4. Meodología 4.1 Mecánica del Medio Poroso 4.1.1 Inroducción En muchos campos de aplicación de la ingeniería como por ejemplo la ingeniería química, de maeriales o bien la mecánica de suelos, así como la biomecánica, las diferenes reacciones de los maeriales debidas a cargas inernas o exernas deben ser esudiadas y descrias con precisión con al de poder predecir las respuesas de los diferenes sisemas. La mecánica del medio poroso iene como objeivo de esudio los maeriales porosos cuyo comporamieno mecánico esa claramene influenciado por el fluido que ocupa los poros. Haciendo uso de esa definición general, podemos decir que la mecánica del medio poroso raa una gran variedad de maeriales, donde enconramos evidenemene las rocas y los suelos que fueron objeo de esudio de la eoría de poroelasicidad desarrollada por Maurice Bio hace ya más de medio siglo, pero donde ambién ienen su lugar los ejidos biológicos o los geles. Independienemene de los diferenes maeriales porosos exisenes y sus disinos campos de aplicación odos ellos ienen un denominador común que los idenifica, del hecho que esán sujeos a procesos de acoplado parecidos como: hidrodifusión y hundimieno, hidraación e hinchamieno, secado y conracción, calenamieno y aumeno de la presión inersicial, capilaridad y agrieamieno. El medio poroso se caraceriza por el hecho de conener: - Un ipo de componene sólido que puede ener porosidad abiera o cerrada. - Una porosidad que puede ser ocupada por fluidos que ineracúan con oros consiuyenes. La presencia de los diferenes consiuyenes marcará el grado de complejidad de esudio que requiere el problema con al de llegar a describir el comporamieno mecánico del medio poroso. Ese capíulo iene como referencia bibliográfica el siguiene exo [10], procedene del deparameno de mecánica del suelo de la escuela docoral de la EPFL. _ 4. Meodología 20
4.1.2 Problema acoplado hidromecánico de un medio deformable saurado La complejidad del medio poroso reside en la descripción de un medio donde coexisen dos maeriales muy diferenes. Por un lado enemos una mariz sólida deformable y por el oro el fluido que ocupa los poros. Esa clase de problemas se caracerizan por el movimieno del sólido y el fluido a diferenes velocidades. Cualquier descripción mecánica que afece dos fases maeriales puede llevarse a cabo usando un medio coninuo equivalene. Esa consideración fue la que uvo en cuena Maurice Bio para esablecer en diferenes eapas (1941,1955,1962) la base de las eorías usadas hoy en día. Ésas consideran que el medio coninuo equivalene esá compueso por la superposición de dos fases con dos campos de desplazamienos, uno para la mariz sólida y oro para el fluido (cinemáicas disinas) que ineracúan e inercambian energía y maeria enre ellos. Es muy imporane diferenciar enre la mecánica clásica del coninuo y la mecánica del medio poroso coninuo. La primera no iene en cuena el inercambio de maerial con el mundo exerior, mienras que la segunda considera a menudo elemenos de volumen que pueden inercambiar fluido con el exerior. Finalmene, podemos decir que, el comporamieno global del sisema sólidofluido esa regido por las propiedades mecánicas de cada uno de los consiuyenes, así como por los procesos de ineracción que ocurren enre ellos. Típicamene exisen dos aproximaciones diferenes para modelar el medio poroso: - The averging approach: Ésa empieza describiendo las ecuaciones del movimieno de las fases consiuyenes del medio poroso por separado. Cada una de ellas es considerada como un cuerpo singular. El enlace enre ambas descripciones y el comporamieno a escala macroscópica se obiene por he averaging procedure (ésa es la manera más corriene de afronar el problema hidromecánico). - Mixure heory: Ésa empieza direcamene a nivel macroscópico y hace una suposición a priori de fases homogenizadas, luego usa el concepo de value fracion. 4.1.3 Definición del medio poroso saurado A escala macroscópica un diferencial de volumen (dω) de un medio poroso puede ser definido como la yuxaposición de 2 consiuyenes: - La mariz sólida deformable ocupa dω s que corresponde al volumen sólido y iene como densidad ρ s. _ 4. Meodología 21
- El volumen que ocupa la porosidad viene definido por dω v, que se llena (saurado) por un fluido dado de densidad específica ρ f. La homogenización del medio poroso a escala macroscópica permie definir el medio poroso como un coninuo donde se superponen el esqueleo y la fase fluida, eniendo en cuena que en ningún puno geomérico pueden coincidir. 4.1.4 Cinemáica del medio poroso Fase sólida La cinemáica de esa fase se puede describir de manera parecida a la usada en la mecánica clásica del coninuo. De manera que lo más corriene es usar la formulación lagrangiana (ambién denominada descripción maerial), independienemene que esemos bajo hipóesis de pequeñas o grandes deformaciones. Para ese ipo de formulación se considera que el referencial esa aado al esqueleo maerial, donde se van reacualizando los valores de sus propiedades en cada eapa de calculo (hablaremos más en dealle de ese puno en el capíulo dedicado a las ransformaciones finias). Fase fluida En cuano al fluido nos referimos, no exise un equivalene en la mecánica clásica del coninuo, aunque normalmene se suele usar una formulación euclidiana (ambién denominada descripción espacial). En ese caso la aención se cenra en un puno en el espacio. 4.1.5 Ecuaciones de gobierno del problema hidromecánico Descripción microscópica El medio poroso es considerado como un medio coninuo, aunque es imporane conocer como se llega a esa afirmación, ya que es evidene que la heerogeneidad exise a diferenes escalas. En la descripción del medio poroso a nivel microscópico, la aención se cenra en lo que ocurre en cada puno maemáico denro de cada una de las fases. Como ya hemos dicho aneriormene, a ese nivel, el medio poroso es un medio heerogéneo debido a la presencia de la inerfase sólido-fluida conjuna. Debemos definir las variables en cada puno del dominio y para cada una de las fases. Esas variables son, de hecho, valores promedio sobre un volumen represenaivo elemenal (REV) alrededor de un puno cualquiera considerado del dominio. El REV esá definido de manera que, dondequiera se coloque denro del dominio considerado por el medio poroso, siempre coniene ambas fases (fase sólida y porosidad). Además, se asume que, denro del REV ambas fases esán más o menos uniformemene disribuidas. 4. Meodología 22
