ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (6) Ricardo Ramírez Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile 1er. Semestre 2008
Michael Faraday realizó el siguiente experimento. Construyó dos condensadores idénticos con la misma diferencia de potencial entre sus placas, pero en uno de ellos introdujo un material aislador (dieléctrico). Faraday observó que el condensador con el dieléctrico tiene más carga.
Posteriormente, Faraday realizó otro experimento con los mismos condensadores pero ahora cada uno tiene la misma carga eléctrica. Medidor de potencial Observó que el condensador con el dieléctrico tiene menor potencial.
También encontró que la razon de las cargas vale: Q diel Q y las de los potenciales: V diel V De aquí podemos deducir que: = κ = 1 κ C diel = κc i.e. C diel = κɛ oa d
El factor κ se llama CONSTANTE DIELECTRICA del material aislador. Es una cantidad sin unidades que tiene un valor mayor que 1. El valor κ = 1 corresponde al vacío. Algunos valores de κ: Vacio 1.0 Aire 1.00054 Agua 78.0 Vidrio Pyrex 4.5 Porcelana 6.5 Papel 3.5
Ejercicio Un condensador de placas paralelas tiene conectada una batería que produce una diferencia de potencial V o. Se desconecta la batería y se introduce una placa dieléctrica de constante κ. Calcule el cambio en la energía potencial. Antes de colocar el dieléctrico: Después de colocar el dieléctrico: U o = Q2 o 2C o C = κc o, Q = Q o, U = Q2 2C = Uo κ
Molecula con dipolo permanente En ausencia de campo eléctrico los dipolos eléctricos tienen orientaciones al azar.
Al aplicar un campo eléctrico externo los dipolos tienden a orientarse en la dirección del campo.
Modelo simple de un dielectrico en presencia de un C.E E E o E Aparece una carga en la superficie, que produce un campo E. Este se opone al campo aplicado E o, dando como resultado el campo neto E.
Apliquemos estas simples ideas a un condensador de placas paralelas de área A. Si este condensador tiene carga q, su densidad de carga es σ = q/a y por lo tanto en el vacío el campo entre las placas es E o = q ɛ oa. Al introducir un dieléctrico, manteniendo la carga q, aparece el campo E que se debe a la carga q de polarización y que se opone a E o, i.e. E = q ɛ oa. Ahora el campo resultante E se puede escribir como E = Eo κ V = Vo κ. Pero E = Eo E, o sea q κɛ = q oa ɛ q oa ɛ oa Entonces definiendo D = q A y P = q A obtenemos: D = ɛ oe P, lo que se deduce de q A = q κa q A Ahora vamos a hacer un tratamiento mas sistemático de la teoría de los dieléctricos
. Potencial Sabemos que el potencial en r debido a un dipolo eléctrico en r está dado por: V ( r) = 1 p( r ) ( r r ) 4πɛ o r r 3 Ahora consideremos una pequeña región del dieléctrico de volumen dv = d 3 r. Dentro de este volumen hay muchos dipolos orientados en muchas direcciones. Entonces el dipolo total dentro de dv es p i, el que dividimos por dv, P = p i dv A esta cantidad la llamamos vector POLARIZACION, y por lo tanto corresponde al momento dipolar por unidad de volumen.
El potencial en r debido al dipolo eléctrico Pd 3 r ubicado en r está dado por: Pero ya sabemos que: dv ( r) = 1 4πɛ o P( r ) ( r r ) r r 3 d 3 r r r r r 3 = 1 r r
Por lo tanto, el potencial debido al dieléctrico completo lo podemos obtener integrando en todo el espacio: V ( r) = 1 Z P( r ) 1 4πɛ o r r d 3 r Haciendo α = 1 en la identidad vectorial: r r (α P) = P α α P y utilizando el teorema de la divergencia, obtenemos: V ( r) = 1 4πɛ o donde la integral es en todo el espacio Z P( r ) d 3 r r r
La expresión anterior da el potencial debido a los dipolos del dieléctrico. Si éste tiene además una distribución de carga libre ρ( r ), el potencial debe escribirse como: V ( r) = 1 4πɛ o ρ( r ) P( r ) d 3 r r r Este es el potencial de una densidad de carga efectiva ρ P y por lo tanto la ley de Gauss o la primera ley de Maxwell debe ser modificada para un dieléctrico: y que se puede reescribir como: E = 1 ɛ o (ρ P) (ɛ o E P) = ρ
Nótese que el vector ɛ o E P depende exclusivamente de la carga libre ρ. Este vector se llama VECTOR DESPLAZAMIENTO: D = ɛ o E P lo cual permite escribir la ley de Gauss como: D ˆndS = Q = ρd 3 r S aplicada a superficie S que encierra en volumen V, y la 1ra. ley de Maxwell queda como: D = ρ Ambas expresiones válidas para un dieléctrico. V
Ahora volvamos al caso en que no hay carga libre, i.e. ρ = 0. Como ya vimos el potencial en este caso es: V ( r) = 1 4πɛ o Z P( r ) d 3 r r r Esta integral se puede hacer sobre todo el espacio debido a que el integrando es nulo fuera del dieléctrico. donde P = 0. Así la expresión puede entenderse también como una integral sobre el volumen del dieléctrico. Sin embargo, debido a que la polarización P sufre una discontinuidad en la superficie del dieléctrico, es conveniente separar la contribución de esta discontinuidad. Partiendo de la expresión: V ( r) = 1 4πɛ o y usando la identidad vectorial: Z V o P( r ) 1 r r d 3 r (α P) = P α α P α = 1 r r y el teorema de la divergencia, podemos obtener la expresion:
donde: V ( r) = 1 Z ρ P ( r ) 4πɛ o V o r r d 3 r 1 I σ P ( r ) 4πɛ o S o r r ds σ P = P n, ρ P = P y V o es volumen de dieléctrico limitado por la superficie S o
. Campo Eléctrico El campo eléctrico se puede obtener de E = V y utilizando la identidad: 1 r r = r r r r 3 podemos obtener: E( r) = 1 [ ρ P ( r ) r r d 3 r σ P ( r ) r r ds ] 4πɛ o V o r r 3 S o r r 3 donde V o es volumen de dieléctrico limitado por la superficie S o.
