Aplicación de la Simulación en la Resolución de un Modelo de Inventario con Demanda Híbrida María Teresa Casparri, Javier García Fronti, Gustavo F.J. Zorzoli 1. Planteo del problema El presente trabajo toma en cuneta el sistema en funcionamiento que permite a una empresa simular el inventario y obtener la combinación óptima de cantidad de pedido y punto de repedido a partir de una distribución de demanda histórica. Por otra parte, el gerente quiere incluir en el modelo la opinión de un experto sobre la distribución futura de la demanda, hecho que debe tomarse en cuenta sin que ello implique cambiar el sistema en funcionamiento. La aplicación que aquí se desarrolla busca una solución ad-hoc, es decir, que se adapte a la situación actual de la empresa y contemple así sus posibilidades y limitaciones. La racionalidad de costos lleva a utilizar ese sistema e incluir en la distribución de la demanda la opinión del experto, construyendo así una distribución posterior que dará cuenta del nuevo fenómeno considerado. 2. Consideraciones generales Se plantean los costos involucrados en un modelo de inventario a saber: Costo de almacenamiento, emisión de orden y por faltante. A los fines explicativos se plantea matemáticamente la resolución de un modelo determinístico. Luego, al plantear la demanda y el retraso en la entrega de pedidos como variables que se comportan siguiendo una distribución probabilística, se corrige el modelo y se resuelve por simulación. Por último se introduce en el modelo la demanda como variable borrosa triangular y luego como número híbrido.
232 New Logics for the New Economy Al hablar de inventario estamos hablando de un conjunto de recursos útiles que se encuentran ociosos en algún momento (Prawda, 1991). 3. Modelo determinístico En el trabajo en extenso se desarrolla la solución sobre la base de un modelo planteado por Davis y McKeown (1984). El objetivo de esta sección es simplemente recordar los conceptos para su comparación con el modelo de simulación que luego se explica. Allí se explicitan los supuestos (demanda uniforme, revisión continua, los pedidos se reciben por lotes, la cantidad pedida es igual en todas las órdenes y los faltantes se satisfacen a posteriori) y los parámetros (C m =Costo de mantenimiento por unidad por período de tiempo, C p =Costo por pedido, =Costo por unidad demandada no satisfecha y D =Demanda por período de tiempo); así como las variables de decisión (Q=Lote de compra, S=Máximo nivel de inventario, B=Demanda satisfecha en forma retroactiva y P: Punto de repedido). Las variables anteriores están relacionadas de acuerdo con: S = Q B. Partiendo de una cantidad inicial en depósito, ésta desciende en forma constante, dado el supuesto de una demanda uniforme. Dado que se permite satisfacer demanda a posteriori, el nivel de cantidad puede ser negativo. El tamaño de esa demanda es de B. Puede determinarse que: C p = (D/Q) C p C m = (S 2 /2Q) C m = (B 2 /2Q) Por lo tanto, el costo total es la suma de los costos por pérdida, mantenimiento y por demanda no satisfecha: D 1 S 2 1 (Q-S) 2 C t = C p + C m + Q 2 Q 2 Q El objetivo es encontrar el costo mínimo. El punto crítico es P* = (Q *, S * ), donde: 2D C p + C m 2D C p Q* = S* = C m C m + C m
Operations Management 233 4. Modelo estocástico Partiendo del modelo anterior se analiza el caso en que la demanda y el tiempo de entrega son aleatorios, con una distribución de probabilidad conocida. Esto último no garantiza que sea posible operar algebraicamente para resolver el problema. En el modelo propuesto se encuentran los costos antes mencionados, pero ahora no se cuenta con algoritmos que resuelvan el problema. En el caso anterior existe un enfoque analítico que resuelve la situación, mientras que en este no, por lo tanto se recurre a un enfoque de simulación. Visto lo anterior se puede estudiar qué metodología utilizar para encontrar la solución al nuevo problema estocástico. El planteo anterior lleva a utilizar la programación sobre Excel 5.0 de una planilla que permita simular la situación. El objetivo es minimizar el costo total, pudiendo modificar dos variables de decisión: Punto de pedido y lote de compra. Luego se realiza la simulación de 100 semanas. En esa tabla se puede modificar las variables de decisión Q y P. A partir de esa posibilidad se realiza la simulación variando Q y P. Para cada valor de Q y P se obtiene un valor del costo total, los que se colocan en una matriz. Allí se encuentran casilleros donde el costo total se minimiza alcanzando un costo mínimo. La variación del costo total con respecto a las variables de decisión P y Q se visualiza en un gráfico de superficie. 5. Modelo híbrido Esta sección está basada sobre el procedimiento desarrollado en 1998 por Lapointe y Bobée. Como se sabe, en el presente caso se tiene un sistema en funcionamiento que permite simular el inventario y obtener la combinación óptima de cantidad de pedido y punto de repedido a partir de una distribución de demanda histórica. Por otra parte, el gerente incluye en el modelo la opinión de un experto sobre la distribución futura de la demanda. La aplicación que en este caso se presenta intenta desarrollar una solución ad-hoc, que conduzca a la utilización de ese sistema e incluya en la distribución de la demanda la opinión del experto, para construir de este modo una distribución posterior. A tal efecto, Lapointe y Bobée (2000, p.130) propone el uso de Possibilistic processor of
