0pWRGRVGH(UURUGH3UHGLFFLyQ3(0

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "0pWRGRVGH(UURUGH3UHGLFFLyQ3(0"

Sergio Herrera Bustos
hace 5 años
Vistas:

1 0pWRGRVGH(UURUGH3UHGLFFLyQ3(0 Se selecciona una estructura de modelo 0, con modelos particulares 0 parametrizados con un S vector de parámetros θ ' R 0 { 0 } 0 = θ ' 0 Se disponen para la estimación de pares de datos de entrada-salida {\( Q), X( Q) : Q =, L } = =, Cada modelo representa una forma de predecir las salidas futuras. Denotamos con \ ˆ( Q θ ) a un SUHGLFWRU de la salida \( Q) dados los datos de entrada-salida hasta el instante Q, y basado en el vector de parámetros θ. 3UHGLFWRU )LOWUR/LQHDORR/LQHDO DSOLFDGRDORVGDWRV (MHPSORV 3UHGLFWRU/LQHDO*HQHUDO ( Q θ ) = ) ( T, θ )\( Q) ) ( T, ) X( Q) ˆ + 2 \ θ

2 donde ( T, θ ), ) 2( T,θ ) ˆ( Q θ ) ) son filtros lineales tal ue \ depende sólo de datos pasados. 2QH6WHSDKHDG3UHGLFWRU Para un sistema con un modelo ( Q) = *( T, θ ) X( Q) + + ( T, ) H( Q) \ θ un predictor lineal típico es [ ]\( Q) + + ( T, θ )* ( T, ) X( Q) ( Q θ ) = + ( T, θ ) \ ˆ θ denominado 3UHGLFWRU2QH6WHS$KHDG Veremos más adelante ue éste es un SUHGLFWRU yswlpr, si H ( Q) es ruido blanco. El problema ue se nos plantea es cómo usar la información contenida en los datos = para seleccionar un valor apropiado del vector de parámetros θˆ, y por lo tanto un elemento particular 0 ( θˆ ) en la clase de modelos 0. En otras palabras se debe determinar un mapeo de los datos = al conjunto ' 0 : = θˆ ' 0 Este mapeo es el 0pWRGR GH (VWLPDFLyQ GH 3DUi PHWURV.

3 (YDOXDFLyQGHORVPRGHORVFDQGLGDWRV: se busca una forma de evaluar la DELOLGDG de los distintos modelos para describir los datos observados. Como la esencia del modelo es su característica como predictor, definimos el HUURUGHSUHGLFFLyQde un dado modelo 0 ( ) como θ ( Q, θ ) = \( Q) \ ˆ( Q θ ) ε Un ³EXHQ modelo será entonces auel ue sea un buen predictor, es decir auel ue produzca errores de predicción peueños cuando es aplicado a los datos. 0LQLPL]DFLyQGHORVHUURUHVGHSUHGLFFLyQ ε La secuencia de los errores de predicción { } Q Q, = puede considerarse como un vector en R por lo ue las dimensiones del error podrian medirse usando alguna norma en R. Típicamente esta norma, o IXQFLyQGHFRVWR, o FULWHULRes de la forma 9 Q Q= = l( ε(, θ )) donde l () es una función escalar a valores reales, típicamente positiva. La estima θˆ se obtiene 9 θ, i.e. minimizando el criterio ( ) θˆ = argmin 9 θ '0

4 Si el mínimo no es único, entonces DUJPLQdenota al conjunto de argumentos minimizantes del criterio. (MHPSORVGHFULWHULRV &ULWHULRFXDGUiWLFR 9 = 2 7 ε ( Q, θ ) ε ( Q, θ ) Q= 7 donde l ( ε ) = ε ( Q, θ ) ε ( Q, θ ). 2 RUPDV GHSHQGLHQWHV GHO WLHPSR: A veces las mediciones en distintos instantes de tiempo pueden tener distinta confiabilidad. En esos casos es conveniente usar un criterio ue depende explícitamente del tiempo, ue permita ponderar con distinto peso los datos. Por ejemplo, 9 ( θ, Q) = l( ε ( Q, θ ), ) Q Q=, o a veces se prefiere hacer explícita la ponderación con una función de ponderación β ( Q), resultando 9 ( θ, Q) = β ( Q) l( ε (, θ )) Q Q= Los 0pWRGRVGH(UURUGH3UHGLFFLyQ (PEM) pueden resumirse en:.

