MATRIZ DE DECISIÓN Problema 1 Enunciado Explicar las variables que se han de tener en cuenta al elaborar una matriz de decisión. Qué diferencia (s) existe (n) entre adoptar una decisión en condiciones de riesgo o en condiciones de incertidumbre? Razonar la respuesta. Primer paso A. Lectura comprensiva de las dos preguntas: 1. Explicar, con la ayuda de un ejemplo, las variables que se han de tener en cuenta al elaborar una matriz de decisión. 2. Qué diferencia (s) existe (n) entre adoptar una decisión en condiciones de riesgo o en condiciones de incertidumbre? Razonar la respuesta y poner un ejemplo de cada situación. Las dos preguntas hacen referencia a la necesidad de tomar una decisión que no está condicionada a otras, y además, de esta decisión no dependen otras posteriores. Por ello, las dos cuestiones son acerca de la elaboración de una matriz de decisión. B. Lectura comprensiva de la primera pregunta: 1. Explicar las variables que se han de tener en cuenta al elaborar una matriz de decisión. Una vez que está identificado el tema, sólo es necesario relacionar las variables de una matriz de decisión con los elementos que la forman. C. Elaboración de la respuesta a la primera cuestión:
Una matriz de decisión está formada por los siguientes elementos: - : formadas por variables controladas que son las alternativas u opciones que se pueden elegir. - Estados de la naturaleza: son variables no controladas, representan las situaciones o los sucesos en los que no se puede influir y que condicionan la decisión que se tome. - Probabilidades: son las posibilidades de que se produzca cada estado de la naturaleza. - Resultados o desenlaces: son los resultados esperados en cada una de las estrategias, dado un estado concreto de la naturaleza. Segundo paso A. Lectura comprensiva de la segunda pregunta: 2. Qué diferencia (s) existe (n) entre adoptar una decisión en condiciones de riesgo o en condiciones de incertidumbre? Razonar la respuesta. Al responder la primera pregunta, el alumno ha debido recordar la estructura de una matriz de decisión. En esta segunda cuestión tiene que dar un paso más para distinguir que, según el grado de conocimiento de los estados de la naturaleza, se pueden presentar tres situaciones de decisión: la situación de certeza, la de riesgo y la de incertidumbre. En esta cuestión sólo se pide explicar la diferencia entre las dos últimas. No obstante, el alumno puede citar los diferentes criterios existentes para tomar una decisión en situación de incertidumbre. Estos criterios son los siguientes: - Criterio optimista: Se denomina también maxi-max, es el que elegiría una persona que pensase que fuese cual fuese la estrategia que eligiera, siempre se le presentaría el estado de la naturaleza más favorable, por ello elegiría la estrategia que presentase el mejor resultado. - Criterio pesimista o de Wald: Este criterio lo elegiría una persona que creyera que una vez elegida una estrategia, se le presentaría el estado de la naturaleza más desfavorable. En este caso se podría escoger el valor máximo entre los mínimos (criterio maxi-max), es decir, elegiría la estrategia que proporcionara el valor máximo entre los mínimos existentes de todas las opciones; o el valor mínimo entre los máximos (criterio mini-max). - Criterio de Laplace: En este caso al no conocerse las probabilidades de cada uno de los estados de la naturaleza, se asigna a cada uno la misma probabilidad. A continuación se calcula el valor monetario esperado de cada estrategia, y se elige la que ofrezca un valor más alto. - Criterio de Hurwicz: Al utilizar este criterio se consideran sólo los valores máximos y mínimos de cada estrategia, ya que se suma el mejor resultado de cada estrategia ponderado con el coeficiente de optimismo (α), con el peor resultado de cada
estrategia ponderado con el coeficiente de pesimismo (1 -α). El coeficiente de optimismo es subjetivo en la medida en que lo decide la persona que toma las decisiones. - Criterio de Savage: Lo utilizarían las personas que tienen miedo a equivocarse, por ello se crea una nueva matriz de desenlaces en términos de coste de oportunidad,. Sustituyendo los valores anteriores o resultados por los perjuicios resultantes de no haber elegido la mejor estrategia, es decir, el coste de oportunidad. De este modo este criterio muestra lo que se deja de ganar por escoger una estrategia equivocada. B. Elaboración de la respuesta: Cuando se toma una decisión en condiciones de riesgo significa que se conoce la probabilidad que existe de que suceda cada uno de los estados de la naturaleza. Por ello, para decidir la alternativa más beneficiosa se calcula el valor monetario esperado de cada una para, finalmente, elegir el máximo valor. En cambio, cuando se toma una decisión en condiciones de incertidumbre se desconoce la probabilidad de que suceda cada uno de los posibles estados de la naturaleza. Por este motivo, en este caso la decisión depende de la persona que deba tomarla y de su actitud ante el riesgo. Los criterios más utilizados que manifiestan esa actitud ante el riesgoson: el criterio pesimista o de Wald (maxi-max), el optimista, el de Laplace, el de Hurwicz, y el de Savage.
