Teoría de Conjuntos: Producto Cartesiano y Relaciones COMP 2502: Estructuras Computacionales Discretas II Dra. Madeline Ortiz Rodríguez 1 Repaso sobre Conjuntos Los elementos de un conjunto pueden organizarse en cualquier orden. En un conjunto bien definido no existen elementos repetidos. Cuando un conjunto se define en términos de sus elementos, éstos pueden ser números, variables u otros conjuntos. Un conjunto puede definirse en términos de una proposición o expresión algebraica. 2 1
Producto Cartesiano - Definición Dados dos conjuntos, se define el Producto Cartesiano como una multiplicación de conjuntos. Notación para Producto Cartesiano: X x Y Notación para un elemento del conjunto: (x,y) Esto significa que los elementos de X serán el dominio (el primer elemento del par ordenado) y que Y será el alcance (el segundo elemento en el par ordenado). El orden de los elementos en el par ordenado es importante. El orden de los elementos puede distinguir un par ordenado de otro: (x,y) no es igual a (y,x). 3 Producto Cartesiano para 2 conjuntos Si tenemos dos conjuntos, los elementos del producto cartesiano se establecerán como pares ordenados. Cada elemento ES un par ordenado. Veamos como se construye un producto cartesiano para dos conjuntos finitos: X = {2, 4, 6} Y = {7, 8} X x Y = {(2,7), (2,8), (4,7), (4,8), (6,7), (6,8)} Toma el primer elemento de X y combínalo con cada elemento de Y. Luego, repite el mismo procedimiento con cada elemento de X. 4 2
Uso de diagramas para construir el Producto Cartesiano para 2 conjuntos A = {1,2,3} B = {4,5,6} A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)} 5 Imagen obtenida de: http://www.proyectosalonhogar.com/matem/01carteok.html Ver el siguiente vídeo Producto Cartesiano http://www.youtube.com/watch?v=vgledj-7xq4 Excelente explicación sobre la construcción del producto cartesiano de dos conjuntos y su relación con la cardinalidad de cada conjunto. 6 3
Cardinalidad del Conjunto Recordemos la cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos en el conjunto Por ejemplo: F = {3,4,6,8,9} Cardinalidad: F = 5 Interpretación: El conjunto F tiene 5 elementos. 7 Cardinalidad de: el Conjunto Producto Cartesiano Dados los conjuntos X y Y, definidos como: X = {1,2,3,4} X = 4 Y = {p, q} Y = 2 La cardinalidad del Producto Cartesiano: X x Y = X x Y =4 x 2 = 8 Interpretación: El conjunto del Producto Cartesiano tendrá 6 elementos. Veamos: X x Y = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)} 8 4
9 Veamos un ejemplo conocido: el Plano Cartesiano. Éste trabaja con conjuntos infinitos. Imagen obtenida de: http://en.wikipedia.org/wiki/cartesian_coordinate_system Plano Cartesiano (1-4) Este producto combina los elementos de dos o más conjuntos en pares ordenados. Has estudiado el Plano Cartesiano en Álgebra y localizado puntos en sus cuadrantes. Cuadrante II Cuadrante I Cuadrante III Cuadrante IV 10 5
Plano Cartesiano (2-4) Cuadrante II Cuadrante I Cuadrante III Cuadrante IV Los puntos son pares ordenados de números reales. En el Cuadrante I, se dibujan los puntos para x>0 y y>0, lo que nos da números positivos (+,+). En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x<0 y y>0, lo que nos da dos tipos de números (+,--) 11 Plano Cartesiano (3-4) Cuadrante II Cuadrante I Cuadrante III Cuadrante IV Completa la información para los Cuadrantes III y IV: En el Cuadrante III, se dibujan los puntos para x y y lo que nos da números positivos ( ). En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x y y y lo que nos da dos tipos de números ( ) 12 6
Plano Cartesiano (4-4) Para concluir, el Plano Cartesiano presenta un caso de pares ordenados infinitos. Tanto los valores de X como los valores de Y pertenecen al conjunto de los Números Reales. Sin embargo, en este curso se trabaja con conjuntos finitos. 13 Producto Cartesiano para 3 conjuntos Si tenemos tres conjuntos, entonces hablaremos de tuplos ordenados, los que se componen de tres elementos cada uno. La cardinalidad se calculará de la misma manera que se hizo anteriormente, para dos conjuntos. Un ejemplo de este caso sería: X = {2, 4, 6} Y = {7, 8} Z = {a} X x Y x Z = X x Y x Z = 3 x 2 x 1 = 6 X x Y x Z = {(2,7,a), (2,8,a), (4,7,a), (4,8,a), (6,7,a), (6,8,a)} 14 7
Relaciones en Productos Cartesianos 15 Relaciones: Definición Dada una regla específica, una relación se establece entre dos o más conjuntos, calculando el producto cartesiano y seleccionando aquellos pares ordenados que cumplen con la regla dada. Una Relación es un subconjunto del Producto Cartesiano. 16 8
Relaciones: Procedimiento En la mayoría de los casos se trabaja con conjuntos definidos en términos de proposiciones, los que hay que convertir a una lista de elementos. Luego se calcula el Producto Cartesiano. Si fuera un solo conjunto: Y x Y= Y 2 Dos conjuntos: X x Y Finalmente, se aplica la regla que estable la relación. 17 Relaciones: Representación El conjunto de la Relación (R) puede presentarse en forma de una tabla o un conjunto de pares ordenados: Por ejemplo, en forma de tabla sería: Dominio Imagen o Rango 3 4 5 6 7 8 En forma de conjunto sería: R = {(3,4), (5,6), (7,8)} 18 9
Tipos de Relaciones Una relación (R) incluye aquellos elementos que cumplen con la regla dada. Por ejemplo: Regla: El elemento x divide al elemento y. Esto es: x divide a y, quiere decir que cuando se divide y/x, el residuo es 0 Por ejemplo, 2 divide a 10, por que 10 dividido por 2 = 5 y el residuo es 0. 19 Tipos de relaciones Por otra parte, la relación inversa incluye aquellos elementos del Producto Cartesiano que no pertenecen a la Relación. Esta idea se relaciona con el Conjunto Universal, que en este caso viene a ser el Producto Cartesiano. Ejemplo: Si A x B = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)} Si se define R = {(1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p)} Entonces R -1 = lo que le falta a R para completar A x B, esto es: R -1 = {(1,p), (4,q)} 20 10
Tarea: Estudia la sección 3.1 del texto, págs. 116-123. Ejercicios 1-8 Define: Relación reflexiva Relación simétirica Relación antisimétrica Relación transitiva 21 Tarea opcional: Ver el Vídeo Relaciones y grafos: http://www.youtube.com/watch?v=xmu11trcul0 Dados dos conjuntos, encuentra los elementos de una relación tomando en cuenta la regla que los define. Incluye dos tipos de diagramas: sagital y cartesiano. Duración: 6:30 minutos. Presentado por el Lic. Henry Chero Valdivieso de la Universidad Los Ángeles Chimbote en Perú (ULADECH), http://www.uladech.edu.pe/ 22 11