234 New Logics for the New Economy forecast (PPF) y describen también las reglas de inferencia a usar para el procesador PPF. La primer tarea es formular la distribución a-priori de la posibilidad. Supóngase que el experto informa que el valor de la demanda (X) se puede encontrar de acuerdo con la siguiente ley. (x-2)/5 2<x<7 1 7 x 9 P(x) = (15-x)/6 9<x<15 Se utiliza un número borroso trapezoidal para modelar la distribución a-priori (Fig. 1). La segunda tarea es construir la distribución condicional de la posibilidad P(y/x). A tal fin se ha graficado Y contra X (Fig. 2). De la figura puede observarse cómo la pendiente es menor que 1. También se observa un incremento en el error para valores mayores de X. Se utiliza un número borroso triangular para modelar P(y/x), de forma de tener posibilidad igual a 1 sobre la recta de regresión (por simplicidad se toma 3/4 como la pendiente) y 0 sobre las rectas extremas: y = 6x/5 como recta límite superior, y = x/2 como recta límite inferior (en línea de puntos en el gráfico). Resuelto el sistema se obtiene la expresión (1) para P(y/x). La propuesta anterior modeliza P(y/x) como números triangulares para diferentes valores de y (pronóstico). De ahora en más se trabaja con un valor de pronóstico determinado en 6. Siguiendo a Lapointe y Bobée (2000) resulta la fórmula (2). (-20/9 y+8/3 x)/x 3/4 x < y 6/5 x P(y/x) = (4y-2x)/x x/2 < y 3/4 x (1) (-40+8)/3x 5< x 8 P(6/x) = (24-2x)/x 8< x 12 (2) En adelante se utilizan las reglas de inferencia del PPF. De acuerdo con estos autores se concentra el trabajo sobre la regla 3, que es la que los usuarios del método consideran óptima.
Operations Management 235 Fig. 1 Distribución a priori Fig. 2 Pronóstico vs valores observados P(x) 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 16 14 12 10 y 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x Por aplicación del modelo anterior sobre los datos con que se cuentan, se obtiene finalmente la distribución a posteriori, la cual contempla la opinión del experto, pero corregida por la información observada. (-40+8)/3x Ú (x-2)/5 5< x 7 (-40+8)/3x 7< x 8 P(x/6) = (24-2x)/x 8< x 9 (24-2x)/x Ú (15-x)/6 9< x 12 Dicha distribución posteriori es la que se utiliza y con el fin de su incorporación al sistema de simulación propuesto, se usa un generador de números aleatorios uniforme que al pasar por esta distribución da el input necesario para que el sistema de simulación funcione. La distribución que se utiliza para la simulación es de tipo discreta, pues sólo se admiten valores enteros de demanda. Así es posible convertir la distribución anterior en una distribución pesada o por pesos, recordando que la suma de los pesos debe ser 1 (uno). 6. Conclusión Como se dijo al inicio de este trabajo, la última sección se basa sobre el procedimiento desarrollado en 1998 por Lapointe y Bobée. A dicho modelo se le incluyó además de la información histórica disponible, también la opinión de un experto sobre la distribución futura de la demanda.
236 New Logics for the New Economy Téngase en cuenta que ya se contaba con un sistema en funcionamiento que permitía simular el inventario, pero después se lo utilizó como alternativa que tuviera en cuenta la opinión del experto, permitiendo obtener así un sistema que optimizó el costo, sin cambiar la programación del sistema y cambiando solamente la entrada de los datos (con la que se denominó distribución de la demanda posterior). Por esto desde un principio se planteo encontrar una solución ad-hoc del problema. La utilización del solver usando los datos anteriores permitió así determinar el mínimo del costo total y encontrar los valores de las variables de decisión: punto de pedido y lote de compra. 7. Referencias Davis K.R., Mckeown P.G. (1984), Modelos cuantitativos aplicados a la admnistracion, Mexico D.F., Grupo Editorial Iberoamérica. Prawda J. (1991), Métodos y modelos de investigación de operaciones, Mexico D.F., Limusa. Lapointe S., Bobée B. (2000), Revision of possibility distributions: A Bayesian inference pattern, Fuzzy Sets and Systems, 116: 119-140.