La heerogeneidad microscópica puede ser negligida usando el concepo del REV (Volumen Represenaivo Elemenal). Para considerar el medio poroso como un coninuo, si omamos 1 como escala lineal de un diferencial de volumen V, debemos ener: 1<< L, dónde L represena la escala exerna del problema que esamos considerando. A la vez, debemos ener ambién: 1>> λ, dónde λ represena la escala caracerísica del movimieno microscópico de las parículas que consiuyen la oalidad del medio. Fig. 8 Represenación esquemáica de las diferenes escalas Podemos concluir ese aparado remarcando los siguienes punos: - Para poder esablecer coninuidad en un medio heerogéneo microscópico deberemos usar una escala macroscópica (REV) que al mismo iempo nos permia poder observar y cuanificar los diferenes procesos físicos que se llevan a cabo en su inerior. - La escala del REV esá caracerizada por la longiud L que omemos en nuesra aplicación. - El amaño del REV no es un valor inrínseco del medio considerado. 4. Meodología 23
Fig. 9 Ejemplo del amaño de un REV en un problema de análisis de un deslizamieno Una vez el medio poroso heerogéneo sea descrio como un medio homogéneo (usando el concepo de REV), podremos aplicar las ecuaciones de balance que gobiernan la mecánica del coninuo. Homogenisaion approach y comporamieno macroscópico Para no enrar mucho en dealle, debido a la complejidad de la eoría que hay derás de los aproximaciones que se usan para modelar el medio poroso, explicaremos de manera breve que es lo que se hace cuando aplicamos he averaging approach (única aproximación que veremos en ese rabajo) que nos permiirá llegar finalmene a escribir de forma consisene las ecuaciones que rigen el problema acoplado raado a escala macroscópica, que es lo que realmene nos impora, para poder hacer poseriormene modelos numéricos con méodos numéricos como los elemenos finios. De hecho, esa aproximación, hace uso de écnicas de homogeneización para aproximar el volumen promediado local del dominio (de ahí su nombre de he averaging approach ). Ésa considera siempre un REV (volumen elemenal represenaivo) en cada puno maemáico del dominio que coniene odas las fases que exisen en el problema a nivel microscópico, raando de manera independiene cada una de ellas. A coninuación se obiene las propiedades físicas medias del REV (como por ejemplo la densidad), con el objeivo final de poder llegar a definir las propiedades promediadas sobre odo el dominio del problema. 4. Meodología 24
Una vez se han obenido las propiedades medias del REV considerado, para poder definir las propiedades medias de odo el medio, deberíamos, en principio, realizar varios experimenos con diferenes REV s, que nos permiieran deerminar una media sobre odo el conjuno. Normalmene, se oma como hipóesis que los valores de las diferenes propiedades promediadas sobre el REV considerado, coinciden con las del conjuno del medio poroso esudiado en cada caso (concepo de homogeneidad del medio poroso). A parir de aquí, ya se puede formular las ecuaciones de conservación a nivel macroscópico. Pariendo de las ecuaciones de conservación de la masa (ecuación de coninuidad) y del balance de canidad de movimieno (ecuación de Cauchy), llegamos a describir el comporamieno del medio poroso del problema acoplado mediane las siguienes ecuaciones y hipóesis: Hipóesis generales adopadas para la modelización macroscópica del medio poroso - Escogemos la presión amosférica como presión de referencia, de valor p am =0. - Suponemos que la masa de aire incluida en un volumen Ω es negligible respeco a la masa de agua conenida en ese mismo volumen. - Ninguna ransferencia de masa, disolución de aire o evaporación de agua se efecúa en la inerfase enre los dos fluidos. Esa significa que la ecuación de conservación de la masa de fluida no oma explíciamene en cuena el volumen de aire disuelo, aunque ese se considera implíciamene en la función de variación de presión en función del grado de sauración p(s) y en el coeficiene de compresibilidad del fluido. - Suponemos que el aire se desplaza a la misma velocidad que el agua inersicial. - La presión del aire se supone igual a la presión amosférica p a =0. Esas hipóesis nos sirven para poder eliminar los érminos que conciernan la fase gaseosa en las ecuaciones del modelo macroscópico. 1)- Ecuación hidráulica: c(u,p) p div {K(u,p) grad (p+ρ f gx)} + S(p) div ( u ) = 0 2)-Ecuación mecánica: Div σ - grad (S(p) p) + ρ (u,p) g = 0 Donde: - ρ (u,p) = n (u) S(p) ρ W + (1-n(u)) ρ S 4. Meodología 25
Observación: Como se puede consaar, no hemos incluido odo el desarrollo que se ha llevado a cabo para llegar a las ecuaciones finales previamene esablecidas, ya que creemos que no forma pare del objeivo de ese exo, sabiendo además que exise una amplia bibliografía que habla exensamene sobre el ema, aunque pensamos que es necesario hacer algunas consideraciones para poder comprender mejor el resulado final. Consideraciones imporanes del desarrollo del cálculo - En la formulación adopada para escribir las ecuaciones, vemos cono aparece el érmino S(p), eso se debe a que se ha enido en cuena un medio poroso no saurado (aire, agua, sólido). -Observamos ambién como el ensor de permeabilidad K viene definido como K(u,p), eso se debe a que esa depende a la vez de la porosidad n(u), que se considera como una propiedad dependiene del campo de desplazamieno del esqueleo y de la sauración S(p) para el caso general no saurado. - Las mismas consideraciones hechas para K, nos sirven para el coeficiene de almacenamieno c(u,p). Análisis de los diferenes érminos de las ecuaciones Ecuación Hidráulica: Ésa iene una vocación esencialmene hidráulica, ya que nos permie deerminar la presión del fluido en un medio poroso rígido. En general, podemos decir que esá influenciada por el comporamieno del sólido de 3 maneras diferenes, por medio de: - El coeficiene de almacenamieno c(u,p). - La permeabilidad K(u,p). - El érmino div( u ), corresponde al ercer érmino de la ecuación hidráulica del problema y esa ligado a la deformabilidad del medio poroso, dejando enrever así, el primer símpoma imporane de acoplamieno enre los aspecos hidráulicos y mecánicos. Los dos primeros érminos varían ligeramene frene a la variación de porosidad, por el conrario en el ercer érmino la variación de la porosidad provoca una imporane variación del volumen disponible por donde circula el fluido, de manera que el campo de presiones se verá afecado de manera noable. Ecuación mecánica: Ésa iene una vocación esencialmene mecánica, ya que permie deerminar el desplazamieno del sólido en ausencia del fluido. Esá influenciada por la presencia del fluido del hecho que inerviene en la expresión de las fuerzas másicas. En efeco, el valor de las fuerzas másicas depende del volumen de agua presene en el suelo o sea del grado de sauración que a su vez depende de la presión del fluido S(p). 4. Meodología 26
