LAS VARIACIONES DE SOL LEWITT SOBRE CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS SIGMA 32 Vicente Meavilla Seguí (*) Figura 1. Sol LeWitt. Incomplete Open Cube,1974 INTRODUCCIÓN La fotografía de la figura anterior reproduce una bella estructura tridimensional del artista minimalista norteamericano Sol LeWitt (1928-2007) que forma parte de la colección Variations of Incomplete Open Cubes, integrada por más de un centenar de obras. Todas las esculturas de dicha serie (cubos abiertos incompletos) se generan a partir del esqueleto de un cubo del que se eliminan n aristas (1 n 9) de modo que la composición resultante no esté "contenida" en un plano. (*) Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza. Mayo 2007 2007ko Maiatza 195
Vicente Meavilla Seguí Así, el objeto 3D de la figura 2 no es un cubo abierto incompleto con tres aristas. Figura 2. Estructura tridimensional que no se encuentra en el catálogo de la colección de Sol LeWitt EL PROBLEMA Llegados a este punto parece natural que nos planteemos el siguiente interrogante: De cuántas esculturas consta la colección Variations of Incomplete Open Cubes? Para responder a esta pregunta esbozaremos un proceso empírico (1) de aproximaciones sucesivas que si se aplica pacientemente permite resolver los nueve subproblemas siguientes: Cuántos cubos abiertos incompletos distintos tienen tres aristas? Cuántos cubos abiertos incompletos distintos tienen cuatro aristas?................................................. Cuántos cubos abiertos incompletos distintos tienen once aristas? A lo largo del procedimiento utilizaremos un material didáctico, disponible en el mercado, y compuesto por cubos encajables. CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS CON TRES ARISTAS Haciendo uso de dicho material no resulta difícil construir los tres cubos abiertos incompletos con tres aristas (véase la figura 3). Figura 3. Los tres cubos abiertos incompletos con tres aristas CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS CON CUATRO ARISTAS Añadiendo una nueva arista a cada una de las tres esculturas anteriores se pueden generar cubos abiertos incompletos con cuatro aristas. 196 SIGMA Nº 30 SIGMA 30 zk.
Las variaciones de Sol LeWitt sobre cubos incompletos Así, a partir del sólido naranja de la figura 3 se pueden diseñar las seis estructuras siguientes: Figura 4. Seis cubos abiertos incompletos naranjas con cuatro aristas Son todas distintas? Manipulando físicamente los seis objetos 3D anteriores se observa que cada una de las parejas 1-6, 2-5 y 3-4 define una escultura diferente. Por tanto, a partir del sólido naranja de la figura 3 se obtienen tres cubos abiertos incompletos con cuatro aristas (el 1, el 2 y el 3 de la figura 4). Por otro lado, añadiendo una arista a la estructura amarilla de la figura 3 se engendran media docena de cubos abiertos incompletos con cuatro aristas (véase la figura 5). Mayo 2007 2007ko Maiatza 197
Vicente Meavilla Seguí Figura 5. Seis cubos abiertos incompletos amarillos con cuatro aristas Manipulando convenientemente las seis esculturas anteriores se descubre que cada una de las ternas 7-9-12 y 8-10-11 define un objeto tridimensional diferente. Además, el sólido 7 es análogo a la estructura 1 de la figura 3. En consecuencia, los seis sólidos amarillos sólo dan origen a una nueva escultura: la 8. Por último, si se añade una arista al cubo abierto incompleto azul de la figura 3 se obtienen las seis composiciones 3D representadas en la figura 6. 198 SIGMA Nº 30 SIGMA 30 zk.
