ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Ricardo Ramírez Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile 1er. Semestre 2006
INDUCCION DE FARADAY Al cambiar el flujo magnético enlazado por el circuito a la izquierda de las figuras, se induce una fuerza electromotriz en él y el amperímetro registra una corriente. Lo mismo ocurre en la figura de la derecha al cerrar el interruptor
FLUJO MAGNETICO Y LEY DE INDUCCION Φ = B ˆndS S C S Ley de induccion de Faraday : E = dφ dt
LEY DE LENZ LA CORRIENTE INDUCIDA TIENE UNA DIRECCION TAL QUE EL CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A ESTA CORRIENTE SE OPONE AL CAMBIO DEL CAMPO MAGNETICO QUE HA INDUCIDO ESTA CORRIENTE Aumento del Campo I Campo producido por la corriente I
Relación entre cambio del campo B, I y E C E d l = S B t ˆndS B i Campo B creciente B i : campo inducido por I I E Campo B decreciente I E B i
GUITARRA ELÉCTRICA N S N Iman Cuerda de guitarra Solenoide Hacia el amplificador S
Ejemplo 1 El circuito de la figura consiste de un semicírculo de radio r = 20 cm y tres secciones rectas y tiene una resistencia de 2 Ω. En la región del semicírculo existe un campo magnético B perpendicular al plano del circuito con una magnitud B = 4t 2 + 2t + 3. El circuito tiene una batería ideal de 2 V. Cuál es la magnitud y la dirección del fem inducida en el circuito en t = 10 seg? B r +
INDUCCIÓN Y TRANSFERENCIA DE ENERGIA I v B
Al mover el circuito se induce una FEM que produce una corriente que circula como se muestra en la figura. Esta corriente interactua con el campo magnético y aparecen la fuerzas que se indican. v I x x x x x x x x x x B a x x x x x x x x x x F x x x x x Por lo tanto para mover el circuito hacia la izquierda con una velocidad v, debe aplicarse una fuerza dirigida a la izquierda de la misma magnitud de F.
Esto implica que se debe realizar un trabajo por unidad de tiempo igual a: P = Fv Si el circuito tiene una resistencia R esta potencia será igual a I 2 R. Cómo se puede calcular I y F? La FEM inducida en el circuito es E = avb, por lo tanto I = avb/r, entonces F = IaB = v(ab) 2 /R Nótese que al reemplazar en P = Fv = I 2 R se obtiene una identidad.
Aquí tenemos un circuito cerrado en foma de un círculo de radio a que gira alrededor de un diámetro con velocidad angular ω, en presencia de un campo magnético B perpendicular al eje de giro. B B θ a ω ω El flujo enlazado es Φ = Bπa 2 cos θ, con θ = ωt. Luego la magnitud de la FEM inducida es: E = πa 2 ωb sin ωt Este ejemplo ilustra el principio de un generador de corriente alterna.
Ejemplo 2 Una barra de sección cuadrada muy pequeña, de longitud L, masa m y resistencia R se suelta perpendicularmente sobre un par de rieles conductores muy largos y resbala sin roce sobre ellos. Los rieles no tienen resistencia y estan conectados al final por un riel transversal igualmente sin resistencia. De esta manera los rieles y la barra forman un circuito rectangular. El plano de los rieles forma un ángulo θ con el plano horizontal, como se muestra en la figura. B L B θ
Todo este sistema se encuentra en presencia de un campo magnético constante B dirigido verticalmente hacia arriba. a) Demuestre que después de un tiempo muy largo, la barra adquiere una velocidad: v = mgr sin θ (BL cos θ) 2 b) Demuestre que este resultado es consistente con la conservación de energía. c) Cómo cambia este resultado si B está dirigido hacia abajo?