MATRIZ DE DECISIÓN Problema 2 Enunciado Un empresario de espectáculos tiene que organizar un concierto y se le ofrecen las opciones de hacerlo al aire libre o en un pabellón cubierto. Los beneficios van a depender de la asistencia del público y ésta a su vez del clima, que puede ser con lluvia, con nubes o soleado. Los resultados esperados si lo organiza al aire libre son 10.000, 50.000 y 65.000 euros si el tiempo es lluvioso, nublado o soleado respectivamente. Si el concierto se realiza en pabellón cubierto, los resultados serían 45.000, 40.000 y 35.000 euros para cada estado climático. Se pide: a) Configurar la matriz de decisión. b) Qué decisión debe tomar el empresario si utiliza el criterio de Laplace o de igual verosimilitud? c) Cuál sería la opción más conveniente si aplica el criterio del mínimo pesar de Savage? Primer paso A. Lectura comprensiva del enunciado y de la primera pregunta: Después de leer y subrayar el enunciado destacando los datos necesarios para elaborar la matriz de decisión, es importante organizar esos datos al mismo tiempo que se recuerdan los conceptos fundamentales: - o alternativas que tiene el empresario (opciones): aire libre, y pabellón cubierto. - Estados de la naturaleza (clima), son variables no controladas que condicionan la decisión que se tome: lluvioso, con nubes o soleado. - Resultados o desenlaces son los resultados esperados en cada una de las estrategias, dado un estado concreto de la naturaleza. B. Elaboración de la respuesta a la primera cuestión: Sucesos investigados 1 2 3 Estados lluvioso nuboso soleado Aire libre 10.000 50.000 65.000 Pabellón cubierto 45.000 40.000 35.000
Segundo paso A. Lectura comprensiva de la segunda pregunta: a) Qué decisión debe tomar el empresario si utiliza el criterio de Laplace o de igual verosimilitud? Teniendo en cuenta los datos del enunciado, en el que no se dan datos acerca de la probabilidad de que suceda cada uno de los estados de la naturaleza, está claro que la decisión la debe tomar el empresario en una situación de incertidumbre. Para responder esta segunda cuestión es necesario que se recuerden los diferentes criterios utilizados para tomar decisiones en esta situación de incertidumbre, y, desde luego, uno de ellos, el de Laplace, que se pide utilizar para elegir la mejor alternativa. Al utilizar el criterio de Laplace, como no se conocen las probabilidades de cada uno de los estados de la naturaleza, se asigna a cada uno la misma probabilidad. A continuación se calcula el valor monetario esperado de cada estrategia, y se elige la que ofrezca un valor más alto. El valor esperado de cada estrategia es el resultado de la suma del producto de cada probabilidad del estado de la naturaleza por el resultado correspondiente en ese estado. B. Elaboración de la respuesta: Sucesos investigados 1 2 3 Estados lluvioso nuboso soleado Probabilidades 33% 33% 33% Aire libre 10.000 50.000 65.000 Valor esperado 0,33 * 10.000 + 0,33 * 50.000 + 0,33 * 65.000 = 41.250 Pabellón cubierto 45.000 40.000 35.000 Valor esperado 0,33 * 45.000 + 0,33 * 40.000 + 0,33 * 35.000 = 39.600 Teniendo en cuenta los datos de la matriz de decisión elaborada, la opción más interesante utilizando el criterio de Laplace es la de realizar el concierto al aire libre, ya que el valor monetario esperado (41.250 euros) es superior al valor de realizar el concierto en un pabellón cubierto. Tercer paso A. Lectura comprensiva de la tercera pregunta: b) Cuál sería la opción más conveniente si aplica el criterio del mínimo pesar de Savage?
