iguales) (sólo lados iguales) (lados distintos) (1 ángulo recto) Teorema de Pitágoras a = b + c a = hipotenusa ; b, c = catetos Suma de los ángulos del triángulo En todos los triángulos la suma de sus 3 ángulos vale 180º Perímetro de una figura Es la suma de todos sus lados Área de una figura Es la superficie de la región que encierra - 1 -
Ejercicios de clase 1 Resuelve los siguientes problemas de ángulos: a) Expresa en grados, minutos y segundos el complementario del ángulo 85, º b) Expresa en forma decimal el suplementario del ángulo 140 º 35 45 c) Expresa en radianes los ángulos 330 º y 150 º 36 d) Expresa en grados sexagesimales los ángulos 4π/5 rad y,5 rad Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 100 º, el lado desigual mide 1 m y la altura 3 m. Calcula el valor de los lados y ángulos que faltan 3 El hueco de una ventana tiene forma rectangular de 80 cm de alto y 0 cm de ancho. Averigua si es posible meter a través de la ventana, de forma longitudinal, una barra de hierro de 85 cm. Y si fuera de 0,8 m? 4 Lola y Jaime parten del mismo punto y caminan en línea recta formando un ángulo de 90º. Lola va a velocidad constante de 1,5 m/s y Jaime a m/s. Qué distancia habrá entre ellos cuando pasen 40 min 15 s? 5 Para subir a una ventana que está situada a 4 m de altura del suelo disponemos de una escalera de 5 m de longitud. A qué distancia de la base de la pared habrá que situar la base de la escalera para subir con facilidad? 6 Calcula cuanto mide cada lado de un triángulo equilátero de 4,3 m de altura Ejercicios (para el alumno/a) 1 Usando la calculadora científica expresa en grados, minutos y segundos: a) 30,4 º b) 10,67 º c) El complementario de 40,3 º Usando la calculadora científica expresa en forma decimal: a) 10 º 40 1 b) 15 º 36 c) El suplementario de 84 º 36 0 3 Expresa en radianes los siguientes ángulos y en función de π: a) 90 º b) 60 º c) 135 º d) 10 º e) 315 º 4 Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) 40,5 º b) 145 º 15 5 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos: a) 7π/6 rad b) 5π/1 rad c) 4π rad 6 Expresa en grados sexagesimales: a) rad b) 3,8 rad 7 Averigua si es posible introducir una barra rígida de un metro, de forma longitudinal, a través de una ventana cuadrada de 70 cm de lado 8 Supongamos que dos ciclistas parten del mismo punto uno hacia el Sur y el otro hacia el Oeste. Van en línea recta y con velocidad constante, el primero a 3 km/h y el segundo a 36 km/h. Qué distancia habrá entre los dos cuando pasen 3 h 45 min? 9 Una escalera de 18 metros se apoya en la parte más alta de una casa. Si la distancia del pie de la escalera a la base de la casa es de 15 metros, cuál es la altura de la casa? 10 Cuál es la altura de un rectángulo de 10 cm de base y 15 cm de diagonal? 11 Cuál es la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm, 10 cm y 1 cm? 1 Cuánto mide el lado de un triángulo equilátero de 1 m de altura? - -
.- ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Triángulo A = b h b = base h = altura Rectángulo A = b h b = base h = altura Paralelogramo A = b h b = base h = altura Cuadrado A = a a = lado Rombo A = D d D = diagonal mayor d = diagonal menor Trapecio A = (B + b) h B = base mayor b = base menor h = altura Polígono Regular (lados y ángulos iguales) A = P a P = perímetro a = apotema Circunferencia y círculo L = π R A = π R R = radio L = longitud π 3,14 L = π (R + r) A = π (R r ) Corona circular R = radio mayor, r = radio menor L = longitud π 3,14-3 -
Ejercicios de clase 1 Una señal de tráfico con forma de triángulo equilátero tiene 40 cm de altura. Calcula su perímetro y su área. Una parcela tiene forma de rectángulo de 30 m de altura. La diagonal del rectángulo mide 50 m. a) Si quiero rodear la parcela con una alambrada, cuántos metros de alambre necesito? b) Cuánto valdrá la parcela a razón de 10,50 /m? 3 En una catedral hay una ventana de cristal con forma de rombo de 30 cm de lado y 48 cm de diagonal mayor. Cuántos cm de cristal se necesitan para construir la ventana? 4 Una finca tiene forma de trapecio isósceles de 50 m de altura, base mayor 800 m y lados no paralelos 300 m. Se ha rodeado con una valla. a) Halla la longitud de la valla b) Calcula la superficie de la finca 5 Se desea instalar el escudo de un club de baloncesto en forma de hexágono regular de 3,5 m de apotema. Qué superficie cubrirá en la pista de baloncesto? 