Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica Matrices diagonalizables Autovalores y autovectores complejos A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resultados que veamos también serán válidos para el caso de matrices cuadradas complejas) De todos modos, aunque se trabaje con matrices reales, será imprescindible hacer referencia a los números complejos puesto que un polinomio con coeficientes reales puede tener raíces complejas no reales Autovalores y Autovectores: Definición y propiedades Definición Sea A una matriz cuadrada de orden m Diremos que un escalar λ K (= R o C) es un autovalor de A si existe un vector v K m, v 0 tal que Av = λv, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado al autovalor λ Proposición Sea λ un autovalor de A y v un autovector asociado, entonces: αλ es un autovalor de αa con autovector v (λ µ) es un autovalor de A µi con autovector v 3 λ k es un autovalor de A k con autovector v 4 Si q( ) es un polinomio, entonces q(λ) es un autovalor de q(a) con autovector v (Ejemplo: 3λ 3 + 5λ 7λ + es un autovalor de la matriz 3A 3 + 5A 7A + I) 5 Si A tiene inversa, entonces λ 0 y λ es un autovalor de A con autovector v Definición Sea A una matriz m m y sea λ 0 un autovalor de A Se llama: (a) Multiplicidad algebraica de λ 0, y se denota por m a (λ 0 ), a la multiplicidad de λ 0 como raíz del polinomio característico p(λ) = det(a λi) de A Es decir, p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (λ λ 0 ) m a(λ 0 ) q(λ), siendo q(λ) un polinomio (de grado m m a (λ 0 )) que no se anula para λ 0, q(λ 0 ) 0 (b) Multiplicidad geométrica de λ 0, y se denota por m g (λ 0 ), a la dimensión del espacio nulo de A λ 0 I, dim [Nul (A λ 0 I)] = m rango [(A λ 0 I)] Es decir, la multiplicidad geométrica coincide con el número (máximo) de autovectores linealmente independientes asociados al autovalor Lo único que se puede afirmar en general sobre la relación entre las multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor de una matriz viene dado por el siguiente resultado Lema Sea λ 0 un autovalor de una matriz A, entonces m g (λ 0 ) m a (λ 0 ) Proposición Sea A una matriz m m y sean λ, λ,, λ m sus m autovalores (cada uno aparece tantas veces como indique su multiplicidad algebraica) entonces: su polinomio característico es p(λ) = ( ) m (λ λ )(λ λ ) (λ λ m ) el determinante de A coincide con el producto de los autovalores: det(a) = λ λ λ m la traza de A coincide con la suma de los autovalores: Proposición Sea A una matriz m m, entonces: tr(a) := a + + a mm = λ + λ + + λ m
A t tiene los mismos autovalores que A (en general los autovectores asociados serán distintos) Si A es real y v es un autovector de A asociado a λ, entonces v también es autovector de A asociado al autovalor λ Además, las multiplicidades algebraicas y geométricas respectivas de λ y λ coinciden Matrices diagonalizables Definición Se dice que una matriz A m m es diagonalizable si existe alguna matriz P no singular tal que P AP es una matriz diagonal Notemos que si d 0 0 0 0 d 0 0 P AP = D = 0 0 d 3 0 0 0 0 d m entonces cada columna de P es un autovector de P asociado al correspondiente elemento diagonal de D que será un autovalor de A Además, puesto que existe la matriz inversa de P, las m columnas de P son linealmente independientes Teorema Sea A una matriz m m Se verifica: () A es diagonalizable si y sólo si tiene m autovectores linealmente independientes () A autovalores distintos de A le corresponden autovectores linealmente independientes, es decir, si v,, v k son autovectores de A asociados respectivamente a los autovalores λ,, λ k y estos son distintos dos a dos, entonces v,, v k son linealmente independientes (3) Si A tiene todos sus autovalores simples, entonces es diagonalizable (4) A es diagonalizable si y sólo si para cada autovalor λ se verifica que m a (λ) = m g (λ) Matrices semejantes y aplicaciones lineales Consideremos una aplicación lineal T : R m R m Fijada lase canónica B c = {e,, e m } de R m, esta aplicación lineal tiene asociada una matriz A, cuyas columnas son los vectores T (e ), T (e ), T (e m ) Si fijamos otrase B = {v,, v m } de R m, la aplicación lineal T tiene asociada una matriz B respecto a dicha base, la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores T (v ), T (v ), T (v m ) respecto a lase B, es decir, [T (v )] B,, [T (v m )] B v m Las matrices A y B verifican que B = P AP siendo P = v En general, dicha relación se formaliza mediante la siguiente definición Definición Se dice que dos matrices m m A y B son semejantes si existe alguna matriz no singular P tal que B = P AP La matriz P se suele denominar matriz de paso A la vista de la definición es obvio que una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal Proposición Si A y B son semejantes, entonces: A y B tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, los mismos autovalores con las mismas multiplicidades algebraicas Si v es un autovector de A asociado a un autovalor λ, entonces P v es un autovector de B asociado al mismo autovalor λ (siendo P la matriz no singular tal que B = P AP ) det(a) = det(b) y tr(a)=tr(b) Cada autovalor (de A y B) tiene la misma multiplicidad geométrica para ambas matrices, es decir, dim [Nul (A λi)] = dim [Nul (B λi)]
