METODO DE TAYLOR TEOREMA DE TAYLOR DE ORDEN N Sea y(t) una función tal que sea n veces continuamente diferenciable en el intervalo [a,b] y existe y (N+1) existe en [a, b] Para todo t k + [a, b] abrá un número (t k ) [t k +, b] tal que: y(t k +)=y(t k )+y'(t k ) +y''(t k ) /! + +y (N) (t k ) n /n! +y (N+1) ( (t k )) (*) (*) se denomina la fórmula de Taylor(ó la serie de Taylor) de orden n. El valor numérico aproximado de la solución del problema de valor inicial y'=f(t,y) con y(t 0 )=y 0, en el intervalo [a,b] mediante el método de Taylor, está basado en la aplicación del teorema de Taylor en cada subintervalo [t k, t k+1 ], de manera que el paso general del método de Taylor de orden N es: N y k+1 =y k + y'( t k ) + y''( t k ) + + y (N) ( t k ) ;! N! para k=0,1,...,n-1 Observación: El método de Euler, es el método de Taylor de orden 1.
Ejemplo Aplicando el método de Taylor de orden con =0.5, calcular la aproximación a y(1), si y'= y - t, con y(0) =3 Rpta. t yaprox 0 3.0000 0.5000 4.8750 1.0000 7.6406 Ejercicio Calcular la aproximación a y(1) en dos iteraciones mediante el método de Taylor de orden 3, si y'= - t cosy, con y(0.5) = Ejercicio Aplicando el método de Taylor de orden con =1, calcular y(5), si y'= y - t, con y(1) =3 t yaprox yexacta.0000 5.5000 5.7183 3.0000 10.500 11.3891 4.0000 0.650 5.0855 5.0000 45.065 60.598 Con =1, M.Taylor de orden, el valor aproximado a y(5) es 45.065 t yaprox yexacta 1.5000 4.150 4.1487.0000 5.6406 5.7183.5000 7.7910 7.9817 3.0000 10.979 11.3891 3.5000 15.8310 16.685 4.0000 3.418 5.0855 4.5000 35.408 38.6155 5.0000 54.613 60.598 Con =0.5, M.Taylor de orden, el valor aproximado a y(5) es 54.613
t yaprox yexacta 1.5000 4.1458 4.1487.0000 5.7088 5.7183.5000 7.958 7.9817 3.0000 11.3374 11.3891 3.5000 16.576 16.685 4.0000 4.8754 5.0855 4.5000 38.115 38.6155 5.0000 59.8377 60.598 Tabla: M. Taylor de orden 3 t yaprox yexacta 1.500 3.5339 3.5340 1.5000 4.1483 4.1487 1.7500 4.866 4.8670.0000 5.7168 5.7183.500 6.7380 6.7403......... 4.0000 5.0534 5.0855 4.500 30.9957 31.0403 4.5000 38.5537 38.6155 4.7500 48.1861 48.711 5.0000 60.4818 60.598 Tabla: M. Taylor de orden 3 Valoración de un método Para la valoración de un método numérico, fundamentalmente, se consideran dos aspectos: a) La simplicidad del algoritmo del cálculo b)la velocidad de convergencia ó exactitud del método, las cuales están asociados al orden del método. El algoritmo de cálculo en el método de Euler es muy simple; sin embargo, se demuestra que para lograr una buena exactitud se tiene que realizar mucos cálculos.
ERROR EN UN METODO NUMERICO Supongamos {(t,y )} M k k k 0 es un conjunto finito de aproximaciones a la única solución de un problema de valor inicial obtenido con el método y k+1 = y k + ( t k, y k ). El error de truncamiento global ó error de truncamiento global en el k-ésimo paso, denotado por e k se define como: e k = y(t k ) - y k para k=0,1,..,m Este error es la diferencia entre la solución exacta y la calculada con el método en el nodo correspondiente. El error de truncamiento local ó error de truncamiento local en el k-ésimo paso, denotado por k, se define como: k = y (t k ) y k,para k=1,..,m, y' f(t,y(t)) donde y (t) es la solución de y(t ) y, k 1 k 1 Este error es el que se comete en un solo paso, el que nos lleva desde el nodo t k asta el nodo t k+1 Nota. El error global final: y(t M )-y M se usa para estudiar el comportamiento del error para tamaños de pasos diferentes y nos permite tener una idea del esfuerzo computacional que ay que realizar para obtener aproximaciones con la precisión deseada. Error de truncamiento local Si y(t) es la solución de la ecuación diferencial: y (t) = f(y(t); t) y consideramos t * y fijos, el error de truncamiento local, denotado por, se define como: y(t * + ) = y(t * ) + (t * ; y(t * ); ) +
Ejemplo: Determinar el error de truncamiento local para el método de Euler Solución: El error de truncamiento de método de Euler: y(t * + ) = y(t * ) + f(t *, y(t * ) ) + Supongamos que la solución y(t) es suave (por ejemplo y es acotada ). Luego, por la serie de Taylor: y(t * + ) = y(t * ) + y (t * ) +! = y(t * ) + f (t *, y(t * ) ) + y ( ), para algún.! y ( ), para algún. De aquí, obtenemos: =! y ( ) Ejercicio: Demostrar que el error truncamiento local para el método de Taylor de orden k. Rpta.: = k (k 1)! (k 1) y ( ) ORDEN DE UN METODO Diremos que el método y i+1 = y i + ( t i, y i ) es de orden k, denotado por O( k ), si existe una constante C>0 tal que, c k, cuando es suficientemente pequeña. donde es el error de truncamiento local Nota: Si un método es de orden k, y si se reduce a la mitad, el nuevo error es, aproximadamente c(/) k = c k / k ; esto es; el error se reduce por un factor 1/ k.
Ejemplo: Determinar el orden del método de Euler. Solución: Se sabe que el error de truncamiento local del método de Euler es: i+1 = y ( i ), para cada i (t i,t i+1)! Si y (t) está acotado por una constante M en [a,b], ello implica que: i+1 M, así que el error local de truncamiento en el! método de Euler es O(). Por lo tanto, el orden del método de Euler es 1. Ejemplo: Comparar los errores globales finales usando el método de Euler para resolver del problema de valor inicial: Solución t y y', en [0,3] con y(0)=1, usando los tamaños de paso 1, 1/,...,1/64 t / t / t / Al solución analítica al problema de valor inicial es: y(t) e ( 3 e e t) El valor exacto y(3)=e -3/ (3 -e 3/ ) Tamaño de paso Número de pasos, M Aproximación y M a y(3) Error global final y(3) - y M 1 3 1.37500000000000 0.943904804459 1/ 6 1.53393554687500 0.1354549335709 1/4 1 1.604517140019 0.06513876644400 1/8 4 1.6374910330644 0.03196137713885 1/16 48 1.6535571938781 0.015833865747 1/3 96 0.91701011177793 0.0078803493934 1/64 19 1.66545931077583 0.00393116966946 Se observa, que la tabla adjunta muestra los errores globales finales para los diferentes tamaños de paso; y observamos que el error en la aproximación a y(3) decrece en un factor de 1/ cuando el tamaño de paso se reduce a la mitad.