6 Roberto quiere hacer un viaje de 0 km en bicicleta, si el diámetro de las ruedas de la bicicleta es de 35 cm, calcula el número de vueltas que darán las ruedas a lo largo del viaje. 7 Se quiere construir una pista circular con forma de corona. La circunferencia mayor de la misma tiene un radio de 50 m y el radio de la menor es 5 m. a) Si el m cuesta,05, cuánto costará construir la pista? b) Cuál es el perímetro de la corona circular? 8 Se quiere recortar en un cartón cuadrado de 144 cm de área el mayor círculo posible. a) Cuánto medirá su radio? b) Cuál será su área? c) Cuántos cm de cartón se desperdiciarán? 9 Halla el área comprendida entre un eneágono regular de 1 m de lado y 18 m de apotema y su circunferencia circunscrita Ejercicios (para el alumno/a) 1 Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3 m de diagonal si el m de tela cuesta 15. Cuánto costará pintar un trapecio de 18 m de base mayor, 1 m de base menor y 4 m de altura si nos cobran a 6,5 el m? 3 Una celdilla de abeja tiene forma hexagonal de 0 mm de apotema. Cuál es su superficie en cm? 4 Una plaza de toros tiene un diámetro de 50 m. Calcula la longitud y la superficie de la plaza. 5 Que superficie cubrirá una pizza de 1,4 m de diámetro? 6 Calcula el área comprendida entre un rectángulo de 1 cm de base y 15 cm de diagonal y el rombo inscrito en él. - 4 -
3.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS DEL ESPACIO Cubo A = 6 a V = a 33 a = arista Ortoedro A = (ab + ac + bc) V = a b cc a = largo b = ancho c = alto A T = A B + P B h V = A B hh Prisma regular P B = perímetro de la base A B = Área de la base h = Altura A T = Área total A T = π r (h + r) V = π r hh Cilindro r = Radio h = Altura A T = Área total Pirámide regular A T = P (a + A ) B p p V = 1 3 A B hh Ap = Apotema de la pirámide h = Altura P B = Perímetro de la base A B = Área de la base a p = apotema de la base A T = Área total Por el teorema de Pitágoras: Ap = h + a p A = π r (g + r) V = 1 3 π r hh Cono g = Generatriz r = Radio h = Altura Por el teorema de Pitágoras: g = h + r Esfera A = 4 π r V = 4 3 π r33-5 - r = Radio
Ejercicios de clase 1 Una habitación tiene forma de ortoedro de 5 m de largo, 3 m de ancho y 4 m de alto. a) Cuánto nos costará pintar las paredes y el techo a razón de /m? b) Calcula cuántos litros de aire caben en la habitación En un recipiente de forma cúbica con tapa entran 15 000 litros de agua. Se desean pintar todas las paredes externas. Cuánto se deberá pagar a un pintor que cobra a razón de 10 /m? 3 Un prisma recto tiene 9,6 m de altura y la base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 5,3 m. Calcular el área total y el volumen. 4 La base de una pirámide regular es un hexágono regular de 4 cm de apotema. La arista lateral mide 5 cm. Calcula: a) El área de la base b) La apotema de la pirámide c) La altura de la pirámide d) El área y el volumen de la pirámide 5 Halla el área y el volumen de un cono de 6 cm de diámetro, sabiendo que la generatriz del cono mide el triple que el radio. 6 Un balón de fútbol tiene forma esférica de 1 cm de diámetro. a) Cuántos litros de aire le caben? b) Cuál es su superficie? Ejercicios (para el alumno/a) 1 Necesitamos construir una caja con tapa, de base rectangular cuyas dimensiones son: 30 cm de largo, cm de ancho y 10 cm de altura. a) Cuántos cm de cartulina se necesita? b) Qué volumen ocupa la caja? A una pecera de cristal con forma de cubo con tapa le caben 8 litros de agua. Cuántos cm de cristal se necesitan para construirla? 3 Calcula el área total y el volumen de un prisma regular hexagonal de 6 cm de altura. El lado de la base mide 4 cm y su apotema 3,5 cm 4 El techo de un pabellón educativo tiene forma de pirámide hexagonal de 5 m de altura y 3 m de lado de la base. Calcula la superficie y el volumen de la pirámide 5 La base de una pirámide regular es un hexágono regular de 8 cm de apotema. La arista lateral mide 50 cm. Calcula: a) El área de la base b) La apotema de la pirámide c) La altura de la pirámide d) El área y el volumen de la pirámide 6 Una empresa de carburantes posee un tanque de almacenamiento cilíndrico de 50 m de diámetro y 40 metros de altura. Calcula la superficie y el volumen 7 Halla el volumen de un cono de 5 m de radio y 1 m de generatriz 8 La esfera, símbolo de la Expo de Sevilla de 199, tiene un diámetro de m. a) Cuál es su superficie? b) Cuántos litros de aire le caben?. Expresa los litros en notación científica - 6 -
