PRIMER EXAMEN PARCIAL ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones Sea W un espacio vectorial real de dimensión 2 y sea {u, u 2 } una base dada. Considerar las transformaciones lineales H, I, E, F EndW ) definidas de la siguiente manera: Hu ) = u, Iu ) = u, Eu ) = 0, F u ) = u 2, Hu 2 ) = u 2, Iu 2 ) = u 2, Eu 2 ) = u, F u 2 ) = 0.. Demostrar que {H, I, E, F } son linealmente independientes en EndW ). Sea θ : W W la transformación lineal cero. Esto es, θu ) = 0 y θu 2 ) = 0. Suponer que x, y, z y t son escalares tales que, xh + yi + ze + tf = θ. Aplicando ambos miembros de esta ecuación al vector u se obtiene x + y)u + tu 2 = 0, mientras que aplicándolos al vector u 2 se obtiene zu + y x)u 2 = 0. Como {u, u 2 } es una base, x + y)u + tu 2 = 0 = x + y = 0, y t = 0. zu + y x)u 2 = 0 = z = 0, y y x = 0. En particular, t = z = 0 y las ecuaciones x + y = 0 y y x = 0 implican que x = 0 y y = 0. Por lo tanto, H, I, E y F son linealmente independientes. Suponer dada la transformación lineal T EndW ) definida por, T u ) = au + cu 2, T u 2 ) = bu + du 2. 2. Escribir T como una combinación lineal de I, H, E y F. Suponer que x, y, z y t son escalares tales que, xh + yi + ze + tf = T. Aplicando ambos miembros de esta ecuación al vector u se obtiene x+y)u +tu 2 = au +cu 2, mientras que aplicándolos al vector u 2 se obtiene zu +y x)u 2 = bu +du 2. Como {u, u 2 } es una base, x + y)u + tu 2 = au + cu 2 = x + y = a, y t = c. zu + y x)u 2 = bu + du 2 = z = b, y y x = d. De las ecuaciones x + y = a y y x = d es fácil deducir que x = a d)/2 y que y = a + d)/2. Por lo tanto, T = 2 a d)h + a + d)i + be + cf 2 Typeset by AMS-TEX
Considerar ahora las transformaciones lineales A, B, C, D EndW ) definidas de la siguiente manera: Au ) = u + u 2, Bu ) = u, Cu ) = u u 2, Du ) = u, Au 2 ) = u 2, Bu 2 ) = u + u 2, Cu 2 ) = u 2, Du 2 ) = u + u 2. 3. Demostrar que {A, B, C, D} son linealmente independientes en EndW ). Sea θ : W W la transformación lineal cero. Esto es, θu ) = 0 y θu 2 ) = 0. Suponer que x, y, z y t son escalares tales que, xa + yb + zc + td = θ. Aplicando ambos miembros de esta ecuación al vector u se obtiene x+y+z+t)u +x z)u 2 = 0, mientras que aplicándolos al vector u 2 se obtiene y t)u +t z +y x)u 2 = 0. Como {u, u 2 } es una base, x + y)u + tu 2 = 0 = x + y + z + t = 0, y x z = 0. zu + y x)u 2 = 0 = y t = 0, y t z + y x = 0. En particular, como x = z y y = t, las ecuaciones restantes se simplifican a: 2z + t) = 0 y 2t z) = 0. De estas últimas se sigue que t = z = 0 y en consecuencia x = y = 0. Por lo tanto, a, B, C y D son linealmente independientes. Suponer dada la transformación lineal S EndW ) definida por, Su ) = pu + ru 2, Su 2 ) = qu + su 2.. Escribir S como una combinación lineal de A, B, C y D. Suponer que x, y, z y t son escalares tales que, xa + yb + zc + td = S. Aplicando ambos miembros de esta ecuación al vector u se obtiene x+y+z+t)u +x z)u 2 = pu + ru 2, mientras que aplicándolos al vector u 2 se obtiene y t)u + t z + y x)u 2 = qu + su 2. Como {u, u 2 } es una base, x + y)u + tu 2 = 0 = x + y + z + t = p, y x z = r. zu + y x)u 2 = 0 = y t = q, y t z + y x = s. Se sigue que x = z + r y que y = t + q. Esta información se puede usar en las dos ecuaciones restantes para obtener que 2z+t) = p r+q) y que 2t z) = s r+q), de donde se deduce fácilmente que, t = p + s) 2r + q)) y z = p s). Y, por lo tanto, Implicando que, x = p s) + r) y y = p + s) 2r q)). S = p s) + r) A + p + s) 2r q)) B + p s)c + p + s) 2r + q)) D). 2