5 0pWRGRVGH(UURUGH3UHGLFFLyQ Elección de la Estructura de Modelo 0, parametrizada por el parámetro θ. Selección de la estructura del predictor \ ˆ( Q θ ). Cómputo del EP ε ( Q, θ ) = \( Q) \ ˆ( Q θ ) Selección del criterio 9 (o 9 ( θ, Q) ), a minimizar. Obtención de la estima θˆ por minimización del criterio (implica la elección del método de minimización). $QiOLVLV$VLQWyWLFRGHODVHVWLPDV Es de interés determinar las propiedades de las estimas de parámetros θˆ cuando el número de datos tiende a infinito. +LSyWHVLV. Los datos { X ( Q), \( Q) } son procesos estacionarios. 2. La entrada es una H[FLWDFLyQ SHUVLVWHQWH (se definirá precisamente más adelante en el Curso). 3. El Hessiano 9 es no singular localmente alrededor de los mínimos del criterio Las (matrices) transferencias *( T,θ ) y + ( T,θ ) son funciones diferenciables del vector de parámetros θ.

6 Algunos de los resultados reuerirán también la hipótesis 5. El conjunto ' 7 { θ : *( T, θ ) = *( T) ; + ( T, ) = + ( T) } = θ consistente de auellos valores de los parámetros para los cuales el modelo provee una descripción exacta del sistema real consta de exactamente un punto, ue denotaremos θ 0. (VWLPD$VLQWyWLFD Sea θˆ = argmin 9 θ '0 y suponga ue las hipótesis. a 4. se verifican. Entonces el criterio 9 converge uniformemente en θ ' 0 a la función límite 9, i.e. sup 9 θ '0 as 9 0 cuando, donde 9 9 = N lim. Además as θˆ θ cuando, donde θ '&, siendo '& el conjunto de valores del 9 θ. parámetro ue minimiza el criterio límite ( )

7 Este resultado implica ue cuando el conjunto ' 7 es vacío, entonces la estima asintótica será 'biased', pero será la mejor aproximación posible del sistema ue puede obtenerse con la estructura de modelo. Si el sistema es SDUiPHWUR LGHQWLILFDEOH (se verifica la condición 5.), el conjunto ' 7 es no vacío y consiste de un único elemento. Bajo ciertas hipótesis no muy restrictivas sobre el conjunto de datos es posible mostrar ue en este caso ' 7 = ' & = { θ 0 }, y las estima es FRQVLVWHQWH HQ VHQWLGR IXHUWH (strongly consistent). 'LVWULEXFLyQDVLQWyWLFDGHODVHVWLPDV Asumiendo ue se verifican las hipótesis. a 4., puede probarse ue la distribución de la variable aleatoria ( θ ) ˆ θ * converge a una distribución Gaussiana con media cero y matriz de covarianza [ { }] ( ) 7 [ 9 ( )] ( θ* lim * * 9 [ ] = θ donde 9 ( θ * ) es el gradiente de θ =, y ( ) θ * θ * 9 calculado en 9 es el Hessiano de 9 calculado en θ = θ *. Es decir *

8 ( ˆ ) dist ( 0, 3) θ θ * Este resultado es importante porue da una expresión de matriz de covarianza asintótica ue puede ser usada para cuantificar el error de estimación. La expresión de la covarianza asintótica puede también usarse para computar intervalos de confianza para cada estima particular θˆ obtenida de los datos. Como en general la estima asintótica θ * no se conoce, la matriz de covarianza 3 puede aproximarse reemplazando θ * por θˆ y el operador esperanza matemática por la media muestral.

Documentos relacionados

Identificación n de SIStemas

Identificación n de SIStemas Métodos de Estimación n Recursivos ISIS J. C. Gómez Métodos de Identificación n Recursivos Mínimos Cuadrados Recursivos ara una estructura de modelo de regresión lineal y n