Utilizar el criterio de Savage para tomar una decisión significa elaborar una matriz de coste de oportunidad, por ello en el enunciado se califica este criterio como de mínimo pesar, de mínima pérdida. Para elaborar esta nueva matriz, en cada estado de la naturaleza se da valor 0 a la mejor opción, y en el resto de las opciones se halla la diferencia en relación con la mejor. De este modo, esta matriz muestra lo que se deja de ganar al elegir la opción equivocada. Por este motivo, la mejor opción es la que presente un coste de oportunidad total menor, es decir la que presente un resultado menos desfavorable. B. Elaboración de la respuesta: Sucesos 1 2 3 investigados Estados lluvioso nuboso soleado Total coste (rdo) (rdo) c.oportunidad(rdo) de c.oportunidad c.oportunidad oportunidad Aire libre (10.000) 35.000 (50.000) 0 (65.000) 0 35.000 Pabellón cubierto (45.000) 0 (40.000) 10.000 (35.000) 30.000 40.000 Si el empresario utiliza el criterio de Savage para tomar una decisión, la mejor opción es la de realizar el concierto al aire libre, ya que ésta es la que tiene un menor coste de oportunidad. Es decir, en el peor de los casos (tiempo lluvioso) lo que deja de ganar son 35.000 euros. En cambio, si realiza el concierto en el pabellón cubierto, dejaría de ganar 30.000 euros si el tiempo es soleado y 10.000 euros si el tiempo es nuboso; el total, 40.000 euros, es superior a la otra opción.
MATRIZ DE DECISIÓN Problema 3 Enunciado La empresa DigitalFo S.A. se plantea la adquisición de un nuevo equipo, pudiendo elegir entre las tres alternativas A, B o C. Los resultados como consecuencia de la elección del equipo dependen del comportamiento de la demanda que puede ser alta, con una probabilidad del 30%; media, con una probabilidad del 45%; o baja, con una probabilidad del 25%. De tal forma: Si elige A, los beneficios serán de 300.000 u.m., 200.000 u.m. o 100.000 u.m., si la demanda es alta, media o baja respectivamente. Si elige B, los beneficios serán de 250.000 u.m., 240.000 u.m. o 160.000 u.m., si la demanda es alta, media o baja respectivamente. Si elige C, los beneficios serán de 225.000 u.m., 205.000 u.m. o 175.000 u.m., si la demanda es alta, media o baja respectivamente. Se pide seleccionar uno de los tres equipos elaborando una matriz de decisión y aplicando el criterio del Valor Esperado. Razonar la respuesta. Primer paso A. Lectura comprensiva del enunciado: La empresa DigitalFo S.A. se plantea la adquisición de un nuevo equipo, pudiendo elegir entre las tres alternativas A, B o C. Los resultados como consecuencia de la elección del equipo dependen del comportamiento de la demanda que puede ser alta, con una probabilidad del 30%; media, con una probabilidad del 45%; o baja, con una probabilidad del 25%. De tal forma: Si elige A, los beneficios serán de 300.000 u.m., 200.000 u.m. o 100.000 u.m., si la demanda es alta, media o baja respectivamente. Si elige B, los beneficios serán de 250.000 u.m., 240.000 u.m. o 160.000 u.m., si la demanda es alta, media o baja respectivamente. Si elige C, los beneficios serán de 225.000 u.m., 205.000 u.m. o 175.000 u.m., si la demanda es alta, media o baja respectivamente. Al de leer es importante subrayar y destacar los términos y los datos necesarios para elaborar la matriz de decisión, es importante organizar esos datos al mismo tiempo que se recuerdan los conceptos fundamentales: - Las estrategias son las alternativas A, B y C, es decir las opciones que tiene el empresario. - Los estados de la naturaleza están formados por el comportamiento de la demanda, que puede ser alta, media o baja. - La probabilidad de que suceda cada uno de esos estados es del 30%, 45% y 25%, respectivamente.