Aunque el hecho que pone más de manifieso el acoplamieno del problema para esa ecuación nace del uso del principio de las ensiones efecivas que ienen en cuena el efeco del fluido sobre la mariz sólida. 4. Meodología 27
4.2 Concepos clave de la eoría de la elasoplasicidad 4.2.1 Inroducción Las ecuaciones consiuivas de los diferenes maeriales ienen como fin describir la compleja relación ensión-deformación que exise en el medio poroso (que es el medio esudiado en ese rabajo). Esa relación en el medio poroso se caraceriza por su amplia no-linealidad irreversibilidad. Los maeriales esudiados en el medio poroso exhiben en general dos ipos de deformación: elásico y plásico. Los diferenes concepos, fórmulas y ablas gráficas que aparecen en ese capíulo ienen como referencia bibliográfica los exos [10] (aparados 4.2.2, 4.2.3) y [11] (aparados 4.2.4, 4.2.5). 4.2.2 Comporamieno elásico El comporamieno elásico se observa corrienemene para deformaciones muy pequeñas (ε<10 E-3). Ésas incluyen generalmene: - Deformaciones en rabajos de ingeniería. (10 E-2) - Deformaciones en caminos. (10 E-4) - Deformaciones debidas a vibraciones. (10 E-3) En esos casos, la aproximación usada esá basada en forma generalizada de la ley de Hook: σ' = C e ε e Donde la mariz C e es la mariz de elasicidad, que iene como parámeros caracerísicos el Módulo de Young (E) y el coeficiene de Poisson (ν) propios del maerial esudiado. Si bien es ciero que los modelos más sencillos de elasicidad acepan un carácer lineal, hay que recordar que ambién exisen oros un poco más complejos, en los que se iene en cuena cieros aspecos de no-linealidad en la elasicidad incluidos en parámeros propios del comporamieno elásico de los maeriales como puede ser el módulo de Young, E, G o K. El módulo de Young, E depende de: - Los valores de la deformación. - Los valores de ensión. - La densidad. Por el conrario el valor del coeficiene de Poisson (ν) siempre se maniene consane. 4. Meodología 28
4.2.3 Comporamieno plásico A grandes rasgos, podemos decir que la plasicidad inroduce dos grandes modificaciones sobre la elasicidad: - Pérdida de linealidad: Las ensiones ya no son proporcionales a las deformaciones. - Aparición del concepo de deformación permanene: Una pare de la deformación que se genera durane el proceso de carga no se recupera durane la descarga. Podemos disinguir enre dos ipos de comporamieno: a)- Esado caracerísico: Los principales parámeros de los cuales la mecánica del medio poroso depende son: - OCR, p (dependienes de la densidad). - σ 3 (dependiene de la presión). b)- Esado críico: Definidos mediane leyes de plasicidad perfeca. Oros punos que cabe desacar denro del comporamieno plásico: c)- Principales aspecos reológicos del comporamieno mecánico inroducidos por la plasicidad - Dilaancia. - Efecos de sobreconsolidació. - Deformaión no-lineal reversible + deformación permanene. - Crierio friccional de Mohr-Coulomb + esado críico. d)- Principales aspecos consiuivos - Elasicidad - Función de fluencia. - Regla del flujo plásico. - Leyes de endurecimieno. 4. Meodología 29
4.2.4 Teoría incremenal de la plasicidad en una dimensión El comporamieno elasopásico brevemene raado en la inroducción de ese capíulo puede ser modelado uilizando modelos maemáicos de ciera complejidad. Una de las aproximaciones más populares la consiuye la denominada Teoría Incremenal de Plasicidad. Para el caso de una dimensión se preende, en esencia, aproximar un comporamieno ensión-deformación mediane aproximaciones a rozos con ramas elásicas e inelásicas. La generalización a varias dimensiones requiere la inroducción de concepos más absracos. Los concepos que se inroducen para poder llevar a cabo esa aproximación, son los siguienes: 1)- Descomposición adiiva de la deformación dε + E, corresponde al módulo elásico. e p = dε dε, dónde e σ ε = E 2)- Variable de endurecimieno α, (nos da la hisoria anerior de ensiones del maerial que esamos ensayando. 3)- Dominio elásico: Se define como el dominio elásico en el espacio de ensiones al inerior del dominio encerrado por la superficie F(σ, α )=0. { σ R ( σ, α) < 0} Εσ = F 4)- Dominio elásico inicial: Se define como el dominio correspondiene a una deformación plásica nula ( ε P = α = 0 ). Un requerimieno adicional al dominio elásico inicia es que conenga el esado de ensión nula y ello se consigue definiendo la función de fluencia. 5)- Función de fluencia Ε { σ R ( σ,0) < 0} 0 σ = F F( σ, α) σ σ f ( α ) σ f ( α) > 0, es la denominada ensión de fluencia. A la función σ f (α ) se le denomina ley de endurecimieno. 6)- Superficie de fluencia: Se define como el conorno del dominio elásico. Ε σ = { σ R F ( σ, α) σ σ ( α) = 0} f 4. Meodología 30
7)- Espacio de ensiones admisible: Ε σ = Ε σ Ε σ = { σ R F ( σ, α) σ σ ( α) 0} Observación: Es imporane ener en cuena que el dominio admisible evoluciona la ensión de fluencia σ f (α ). 8)- Ecuación consiuiva: Para caracerizar la respuesa del maerial se definen las siguienes siuaciones: - Régimen elásico: σ Εσ d σ = Edε - Régimen elasoplásico en descarga: f σ Ε σ df( σ, α) < 0 dσ = Edε - Régimen elasoplásico en carga plásica: σ Ε σ df( σ, α) = 0 dσ = E ep dε ep E, es el denominado módulo de deformación elasoplásico. 9)- Leyes de endurecimieno: Ésa proporciona la evolución de la ensión de fluencia plásica σ f (α ) con el parámero de endurecimieno α. Aunque dicha ley de endurecimieno puede ser más general, es frecuene (y muchas veces suficiene) considerar una ley de endurecimieno lineal del ipo: σ f = σ e + H ' α dσ ( α) = H ' dα f H recibe el nombre de parámero de endurecimieno. Ése valor juega un ep papel fundamenal en la definición de la pendiene E de la rama elasoplásica: H ' E ep = E E + H ' En función de H pueden definirse las siguienes siuaciones: ep - H ' > 0 E > 0 Plasicidad con endurecimieno por deformación. ep - H ' = 0 E = 0 Plasicidad perfeca. ep - H ' < 0 E < 0 Plasicidad con ablandamieno por deformación. 4. Meodología 31