. Susceptibilidad. Constante dieléctrica q 1 q 2 S 1 S 2 S Dentro de V encerrado por S hay dos tipos de carga: Q = q 1 q 2 y la carga de polarización Q p = R S 1 S 2 P ˆndS RV ( P)d 3 r = H S P ˆndS. Entonces de HS E ˆndS = 1 ɛ o (Q Q p) obtenemos H S (ɛo E P) ˆndS = Q
D = ɛ o E P = ɛo( E P ɛ o ) Para campos eléctricos E no muy grandes, la polarización se puede considerar proporcional al campo eléctrico aplicado: P = χ E Por lo tanto: D = ɛ o(1 χ ) E ɛ = κɛ o χ E κ = (1 ) o ɛ o La constante χ se llama susceptibilidad y ɛ = κɛ o la permitividad del dieléctrico,
. Cambio de energía con carga constante Q x Q Antes de introducir el dieléctrico la capacidad del condensador es C o = ɛ owl/d, donde A = wl y la energía es U o = Q 2 /(2C o). Al introducir el dieléctrico una distancia x, la capacidad cambia a: C = ɛ ow(l x)/d κɛ owx/d Como C > C o, la energía final, U = Q 2 /(2C), es menor que U o.
Al crecer x en dx la energía disminuye: du = 1 2 (Q/C)2 dc. Esto es igual a dw, el trabajo realizado para mover el dieléctrico en dx, y como dw = Fdx obtenemos: F = W / x = U/ x = 1 2 (Q/C)2 C/ x Esta fuerza esta dirigida hacia la dirección en que crece x, ya que C crece con x.
Condiciones de borde para D y E Consideremos la superficie que separa dos dieléctricos de constantes κ 1 y κ 2 como se muestra en la figura. Suponiendo que no hay carga libre ρ en esta superficie podemos escribir: D = 0 y E = 0 κ 1 E1 Entonces utilizando: R S D ˆndS = 0 y H C E d l = 0, podemos obtener: D 1n = D 2n E 1t = E 2t D 1 S C D 2 E2 κ 2 Para las componentes normales de D y tangenciales de E.
Ruptura dieléctrica Se produce cuando un aislador es sometido a un campo eléctrico muy alto y conduce la electricidad a través de una descarga. Fortaleza dieléctrica es el campo eléctrico que un material aislador puede soportar antes de producirse la ruptura. En el aire esta cantidad es 3 10 6 [V/m] = 3 M N/C. En el aire esta descarga se llama descarga de arco. Ejemplo: el rayo.