- Los resultados o desenlaces son los beneficios esperados en cada una de las tres alternativas teniendo en cuenta la probabilidad correspondiente. B. Lectura comprensiva de la pregunta: Se pide seleccionar uno de los tres equipos elaborando una matriz de decisión y aplicando el criterio del Valor Esperado. Razonar la respuesta. Al conocer la probabilidad de que suceda cada uno de los estados de la naturaleza, es decir al saber la probabilidad de que la demanda sea alta, media o baja, la decisión se toma en una situación de riesgo. Para escoger la opción que aporte más beneficios se debe calcular el valor monetario esperado de cada alternativa y elegir la que presente el valor máximo. El valor esperado de cada estrategia es el resultado de la suma del producto de cada probabilidad del estado de la naturaleza por el desenlace o resultado que corresponda a esa alternativa. Una vez calculados los valores de las estrategias, se elegirá la alternativa que tenga un valor más alto. C. Elaboración de la respuesta: Sucesos investigados 1 2 3 Estados Demanda alta Demanda media Demanda baja Probabilidades 30% 45% 25% A 300.000 200.000 100.000 Valor esperado 0,3 * 300.000 + 0,45 * 200.000 + 0,25 * 100.000 = 205.000 B 250.000 240.000 160.000 Valor esperado 0,3 * 250.000 + 0,45 * 240.000 + 0,25 * 160.000 = 223.000 C 225.000 205.000 175.000 Valor esperado 0,3 * 225.000 + 0,45 * 205.000 + 0,25 * 175.000 = 203.500 La opción más interesante para la empresa es la que presenta la alternativa B, ya que su valor esperado (223.000 u.m.) es superior a las otras dos opciones.
MATRIZ DE DECISIÓN Problema 4 Enunciado Una empresa dedicada a la fabricación de calzado tiene que analizar entre diferentes estrategias de producción, aquella que le proporcione más ventas, y, en consecuencia, más beneficios. Los posibles productos son: botas, zapatos y sandalias. La decisión la debe tomar en función de las predicciones del tiempo que haga en los próximos meses, ya que esto determinará que se venda más un producto u otro. Los estados de la naturaleza previstos son tres: tiempo frío, normal y cálido. En el momento de tomar la decisión el empresario no sabe con seguridad el estado de tiempo, pero consultando los estados climáticos de los últimos años llega a las siguientes estimaciones en forma de probabilidad: existe un 30% de probabilidad de que el tiempo sea frío, un 45% de que sea normal, y un 25% de que sea cálido. Por otro lado, la experiencia en el sector le permite estimar los resultados esperados en cuanto a ventas, y esto le permite elaborar las siguientes predicciones o desenlaces: La fabricación de botas le daría unos beneficios (en euros) de 60.000, 15.000 y 2.500, si el tiempo es frío, normal o cálido respectivamente. La fabricación de zapatos le daría unos beneficios (en euros) de 5.000, 30.000 y 10.000, si el tiempo es frío, normal o cálido respectivamente. La fabricación de sandalias le daría unos beneficios (en euros) de -5.000, 7.500 y 50.000, si el tiempo es frío, normal o cálido respectivamente. Teniendo en cuenta estos datos, se pide: I. Situación de riesgo Elaborar la matriz de decisión. Calcular los valores esperados de cada una de las estrategias. II. Situación de incertidumbre Suponiendo que no conociera la probabilidad que existe de que el tiempo sea frío, normal o cálido: Utilizando el criterio pesimista o de Wald, indicar qué opción se elegiría. Qué opción se elegiría si se utiliza el criterio optimista? Qué decisión se adoptaría si se utiliza el criterio de Laplace? Indicar qué opción elegiría el directivo si selecciona el criterio de Hurwicz para tomar la decisión, conociendo que el criterio de optimismo es 0,7. Cuál sería la opción elegida si se utilizara el criterio de Savage?