4.2.5 Plasicidad en res dimensiones La eoría incremenal de la plasicidad, planeada en una dimensión, puede generalizarse al caso de un esado ensional muliaxial uilizando los mismos ingredienes previamene descrios, es decir: 1)-Descomposición adiiva de la deformación 2)-Variable de endurecimienoα y regla del flujo (ecuaciones de evolución) 3)-Función de fluencia, dominio elásico y superficie de fluencia φ ( σ ) 0 recibe el nombre de ensión uniaxial equivalene, σ e es el límie elásico obenido en un ensayo uniaxial del maerial (una propiedad del mismo) y σ f (α ) la ensión de fluencia. El parámero de endurecimieno H juega el mismo papel que en el caso uniaxial y deermina la expansión o conracción del dominio elásico, en el espacio de ensiones a medida que crece α. 4. Meodología 32
4)-Condiciones de carga-descarga y de consisencia Las condiciones de carga-descarga y de consisencia son un ingrediene adicional, respeco al caso unidimensional, que permien obener, ras alguna manipulación algebraica adicional, el muliplicador plásico λ. De manera general, con el fin de sineizar lo que hemos viso hasa el momeno (que podemos enconrar de manera mucho más amplia y deallada en la lieraura sobre el sujeo) podemos decir que los diferenes modelos o leyes de comporamienos que se usan para describir el comporamieno elasoplásico de los maeriales, se consruyen bajo cuaro concepos fundamenales: - Elasicidad. - Función de fluencia. - Regla del flujo plásico. - Leyes de endurecimieno. 4. Meodología 33
4.3 Méodo de los Elemenos Finios (MEF) 4.3.1 Inroducción El MEF es un méodo numérico de resolución aproximada de las ecuaciones diferenciales que describen los fenómenos físicos que aparecen en los disinos campos de la ingeniería. Fue a principios de los años seena cuando el MEF empezó a evolucionar de forma especacular gracias a los consanes avances en la capacidad compuacional de los ordenadores. Todo ése gran desarrollo se ha viso acompañado con la puesa a puno de programas de cálculo capaciados para resolver problemas de gran complejidad. Con al de poder uilizar el MEF con seguridad es conveniene ener una mínima idea de la base sólida de los principios, eorías y méodos que se uilizan, ya que la aplicación abusiva y desconrolada del méodo puede dar lugar a la obención de resulados oalmene falseados e incoherenes. Para familiarizarnos con los principios básicos que sosienen el MEF hemos elegido la aplicación de ese en el campo de las esrucuras y el sólido, ampliamene conocido en la ingeniería civil, que nos permie enconrar un senido físico muy aracivo al méodo, que perderíamos raando campos de aplicación como el elecromagneismo, En la acualidad enconramos res dominios denro del enorno ingenieril de la mecánica: - Mecánica experimenal : Observación direca en el laboraorio del fenómeno físico real. - Mecánica aplicada: Crea modelos maemáicos para represenar los fenómenos físicos modelización. - Mecánica numérica: Esudia los méodos que permien resolver las ecuaciones de la mecánica aplicada por vía numérica. La modelización de un fenómeno físico nos lleva habiualmene a esablecer en un dominio Ω (volumen, superficie o línea) un conjuno de EDO s o EDP s acompañadas en la fronera Γ del dominio por condiciones de conorno, donde no es frecuene poder obener una solución analíica. Llegados a ese puno, denro del mundo ingenieril se iende a uilizar méodos de resolución aproximada que subsiuyen la búsqueda de funciones desconocidas con la deerminación de un número finio de de parámeros relacionados mediane ecuaciones algebraicas. Esos méodos de discreización puramene numéricos son los más uilizados hoy en día en la mayoría de dominios de rabajo del ingeniero. 4. Meodología 34
Los más conocidos son: - MEF ( los más uilizados hoy en día). - Elemenos de fronera (de uso menos exendido). - Diferencias finias (paso previo para inroducirse a los demás méodos, muy exendido a nivel académico). Fig. 10 Ejemplos de los diferenes elemenos discreizados usados en a) Diferencias finias; b) MEF; c) Elemenos fronera. Para aplicar los dos primeros méodos es necesario ransformar la forma diferencial del problema (Forma Fuere) en una forma inegral (Forma débil) maemáicamene equivalene y dividir el dominio y la fronera en una malla de elemenos de forma geomérica simple. Una vez realizado ese paso, buscamos el valor numérico de las incógnias en un ciero número de punos del malla «nodos». La diferencia principal enre el MEF y los elemenos de fronera se reduce a rabajar en el dominio y la fronera ( Ω, Γ ) en el primer caso y en la fronera Γ en el segundo. En cuano al méodo de las diferencias finias, resuelve direcamene la forma diferencial del problema buscando el valor numérico de las incógnias en un conjuno de nodos que formando una cuadrícula regular. El hecho de inroducir el MEF a parir del cálculo de esrucuras (vigas, póricos) no es casual, ya que el desarrollo de ese méodo se inspira direcamene del cálculo de esrucuras y esa esrechamene relacionado con él mediane los siguienes punos : - Uilización del Méodo de los desplazamienos. - Uilización del proceso de recore y asemblaje caracerísico del cálculo de esrucuras, dónde a menudo dividimos una esrucura compleja en elemenos simples de analizar (recore) dando poseriormene la respuesa global del problema gracias a la ineracción que exise enre del conjuno de elemenos simplificados (asemblaje). 4. Meodología 35
