EL NEGOCIO CONJUNTO. (Solución Paso a Paso) u(b) miles de $ u(b) 0 0,50 0,75 0,90 1

Transcripción

1 EL NEGOCIO CONJUNTO. (Solución Paso a Paso) El empresario A encara un negocio al cual atribuye p=0,8 de éxito pero que obligatoriamente debe hacerse en asociación con el empresario B. En caso de éxito, cada uno de ellos obtiene un beneficio de $ y en caso de fracaso, cada uno sufrirá una pérdida de $ B no es tan optimista y atribuye equiprobabilidad al éxito y al fracaso. Si el negocio no se hace, ni ganan ni pierden. B rehusa asociarse. En las conversaciones A descubre que ambos tienen diferentes funciones de valor, A establece que: u(a) 0,125 (x) (entre $ y - $ ) u(b) miles de $ u(b) 0 0,50 0,75 0,90 1 Preguntas: 1) Sobre la base del perfil de la función de utilidad establecer cuál es la actitud ante el riesgo de A y de B. 2) Qué elegirá A? Esto es razonable según su función de utilidad? 3) Qué elegirá B? Esto es razonable según la función de utilidad de B? 4) Harán el negocio conjunto? A ofrece cubrir la pérdida de B en caso de fracaso. 5) Cómo es ahora la solución de A? 6) Cómo se modifica la situación del decisor B? 7) Estarán dispuestos a hacer el negocio conjunto ahora? Segunda oferta de A, ya no se trata de compensar pérdidas sino de aumentar las ganancias de B. 8) Cuál es el mínimo que A puede ofrecer de su ganancia en caso de éxito, para que a B le sea indiferente entrar o no en el negocio? 9) El empresario A estará dispuesto a ofrecer esa cantidad? 10) Cuál es lo máximo que puede ofrecer A de su ganancia para que le resulte indiferente entrar o no en el negocio? Tercera oferta de A, ya no se trata de aumentar las ganancias sino de lo exacto para compensar las pérdidas de B. 11) Cuál es el mínimo aproximado que A puede ofrecer para compensar la pérdida de B en caso de fracaso? 12) A estará dispuesto a ofrecer esa cantidad, en caso de fracaso? Conclusión. 13) Qué le conviene más al decisor A: compensar ganancias o cubrir pérdidas? 14) Cuál es la razón de fondo, no el cálculo numérico? 1

2 SOLUCIÓN: 1) Sobre la base del perfil de la función de utilidad establecer cuál es la actitud ante el riesgo de A y de B. Se calcula la utilidad de A, de acuerdo a la fórmula donde x es la cantidad de pesos. Luego se grafica. Como se puede apreciar la función es una recta, por lo tanto el decisor A posee una actitud neutral ante el riesgo (también llamado indiferente al riesgo). Los incrementos en la utilidad aumentan en la misma proporción en que lo hacen los incrementos en pesos. Si la cantidad de pesos aumenta en , la utilidad aumenta en , si la cantidad de pesos aumenta el doble ( ), entonces la utilidad aumenta también el doble Siempre va a elegir en base a la utilidad esperada, de la misma manera que con el valor esperado. Función de utilidad para A: 0,125 x entre $ y ($ ) Utilidad Resultados en $ Utilidad Resultados 2

3 En cambio al dibujar la función de utilidad del decisor B, según la tabla adjunta al enunciado se ve que hay una concavidad hacia abajo lo que indica un perfil de adverso al riesgo (también denominado averso al riesgo o conservador). Como la función siempre mantiene la concavidad hacia abajo el decisor B siempre es adverso al riesgo. Aversión al riesgo significa que ante una elección equilibrada (con igual valor esperado) entre una alternativa cierta y una riesgosa, el decisor siempre elegirá la alternativa que opera en certeza. Cuando la función de utilidad se hace más cóncava la aversión al riesgo es mayor. Cuando más se acerca a la recta (situación de no concavidad) menos aversión al riesgo hay, hasta que con la recta hay neutralidad ante el riesgo. La propensión al riesgo se vería en el caso de una función de utilidad cóncava hacia arriba. Cuanto mayor fuese dicha concavidad mayor será la propensión al riesgo. Propensión al riesgo significa que ante una elección equilibrada (con igual valor esperado) entre una alternativa cierta y una riesgosa, el decisor siempre elegirá la alternativa riesgosa. Función de utilidad para B: Resultados en $ Utilidad , ,90 0 0, , ,00 Utilidad 1,00 0,90 0,90 1,00 0,80 0,70 0,75 0,60 0,50 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0, Resultados 3

4 2) Qué elegirá A? Esto es razonable según su función de utilidad? Planteo original de A. Alternativas: S1: Encarar el negocio. S2: No encarar el negocio. Estados naturales: E: Tener éxito en el negocio. F: Fracasar en el negocio. S S A prefiere encarar el negocio. La decisión se toma calculando la utilidad esperada, sobre la matriz de utilidades. Como habíamos visto que era neutral ante el riesgo, observamos que el valor esperado en pesos da a elegir la misma alternativa, de todas formas la decisión se toma sobre la base de la utilidad esperada. 3) Qué elegirá B? Esto es razonable según su función de utilidad? Planteo original de B. Alternativas: S1: Encarar el negocio. S2: No encarar el negocio. Estados naturales: E: Tener éxito en el negocio. F: Fracasar en el negocio. S S1 0,90 0,50 0,70 B prefiere no entrar en el negocio. La decisión se toma de acuerdo al criterio de la utilidad esperada. Como habíamos visto antes, el decisor B posee una función de utilidad de un adverso al riesgo, donde ante una situación equilibrada (como ésta donde los valores esperados coinciden), el adverso elige la alternativa que opera en certeza, en este caso, no entrar en el negocio. 4

5 4) Harán el negocio conjunto? El enunciado dice que el negocio debe hacerse obligatoriamente en asociación de los dos empresarios, A y B. Si A prefiere hacer el negocio pero B prefiere no hacerlo, entonces el negocio no se hará. Son dos decisores distintos cada uno con su visión diferente sobre el tema, no sólo por su distinta actitud ante el riesgo, sino también por su apreciación disímil sobre las probabilidades de éxito del negocio. A ofrece cubrir la pérdida de B en caso de fracaso. 5) Cómo es ahora la solución de A? Primera oferta de A, compensación de las pérdidas: S S En este caso el empresario A se hace cargo de toda la pérdida, la suya y la de B, en caso de fracaso. Aún con este ofrecimiento, desfavorable para A, dada su creencia muy fuerte en que el negocio tendrá éxito, el empresario A sigue prefiriendo hacer el negocio. 6) Cómo se modifica la situación del empresario B? S S1 0,90 0,75 0,825 En este caso puede verse claramente que al empresario B le convendrá entrar en el negocio, no solamente porque la utilidad esperada de B así lo indica, sino porque existe dominancia de la alternativa de hacer el negocio por sobre la alternativa de no hacerlo. El empresario B sólo sería socio en las ganancias, pero no en las pérdidas. Habiendo visto la dominancia en la matriz original en pesos, no hacía falta calcular la utilidad esperada para darse cuenta que la alternativa S1 (entrar en el negocio) también dominaría en la matriz de utilidades. 7) Estarán dispuestos a hacer el negocio conjunto ahora? Ahora ambos estarán dispuestos a entrar en el negocio. Ante el ofrecimiento de A de compensarle a B las pérdidas en caso de fracaso, los únicos resultados que se modifican son los de S1-F, con una pérdida de $ para A y cero para B. Aún así, A estará dispuesto a entrar en el negocio y B también, pues al no tener pérdidas en caso de fracaso y tener ganancias en caso de éxito, se produce una situación de dominancia de la alternativa de entrar en el negocio (S1) sobre la alternativa de no hacer el negocio (S2). B no necesita hacer cálculos para decidir. B no tiene nada que perder. 5