I. Situación de riesgo a) Matriz de decisión: Sucesos investigados 1 2 3 Estados de la naturaleza Tiempo frío Tiempo normal Tiempo cálido Probabilidades 30% 45% 25% Botas 60.000 15.000 2.500 Zapatos 5.000 30.000 10.000 Sandalias -5.000 7.500 50.000 b) Valor esperado para cada una de las estrategias: Sucesos 1 2 3 investigados Estados Tiempo frío Tiempo normal Tiempo cálido Probabilidades 30% 45% 25% Botas 60.000 15.000 2.500 Valor esperado 0,3 * 60.000 + 0,45 * 15.000 + 0,25 * 2.500 = 25.375 Zapatos 5.000 30.000 10.000 Valor esperado 0,3 * 5.000 + 0,45 * 30.000 + 0,25 * 10.000 = 17.500 Sandalias -5.000 7.500 50.000 Valor esperado 0,3 * -5.000 + 0,45 * 7.500 + 0,25 * 50.000 = 14.375 Si el empresario no conoce las probabilidades de que el tiempo sea frío, normal o cálido, la decisión la tiene que tomar en una situación de incertidumbre. II. Situación de incertidumbre c) Opción elegida según el criterio pesimista: Sucesos investigados 1 2 3 Estados de la naturaleza Tiempo frío Tiempo normal Tiempo cálido Probabilidades 30% 45% 25% Botas 60.000 15.000 2.500 Zapatos 5.000 30.000 10.000 Sandalias -5.000 7.500 50.000 Los valores mínimos de cada opción son 2.500 (botas), 5.000 (zapatos), y 5.000 (sandalias). Según este criterio el directivo elegiría la estrategia que le presentara el valor máximo de los mínimos, por ello la opción elegida sería la de zapatos porque asegura como mínimo unas ganancias de 5.000 unidades monetarias.
d) Opción elegida según el criterio optimista: Sucesos investigados 1 2 3 Estados de la naturaleza Tiempo frío Tiempo normal Tiempo cálido Probabilidades 30% 45% 25% Botas 60.000 15.000 2.500 Zapatos 5.000 30.000 10.000 Sandalias -5.000 7.500 50.000 Los valores máximos de cada opción son 60.000 (botas), 30.000 (zapatos), y 50.000 (sandalias); por ello la opción elegida sería la de botas que supone el valor máximo entre los máximos de las tres alternativas (el beneficio esperado en la mejor de las opciones es el superior). e) Opción elegida según el criterio de Laplace: este criterio supone que no se conoce la probabilidad de que ocurra cada una de las alternativas posibles, por ello el directivo considera que cada una de ellas tiene la misma probabilidad de que ocurra; en este caso, como son tres las opciones, sería 1/3 en cada una de ellas. El valor esperado se calcula teniendo en cuenta esta probabilidad y se elige la mejor opción. Sucesos investigados 1 2 3 Estados Tiempo frío Tiempo normal Tiempo cálido Probabilidades 33% 33% 33% Botas 60.000 15.000 2.500 Valor esperado 0,33 * 60.000 + 0,33 * 15.000 + 033 * 2.500 = 25.575 Zapatos 5.000 30.000 10.000 Valor esperado 0,33 * 5.000 + 0,33 * 30.000 + 0,33* 10.000 = 14.850 Sandalias -5.000 7.500 50.000 Valor esperado 0,33 * -5.000 + 0,33 * 7.500 + 0,33 * 50.000 = 17.325 En este caso se elegiría la opción de fabricar botas que es la que más beneficios podría proporcionar (25.575 unidades monetarias). f) Utilizando el criterio de Hurwicz sólo se consideran los valores máximos y los mínimos de cada opción. Para calcularlo, en cada opción se suma el valor máximo (ponderado por el coeficiente de optimismo) al valor mínimo (ponderado por el coeficiente de pesimismo). El coeficiente de optimismo (α), subjetivo ya que lo marca quien toma las decisiones, es 0,7, por ello el coeficiente de pesimismo es (α -1) 0,3. Sucesos investigados 1 2 3 Estados de la frío normal cálido naturaleza Botas 60.000 * 0,7 15.000 2.500 * 0,3 42.750 (42.000 + 7.500) Zapatos 5.000 * 0,3 30.000 * 0,7 10.000 22.500 (21.000 +
1.500) Sandalias -5.000 * 0,3 7.500 50.000 * 0,7 33.500 (-1.500 + 35.000) La alternativa elegida sería la de botas porque, al ponderar con estos coeficientes, ofrece el valor esperado más alto. g) Utilizar el criterio de Savage para tomar una decisión significa elaborar una matriz de coste de oportunidad. Para ello, en cada estado de la naturaleza se da valor 0 a la mejor opción, en el resto de las opciones se halla la diferencia en relación con la mejor: Sucesos investigados 1 2 3 Estados frío normal cálido Botas (60.000) 0 (15.000) 15.000 (2.500) 47.500 Zapatos (5.000) 55.000 (30.000) (10.000) 0 40.000 Sandalias (-5.000) 65.000 (7.500) 22.500 (50.000) 0 Total coste de oportunidad 62.500 95.000 87.500 La opción elegida sería la de abrigos porque es la que tiene un menor coste de oportunidad.