El MEF lleva ese proceso hasa el límie, ya que descompone la esrucura en pequeños fragmenos «Elemenos finios» escogidos para ser raados de manera an simple como sea posible. El recore del problema en elemenos finios es lo que llamamos generación de la malla. Para relacionar el conjuno de elemenos finios generados en nuesro Ω lo hacemos mediane los nodos, concepo clave del méodo. Desde el puno de visa maemáico se considera el MEF como un proceso de aproximación numérica de la solución de un problema con condiciones de conorno, donde nos aproximamos a la solución mediane un conjuno de funciones de inerpolación no nulas denro de pequeños subdominios de forma simple. Ese no iene en cuena la noción física del elemeno finio aunque su rigurosidad nos permie esudiar el MEF y sus propiedades imporanes como : - Las condiciones de convergencia. - Las resriccion es que debemos ener en cuena anes de escoger las funciones de inerpolación. - El esudio de errores. Así como la generalización de usarlo en problemas donde la inerpreación física pierde senido (elecromagneismo, física cuánica, ). 4.3.2 Concepos imporanes y desarrollo general del méodo No nos exenderemos a hablar del cálculo de esrucuras porque nos es del inerés en ese capíulo, que iene como único objeivo recordar los principios, concepos y caracerísicas básicas del MEF para ayudar a enender el marco global de rabajo de la esina. El esudio de las esrucuras (vigas y póricos) por el méodo de los desplazamienos coniene buena pare del análisis para el MEF y lleva a resumidas cuenas a simplificar el problema a un sisema de ecuaciones lineal con los siguienes érminos: donde K: mariz de rigidez d : vecor de desplazamienos. F : vecor fuerza. Κ d = F Anes de llegar a ese puno, el problema físico se ha modelizado en un problema con condiciones de conorno que compora un número infinio de grados de liberad. En los problemas ingenieriles es difícil llegar a una solución analíica, por eso siempre hemos de recorrer a méodos de discreización. Esos nos permien reducir el problema real a un número finio de incógnias (grados de liberad) con al de enconrar una solución aproximada del modelo maemáico. 4. Meodología 36
Inerpreación física La inerpreación física del MEF consise en considerar el modelo maemáico como un conjuno formado por pequeños elemenos individuales, donde operamos haciendo un recore del modelo en un ciero número de elemenos finios de forma simple, generando una malla. Cada uno de los elemenos coniene un ciero numero de punos privilegiados llamados, nodos. El dominio Ω esa limiado por su fronera Γ. e El campo a priori desconocido que caraceriza el comporamieno del elemeno esa expresado en general de una manera aproximada en función del valor que oma en los nodos. El conjuno de los valores nodales consiuye los n d incógnias (grados de liberad) del problema. La respuesa global del problema se obiene mediane el asemblaje de los elemenos, dando las condiciones de coninuidad necesarias al campo de desplazamienos mediane los grados de liberad comunes de los elemenos adyacenes. Aribuos del elemeno finio 1)- Geomería (1D,2D,3D): - Reca, curva, segmeno. - Triángulo, cuadriláero (plano o curvado). - Teraedro, prisma, hexaedro. La fronera pueden ser: - Punos (exremidades segmenos) - Segmenos de reca o curva. - Superficies planas o curvas. 2)- Maerial: Ley de comporamieno que define el elemeno finio. 3)- Nodos: Definen la geomería y aseguran la conexión enre los elemenos. Ocupan posiciones esraégicas y en ellos escogemos los grados de liberad del problema. 4)- Grados de liberad: Para odo elemeno finio hemos de escoger una o varias funciones (en ese caso nos cenramos en el campo de desplazamienos). Esas se expresan en función de los valores pariculares que oman en los nodos. Valores que se convieren en incógnias nodales. e 4. Meodología 37
La unión de los grados de liberad comunes enre dos elemenos adyacenes más un ercero, permie reconsruir, pieza por pieza la solución complea asemblaje. Para llegar a un resulado válido, esas operaciones deben respear algunas reglas, llamadas, crierios de convergencia. 5)- Fuerzas nodales: Mediane los nodos, se ransmien fuerzas asociadas a los grados de liberad. Unas son reacciones inernas (r) y las oras (f) son debidas a cargas aplicadas al elemeno (peso propio, carga uniforme, emperaura, ). Las cargas puramene nodales (Q) son independienes de las propiedades de los elemenos. Condiciones en los límies En mecánica de sólidos y esrucuras, hay dos ipos de condiciones al límie usuales: Γ u a)- Cinemáicas sobre : Corresponden a los apoyos, los desplazamienos esán impuesos (conocidos, nulos o no nulos) en cada grado de liberad. Γ b)- Esáicas sobre : Aplicación de racciones en el conorno (conocidas, nulas o no nulas), después de la discreización se ransforman en fuerzas concenradas de efeco equivalene. Fig. 11 Condiciones de conorno a) de la modelización; b) de la discreización. De manera general podemos decir que exisen dos ipos de condiciones de conorno: a)- Condiciones esenciales: Afecan los grados de liberad (en ese caso el vecor desplazamieno). b)- Condiciones naurales: Afecan las fuerzas, segundo érmino del sisema de ecuaciones que hay que resolver. 4. Meodología 38
Necesidad de una eoría Cualquier sólido o esrucura esa ligado a una eoría (modelización). En consecuencia, cualquier discreización usa la eoría en cuesión para el elemeno finio correspondiene. 1)- Los sólidos 2D,3D usan la eoría de la mecánica de los sólidos (en ese caso la eoría de la elasicidad). 2)- las esrucuras recaen a eorías pariculares, que son esencialmene funciones de caracerísicas geoméricas del elemeno esrucural. La diferencia más imporane enre esos dos ipos de caegorías de eorías es la manera expresar el campo de desplazamienos, ya que en elasicidad usamos siempre ranslaciones (u,v,w) mienras que en esrucuras inervienen siempre roaciones ( θ x, θ y, θ z ) menos en un caso paricular como es la barra. Esas roaciones poden ser el origen de dificulades en el MEF. Forma Fuere y Forma Débil de las ecuaciones de la mecánica del sólido La solución de un problema esáico de mecánica del sólido esá gobernada por ecuaciones en derivadas parciales acompañadas de condiciones en los límies, odo ese conjuno es lo que llamamos Forma Fuere (o clásica). En el MEF se resuelven las ecuaciones a parir de la Forma Débil (o variacional) del problema. Denro de la Forma Fuere del problema enconramos las siguienes ecuaciones: - Ecuación de equilibrio esáico: σ x - Ley consiuiva de Hooke isóropa: ij i + b j = 0 σ = ij Dijklε kl - Ecuaciones cinemáicas: - Condiciones naurales: ε ij = 1 ui 2 x j u j + x i n σ = i ij j - Condiciones esenciales: u i = u i 4. Meodología 39
