6. bibliografía CONTENIDO Definición de [G8.1]. Estructuras algebraicas: monoides, semigrupos, grupos, [G8.1], anillos, cuerpos [H10.1]. Subgrupos, isomorfismo entre grupos [G8.1]. Álgebras concretas y abstractas [H10.3]. Álgebras cocientes y homomorfismos canónicos [H10.5]. Álgebras de Boole [G7.1]. Circuitos digitales [H10.2]. GERSTING, JUDITH L. Mathematical Structures for Computer Science: A Modern Approach to Discrete Mathematics. W H Freeman & Co, 2006. HEIN, JAMES. Discrete Structures, Logic and Computability. Jones and Bartlett Publishers. 1995 2001 Un es una estructura consistente de un conjunto no vacío junto con una o mas operaciones definidas sobre dicho conjunto. s [R;+,-,*,/] [Q;+,-,*,/] [R;+,-,*,/,1,0] [N;succ,0] [ (S);, ] [R[x];+,*,0,1] En la literatura se puede encontrar una definición más general de : Un es una estructura consistente de uno o más conjuntos no vacíos junto con una o mas operaciones definidas sobre dichos conjuntos. El vectorial: [R,R n ;*,+] donde * se define de R X R n R n Sea S un conjunto y sea una operación binaria sobre S. La operación es asociativa si ( x)( y)( z)[x (y z) = (x y) z] La operación es conmutativa si ( x)( y)(x y = y x) [S, ] tiene elemento identidad si ( i)( x)(x i = i x = x) Si [S, ] tiene un elemento identidad i, entonces se dice que cada elemento en S tiene un inverso con respecto a i si ( x)( x 1 )(x x 1 = x 1 x = i ) [S, ] es un grupo si S es un conjunto no vacío y es una operación binaria sobre S tal que 1. es asociativa 2. existe un elemento identidad (en S) 3. cada elemento en S tiene inverso (en S) con respecto a Un grupo en el cual la operación es conmutativa se llama grupo conmutativo.
Sea R + el conjunto de los números reales positivos y sea la operación de multiplicación sobre reales positivos. Entonces [R +, ] es un grupo conmutativo: La multiplicación es asociativa y conmutativa. El número real positivo 1 sirve de identidad x 1 = 1 x = x. Todo x en R + tiene inverso en R + 1/x, porque x 1/x = 1/x x = 1 [S, ] es un monoide si S es un conjunto no vacío y es una operación binaria sobre S tal que 1. es asociativa 2. existe un elemento identidad (en S) Mostar que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos a y b con la operación binaria de concatenación es un monoide. resultados básicos sobre grupos [S, ] es un semigrupo si S es un conjunto no vacío y es una operación binaria sobre S tal que 1. es asociativa Mostar que el conjunto de los enteros positivos pares con multiplicación es un semigrupo conmutativo. Mostrar que no es monoide. s Probar las siguientes propiedades: 1. En cualquier grupo (o monoide) [G, ], el elemento identidad i es único. 2. Para cada x en un grupo [G, ], x 1 es único. 3. Dados x e y miembros de un grupo [G, ], (x y) 1 = y 1 x 1. Un conjunto S con una operación binaria satisface la ley de cancelación a derecha si para x, y, z S, x z = y z implica x = y. Satisface la ley de cancelación a izquierda si z x = z y implica x = y. Probar que todo grupo [G, ] satisface las leyes de cancelación a izquierda y a derecha. Un anillo es un [A;+, ] donde [A;+] es un grupo conmutativo, [A; ] es un monoide, y la operación es distributiva (a izquierda y a derecha) sobre +. s [Z;+,*] [R[x];+,*] [M n (R); +,*]
subgrupos Un cuerpo es un anillo [A;+, ] donde además se satisface que [A-{0}; ] es un grupo conmutativo, donde 0 es la identidad para [A,+]. s [Q,+,*] [N 5,+ 5,* 5 ] Sea [G, ] un grupo y A G. Entonces [A, ] es un subgrupo de [G, ] si [A, ] es un grupo. Sea [G, ] un grupo con identidad i y A G, [A, ] es un subgrupo de [G, ] si: A es cerrado bajo. i A. Todo x A tiene inverso en A. homomorfismos e isomorfismos s de Boole Sean [S, ] y [T, +] grupos. Un mapeo f: S T es un homomorfismo de [S, ] a [T, +] si para todo x, y S, f (x y) =f (x) + f (y). Sean [S, ] y [T, +] grupos. Un mapeo f: S T es un isomorfismo de [S, ] a [T, +] si 1. la función f es una biyección. 2. para todo x, y S, f (x y)= f (x) + f (y). Un de Boole es un conjunto B sobre el cual están definidas dos operaciones binarias: + y, una operación unaria, y se distinguen dos elementos 0 y 1 tal que las siguientes propiedades se verifican para todo x, y, z B: x+y=y+x x y=y x conmutativa (x+y)+z=x+(y+z) (x y) z=x (y z) asociativa x+(y z)=(x+y) (x+z) x (y+z)=(x y)+(x z) distributiva x+0=x x 1=x identidad x+x =1 x x =0 complemento s de Boole s de Boole La formalización de una estructura de de Boole nos ayuda a focalizarnos en las características esenciales comunes a todos los ejemplos de s de Boole, permitiéndonos utilizar estas características para probar otras características. Denotaremos a las algebras de Boole [B, +,,, 0, 1]. Considere los siguientes conjuntos S 1 = {1,2,3,5,6,10,15,30} S 2 = ({1,2,3}) S 3 = ({P 1, P 2, P 3, P 4 }) donde las P i s son sentencias (proposiciones). Proponer operaciones binarias, unarias y elementos 0 y 1 para definir s de Boole en base a los conjuntos S 1,S 2 y S 3.
s de Boole elementos lógicos básicos s Probar que la propiedad de idempotencia, es decir x +x =x, se verifica para toda de Boole. Para un elemento x de un de Boole el elemento x se denomina el complemento de x. El complemento de x satisface: x +x = 1 y x x = 0. Probar que en un de Boole el complemento de x es único. Una compuerta lógica (logic gate) es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano. compuerta OR compuerta AND inversor expresiones booleana redes y expresiones Una expresión booleana con n variables, x 1, x 2,..., x n, es una cadena finita de símbolos formada aplicando las siguientes reglas: 1. x 1, x 2,..., x n son expresiones boolenas 2. Si P y Q son expresiones booleanas, también lo son (P + Q), (P Q), y (P ). s x 3, (x 1 + x 2 ) x 3, (x 1 x 3 + x 4 )x 2, y (x 1 x 2 ) x 1 Combinando compuertas AND, OR e inversores, podemos construir una red lógica que represente cualquier función. Red lógica para la expresión Booleana x 1 x 2 + x 3 : redes y expresiones redes y expresiones Red lógica para la expresión Booleana (x 1 x 2 + x 3 ) + x 3 Dar la expresión Booleana para la siguiente red lógica:
formas canónicas suma Suma de productos Expresión para suma de dígitos binarios (s=suma, c= acarreo) s = x 1 x 2 + x 1 x 2 (s = (x 1 + x 2 )(x 1 x 2 ) ) c = x 1 x 2 half-adder full-adder Un full-adder está formado por dos half-adders y una compuerta OR adicional. otros elementos lógicos otros elementos lógicos Compuerta NAND. Las compuertas NAND son suficientes para expresar cualquier función de verdad
otros elementos lógicos Compuerta NOR Mostrar que las compuertas NOR son suficientes para expresar cualquier función de verdad.