5. CONCLUSIONES. Entre los sistemas de referencia empleados para el cálculo de las fuerzas elásticas, para un elemento finito de dos nodos que utiliza la teoría de Euler- Bernoulli [11], basándose en las coordenadas nodales absolutas, son los sistema de referencia tangente y biapoyado los más estudiados por la bibliografía [5]. En el primero de ellos, el vector unitario que define el eje de abscisas tiene la dirección tangente a la línea media del elemento en el primer nodo. Por el contrario, en el segundo, la dirección del vector unitario que define el eje de abscisas es la de una recta que pasa por los dos nodos del elemento. Ambos sistemas de referencia pueden expresarse a través de una combinación lineal de los vectores que componen las coordenadas nodales absolutas del elemento. Debido a que en la bibliografía existente no se ha demostrado con suficiencia la efectividad de los sistemas de referencia clásicos anteriormente mencionados y a la dependencia de los resultados respecto al empleo de los mismos, en este proyecto se busca obtener una nueva formulación de los vectores unitarios cuya orientación servirá para proyectar los desplazamientos por deformación en el elemento, aplicando para ello una combinación lineal alternativa que mejore el comportamiento del mismo. Para ello se utiliza un esquema basado en la búsqueda de configuraciones que optimicen la energía de deformación almacenada por el elemento. De esta forma, se obtiene una función de fuerzas elásticas del elemento que requiere la búsqueda de la dirección del eje de abcisas del sistema para cada evaluación de las mismas. Como se demuestra en la sección de resultados numéricos, el uso del sistema de referencia basado en la optimización de la energía para la obtención de las fuerzas elásticas proporciona mejores resultados que el empleo de los sistemas de referencia biapoyado y tangente, acercándose la nueva formulación a los resultados obtenidos mediante el sistema de referencia biapoyado, ya que éste, en la mayoría de los casos, proporciona deformaciones menores respecto a que si se midiesen empleando el sistema de referencia tangente, como ya se mencionó en el apartado : Nuevo modelo de fuerzas elásticas, desarrollado en este proyecto. 70
Para los problemas desarrollados, el uso del sistema de referencia basado en la optimización de la energía de deformación, no sólo ofrece mayor exactitud en los resultados obtenidos a los esperados aplicando la resistencia de materiales, sino que tanto las iteraciones necesarias empleadas por el algoritmo de cálculo como los tiempos de ejecución del mismo son inferiores a los calculados aplicando los sistemas de referencia clásicos. Partiendo de esta última premisa, podemos comparar en un mismo gráfico los desplazamientos que se producen en cada problema desarrollado para los tres sistemas de referencia empleados. - Viga en voladizo con carga vertical aplicada en el extremo libre. En este problema puede apreciarse claramente las diferencias existentes a la hora de utilizar uno u otro sistema de referencia. Fig. 5.1 Como puede observarse en la gráfica, para n = 2 elementos aparecen resultados dispares dependiendo del sistema de referencia empleado. El sistema de referencia tangente es el que más difiere de la solución exacta y al que más le cuesta encauzar dicha solución a medida que se aumenta el número de elementos en los que se discretiza la viga. Los sistemas de 71
referencia biapoyado y sobre todo el desarrollado a lo largo de este proyecto son los que más se acercan a la solución exacta del problema desde las primeras discretizaciones que sufre la viga, sobre todo el sistema de referencia que optimiza la energía de deformación, el cual calcula la solución exacta según la resistencia de materiales durante todas las discretizaciones que sufre el problema. - Viga en voladizo con carga horizontal aplicada en el extremo libre. Debido a la no aparición de flexión en la viga, el problema de la viga en voladizo con carga horizontal aplicada en el extremo libre se simplifica considerablemente, obteniéndose resultados exactos a los esperados aplicando la resistencia de materiales para todos los sistemas de referencia empleados. Fig. 5.2 Debido a la configuración del problema, la elección de cualquiera de los sistemas de referencia estudiados en este proyecto son válidos para resolver el problema planteado. 72
- Viga en voladizo con momento aplicado en el extremo libre. El gráfico conjunto para este problema se presenta a continuación. Fig. 5.3 Se puede observar como son los sistemas de referencia biapoyado y el que optimiza la energía de deformación los que, desde un principio, calculan la solución exacta del problema, mientras que para el sistema de referencia tangente, no es hasta n = 11 elementos cuando alcanza dicha solución. Tanto el número de iteraciones que debe realizar el algoritmo de cálculo, como el tiempo empleado en las mismas, son menores al aplicar el sistema de referencia que optimiza la energía respecto al sistema de referencia biapoyado. - Viga biapoyada con carga aplicada en el centro. Para este problema, no es hasta n = 3 elementos cuando no se alcanza la solución exacta según la resistencia de materiales para los sistemas de referencia biapoyado y el nuevo sistema desarrollado en este proyecto. 73
Fig. 5.4 Los resultados obtenidos aplicando el sistema de referencia tangente son los peores respecto al uso de los sistemas biapoyado y el que optimiza la energía de deformación, siendo este último el que mejor se ajusta a la solución exacta del problema. - Viga biapoyada con momento aplicado en el extremo. Para finalizar, se analizan los resultados obtenidos aplicando los tres sistemas de referencia descritos al problema de la viga biapoyada con momento aplicado en el extremo. En dicho problema puede observarse, como en el resto de los problemas desarrollados, como es el sistema de referencia basado en la optimización de la energía el que mejores resultados ofrece, seguido muy de cerca por los obtenidos mediante el sistema de referencia biapoyado, siendo el sistema de referencia tangente el que peores resultados arroja en la resolución del problema. 74
Fig. 5.5 Teniendo en cuenta los resultados obtenidos reflejados en las gráficas anteriormente expuestas, se llega a la conclusión de que el sistema de referencia basado en la optimización de la energía de deformación ofrece mejores resultados, en cuanto a la determinación de los desplazamientos, que los sistemas clásicos de referencia, si bien, el sistema de referencia biapoyado, proporciona unos resultados muy válidos en cuanto a desplazamientos se refiere. No obstante, la mejora que introduce la aplicación del sistema de referencia basado en la optimización de la energía en cuanto al número de iteraciones que debe realizar el algoritmo, como el tiempo de cálculo empleado en cada una de éstas, induce a pensar la adecuada elección adoptada en el desarrollo del nuevo sistema de referencia definido a lo largo de este proyecto. El siguiente paso a seguir en trabajos futuros consiste en aplicar el nuevo sistema de referencia desarrollado en la resolución de problemas dinámicos, comparando los resultados obtenidos con los que se obtendrían al usar los sistemas de referencia biapoyado y tangente, como se ha hecho en este proyecto con los diferentes problemas estáticos planteados. Así como la revisión y depuración del programa con el que se ha pretendido desarrollar el 75
nuevo sistema de referencia buscando la optimización de la energía de deformación. 76