Asignatura: Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Titulación: Recursos Energéticos, Combustibles y Explosivos Código: 125211004 Tipo (T/Ob/Op): T Créditos (T+P):6+4.5 Curso (Cuatrimestre): Primer curso, anual Profesor(es) responsable(s): Gabriel Soler López y Carlos Angosto Hernández Ubicación despacho: Departamento de Matemática Aplicada y Estadística (Sede del Campus de Alfonso XIII en el Edifico de Minas) Departamento: Departamento de Matemática Aplicada y Estadística e-mail: gabriel.soler@upct.es web: http://filemon.upct.es/~gabi web: http://filemon.upct.es Descriptores de la asignatura según el Plan de Estudios: Álgebra Lineal, Cálculo Infinitesimal, Integración y Ecuaciones Diferenciales. Objetivos de la asignatura: Esta asignatura es de carácter introductorio a las matemáticas superiores que debe conocer el Ingeniero Técnico de Minas. Dada la amplitud de conocimiento que abarcan los descriptores de la asignatura y los créditos disponibles para su desarrollo, nos contentaremos con los siguiente objetivos: (1) conocer los conceptos y leyes básicas de nuestras asignaturas, (2) conocer el alcance y significado de las teorías desarrolladas, (3) desarrollar un enfoque lógico, riguroso, claro y sistemático para la formulación y resolución de los problemas planteados, (4) reconocer la Matemática como una disciplina totalmente integrada en la Ingeniería, (5) Dominar el lenguaje matemático y el razonamiento lógico-deductivo, (6) trasladar los resultados obtenidos de un problema matemático a los términos originales siendo capaz de analizarlos. Materias relacionadas con esta asignatura: Sería deseable que el alumno hubiera cursado las matemáticas del Bachillerato Científico-Tecnológico o en su defecto las del Bachillerato de Ciencias de la Salud. En el caso de acceso de alguna rama de F.P. 2, se considera necesario que el alumno haya cursado las asignaturas de matemáticas propias de su rama. Programa de la asignatura A. Programa de Teoría:
Bloque primero: Álgebra Lineal 1. Conceptos generales. Estructuras algebraicas. Conjuntos. Operaciones entre conjuntos. Los números naturales, enteros y racionales. Relaciones binarias. Aplicaciones. Leyes de composición. Estructuras algebraicas. Los números reales. Propiedades de los números reales. Los números complejos. Representación módulo argumental de los números complejos. 2. Matrices y determinantes Definición de matriz. Tipos de matriz. Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz, suma y producto de matrices. Producto de matrices por escalares. Rango de una matriz. Transformaciones elementales por filas y por columnas. Matrices elementales y equivalentes. Matrices Cuadradas. Cálculo de la inversa de una matriz utilizando matrices elementales. Determinantes. Inversa de una matriz utilizando determinantes. 3. Sistemas de ecuaciones lineales Definiciones básicas. Teorema de Rouché-Frobenius. Resolución de sistemas, método de Gauss. Método de Cramer. 4. Espacios vectoriales Definiciones básicas y primeras consecuencias. Combinación lineal, dependencia e independencia lineal, sistema generador, espacio generado, bases y dimensión. Rango de un conjunto de vectores. Prueba del teorema de Rouché-Frobenius. Cambio de bases. Matriz de cambio de base. Subespacios vectoriales. Operaciones con subespacios: intersección, unión y suma. Ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial. 5. Aplicaciones lineales. Nociones básicas. Subespacios vectoriales asociados a una aplicación lineal. Inyectividad y suprayectividad de aplicaciones lineales. Matrices asociadas a una aplicación lineal. Relación entre las coordenadas de v y f(v). Propiedades de las matrices asociadas a aplicaciones lineales. Endomorfismos con significado geométrico. Proyecciones ortogonales. Homotecias. Simetrías y rotaciones del plano. 6. Diagonalización de endomorfismos y matrices Introducción.
Polinomio característico, espectro, valores propios y vectores propios. Teorema de diagonalización. Aplicaciones de la diagonalización: potencias de matrices y series temporales. Diagonalización de matrices simétricas. Matriz de rotación. Detección de ejes de simetría de un sólido. Bloque segundo: Funciones reales de variable real 7. Funciones reales de variable real. Nociones de topología en R. Función real de variable real. Tipos y álgebra de funciones. Definición y cálculo de límites de funciones reales de variable real. Continuidad de funciones reales de variable real. Clasificación de discontinuidades. Teoremas sobre valores intermedios y valores extremos de las funciones continuas: teoremas de Bolzano y Weierstrass. Método de la bisección. Derivada de un función. Propiedades. Teoremas de los valores medios de funciones derivables: teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange. Reglas de Bernoulli-L'Hôpital. Aproximación polinómica de funciones derivables. Fórmula de Taylor. Aproximación del valor de una función en un punto. Cálculo de límites mediante el polinomio de Taylor. Series de potencias. Resolución numérica de ecuaciones. Iteración directa. Método de Newton. Crecimiento, convexidad, concavidad, extremos relativos y absolutos y puntos de inflexión. 8. Integral de Riemann unidimensional. Integrales impropias Particiones de un intervalo. Suma superior e inferior de Riemann. Funciones integrables Riemann. Interpretación geométrica de la integral. Propiedades. El Teorema fundamental del cálculo integral. Concepto de primitiva de una función. La regla de Barrow. Integración por partes y cambio de variable. Aplicaciones del cálculo integral al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. Cálculo de primitivas. Métodos numéricos para calcular integrales. La regla del trapecio y el método de Simpson. Integrales impropias de primera especie. Cálculo y criterios de convergencia. Integrales impropias de segunda especie. Cálculo y criterios de convergencia. Bloque tercero: Cálculo diferencial de funciones de varias variables 9. Introducción a las funciones de varias variables. Continuidad. Topología en R n : normas, conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos. Puntos de acumulación, interiores y aislados. Funciones de varias variables. Definición de límite de una función de varias variables. Propiedades.
Cálculo de límites de un función de dos variables: Límites iterados, direccionales y cambio a coordenadas polares. Continuidad de funciones de varias variables. Propiedades. 10. Diferenciabilidad de funciones de varias variables Derivadas direccionales y derivadas parciales. Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables. Diferenciabilidad de una función. Cálculo de la diferencial. Propiedades. Matriz Jacobiana de una función. Propiedades. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Polinomio de Taylor de una función de varias variables. Extremos relativos y absolutos de una función de varias variables. Extremos condicionados, método de los multiplicadores de Lagrange. El teorema de la función implícita. El teorema de la función inversa. 11. Ecuaciones diferenciales de primer orden Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuaciones diferenciales y soluciones. Problema de Cauchy. Ecuaciones en variables separadas. Aplicaciones. Familia de curvas ortogonales. Ecuaciones lineales. Problemas de mezclas químicas. Bloque cuarto: ampliación de cálculo integral 12. Integrales de varias variables reales. Integrales de Riemann en rectángulos. Integral doble sobre recintos básicos de R 2. Cálculo de integrales dobles mediante cambio de variables. Integrales de Riemann en prismas rectangulares de R 3. Integral triple sobre recintos básicos de R 3. Cálculo de integrales triples mediante cambio de variables. Coordenadas cilíndricas y esféricas. B) Programa de Prácticas (completo): Denominación de la práctica Duración Una hoja de problemas por cada uno de los temas Aprox.30 % de la Tipo de práctica (Aula, laboratorio, informática) Aula Ubicación física (sede Dpto., aula informática...) Aula asignada por la Escuela
impartidos Cambios de base y endomorfismos El teorema de Cayley- Hamilton y sus aplicaciones Gráficas de funciones e integración duración total del tema (en total 30 h.) 4,5 h. Aula de informática Departamento 6 h. Aula de informática Departamento 4,5 h. Aula de informática Departamento C. Bibliografía básica: 1. Fundamentos matemáticos de la ingeniería, J. A. Murillo y J. S. Cánovas, ICE Universidad de Murcia. 2. Álgebra lineal y sus aplicaciones, G. Strang, Fondo Educativo Interamericano. 3. Curso de álgebra lineal, J. Flaquer, J. Olaizola, Eunsa. 4. Problemas de álgebra (tomo 3), M. Anzola, J. Carruncho y Pérez-Canales, Autores. 5. Cálculo de una y varias variables, volumen I y II, G. Thomas y R. Finney, Addison Wesley. 6. Introducción al análisis matemático, Joaquín M. Ortega, Labor. 7. Análisis matemático I, II y IIII, J. A. Fernández Viña, Tecnos. 8. Ejercicios y complementos de análisis matemático I y II, J. A. Fernández Viña y Eva Sánchez Mañés, Tecnos. 9. Prácticas de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería con Mathematica, M. Muñoz Guillermo, Editorial nausícaä. D. Evaluación del alumno: La evaluación se realiza básicamente mediante la valoración de un examen final escrito. No obstante se realizará un examen por cada uno de los cuatrimestres, si el alumno supera estos exámenes parciales estará exento de la realización del examen final. Para aprobar por parciales es necesario obtener una media de 5 puntos y una nota superior a un 3.5 en los dos. La calificación de la asignatura se complementará con la puntuación de las prácticas que tendrá asignado un 5% del valor total de la asignatura. E) OBSERVACIONES: Se aconseja que el alumno curse la asignatura Matemáticas Básicas.