Relacionando y manipulando un poco odas esas ecuaciones al y como indica la abla, obenemos las denominadas Ecuaciones de Navier. Fig. 12 Esquema de resolución de odas las ecuaciones y condiciones que inervienen en la resolución del problema planeado. Expresadas en Forma Fuere: D ijkl 2 uk x x i l + b j = 0 Esas ecuaciones de segundo orden (en el caso de la elasicidad) nos expresan el equilibrio en función de los desplazamienos que es lo que queremos, ya que en general, ése es le campo de incógnias escogido para resolver los problemas mediane el MEF. El orden de inegración de las ecuaciones, juega un papel muy imporane en el MEF, es por eso que el méodo resuelve los problemas expresados mediane su Forma Débil, que es maemáicamene equivalene y requiere un orden de inegración menor. Para reducir el orden de derivación escogemos un méodo que hace inervenir el principio de los rabajos viruales sobre el que se basa el MEF. Ese principio viene consruido por el uso de cieras herramienas maemáicas popularmene conocidas como son las Fórmula de Gauss y la Fórmula de Green, ampliamene usadas para simplificar y manipular formulaciones maemáicas complejas. Llegando finalmene a la siguiene forma inegral o Forma Débil: Ω D ijkl ε δε dω = kl ij b δu dω + δu dγ i i i i Ω Γ u i = u i (sobre u (en Ω y sobre Γ ) Γ ) 4. Meodología 40
Venajas decisivas de la Forma Débil en comparación a la Forma Fuere: 1)- El orden de las derivadas es inferior. 2)- Se deben saisfacer menos condiciones en los límies, ya que la condiciones naurales esán incluidas denro de la inegral, con lo que basa saisfacer en media (en la forma fuere hay que saisfacer exacamene en cada puno del dominio). De manera que podemos decir que la Forma Débil es menos exigene para escoger la aproximación, o sea la función de inerpolación. Inerpolación Normalmene, no conocemos la expresión analíica de las funciones que describen el campo de desplazamienos de los elemenos finios para un problema cualquiera dado. Eso nos obliga a hacer hipóesis sobre esas funciones, es lo que denominamos proceso de aproximación o inerpolación. En el caso de las vigas por ejemplo, esas funciones son conocidas gracias a la mecánica de esrucuras. Coninuidad cinemáica: Debemos esforzarnos para asegurar la compaibilidad cinemáica de los desplazamienos a lo largo de las froneras que separan los elemenos finios y no solamene en los nodos, sino resularían disconinuidades de desplazamieno y concenraciones de ensiones inadmisibles sobre las froneras. Precisión y convergencia: Pregunas como: - La inerpolación se puede efecuar libremene? - Cuano vale la solución aproximada enconrada? - Podemos cifrar el error? - En que circunsancias converge hacia una solución exaca? Hemos ardado basane iempo para poder conesar ese ipo de pregunas y dar a la vez respuesas saisfacorias, algunas de ellas esán aun hoy en día abieras. Con odo lo dicho hasa el momeno podemos decir que la consrucción de un elemeno finio implica elegir enre disinas caracerísicas: - Forma geomérica. - Nodos (número y siuación). - Grados de liberad (nauraleza, número y ipos por nodo). - Funciones de inerpolación. 4. Meodología 41
Esa elección esá condicionada por: - El propio MEF (crierios de convergencia). - En relación a la modelización, o sea la eoría elegida para analizar la esrucura. Como fruo de esa elección obendremos una mayor o menor calidad en nuesro resulado final. Modelos de elemenos finios Lo más corriene en el MEF es usar el campo de desplazamienos como campo inerpolane, raramene usamos el campo de deformaciones o ensiones. Las inerpolaciones se inscriben sobre odo el elemeno o en una pare de él (en la fronera o el inerior). Según las combinaciones elegidas podemos crear disinos ipos de modelos de elecos finios. Los más usuales son: - Modelo de desplazamienos (el único que veremos en ese capíulo). - Modelo de ensiones. - Modelo mixo. - Modelo híbrido. Los res úlimos modelos precedenes requieren oras formas débiles para poder aplicarlos, de manera que odo los que hemos viso hasa el momeno iene que ver con el Modelo de desplazamienos. Observación: A menudo se dice que el Modelo de desplazamienos es demasiado rígido. Esa afirmación es ciera, ya que al esablecer la forma de los desplazamienos posibles (inerpolación), lo que hacemos indirecamene es imponer unas ensiones que disminuyen la capacidad de deformación libre impidiendo un desplazamieno libre, con lo que hacemos los elemenos más rígidos de lo que serían en realidad. Méodo de Galerkin El méodo de los residuos ponderados es una écnica de resolución aproximada de una Forma Débil. Conservando la forma inegral obenida aneriormene después de aplicar el principio de los desplazamienos viruales. Ω T δε σ dω = Ω δu T b dω + Γ δu T dγ u = u (sobre Γ u ) (en Ω y sobre Γ ) Donde : σ, es la función del campo de desplazamienos u. 4. Meodología 42
Ese problema iene dos campos desconocidos: u(x) y δ u(x). Como son campos que no conocemos, proponemos una aproximación (inerpolación). Con ese fin uilizamos una variane del méodo de los residuos ponderados (Méodo de Galerkin). En ese méodo, elegimos: 1. Para u(x), una combinación lineal de n gal funciones: Ejemplo: En el caso de 1D i. u(x) a N ( x) + a N ( x) +... + a N ( x) 1 1 2 2 n gal ngal Donde: N i, son las funciones de inerpolación (conocidas=elegidas) a i, son los parámeros desconocidos. 2. Para δ u(x), hacemos exacamene lo mismo, buscando una combinación lineal de las mismas funciones de inerpolación. n gal δu( x) δa N i= 1 i i ( x) La resolución aproximada, subsiuye la búsqueda de funciones desconocidas por la búsqueda de un número finio de parámeros. Observaciones: - Las funciones de inerpolación deben ser derivables y en una combinación l.i. - Normalmene son siempre polinomiales. - Los parámeros son evidenemene de nauraleza cinemáica, normalmene nos las arreglamos para que represenen el valor del campo en los nodos. - De forma general, la llave del Méodo de Galerkin es, en oda Forma Débil de un problema con condiciones de conorno, inerpolar idénicamene la incógnia del problema y la función peso, siendo la inerpolación una secuencia lineal de funciones. Caracerísicas del Méodo: El esudio maemáico del Méodo de Galerkin da lo siguiene: - En los problemas lineales, el méodo da lugar a un sisema de ecuaciones algebraico, lineal y simérico para los parámeros desconocidos. - El méodo da resulados más precisos en comparación a oros méodos. La solución se adapa mejor a la solución exaca. - Bajo cieras condiciones (crierios de convergencia), la solución aproximada iende a la solución exaca ( n ). gal 4. Meodología 43