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 1 Un condensador está conectado a una batería que mantiene un potencial V o entre sus placas. Se desconecta la batería y se inserta una placa dieléctrica de constante κ = 7.0 y espesor b = 0.5 cm. Suponga que A = 100 cm 2, d = 1.0 cm y V o = 100 V. a) Calcule C antes de insertar el dieléctrico. b) Calcule la carga libre. c) Calcule el campo eléctrico entre las placas del condensador. d) Calcule el campo eléctrico en el dieléctrico. e) Calcule la diferencia de potencial con el dieléctrico. f) Calcule la capacidad con el dieléctrico. d b a) 8.9 pf; b).89 nc; c) 10 4 V/m; d) 0.14 10 4 V/m; e) 57 V; f) 16 pf
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 2 Un condensador tiene placas cuadradas, cada una de lado a, con una pequeñ a inclinación θ entre ellas. Demuestre que la capacidad está dada aproximadamente por: C = ɛ oa 2 d aθ (1 2d ) a d θ a
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 3 Demuestre que la capacidad del condensador del Problema 1 vale: C = κɛ o A κd b(κ 1) d b V = E o (db)eb, E o = q ɛ o A E = q κɛ o A V = q [ d b b ] ɛ o A κ
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 4 Una esfera conductora de radio R tiene una carga Q. La esfera tiene sobre ella una capa dieléctrica de radio a y constante dieléctrica κ. Calcular el campo eléctrico y el potencial en todo punto. D = Q R < r < 4πr 2 E = Q V = Q (a < r < ) 4πɛ or 2 4πɛ or E = Q V = Q ˆ 1 1 4πκɛ or 2 4πɛ o κ r 1 «1 a a E = 0 V = Q ˆ 1 1 4πɛ o κ R 1 «1 a a (R < r < a) (r < R) a R Q
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 5 Un condensador de placas paralelas se llena con dos capas dieléctricas de espesores d 1 y d 2 y constantes dieléctricas κ 1 y κ 2 como se muestra en la figura. Calcular la capacidad del condensador. A d κ 1 κ 2 [ d1 C = ɛ o A d ] 1 2 κ 1 κ 2
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 6 Calcule la capacidad del condensador de la figura
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 7 Calcule la capacidad entre los puntos x e y de la figura. C C 4 C C 1 2 3 x y C 5
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 8 Inicialmente el interruptor S está conectado a la izquierda y el condensador C 1 adquiere una carga q 1. Posteriormente el interruptor se conecta a la derecha. Cuales son las cargas finales q 1, q 2 y q 3 en los condensadores C 1, C 2 y C 3? V o S C 1 C C 2 3
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 9 Un condensador de placas paralelas tiene una separación entre las placas igual a d y el espacio entre las placas está lleno con dieléctricos de constantes κ 1 y κ 2 cubriendo areas A 1 y A 2 respectivamente. Calcule la capacidad del condensador. d A 1 A 2
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 10 El espacio entre dos cáscaras esféricas conductoras concéntricas de radios a < b se llena con un dieléctrico de constante κ. Se coloca entre las placas una diferencia de potencial V. a) Calcule la capacidad del condensador, b) Calcule las cargas libres en las esferas. c) Calcule las cargas de polarización. a b
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 11 En el cicuito de la figura: a) Encuentre la carga en cada condensador cuando se cierra solamente S 1. b) Posteriormente se cierra también S 2. Encuentre la carga en cada condensador, C S 2 C 1 2 C 3 C 4 B S 1
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 12 Los condensadores C 1 y C 2 se cargaron inicialmente con la misma diferencia de potencial V, pero con polaridad opuesta, como se muestra en la figura. Después que se cierran los interruptores S 1 y S 2. a) Cuál es ahora la diferencia de potencial entre A y B? b) Cuáles son las cargas en C 1 y C 2? A S 1 C 1 C 2 B S 2
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 13 Inicialmente los condensadores C 1 = 2µF, C 2 = 4µF y C 3 = 6µF se cargan en paralelo con una fuente de V = 200 V. Luego los condensadores se desconectan y se reconectan en la forma indicada en la figura. a) Cuál es el voltaje en cada condensador cuando se cierran los interruptores S 1 y S 2, pero S 3 permanece abierto? b) Cuál es la carga en cada condensador cuando también se cierra S 3? S 3 S S 1 2 q q q q q q 1 1 2 2 3 3 C 1 C 2 C 3
Problemas de dieléctricos y condensadores SOLUCION. Inicialmente, las cargas de los condensadores son: q 1o = 400µC, q 2o = 800µC, q 3o = 1200µC a) Los tres condensadores tienen el mismo voltaje, V = 200 V. b) Al cerrar los tres interruptores, los condensadores adquieren nuevas cargas q 1, q 2 y q 3, que deben cumplir las ecuaciones: Por lo tanto: q 1 C 1 q 2 C 2 q 3 C 3 = 0, q 1 q 2 = q 1o q 2o, q 2 q 3 = q 2o q 3o h C1 q 1 = V C i h 1 1 2 / C 2 C 3 C1 1 C 2 1 C 3 i = 2800 11 µc Y similarmente q 2 = 1600 11 µc, q 3 = 6000 11 µc c) V 1 = 1400/11 V, V 2 = 400/11 V, V 3 = 1000/11 V
Problemas de dieléctricos y condensadores Problema 14 Un condensador de placas paralelas se carga a un voltaje V y después se desconecta de la fuente. Luego se inserta un dieléctrico de constante κ = 2 que cubre el área 1 2 A del condensador. Sea σ 1 la densidad de carga libre en la superficie cubierta por el dieléctrico y σ 2 en la superficie si dieléctrico. a) Por qué el campo eléctrico tiene el mismo valor dentro del dieléctrico y en el espacio libre entre las placas? b) Demuestre que σ 1 = 2σ 2. c) Demuestre que la nueva capacidad es 3ɛ oa/2d d) Demuestre que el nuevo potencial es 2 3 V d κ A