Solución a) El flujo enlazado por el circuito rectangular es: Φ = BLr cos θ donde r = r(t) es la distancia entre la barra y el riel transversal. Así en el circuito se induce una FEM, cuyo valor absoluto es E = BLv cos θ, donde v = v(t) = ṙ(t) y por lo tanto aparece una corriente: I = BLv R cos θ Mirando el circuito desde arriba la corriente circula contra los punteros del reloj. Entonces aparece una fuerza sobre la barra, cuyo valor es F = (BL) 2 v cos θ/r. Esta fuerza tiene la dirección horizontal de tal manera que su componente paralela a los rieles se opone al efecto de la fuerza de gravedad. Proyectando las fuerzas en la dirección paralela a los rieles, la aceleración a con que barra baja está dada por: ma = mg sin θ (BL)2 v cos θ R cos θ Esto produce un crecimiento de v y a disminuye. Después de un tiempo a se hace 0, y se llega a una velocidad límite: v = mgr sin θ (BL) 2 cos 2 θ
REFORMULACION DE LA LEY DE FARADAY E = dφ dt S C E d B l = ˆndS S t E B ˆndS = ˆndS S t E = B t Ley de Faraday
CORRIENTES DE REMOLINO Si reemplazamos el circuito que se mueve en un campo magnético por una placa conductora sólida, se inducen corrientes enn las placas, como se muestra en la figura. Estas corrientes se llaman corrientes de remolino (eddy currents) B
INDUCTANCIA Inductancia propia: L = Φ I Inductancia mutua del circuito 2 con respecto al 1 M 21 = Φ 21 I 1 Φ 21 es el flujo enlazado por circuito 2 debido al circuito 1. C 1 2 C
Inductancia propia de un solenoide Primero calculamos el flujo en un solenoide: Φ = NBA donde A = πr 2 pero B = µ o ni = µ o NI/l, donde n = N/l es el número de vueltas por unidad de largo. Por lo tanto: y Φ = µ on 2 IA l L = µ on 2 A l
Inductancia mutua de dos circuitos R I 1 I 2 Circuito 1 Circuito 2 El flujo enlazado por el circuito 2 se debe tanto al campo magnético producido por su propia corriente (L 2 I 2 ) y como al campo magnético del producido por el circuito 1. Φ 2 = L 2 I 2 + M 21 I 1 M 21 = Φ 21 I 1 De la misma manera podemos escribir una expresión para el flujo enlazado por el circuito 1: Φ 1 = L 1 I 1 + M 12 I 2 M 12 = Φ 12 I 2
Inductancia mutua de dos solenoides del mismo largo L C 2 C 1 Suponemos una corriente en el circuito 1. El campo magnético dentro del solenoide es B 1 = µ o n 1 I 1. El flujo a través del circuito 2 es: Φ 2 = N 2 B 1 (πr 2 1 ) = µ o n 1 n 2 L(πr 2 1 )I 1 M 21 = Φ 2 I 1 = µ o n 1 n 2 Lπr 2 1
Inductancia mutua. Formula de Neumann Consideramos dos circuitos C 1 y C 2. Por el circuito C 1 pasa una corriente I 1. Consideremos una superficie S 2 que se apoya en C 2. El campo mágnetico debido a la corriente I 1 en un punto r 2 de la superficie S 2 está dado por: I B 1 = µo 4π I d l 1 ( r 2 r 1 ) 1 C 1 r 2 r 1 3 Por lo tanto el flujo de B 1 a través de la superficie de la superficie S 2 es: Z Z I Φ 12 = B1 ˆndS 2 = µo S 2 4π I d 1 S 2ˆ l 1 ( r 2 r 1 ) ˆndS2 C 1 r 2 r 1 3
Sin embargo: Por lo tanto: I d l 1 ( r 2 r 1 ) C 1 r 2 r 1 3 I = d 1 l 1 2 C 1 r 2 r 1 I d = 2 l 1 C 1 r 2 r 1 M 21 = Φ Z 21 = µo 2 ˆ I d l 1 ˆndS2 I 1 4π S 2 C 1 r 2 r 1 Y usando el Teorema de Stokes: I I M 21 = µo d l 1 d l 2 4π C 2 r 2 r 1 C 1 Formula de Neumann LUEGO LA INDUCTANCIA MUTUA CUMPLE LA SIMETRIA: M 12 = M 21
La fórmula de Neumann también se puede aplicar a la inductancia propia: L = µ o d l 1 d l 1 4π C 1 C 1 r 1 r 1
ENERGÍA MAGNÉTICA Consideremos el circuito RL: S R ε L Ya que la FEM inducida en la inductancia es dφ/dt = LdI/dt la ley de Kirchhoff nos da: E IR L di dt = 0 y multiplicando esta ecuación por I: EI = I 2 R + LI di dt
El término EI es la potencia entregada por la batería e I 2 R es la potencia disipada como calor por la resistencia. El último LIdI/dt corresponde a la potencia entregada a la inductancia. Así si U m es la energía de la inductancia: du m dt Integrando entre 0 e I: = LI di dt du m = LIdI U m = 1 2 LI2
Esta es la energía almacenada en la inductancia. En un solenoide la inductancia propia en un largo l es L = µ on 2 A/l y el campo magnético B = µ oni, donde A es el área de la sección transversal del solenoide. Por lo tanto la energía almacenada por unidad de volumen es: u m = 1 2 µon2 I 2 = 1 2 µo B 2 µ 2 o = B2 2µ o Esta es una relación general y representa la energía magnética almacenada por unidad de volumen.
CIRCUITO RL S R ε L Solución particular: E IR L di dt = 0 (1) I o = E R Solución de ecuación homogénea: IR + L di dt = 0 I h = Ae Rt L
Solución general: I(t) = I o + I h = E R + Ae Rt L La constante A se determina con la condición de borde: I = 0 en t = 0, i.e A = E R : I(t) = I o + I h = E R I ε / R [ 1 e Rt L ] t