3 Para cada exponente k =,, se verifica que dim [ Nul ( (A λi) k)] = dim [ Nul ( (B λi) k)] Notemos por otra parte que el que dos matrices tengan los mismos autovalores no conlleva, en general, el que sean semejantes; por ejemplo, las matrices [ ] [ ] 0 0 0 y B = 0 0 0 0 tienen como único autovector a λ = 0 pero no son semejantes Si V es un espacio vectorial, B = {v,, v m } unase del mismo, y f : V V una aplicación lineal, nótese entonces que la matriz de f en B es semejante a la matriz de f en cualquier otrase B = {v,, v m} de V Por lo tanto, a la vista de los resultados anteriores, se pueden definir, los autovalores, la traza y el determinante de f como los autovalores, traza y determinante de f en cualquier base Lo mismo ocurre con el polinomio característico Autovalores y autovectores complejos Ampliamos en estas líneas lo tratado en la sección 55 del libro (Lay) En dicha sección se muestra cómo una matriz real diagonalizable en C (es decir, con un par de autovalores complejos conjugados, a ± bi) se puede escribir en una forma no diagonal, pero con una estructura muy sencilla (ver teorema 9 de la página 334) [ ] En el caso de tener una matriz real diagonalizable de mayor dimensión con autovalores complejos podemos proceder de un modo similar para obtener una matriz real no diagonal, pero sí diagonal por bloques, con una estructura similar a la anterior Así, una matriz diagonalizable pero con algún autovalor complejo no real (con lo cual la matriz de paso tendrá algunos elementos no reales) será semejante, a través de una matriz de paso real, a una matriz diagonal por bloques C 0 0 0 0 C 0 0 C = 0 0 C 3 0 0 0 0 C k [ ] donde cada C j es o bien un autovalor real o bien una submatriz de la forma, donde a y b son respectivamente la parte real e imaginaria de un autovalor complejo (no real) de A Si λ = a + bi, a, b R es un autovalor de A (matriz cuadrada real) y v = u + iu (u, u R m ) es un autovector de A asociado a λ, entonces v = u iu es autovector de A asociado a λ = a bi y, por tanto, tenemos las igualdades Av = λv = (a + bi) (u + iu ) Au + iau = (au bu ) + i (bu + au ) A v = λ v = (a bi) (u iu ) Au iau = (au bu ) i (bu + au ) y por tanto, identificando las partes real e imaginaria en cualquiera de las dos igualdades anteriores tenemos, } Au = au bu Au = bu + au Expresando estas igualdades de forma matricial tenemos [ A u u = u u ] Así, si multiplicamos A por una matriz en la que los autovectores complejos v y v sean dos vectores columna tenemos A v v = v v λ 0 0 λ
4 mientras que si sustituimos dichas columnas por la parte real y la parte imaginaria de v tendremos 0 A u u = u u 0 con lo cual, si multiplicamos A por una matriz real P cuyas columnas forman unase de R n y en la que u y u sean dos vectores columna y los restantes vectores columna sean autovectores reales o vectores obtenidos a partir de la parte real y de la parte imaginaria (por parejas) de un autovector complejo, tendremos 0 0 AP = u u = u u 0 0 = P C 0 0 [ ] y por tanto P AP = C, donde la diagonal de la submatriz está sobre la de la matriz C que será una matriz real casi-diagonal (diagonal por cajas) Veámoslo con ejemplos Ejemplo Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz 3 4 0 4 3 3 5 3 6 Su ecuación característica es Sus autovalores y sus autovectores asociados son λ =, v = 0 0 ; λ =, v = 0 λ 4 5λ 3 + 3λ 9λ + 0 = 0 ; λ 3 = i, v 3 = + i + i Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v, v, v 3, v 4 ], obtenemos: 0 0 0 Q AQ = D = 0 0 0 0 0 i 0, 0 0 0 + i ; λ 4 = + i, v 4 = donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes en la matriz Q El inconveniente de esa expresión es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una matriz diagonal sino diagonal por bloques) Por tanto, construyendo la matriz P = [v, v, Re (v 3 ), Im (v 3 )], obtenemos: C = P AP = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i Ejemplo Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz 3 0 0 3