6 Segunda oferta de A, ya no se trata de compensar pérdidas sino de aumentar las ganancias de B. 8) Cuál es el mínimo que el empresario A puede ofrecer de su ganancia, en caso de éxito, para que al empresario B le sea indiferente entrar o no en el negocio? Lo primero que hay que ver en este caso es el monto de dinero en que subirá la ganancia de B, para que le resulte indiferente entrar o no en el negocio. Esto afectará el cuadrante S1-E de la matriz de decisión. S X ??? S1 U( X) 0,50 0,75 X es el importe en pesos, de su propia ganancia, que A le ofrece a B. Lo que hacemos es buscar la indiferencia, para B, entre entrar o no entrar en el negocio o sea S1 ~ S2. Como se decide según la utilidad esperada hay que igualar las mismas para las dos alternativas. UE (S1) ~ UE (S2) Utilidad esperada S1 = Utilidad esperada S2 0,5 * U ( X) + 0,5 * U ( ) = U (0) Reemplazamos por los valores de utilidad que conocemos 0,5 * U ( X) + 0,5 * 0,5 = 0,75 Vamos despejando la parte donde está el valor X U ( X) = (0,75 0,25) / 0,5 Simplificamos algebraicamente U ( X) = 0,5 / 0,5 U ( X) = 1 Vemos en la función de utilidad de B cuál es el monto en pesos que da una utilidad de 1 U ( X) = U ( ) Volvemos al valor en pesos, pues las utilidades de dos montos iguales, son iguales X = Despejamos el valor X X = X= Sólo aumentándole a B la ganancia en $ le resultará indiferente entrar en el negocio. En resumen, B se debería llevar toda la ganancia para que decidiera entrar en el negocio. Corroboramos el valor hallado 0,5 0,5 esperado 0,5 0,5 Esperada S S1 1 0,50 0,75 6

7 9) El empresario A estará dispuesto a ofrecer esa cantidad? El siguiente paso es ver la decisión de A con la modificación surgida del análisis anterior. S S Siempre se decide por el criterio de utilidad esperada. Ya se ve una dominancia en la matriz en pesos de A, donde la alternativa de no entrar en el negocio domina a la de hacer el negocio. El empresario A termina siendo socio en las pérdidas, pero no en las ganancias. No le conviene entrar en el negocio. Esta compensación es muy cara para él. No es necesario calcular la utilidad esperada para darse cuenta de que la dominancia persiste en la matriz de utilidad. 10) Cuál es lo máximo que puede ofrecer A de su ganancia para que le resulte indiferente entrar o no en el negocio? Aquí hay que analizar la situación del empresario A. Se busca Y que es el máximo de su ganancia que A está dispuesto a ofrecer. S Y ??? S1 U ( Y) Buscamos la indiferencia, para A, entre entrar o no al negocio conjunto (S1 ~ S2). Como se decide según la utilidad esperada hay que igualar las mismas para las dos alternativas UE (S1) = UE (S2) Expresamos las utilidades esperadas según los valores de la matriz U ( Y) * 0,8 + 0,2 * U ( ) = U (0) Reemplazamos por los valores de utilidad en donde tengamos el dato U ( Y) * 0,8 + 0,2 * = Simplificamos algebraicamente U ( Y) * 0, = Vamos despejando la parte donde está el valor Y U ( Y) * 0,8 = U ( Y) * 0,8 = Simplificamos algebraicamente U ( Y) = / 0,8 U ( Y) = Se busca el R ij para una utilidad de , para ello volvemos a la función de utilidad 0,125 x = ,125 x =

