GUIA DE TRABAJO # 24 PROYECTO: SUBPROYECTO: ESTRATEGIA: OBJETIVO: MAGIA MATEMÁTICA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS (II) SIMPLIFICANDO LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN REDUCIR A 4, LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN. RESPONSABLE: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ MATERIALES: LÁPIZ, PAPEL Y NO QUERER COMPLICARSE MUCHO. SIMPLIFICANDO LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN Muchas veces nos hemos quejado o escuchado quejar a los demás que son muchos los casos de factorización (9 ó 10 ó 11). Hoy voy a proponer tan solo cuatro formas de factorización en las cuales se hallan todos los casos de factorización o al menos los casos más importantes. Es decir, solo tendrás que aprender y dominar cuatro estrategias de factorización porque he agrupado los casos según sus características y regla común: Caso I: factor común Para polinomios Caso II: Agrupación de términos (II, VIII) en general Caso III: Factorizando trinomios. (III, VI, VII y V) Caso IV: Factorizando Binomios. (IV, IX y X)
Caso I: Factor común Requisito: Se aplica cuando todos los términos tienen algo en común o repetirlo tanto en coeficientes y/o variables. Regla: 1) Se toma el máximo común divisor (m.c.d) de los coeficientes y las letras comunes con su menor exponente. (Ese será el factor común) 2) El otro factor, se obtiene dividiendo cada término entre el factor común. Ejercicio: Facturar o descomponer en dos factores. 1) ax + bx Si notamos lo común o repetido entre los dos términos es la X (es la X el factor Común) a. X + b.x = X (a+b) 2) 1) Primero analizamos cuántos términos posee el polinomio y si poseen algo repetido o en común. Nos podemos ayudar buscando el m.c.d de los coeficientes y las letras repetidas con su menor exponente. 10 15 40 2 5 15 20 2 5 15 10 2 5 15 5 5. 1 3 1 3 1 1 1 Si observamos bien hemos señalado aquel factor que contienen todos los términos y el producto entre ellos será el m.c.d. = Los podemos re-escribir como:
Y observamos con color morado lo que poseen repetido 3) Factorar 1) Tenemos cuatro términos que poseen a primera vista las variables XY en común, es decir, puedo aplicar el caso I: Factor común. 2) Tomemos el m.c.d de los coeficientes: fijémonos en el menor coeficiente 50 y analicemos si divide a los demás, en caso afirmativo ese será el m.c.d y en caso negativo tomo su mitad, tercera o quinta parte hasta encontrar el m.c.d entre ellos. 4) Factorar: 2X (X-Y) + 3Y (X-Y) 1) Tenemos 2 términos con algo repetido (x-y), por lo tanto ese es el factor común. 2) El segundo factor se obtiene dividiendo cada término entre el factor común (simplemente colocando en otro paréntesis lo que esta fuera de los paréntesis en los términos). 5) Factorar: 3a (x+y) 2b (x+y) x-y 1) Tenemos 4 términos con algo parecido (más no repetido) x+y e x-y. 2) Para que nos quede igual en los términos debemos agrupar: 3a (x+y) -2b (x+y) -1 (x+y) Ahora sí podemos extraer (x+y) como factor común.
6) Factorar: Si observamos bien, tenemos tres términos pero en el último el paréntesis aparece invertido. Para que se obtenga el mismo paréntesis vamos a multiplicar el último término por (-1) así: Ahora si podemos extraer el factor común 2a (x-y) Caso II: Factorización trinomios Aplicaremos la factorización por tanteo que consiste en: Regla: a) Se ordena el trinomio y descomponemos su primer y tercer término en sus factores primos b) Se multiplican derecho o en X para obtener 2 números que sumados o restados nos den 5. c) Observamos que 3 y 2 nos sirven porque sumados nos dan 5. (Entonces se acompañara del signo (+). d) Para formar los factores, se colocan los valores, tomados derecho, en los paréntesis.
* Factoricemos Pasos: a) b) C y d) Caso III: Factorizando Binomios - Aplicaremos la factorización de suma o diferencia de potencias impar visto como caso X en el álgebra de Baldor. - Recuerde que el primer factor se forma con la suma o resta de las raíces enésimas de los términos dados. - El segundo factor lo forma la primera raíz que desciende en potencias mientras que la segunda raíz asciende en potencia. La solución es:
- Factoricemos: La solución es: - Factorizar: Caso IV: Agrupando términos - Se aplica cuando tengo 4 ó más términos que no poseen todos un factor común. Factoricemos: Agrupamos: Extraemos factor común:
Por último volvemos a extraer factor común: Y listo: Factoricemos: - Agrupamos: - Factoramos: La suma de cubos - Factorizamos: el factor común - Sacamos factor común - Resolvemos el corchete - Factoramos el trinomio cuadrado perfecto
Luego: ESPERA EN LA PRÓXIMA EDICIÓN... LOS 10 CASOS EN DOS PASOS. Reto Nº 1: El Tangran Chino Descansito Nº 6 Intenta construir algunos números, letras o formas de animales utilizando las 7 piezas del tangran chino. Reto Nº 2: El educador te propondrá algunos acoplamientos geométricas cuyo reto es utilizarlas todas las piezas para formar la figura pedida. He aquí algunos de ellos. a) Recorta 4 triángulos de ángulo recto y un cuadro pequeño y trata de combinar las 5 formas para hacer un cuadro grande. b) Combina las siguientes 8 formas hasta que representen un cuadrado regular. (cuadrado)
Reto Nº 3: Las dos islas y los 8 puentes. Puedes elaborar una ruta por la que podrías andar en bicicleta por las dos islas pasando por todos los puentes pero una sola vez por cada uno? CONCLUSIONES Y/O SUGERENCIAS EVALUACIÓN: