1 ALGUNOS EJERCICIOS DE C. DIF. 1.-Concepto de función Algunos ejercicios 1.1==En una circunferencia de radio 10 m, se inscribe un rectangulo. Expresar el area del rectangulo en funcion del lado x de la base. 1.2==En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares con una superficie de 2 m. Si x es la longitud del lado de la base, expresar la altura (y) en funcion de la base x. 1.3==Un fabricante tiene que construir barriles de forma cilindrica de 100 litros de capacidad. Se pide: -Expresar el altura del barril en funcion del radio de la base. -Expresar el area total en funcion del radio de la base. 1.4==-Convierte en funciones explicitas las siguientes funciones implicitas: a) x²+y²=4 b) x²ay²=25 c) y²+6y-x²=0 1.5==-Determina si los puntos dados estan en la curva dada, en los casos siguientes: a) funcion y=4x+y=6; puntos (1,2) (2,-1) (4,-10) (0,-6) b) " y=x 3-4x²+2x+5; puntos (-1,6) (2,1) (3,2) 1.6==Determinar k de modo que la recta x+2y=k pase por el punto (4,1) 1.7==Cual es la condicion para que la curva y=ax +bx+c pase por (0,0)? 1.8==Hallar las correspondencias inversas de: x+1 3x-2 y=--- y=----- y=%2x+1 y=% x + %x-1 x-2 1-2x y=log (x+1) y=2 x+1 y=e x²-1 y=l(%x-1) f(x)=e 3x+2 f(x)=log 5 (x+4) 2.-Funciones continuas. Continuidad en un intervalo Algunos ejercicios 2.1==Estudiar la función y la continuidad de: f(x)= x f(x)= x-2 f(x)= x²-3x+2 f(x)= x²-6x+8 2.2==Estudiar la continuidad de las funciones:
1 + x 3 1 + x f(x)=))))))) f(x)=))))))) 1 + x *x* Calcula las asintotas. + 2.3===Sea la función: * x+1 si x#1 f(x)=* * 3-ax² si x>1. Cómo debe ser elegido el número a para que f(x) sea continua?. + 2.4==Sea la función: * -2senx si x#-b/2. f(x)=* Asenx+B si -B/2<x<B/2 * cosx si B/2#x. Elegir los números A y B de modo que f(x) sea continua. 3.-Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Derivación 1.-Hallar las derivadas de las funciones: y=x x y= sen (ln (sen (lnx))) y=x sen x -x² cos x +, 1+x 3 @x sen x * 1-sen x* f(x)=)))))))+3 f(x)=))))))) y= ln * )))))))* 1 + x e x * 1+sen x*. - x@y²=x@arc sen y (x@y) sen x =y x x@sen y+senx@y=sen²(x@y) 2.-Hallar las derivadas de las funciones: (1+x ) ¼ 1.-f(x)= L(----) -½ arc tgx 2.-f(x)=arc sen(sen x) (1-x ) e x - e -x / 3.-f(x)=arc tg -------------- 4.-f(x)=arc sen \/ sen x 2 2x 1/x 5.-f(x)=arc tg ------- 6.-f(x)=x 1 - x² cos x /))))))) 7.-f(x)=- --------- + ½ L tg (x/2) 8.-f(x)=L( x +\/1 + x² )
2sen² x \/ x²+1 - x 9.- f(x)= L 10.-f(x)=tg(Lx) \/ x²-1 +x / 1 + sen x 11.- f(x)= L \ / 12.-f(x)=a(1-cos²(x/2))² \ / \/ 1 - sen x tg x - 1 13.- f(x)= ---------- 14.-f(x)=L(Lx) sec x 15.-f(x)= a\/ cos 2x Estudiar la derivabilidad 3== Estudia la continuidad y derivabilidad de la función: Rta. en x=0 no es continua ni derivable. En x=4 es continua y derivable. 4== Si la función y=f(x) está definida de la siguiente forma: a) Calcular a y b para que la función sea continua. b) Calcular a y b para que sea derivable. RTA: b=0, a cualquiera. Para la derivabilidad a=-1. 5== Estudia la continuidad y derivabilidad de la función y= x-1 en el intervalo [-2,2]. RTA: continua en todo R y no derivable en x=1. 6==Analiza la derivabilidad de las siguientes funciones:
g(x) = x 2-5x + 4 7.-Estudiar la derivabilidad de las funciones: + + * x arctg(1/x) si x#0 * 1 si x=0 f(x)=* f(x)= * sen x * 0 si x=0 * x + ))))) si x#0.. x + + * x sen(1/x) si x#0 * x²sen(1/x) si x#0 f(x)=* f(x)= * * 0 si x=0 * 0 si x=0.. 8.-Demostrar que la función f(x)=x*x* es derivable en cualquier punto y hallar su derivada. 9.-Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones: g(x)=/*x* g(x)=(*x-1*/(x²+1)) 10.-a) Estudiar la derivabilidad de la función en y=x 3 en el punto x=2 b) Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,calcular las derivadas de: f(x)=x²+x+3 en x=1; f(x)=sen x en x=0 11.-Derivar la función y=a x cos x para a constante mayor que cero y hallar valor de la derivada en x=b/2. Ejercicios sobre tangencias 12== Calcula los puntos de la curva y=2x/(x 2-10x+9) donde la tangente es paralela al eje de abscisas. RTA: (2,1/2) y (-2,-1/2) 13==Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa 2: 3 y=(x+1)@/3-x 14.-Determinar los puntos de la curva y=x 3 +9x² - 9x+15 en los cuales la tangente es paralela a la recta y=12x+5. 15.-Halla las tangentes a la parabola y²=4x, paralela a la recta x+3y=0. 16.-Halla las tangentes a la hiperbola equilátera x@y=8 paralelas a x+2y-1=0. 17.-Calcula las tangentes a la curva f(x), que forman un ángulo de 45 con la
parte positiva del eje de abscisas: x f(x)=))))))) 1 + x² 18.-Hallar el ángulo que forman las rectas tangentes a las curvas de ecuaciones x@y=1, x²-y²=1 en los puntos de intersección de dichas curvas. 19.-Dada la función y=(cos x) ln x², hallar los valores de la funcion en x=b/2 y en x=1 y la función derivada. 20.-Dadas la elipse x²+2y²=4 y la hiperbola equilátera x@y=/2, halla las coordenadas de los puntos comunes a las dos gráficas, la tangente a cada una de las curvas en el punto común del primer cuadrante y el ángulo que forman dichas tangentes. 4.-Regla de L Hôpital. Enunciado Sean f y dos funciones derivables en un entorno E de x o y f( x o )=g( x o )=0. Si f y g no se anulan en E-{ x o }, y Entonces el límite Algunos ejercicios: Rta: -1/3 Rta: 2 Rta: e2 Rta: 0 5.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión Procedimiento Mirar más adelante en proceso de representación de curvas, en en estudio de la derivada 1ª (monotonía-extremos) y derivada 2ª (curvatura-puntos de inflexión) Algunos ejercicios
1==Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los de concavidad y convexidad de la función f(x)=x 3-6x 2 +9x-8. RTA: x menor que 2 cóncava. x mayor que 2 convexa. Crece hasta x=1, decrece 1 a 3 y crece en el resto. 2== Calcula el mínimo de la función y=(3x-2x 2 ). e -x. RTA : (3,-9/e 3 ). 3== De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio 1 m calcular el volumen de que lo tenga máximo. RTA: 4 pi/3. raiz 3. 4== Calcula los máximos y mínimos de la función y= 4 - x 2 sobre [-3,3] RTA: en 0 un máximo y en -2 y 2 mínimos. 5== Estudia crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función: f(x)=(2x 2-3x)/e x. RTA: x=1/2 mínimo. x=3 máximo. 6== Calcula las ecuaciones de las tangentes a la curva y=x 4-6x 2 en sus puntos de inflexión. RTA: 8x+y-3=0 y -8x+y-3=0. 7== La función f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c tiene un punto de derivada nula en (1,1) que no es un extremo relativo. Calcular razonadamente a,b,c. RTA: a=-3, b= 3, c=0 8== Determina el valor de k para que la función f(x)=e x /(x 2 +k) tenga un único extremo relativo. Se trata de un máximo o un mínimo?. Para que valores de k la función es continua en todos los puntos?. RTA: k=0 la curva tiene un mínimo en x=2. Para k mayor que cero es continua.