Después de ver las venajas que apora el Méodo de Galerkin podemos decir que ese es el más uilizado en la resolución aproximada de la Forma Débil de un problema con condiciones en los límies. Consideraciones a ener en cuena: La simería es muy imporane en el MEF, ya que el número de incógnias puede ser muy grande (100000), esa propiedad es muy úil para almacenar el sisema de ecuaciones a resolver (agilizando el cálculo). La calidad de la aproximación depende de la elección de las funciones de inerpolación. En cuano más se parezca a la solución real, mejor será la solución obenida. Una de las mayores venajas del MEF es poder reducir el problema en pequeños elemenos, donde la inerpolación es más sencilla para después poder adaparlas gracias a la malla a disinas condiciones. El MEF inerpola por subdominios yuxapuesos aproximando por pequeños rocios. El precio que debemos pagar pero, es reconsruir la esrucura, donde hay que realizar una yuxaposición exaca de odos los rocios. Elección del campo de desplazamienos Para esablecer una expresión del campo de desplazamienos por el Méodo de Galerkin enemos dos caminos: u( x,...) d N1 2 2 ( x,... ) + d N ( x,... ) +... + d e N (,...) 1 e x n d n d 1)- Búsqueda direca de las funciones de inerpolación: Consise en esablecer una ecuación de cada una de las funciones de inerpolación, para deducir el campo aproximado. La dificulad reside precisamene en llegar a formular esas funciones, ya que en 1D o 2D podemos llegar a verlo pero en 3D es mucho más complejo. 2)- Inerpolación paramérica (búsqueda indireca): Expresando el campo de desplazamienos bajo la forma de un polinomio ordinario: n p a 1 u( x,...) aimi ( x,...) u( x,...) = [ m1 ( x,...), m2 ( x,...)... ] a2 (en forma maricial) 1 a n p Con n p monomios conocidos m i (x, ) llamados modos, que esán muliplicando los n p parámeros desconocidos a i. e n d 4. Meodología 44
Denominamos en forma maricial: u ( x,...) = P( x) p Donde P(x), es la mariz línea de los nodos y p el vecor de los parámeros desconocidos. Para cada nodo podemos escribir: Donde la mariz C (recangular d=cp n n e d ) que sólo coniene números (valores de mi en los nodos). Sean las incógnias cinemáicas a i o d j, el número debe ser el e mismo, esamos enonces obligados a elegir n = n, de esa manera C es una mariz cuadrada que si además, no es singular, nos permie resolver el siguiene sisema: P= C -1 d Si subsiuimos en la anerior ecuación, nos queda: p d u(x)=p(x)c -1 d Por comparación con la expresión principal obenemos: N(x) = P(x)C -1 En ese méodo pueden aparecer dificulades relacionadas con el hecho de e escoger n = n y ambién con la inversión de la mariz C. d Crierios de convergencia p En el MEF, exisen dos ipos de convergencia: La convergencia h, por refinamieno de la malla sin modificar la inerpolación. La convergencia p, consise en aumenar el grado de inerpolación sin variar la malla. En ambos ipos, la inerpolación elegida debe saisfacer cieras condiciones llamadas Crierios de convergencia para que la solución aproximada ienda a la solución exaca. Comparación enre los dos ipos de convergencia: En la convergencia h, el ipo de elemeno no varía, pero si que varía el número de elemenos y grados de liberad que aumenan consanemene, eso hace que debamos reconsruir coninuamene la malla. p 4. Meodología 45
Fig. 13 Subdivisiones cada vez más dealladas para el esudio de la convergencia h. En la convergencia p, el número de elemenos y la malla se manienen fijos, pero el número de incógnias por elemeno aumena sin parar de manera que las caracerísicas de k y f de los elemenos varía coninuamene. Fig. 14 Aumeno del grado de inerpolación para el esudio de la convergencia p. El méodo h, comprueba las propiedades de convergencia de un elemeno finio dado. Debemos pasar por él apara conseguir una buena puesa a puno del elemeno. El méodo p, es mucho más reciene pero ambién mucho más próximo en su concepción a la convergencia del méodo de Galerkin original. Generalmene más preciso y rápido que el h. Pero no odo son venajas, ya que requiere disponer de elemenos finios que puedan hacer variar el grado de inerpolación, esos aun no se conocen hoy en día. Crierios de convergencia (puno de visa físico): 1)- Primer crierio, crierio de coninuidad, conformidad o compaibilidad cinemáica (los elemenos que respean ese crierio se llaman elemenos conformes): La inerpolación debe ser al que el campo de desplazamienos: - Sea coninuo y derivable en el elemeno. - Sea coninuo a ravés de la fronera. 4. Meodología 46
La primera condición previene el hecho de emplear funciones que presenen disconinuidades (paradas, salos, ) y garaniza poder calcular las derivadas necesarias de la Forma Débil (hemos de poder derivar m veces). La segunda condición, asegura que los desplazamienos sean coninuos en odo puno de las froneras que separan los elemenos. En principio, en la fronera de dos elemenos adyacenes, los desplazamienos sólo serán a priori iguales en los nudos que ienen en común. El crierio exige enonces garanizar la coninuidad de los desplazamienos a lo largo de oda la fronera, esa condición puede llegar a ser difícil de cumplir. Fig. 15 Grupo de res elemenos finios planos: a) configuración inicial; b) configuración deformada. Los elemenos (1) y (2) son conformes a lo largo de ABC (los res nodos y las dos curvas coinciden exacamene enre las os configuraciones), mienras que enre los elemenos (2) y (3) se viola el principio de coninuidad a lo lardo de DEF. 2)- Segundo crierio, crierio de las deformaciones consanes: La inerpolación debe permiir represenar: - Los esados de desplazamieno rígidos. - Los esados de deformación consane. Ese es un crierio físicamene evidene, ya que el elemeno finio debe poder desplazarse en bloque, como un cuerpo rígido, sin dar lugar a ningún ipo de ensión o deformación. Ese debe ser capaz de represenar los esados de deformación más simples, es decir, consanes. En realidad, ese crierio debe enenderse de manera más aguda, yendo hasa el límie. Cuando un elemeno finio es cada vez más pequeño, sus desplazamienos y deformaciones ienden hacia valores consanes, para asegurar la convergencia es pues indispensable que la inerpolación pueda represenarlos. 4. Meodología 47