5 Su ecuación característica es Sus autovalores y sus autovectores asociados son λ = i, v = λ 3 = i, v 3 = i + i λ 4 + 5λ + 4 = 0 i + i ; λ = i, v = ; λ 4 = i, v 4 = Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v, v, v 3, v 4 ], obtenemos: i 0 0 0 Q AQ = D = 0 i 0 0 0 0 i 0, 0 0 0 i + i i i i donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes en la matriz Q El inconveniente de esa expresión es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una matriz diagonal sino diagonal por bloques) Por tanto, construyendo la matriz P = [Re (v ), Im (v ), Re (v 3 ), Im (v 3 )], obtenemos: C = P AP = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ejemplo Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz 0 7 5 8 5 8 6 Su ecuación característica es λ 3 + λ + λ 39 = 0 Sus autovalores y sus autovectores asociados son i λ = 3i, v = + i, λ = + 3i, v = i i Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v, v, v 3 ], obtenemos: 3i 0 0 Q AQ = D = 0 + 3i 0, 0 0 3 ; ; λ 3 = 3, v 3 = donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes en la matriz Q El inconveniente de esa expresión es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una matriz diagonal sino diagonal por bloques) Por tanto, construyendo la matriz P = [Re (v ), Im (v ), v 3 ], obtenemos: C = P AP = 3 0 3 0 0 0 3
6 Aplicación a recurrencias vectoriales Definición Sea A una matriz cuadrada de orden m y sea u, u,, u n, una sucesión de vectores en R m definidos de manera recurrente por u n = Au n, n =,, a partir de un vector inicial u 0 R m Una relación de recurrencia vectorial de esta forma se llama sistema de ecuaciones en diferencias lineal homogéneo de primer orden con coeficientes constantes Si u n = Au n es un sistema de ecuaciones en diferencias, se tiene, razonando por inducción, que u n = A n u 0 Con esta expresión podemos hallar u n para cualquier valor de n Si A diagonaliza, podemos dar una expresión más simple para u n que nos permitirá ahorrar tiempo de cálculo y también estudiar el comportamiento a largo plazo de la sucesión u n Proposición Sea A una matriz cuadrada de orden m diagonalizable y u 0 R m Entonces la solución del sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n con vector inicial u 0 es u n = A n u 0 = P D n P u 0, n =,, siendo P la matriz cuyas columnas forman unase de autovectores de A y D la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los autovalores correspondientes Observaciones Nótese que si A no es diagonalizable no es posible, en general, aplicar la técnica anterior para calcular la solución del sistema de ecuaciones en diferencias asociado Sin embargo, hay un caso especialmente fácil de resolver; si u 0 es combinación lineal de autovectores de A, podemos calcular u n = A n u 0 aunque no sepamos calcular A n : Siu 0 = α v + + α k v k y Av j = λ j v j para cada j =,, k, entonces A n u 0 = α λ n v + α k λ n kv k Ejercicios propuestos Se sugieren los siguientes ejercicios del capítulo 5 del texto (Lay): - Sección 5: todos los impares hasta el 7, 6, 8, 0,, 4 - Sección 5: todos los impares hasta el 7, 0,, 4 - Sección 53: todos los impares hasta el 7,, 4, 6 - Sección 54: todos los ejercicios hasta el 4 - Sección 55: todos los impares hasta el - Sección 56:,, 7 - Ejercicios suplementarios (pág 364): del al 3 Ejercicio Dada la matriz 3 b 3 0 a 0 c Calcular A de forma que (, 0, ) t sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es λ = Hallar los demás autovalores y autovectores Ejercicio Sabiendo que la matriz: 0 c a 0 b 0 es diagonalizable y tiene un autovalor doble, calcular a, b y c
7 Ejercicio 3 Para qué valores de a R tiene la siguiente matriz A tres autovectores linealmente independientes? (es decir, estudiar cuándo A es diagonalizable) a 0 0 0 Ejercicio 4 Dada la matriz 0 a 3 0 Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable, a R Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A 3 Para dichos valores de a, calcular A n Ejercicio 5 Estudiar la diagonalizabilidad de las siguientes matrices en función de los parámetros que aparecen a + 3 b 0 a 0, B = 5 0 0 0 0 0 0 b, C = a 0 0 a b d 0 c a + 3 0 a c e f Ejercicio 6 Sea f : R 4 R 4 la aplicación lineal dada por f(x) = Ax, donde a 0 b 0 3 c 0 0 d Hallar A sabiendo que f(s ) = S, donde S { x x = 0 x 3 + x 4 = 0 y S = Gen{(,,, ) t, (0, 3,, ) t } Probar que A no es diagonalizable Ejercicio 7 Consideremos la matriz a b c b c 0 b 3 c 3 (a) Determinar los elementos de A sabiendo que sus autovalores son λ = y λ = 3 (doble), que v = (,, ) t es un autovector asociado a λ = 3 y v = (,, 0) t satisface que Av = 3v + v (b) Estudiar si A es diagonalizable (c) Calcular las soluciones del sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n para los vectores iniciales u 0 = (,, ) t y u 0 = (, 3, ) t Ejercicio 8 Dado el sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n, siendo 0 α 0 0 α 0 0 0 0 0 0 α, 0 0 α 0 Obtener la expresión general de u n, según los valores de α R Calcular u 0, dado el vector inicial u 0 = (0,, 0, ) t