5. Usando los resultados de las preguntas anteriores, expresar cada uno de los elementos de la base {H, I, E, F } como combinación lineal de los elementos de la base {A, B, C, D} y viceversa. Comprobar de manera directa ie, simplemente multiplicando) que las correspondientes matrices de que se obtienen son inversas una de la otra. Basta identificar que para T = A, se tiene a = = c y d =, por lo que el resultado del problema 2 lleva a, A = H + F. De manera similar se obtiene B = I +E, C = H F y D = I E. En este caso es más fácil obtener las relaciones inversas usando estas mismas ecuaciones, que haciendo las identificaciones de p q, r y s de las transformaciones H, I, E y F en el resultado de la pregunta. Sin embargo, procediendo de cualquiera de las dos maneras, se obtiene que, H = A + C)/2, I = B + D)/2, E = B D)/2 y F = A C)/2. Las matrices correspondientes son obviamente, 0 0 0 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 2 0 0 0 0 y es directo comprobar que el producto de éstas en cualquier orden es igual a la matriz identidad. 6. Encontrar la transformación lineal más general T : W W cuya imagen sea el subespacio generado por el vector v = u 2u 2. Claramente v no es el vector cero, por lo que T no puede ser la transformación lineal cero. Por lo tanto, basta tomar dos escalares, α y β, que no sean simultáneamente cero y definir, T u ) = αv y T u 2 ) = βv, para obtener el resultado deseado. 7. Encontrar la transformación lineal más general T : W W cuyo kernel sea el subespacio generado por el vector v = u 2u 2. Dado que T v) = 0, se sigue que T u ) = 2T u 2 ) y por lo tanto, basta con tomar dos escalares, α y β, que no sean simultáneamente cero y definir, T u 2 ) = αu + βu 2 y desde luego, T u ) = 2αu + βu 2 ). [Observar que si ambos escalares fueran cero, entonces T sería la transformación lineal cero y entonces su kernel no sería el subespacio requerido, sino que sería todo W ] 8. Encontrar la transformación lineal más general Φ : EndW ) EndW ) cuya imagen sea el subespacio generado por F E. Basta con tomar cuatro escalares, α, β, γ y δ, que no sean simultáneamente cero y poner, ΦH) = αf E), ΦI) = βf E), ΦE) = γf E), ΦF ) = δf E). 9. Encontrar la transformación lineal más general Φ : EndW ) EndW ) cuyo kernel sea el subespacio generado por F E. La condición impuesta es ΦF E) = 0, por lo que ΦE) = ΦF ) y entonces, la transformación lineal más general que satisface lo requerido se obtiene al definir ΦH) = P, ΦI) = Q, ΦE) = R y ΦF ) = R, siendo P, Q y R, tres transformaciones lineales, linealmente independientes en EndW ). 3