Fig. 16 Modo rígido. Fig. 17 Deformaciones consanes. a) configuración inicial. a) Ensayo de racción. b) configuración deformada. b) Flexión pura enre B i C. Consruir un elemeno finio (caracerísicas del elemeno) Las caracerísicas de un elemeno finio consisen esencialmene en su mariz de rigidez K y el vecor fuerza f, que vienen relacionados por la ecuación fuerzadesplazamieno que hemos esablecido en el equilibrio del elemeno finio, expresado mediane la forma del principio de desplazamienos viruales y eligiendo las aproximaciones del campo de desplazamienos desconocidos usando el Méodo de Galerkin. 1)-Formulación del elemeno finio: Un elemeno finio aislado esá someido a las siguienes fuerzas exeriores: b, fuerza de volumen (carga)., racciones en superficie (carga). r, reacciones nodales inernas. Fig. 18 Elemeno finio aislado y sus fuerzas. 4. Meodología 48
Para un elemeno finio aislado, el principio de los desplazamienos viruales δ W = δw ) se escribe: ( in ex Ω T δε σ dω = Ω δu T b dω + Γ δu T dγ + δd T r Con σ = Dε ; ε = Lu ; δε = Lδu Los campos de desplazamienos buscados y viruales son: u = N( x) d ; δ u = N( x) δd 2)- Mariz de rigidez: Usamos las ecuaciones aneriores en senido inverso, desplazamienos. pariendo de los Deformaciones: Si efecuamos las derivadas impuesas por las ecuaciones cinemáicas (por u ejemplo ε x =, ) esamos afecando la mariz N(x), de manera que podemos x escribir: Ley consiuiva: Trabajo virual inerior: ε = B ( x) d δε = B( x) δd σ = DB ( x) d δw in T T = δd ( B DBdΩ)d Ω La inegral del riple produco maricial define la mariz de rigidez k del elemeno, e e cuadrada ( n n ) y simérica: d d k Ω T = B DBdΩ 3)-Vecor fuerza: T T T T δ W δd N bdω + δd N dγ + δd ex = Las dos inegrales definen el vecor fuerza del elemeno: Ω Γ T r f T T = N bdω + N dγ Ω Γ 4. Meodología 49
Esas fuerzas se suelen llamar consisenes, ya que represenan las fuerzas nodales debidas a las cargas que afecan el elemeno. 4)-Equilibrio del elemeno finio: Con la noación esablecida aneriormene, podemos escribir el principio de los desplazamienos viruales como: T T δ d kd = δd f + δd Si escribimos esa igualdad bajo la forma δd T ( kd f r) = 0, (imagen maricial de la forma inegral), que es válida para odos los desplazamienos viruales. El parénesis debe anularse, con lo que nos queda: kd = f + Que represena la ecuación de equilibrio del elemeno finio. Observaciones: -En el vecor d, imponemos las condiciones esenciales (afecan los grados de liberad). -En el vecor f, imponemos las condiciones naurales (afecan las fuerzas). -El vecor r, exisene debido a los desplazamienos impuesos (es asimilable a un vecor carga). 5)- Tensiones: La ensiones se calculan mediane la fórmula σ = DB ( x) d. En el modelo de los desplazamienos, las ensiones sólo saisfacen el equilibrio en érmino medio, en el senido de la Forma Débil. El equilibrio diferencial local no se verifica generalmene. En consecuencia, las ensiones pueden presenar fallos de equilibrio en odo puno. Para inenar obener una aproximación fiable de la variación real de las ensiones, es necesario calcularlas en los punos donde su precisión sea considerada mejor (punos ópimos) para luego aplicar écnicas de refinamieno que permian aenuar irregularidades no deseadas. No veremos en ese capíulo las diferenes écnicas que exisen para mejorar la precisión del campo de ensiones en el méodo de los desplazamienos, pero si hemos considerado necesario remarcar ese hecho, ya que la obención del campo de ensiones es de gran inerés en muchos dominios de la ingeniería. r T r 4. Meodología 50
Méodo de los desplazamienos y asemblaje En odo ese capíulo inroducorio al MEF nos hemos basado en el Méodo de los desplazamienos para resolver un problema en elemenos finios. Hemos viso como ése se puede deducir direcamene del equilibrio nodal o más bien dicho, del principio de los desplazamienos viruales. El sisema de ecuaciones obenido expresa, en cada uno de los nodos, la igualdad de las componenes de los dos ipos de fuerzas nodales. -Fuerzas inernas producidas denro de la esrucura debido a su deformación. -Fuerzas debidas a las cargas exeriores. Ese sisema de equilibrio en los nodos, es lineal y la mariz simérica de los coeficienes desconocidos es la mariz de rigidez de la esrucura. Su resolución nos da los desplazamienos nodales o grados de liberad. Esos desplazamienos se expresan denro de un sisema de ejes común, llamado sisema global, elegido arbirariamene con relación a la esrucura. Cada uno de los sisemas de ejes, llamados sisemas locales, donde esudiamos los elemenos finios, no coincide con el sisema global, ya que lo que se busca es esablecer un sisema de ejes orienado a formular las caracerísicas del elemeno de la manera más prácica posible. Para pasar del sisema local al global y viceversa es obvio pensar que se debe operar para hacer las ransformaciones de coordenadas que sean necesarias con al de poder resolver finalmene un único sisema referenciado respeo a un sisema de ejes común. Modelización por elemenos finios de un problema en geoécnica El objeivo de ese pequeño aparado es resumir la filosofía de la discreización en elemenos finios limiándonos a las generalidades sin enrar en dealle con las ecuaciones. Como ya hemos viso de forma basane exensa a lo largo de odo ese capíulo de inroducción a los elemenos finios como se planea, resuelve y raa un problema mediane el MEF, mediane la mecánica de esrucuras y las leyes de la elasicidad (que hemos usado para ver de manera más simplificada cuales son los principios que se usan para resolver un problema mediane los MEF) simplemene daremos una simple pincelada a la manera de afronar un problema en geoécnica, ya que en ese caso las ecuaciones y los algorimos de resolución numérica se complican respeco al problema más general. A grandes rasgos, hemos viso aneriormene como el proceso de resolución nos conduce a resolver un problema del ipo: Κ U = F 4. Meodología 51