4.- SEMEJANZA DE FIGURAS Y CUERPOS Dos triángulos son semejantes si son iguales o bien tienen la misma forma y distinto tamaño. Para que dos triángulos sean semejantes se debe cumplir alguna de las siguientes condiciones, llamadas criterios de semejanza: 1) Tienen dos ángulos iguales A = A B = B Triángulos y figuras semejantes ) Tienen los lados proporcionales. a b c a b c r = = = = razón de semejanza 3) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. Dos figuras planas son semejantes si son iguales o bien tienen la misma forma y distinto tamaño La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a la razón de semejanza: P / P = rr La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: A / A = r Dos cuerpos son semejantes si son iguales o bien tienen la misma forma y distinto tamaño Cuerpos semejantes La razón entre las áreas de dos cuerpos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: A / A = r La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza: V / V = r 33 Ejercicios de clase 1 Dado un triángulo de lados a = 3 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. Queremos construir otro triángulo semejante de lados a', b' y c' de forma que c' = 1,4 cm. Halla: a) La razón de semejanza b) Los restantes lados c) La razón entre sus perímetros d) La razón entre sus áreas Averigua el valor de x - 7 -
3 Cuál es la profundidad, h, del pozo 4 La escala de un mapa es E : 1:5000. a) Cuál es la razón de semejanza entre el mapa y la realidad? b) La distancia en línea recta entre dos ciudades A y B es 6,5 km en la realidad. Cuál sería la distancia en el mapa? c) Si la distancia entre dos puntos del mapa es 1 cm, cuál es la distancia en la realidad? d) Una región tiene un perímetro de 3 500 km en la realidad, cuál es el perímetro en el mapa? e) La superficie de una provincia, en el mapa, es de 1 cm. Cuál es su superficie en la realidad? f) Tenemos otro mapa a escala en el que dos pueblos que distan 0 km en la realidad, en el mapa están a 5 cm. Cuál es la escala de este mapa? 5 Una fotografía de ancho 6,5 cm y largo 10,5 cm se amplía a un ancho de 13 cm. a) Cuál será el largo? b) Cuántas veces es mayor la superficie de la foto ampliada? 6 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. a) Si el área del segundo es 6 cm, cuál es el área del primero? b) Si el perímetro del primero es 1 cm, cuál es el perímetro del segundo? 7 Dados dos cuerpos semejantes, se sabe que el área del segundo es 5 veces mayor que el área del primero. a) Cuál es la razón de semejanza? b) Si el volumen del segundo cuerpo es 40 cm 3, cuál es el volumen del primero? Ejercicios (para el alumno/a) 1 Los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan. Se tienen dos triángulos. Los lados del primero miden a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm y los lados del segundo miden a = 5,6 cm, b = 7 cm, c = 11, cm. Explica si son o no semejantes. En caso de ser semejantes, halla a) La razón de semejanza b) La razón entre sus perímetros c) La razón entre sus áreas 3 Dado un triángulo de lados a = 5 cm, b = 8 cm, c = 1 cm. Queremos construir otro triángulo semejante lados a', b' y c' de forma que b' = 5 cm. Halla: a) La razón de semejanza b) Los restantes lados c) La razón entre sus perímetros d) La razón entre sus áreas 4 Un gran pino, a las once de la mañana de un cierto día, arroja una sombra de 6,5 m. Próximo a él, una caseta de,8 m de altura proyecta una sombra de 70 cm. Cuál es la altura del pino? 5 Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo. Cuál es la altura del árbol? 6 La verdadera distancia de La Coruña a Gijón, en línea recta, es de 0 km. En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. Cuál es la escala del mapa? 7 Una pareja, que va a comprar una casa, consulta un callejero a escala 1:30 000, mide la distancia de ésta al metro y resulta ser de cm. Cuál es la distancia real?. Por otro lado, saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5 km. A qué distancia se encontrarán en el callejero? 8 Dos polígonos semejantes tienen perímetros P = 36 m, P = 144 m. Si el área del segundo polígono es 11 m, cuál es el área del primero? 9 Dos cuerpos semejantes tienen áreas A = 45 cm, A = 405 cm. Cuántas veces es mayor el volumen del segundo que el del primero? - 8 -