0. Encontrar la transformación lineal más general Φ : EndW ) EndW ) cuya imagen sea el subespacio generado por los vectores A + B C D y A B C + D. Basta con tomar ocho escalares, α, α 2, β, β 2, γ, γ 2, δ y δ 2, y definir, ΦA) = α A + B C D) + α 2 A B C + D) ΦB) = β A + B C D) + β 2 A B C + D) ΦC) = γ A + B C D) + γ 2 A B C + D) ΦD) = δ A + B C D) + δ 2 A B C + D) requiriendo que al menos uno de los seis posibles determinantes, α β 2 α 2 β, α γ 2 α 2 γ, α δ 2 α 2 δ, β γ 2 β 2 γ, γ δ 2 γ 2 δ, sea distinto de cero esto garantiza que la imagen es el subespacio bidimensional requerido).. Encontrar la transformación lineal más general Φ : EndW ) EndW ) cuyo kernel sea el subespacio generado por los vectores A + B C D y A B C + D. Las condiciones ΦA + B C D) = 0 y ΦA B C + D) = 0 implican que ΦA) = ΦC) y que ΦB) = ΦD). Por lo tanto, basta escoger dos transformaciones lineales, P y Q que sean linealmente indepndientes en EndW ) y definir, ΦA) = P, ΦB) = Q, ΦC) = P, ΦD) = Q. 2. Suponer que S EndW ) es una transformación lineal fija y que está dada en términos de los escalares p, q, r, s como en la pregunta 3. Definir S t EndW ) de la siguiente manera: S t u ) = pu + qu 2, S t u 2 ) = ru + su 2. Demostrar que la función F S : EndW ) EndW ) definida por T ST S t es lineal y escribir a F S T ) como una combinación lineal de la base {H, I, E, F }. Es inmediato verificar que la transformación dada es lineal. Para escribir a F S T ) como combinación ) lineal de la base {H, I, E, F }, basta notar que si la matriz de T es, entonces la matriz de ST S t será, a b c d ) ) ) p q a b p r = r s c d q s p 2 a + q 2 d + pqb + c) ) pra + sb) + qrc + sd) pra + sc) + qrb + sd) r 2 a + s 2 d + rsb + c) a b y abreviando las entradas de la matriz del lado derecho como usar de manera inmediata el resultado de la pregunta 2 para escribir: F S T ) = ST S t = 2 a d )H + 2 a + d )I + b E + c F c d ), podemos
3. Considerar la transformación lineal F S : EndW ) EndW ) de la pregunta anterior y escribirla como una combinación lineal de la base {A, B, C, D}. El cálculo es el mismo que el de la pregunta anterior: ) ) ) p q a b p r = r s c d q s p 2 a + q 2 d + pqb + c) ) pra + sb) + qrc + sd) pra + sc) + qrb + sd) r 2 a + s 2 d + rsb + c) por lo que abreviando las entradas de la matriz del lado derecho en la forma a b podemos usar de manera inmediata el resultado de la pregunta para escribir: F S T ) = ST S t = a d ) + c ) A + a + d ) 2c b )) B) + a d )C + a + d ) 2c + b )) D). c d ),. Considerar la transformación lineal R : W W definida por Ru ) = u u 2, y Ru 2 ) = 2u + u 2. Determinar el polinomio característico de R. De manera inmediata, se trata del determinante de la transformación lineal R λid; esto es, ) λ 2 χ R λ) = det = λ 2 5λ + 6. λ 5. Considerar la transformación lineal R : W W definida en la pregunta anterior. Encontrar escalares λ y λ 2 y vectores v y v 2, tales que Rv ) = λ v y Rv 2 ) = λ 2 v 2. El resultado anterior demuestra que χ R λ) = λ 2 5λ + 6 = λ 3)λ 2). Si Rv ) = λ v, entonces R λ Id no puede ser inyectiva y por lo tanto, χ T λ ) = 0. Similarmente, χ T λ 2 ) = 0. Claramente, λ = 3 y λ 2 = 2 o al revés). Quedan entonces por resolverse las ecuaciones matriciales que dicen que Rv ) = λ v y Rv 2 ) = λ 2 v 2 ; a saber, 2 ) ) = 3 z ), y z 2 ) ) = 2 t ), t cuyas soluciones son, z = /2 y t =, por lo que los vectores buscados son: v = u 2 u 2, y v 2 = u u 2. 5