Estimación por el método generalizado de momentos (MGM). Siga J.Muro(27/10/2003) 1
Método generalizado de momentos (MGM). Intuición. Principio MGM. Obtención de estimadores MGM. Propiedades de los estimadores. Contrastes de especificación. J.Muro(27/10/2003) 2
Intuición. Qué restricciones en los momentos poblacionales se encuentran implícitas en la formulación de un modelo econométrico? Procedimientos de estimación sustentados en el principio de analogía. Manski (1992). Un ejemplo: el modelo de regresión lineal clásico (MRLC). Siga J.Muro(27/10/2003) 3
Intuición. Qué implican los supuestos del modelo de regresión lineal clásico (MRLC). Y=Xβ+u. E (X u)=0. (v. no estocásticas o ctes. en muestras repetidas). Restricciones en los momentos poblacionales y en los momentos muestrales (las restricciones muestrales mimetizan el comportamiento de las restricciones poblacionales). 1/N(X e)=0. Ecuaciones normales de la regresión por MCO. Atrás J.Muro(27/10/2003) 4
Principio MGM. Uso de restricciones, generalmente de ortogonalidad, en los momentos poblacionales y su traslación al comportamiento mimético de los momentos muestrales. En particular cuando r>k (sobreidentificación). Atrás J.Muro(27/10/2003) 5
Obtención de estimadores MGM. Formulación de las restricciones muestrales. Problemas de identificación. Estimador de distancia mínima. Estimador por el método MGM. Atrás J.Muro(27/10/2003) 6
Restricciones muestrales. Y i = h(x i,β)+u i. Modelo no lineal, donde β es (k*1). Restricciones de ortogonalidad o en los momentos de la población: E[g j (Y i,x i,θ)]=0, j=1,2,3...r. Ej. En el caso de que las funciones fueran lineales. E(z i u i )=0. Donde z i es (1*N). Restricciones muestrales: 1/N Σ g j (Y i,x i,θ). Siga J.Muro(27/10/2003) 7
Restricciones muestrales. Para funciones lineales. 1/N(Z e)=0. Donde e(x, β )={e i }; e i =Y i -h(x i,β), i=1,2,..n. Z {z i } es (N*r). Nº de restricciones: r k. Atrás J.Muro(27/10/2003) 8
Identificación. Sólo son necesarias k restricciones muestrales para la estimación. Definimos una combinación lineal de las restricciones iniciales de ortogonalidad que reduzca su número a k. Atrás J.Muro(27/10/2003) 9
Estimador de distancia mínima. Minimizar Ψ = m(β) W -1 m (β). Donde m(β)=1/n(z e). Por lo que, Ψ= 1/N 2 (e Z) W -1 (Z e). El carácter de W define el tipo de estimador. Ej. Si W=Z Z, el estimador es el estimador no lineal por variables instrumentales. NLIV, Amemiya (1974). Atrás J.Muro(27/10/2003) 10
Estimador MGM. Hansen (1982); Newey-McFadden (1994). W=var asint.[m(β)]=var asint.[1/n(z e)]. W es una matriz r*r simétrica definida positiva, que si es estocástica converge en probabilidad hacia una W no estocástica. W es en general dependiente de X, β, (a través de e). Así para su cálculo inicial se necesita una estimación previa de β por un procedimiento consistente. A esta estimación previa se le suele llamar la primera etapa del método MGM. Ej. Si en Y i =h(x i,β)+u i se cumple E(u)=0; E(uu )=Σ. Entonces, W=1/N 2 (Z ΣZ). Siga J.Muro(27/10/2003) 11
Estimador MGM. El estimador MGM se obtiene como la solución del sistema de condiciones de primer orden (optimización no lineal). Atrás J.Muro(27/10/2003) 12
Propiedades de los estimadores. Hansen (1982). Estimadores consistentes y con distribución asintótica normal pero no eficientes. En general: ˆ d 1 N( θ MGM θ0) N(0, A ) Expresión de la matriz de varianzas y covarianzas Se suele emplear una tercera fase para mejorar la eficiencia asintótica de los estimadores. Atrás J.Muro(27/10/2003) 13
J.Muro(27/10/2003) 14. ' 1 lim. ' 1 lim ' 1 1 1 1 0 0 = = = = = = N i N j j i N N i i N h h E N S h E N H H S H A θ θ θ Atrás
Contrastes de especificación Contraste de restricciones de sobreidentificación. Sargan (1958). Contrastes de momentos condicionales. Siga J.Muro(27/10/2003) 15
Contraste de restricciones de sobreidentificación Disponemos de r restricciones para estimar k parámetros. Se cumplen las restricciones de sobreidentificación? Nuestro método implica que m [ ] 1 var. asint.( m( ˆ)) m( ˆ) ~ 2 r k ( θˆ)' θ θ χ H 0 Atrás J.Muro(27/10/2003) 16
Amemiya, T. (1974). The nonlinear two-stage least squares estimator, Journal of Econometrics, 2, págs. 105-110. Hansen, L. (1982). Large sample properties of Generalized Method of Moments estimators, Econometrica, 50, págs. 1029-1054. Manski, C. (1992). Analog estimation methods in Econometrics. Londres. Chapman y Hall. Newey,W.K y D. McFadden (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. En Engle y McFadden(Ed.) Handbook of Econometrics, 4, North Holland, Amsterdam. Sargan, D. (1958) The estimation of economic relationships using instrumental variables, Econometrica, 26, págs.393-415. Atrás J.Muro(27/10/2003) 21 J.Muro(27/10/2003) 17