8 0,125 x = x = / 0,125 x = Reemplazamos el valor en pesos en la igualación de utilidades U ( Y) = U (25.000) Volvemos al valor en pesos, pues las utilidades de dos montos iguales, son iguales Y = Despejamos el valor de Y = Y Y = A sólo podría ofrecerle hasta $ de su ganancia, quedándose con $ ; por lo tanto, no cubre las exigencias de B. En las matrices siguientes se ve esta incompatibilidad, pues A necesitaría ganar por lo menos $ y B necesitaría ganar por lo menos $ , mientras que el negocio conjunto no permite ganar más que $ en su totalidad. Por lo tanto, con el reparto de las ganancias en caso de éxito nunca van a llegar a un acuerdo. S S S S1 1 0,50 0,75 Tercera oferta de A, ya no se trata de aumentar las ganancias sino de lo exacto para compensar las pérdidas de B 11) Cuál es el mínimo aproximado que el empresario A puede ofrecer para compensar la pérdida de B, en caso de fracaso? Ya habíamos visto que si el empresario A compensaba todas las pérdidas de B, en caso de fracaso, este último cambiaba su elección. Ahora queremos ver cuál es el mínimo necesario para que cambie de opinión. Debemos analizar la decisión del empresario B. Aquí sólo se va a modificar el cuadrante S1-F (entrar al negocio y que se fracase) El monto Z es la reducción de la pérdida de B que le hace indiferente entrar o no en el negocio: S Z??? S1 0,90 U( Z) 0,75 8

9 Buscamos la indiferencia, para el empresario B, entre entrar o no al negocio. Esta se da al igualar las utilidades esperadas. UE (S1) ~ UE (S2) Como se decide según la utilidad esperada hay que igualar las mismas para las dos alternativas Utilidad esperada S1 = Utilidad esperada S2 Expresar las utilidades esperadas según los valores de la matriz 0,5 * U ( ) + 0,5 * U ( Z) = U (0) Reemplazar por los valores de utilidad cuando tengamos el dato 0,5 * 0,90 + 0,5 * U ( Z) = 0,75 Reducción de cálculos 0,45 + 0,5 * U ( Z) = 0,75 Despejamos la parte donde está el valor Z 0,5 * U ( Z) = 0,75 0,45 Simplificamos algebraicamente 0,5 * U ( Z) = 0,30 U ( Z) = 0,30 / 0,5 U ( Z) = 0,60 Buscamos en la función de utilidad de B cuál es el monto en pesos que da una utilidad de 0,60. Como no tenemos este valor en forma explícita podemos hacer una interpolación entre los valores más cercanos. Interpolación. La interpolación lineal supone la misma proporción de crecimiento en pesos como en utilidades Monto en pesos Utilidad , Z 0,60 0 0,75 La proporción entre el valor a interpolar y un extremo, con respecto al rango entre los dos extremos, es igual para las utilidades como para los valores en pesos: 0,60 0,50 = Z ( ) 0,75 0,50 0 ( ) Simplificamos los valores 0,10 = + Z. 0, Despejamos Z. Z = x 0,10 / 0,25 = Z = valor de lo que debe compensar A a B, en caso de fracaso. 9

10 Para que a B le resulte indiferente entrar o no en el negocio necesita que su pérdida se vea reducida de $ a $ , con lo que A debería compensarlo en $ en caso de fracaso del negocio. 12) A estará dispuesto a ofrecer esa cantidad, en caso de fracaso? Ya se había visto antes que A estaba dispuesto a compensar toda la pérdida de B y aún seguía interesado en hacer el negocio, con más razón todavía estará dispuesto a compensar sólo una parte de la pérdida de B. Corroboramos esto S S S S1 0,90 0,60 0,75 Conclusión 13) Qué le conviene más al decisor A: compensar ganancias o cubrir pérdidas? Como hemos venido viendo en el desarrollo de este caso, al empresario A le conviene hacerse cargo de las pérdidas, antes que compensar las ganancias. 14) Cuál es la razón de fondo, no el cálculo numérico? Porque el fracaso, para el empresario A, tiene sólo el 20% de probabilidad de ocurrencia. Si ofreciera sobre el éxito, él cree que habría un 80% de probabilidad de tener que pagar. 10