Las variaciones de Sol LeWitt sobre cubos incompletos Figura 6. Seis cubos abiertos incompletos azules con cuatro aristas Resulta fácil comprobar que cada una de las parejas 13-15, 14-16 y 17-18 define una escultura diferente. Además, la estructura 13 coincide con la 1 y la 14 con la 8. Por tanto, los seis objetos azules sólo dan origen a un nuevo cubo abierto incompleto: el 17. Resumiendo: Con cuatro aristas se pueden construir cinco cubos abiertos incompletos (véase la figura 7). Mayo 2007 2007ko Maiatza 199
Vicente Meavilla Seguí Figura 7. Los seis cubos abiertos incompletos con cuatro aristas CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS CON MÁS DE CUATRO ARISTAS A partir de aquí, resulta claro que para contar los diferentes cubos abiertos incompletos con cinco aristas deberemos añadir (de todas las formas posibles) una arista a cada una de las cinco estructuras anteriores, eliminar las estructuras que estén repetidas y contabilizar las que sobren. De este modo se llegan a descubrir catorce esculturas con cinco aristas. Añadiendo una nueva arista a cada uno de los catorce objetos 3D anteriores obtendremos cubos abiertos incompletos con seis aristas de los cuales sólo veinticuatro son distintos. Repitiendo el mismo procedimiento hasta que las esculturas tengan once aristas podríamos contar el número de cubos abiertos incompletos con siete, ocho, nueve, diez y once aristas. En la tabla adjunta, a modo de resumen, se indica el número de esculturas de cada clase. Dejamos al lector interesado la construcción de los objetos de cada tipo (2). 200 SIGMA Nº 30 SIGMA 30 zk.
Las variaciones de Sol LeWitt sobre cubos incompletos Número de aristas Número de cubos abiertos incompletos 3 3 4 5 5 14 6 24 7 32 8 25 9 13 10 5 11 1 Total 122 UN PAR DE CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS El procedimiento descrito en las líneas precedentes quizás tiene escaso interés desde un punto de vista estrictamente matemático. No obstante, si se atiende: (1) a la tenacidad que debe tenerse para ponerlo en práctica, (2) al orden que debe seguirse para construir cada uno de los diversos objetos 3D involucrados en la resolución del problema, y (3) a la meticulosidad necesaria para eliminar las esculturas repetidas, resulta que la propuesta y desarrollo de situaciones problemáticas semejantes a la que hemos presentado en este artículo puede ser de gran utilidad a la hora de inculcar en nuestros alumnos y alumnas contenidos no conceptuales que podrán serles tanto o más útiles que aquellos en muchas facetas de su vida. El procedimiento descrito en este artículo se puede desarrollar sin la ayuda de material didáctico susceptible de ser manipulado físicamente (p. e.: con diagramas 2D). En esta situación, el reconocimiento de estructuras idénticas resulta más dificultoso y, consecuentemente, es preciso que los alumnos tengan una visión del espacio tridimensional más refinada de la que se precisa si se dispone de algún material similar al que hemos utilizado. Mayo 2007 2007ko Maiatza 201
Vicente Meavilla Seguí REFERENCIAS Sol LeWitt (American, 1928): http://www.artnet.com/galleries/artists_detail.asp?g=&gid=826&which=&aid= 10484&ViewArtistBy=online&rta=http://www.artnet.com Sol LeWitt: Devant l ouvre Incomplete Open cube http://www.geneve.ch/cellule-pedagogique/asource/lewitt02.pdf Sol LeWitt (American, 1928): Incomplete Open Cube 7/1, 1974. http://www.uky.edu/artmuseum/luce/top50/50/pages/lewitt_jpg.htm NOTAS Sol LeWitt. Incomplete Open Cube 7/1, 1974 (1) Consideramos que el procedimiento que vamos a utilizar para contar el número de cubos abiertos incompletos se puede desarrollar (al menos en parte) con alumnos de Educación Secundaria Obligatoria. (2) Los esquemas de los 122 cubos abiertos incompletos se encuentran en la siguiente dirección: http://www.geneve.ch/cellule-pedagogique/lewitt02.pdf 202 SIGMA Nº 30 SIGMA 30 zk.