Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CAMPUS VILLA NUEVA CURSO MATEMATICA FINANCIERA Lic. Manuel de Jesús Campos Boc PRIMERA UNIDAD OPERACIONES A CORTO PLAZO INTERES SIMPLE -Concepto: es el rendimiento del capital entregado en préstamo. Es el precio del dinero. Es la renta que gana un capital. Es el rédito que hay que pagar por el uso de dinero tomado en préstamo. Es la ganancia directa producida por un capital. -Operaciones financieras a corto plazo: corresponde a esta clasificación todas aquellas operaciones que se realizan hasta un año plazo. Se aplican principalmente en el interés y el descuento simple. Por ejemplo: -Un mes -Tres meses -Seis meses -Un año -Operaciones financieras a largo plazo: son aquellas operaciones cuyo término excede del año. Se aplica principalmente en el interese compuesto y a las anualidades. -Un año -Dos años -Tres años -Cinco años Clases de Interés -Interés Simple: es el rendimiento calculado siempre sobre el capital original, el cual permanece invariable durante todo el tiempo, por lo que los intereses que se obtienen en cada periodo, es siempre el mismo. 1

Por ejemplo: Prestamos Q100.00 para devolver a los cuatro años, al 15% de interés anual simple. Al calcular el interés por cada año nos da Q15.00; al final de los cuatro años tendremos que pagar los Q15.00 de cada año por 4, es decir Q60.00 de intereses calculados sobre los Q100.00 prestados. Quiere decir que el interés correspondiente a cada periodo anual siempre es el mismo, Q15.00 por año. CAPITAL INTERES Q 15 100.00 % AÑOS 1 2 3 4 TOTAL INTERESES Q 15.00 Q 15.00 Q 15.00 Q 15.00 Q 60.00 -Interese Compuesto: es el rendimiento que si no se paga en el periodo, se aumentan al capital y junto con él, produce más interese. Por lo tanto, en cada periodo posterior, el interés es mayor, pues está calculado sobre el capital original más los interese de los periodos anteriores. Por ejemplo: tomando el anterior. CAPITAL Q 100.00 INTERES 15 % AÑOS 1 2 3 4 TOTAL INTERESES Q 15.00 Q 17.25 Q 19.84 Q 22.81 Q 74.90 -Diferencia entre el interés simple y compuesto: el interés simple se utiliza más en operaciones a corto plazo, es decir en periodos menores de un año, ya que en ese lapso tiene más rendimiento que el interés compuesto, el cual se aplica principalmente en operaciones mayores de un año, es decir a largo plazo, ya que en ese lapso produce más que el interés simple. -Grafica de tiempo y de valor: para plantear y comprender mejor los problemas de matemáticas financieras, en ellos imaginariamente describimos valores y tiempo, asumiendo que si en la gráfica nos movemos de izquierda o derecha, en el tiempo estamos trasladándonos hacia el futuro, y si en la gráfica nos movemos hacia la izquierda, en el tiempo estamos transportándonos hacia el pasado. En estas gráficas definimos periodos de tiempo y asignamos valores. 2

Por ejemplo: (línea del tiempo) PERIODOS DE TIEMPO (meses de 30 días) 14/01/2017 30/06/2017 15/12/2017 PASADO PRESENTE FUTURO Origen TIEMPO TOTAL 331 DÍAS TIEMPO TOTAL Q150.00 166 DÍAS Q80.00 TIEMPO TOTAL 165 DÍAS Q70.00 Factores que Intervienen en el Cálculo del Interés Para poder calcular el interés, son necesarios los tres factores siguientes: el capital o principal, el tiempo y la tasa de interés. La falta de uno de ellos es suficiente para ya no calcular el interés. No existe interés si el capital que se presta es igual a cero. Tampoco se paga el interés si no se ha definido una tasa a cobrar o bien si no ha pasado tiempo en que se haya usado el dinero. -Capital o Principal: definimos de esta maneara al dinero sobre el cual se aplica el interés. Adquiere bastante importancia saber determinar la cantidad correcta del capital o principal que servirá de base para el cálculo del interés. -Tiempo: es el lapso o periodo durante el cual el capital ha sido prestado. Su medición se hace con base en el año. La unidad mínima de medida es un día. -Tasa de Interés: es la medida de cobre o pago que se hace por utilizar o aprovechar determinada suma de dinero. Generalmente se mide por ciento, y de esa cuenta en los bancos, almacenes, farmacias, restaurantes y otros, escuchamos diversos porcentajes, 2%, 5%, 12%, 20%, que nos indican ya sea el recargo, descuento, propina, que se calcula sobre una cantidad principal (capital) debemos pagar. Estos porcentajes corresponden a las formas de determinar la tasa de interés. 3

Homogeneización o Estandarización de los Factores Para utilizar adecuadamente los factores del interés y aplicarlos en las formulas correspondientemente, debemos estandarizarlos u homogeneizarlos y además para facilitarlo se le asigna una Simbología, así: FACTORES Capital o Principal Tiempo Tasa de Interés Interés Ejemplos: SIMBOLOGÍA p n i I BASE PARA LA ESTANDARIZACIÓN Unidad de moneda Un año Tanto por uno anual Calculo sobre los anteriores Un capital de Q5,000.00 Un adeudo de Q12,500.00 Un tiempo de 8 años Un tiempo de 8 meses Un tiempo de 8 días Un tiempo de 4 semestres Una tasa del 25% anual Una tasa del 15% semestral Una tasa del 5% trimestral Un préstamo de Q55,124.50 Un plazo de 90 días p = 5,000.00 p = 12,500.00 n = 8 n = 0.666666666 8 12 n = 0.022222222 8 360 n = 2 4 2 i = 0.25 25 100 i = 0.3 15 100 x 2= 0.30 i = 0.2 5 100 x 4= 0.20 p = 55,124.50 i = 0.25 90 360 NOTA: PARA PODER CALCULAR BIEN EL INTERÉS, DEBEMOS SABER APLICAR LOS DATOS, TODOS SOBRE UNA MISMA BASE, POR ESO LA IMPORTANCIA DE SABERLOS HOMOGENEIZAR. 4

Formula del Interés Simple Por definición decimos que el interés simple es el producto de los elementos que intervienen en su cálculo: Entonces el interés simple es igual al Principal por el Tiempo por la tasa de Interés. Como ya conocemos la simbología a aplicar, podemos definir la formula así: Aplicación: I = P n i Problema No. 1: Un capital de Q. 18,000.00 invertido durante 15 meses al 6% de interés simple trimestral. Cuánto producirá de intereses? Lo primero que debemos hacer es homogeneizar los elementos o datos del problema, para poderlos relacionar y aplicar correctamente en la formula. P = 18,000.00 n = 1.25 i = 0.24 (Por que la base es la unidad monetaria) (Por que la base es el año. 15 meses los dividimos entre los 12 meses del un año y da 1.25 ) (Por que la base es el tanto por uno anual, así que el 6% se divide entre de 100, y como en el año hay 4 trimestres, se multiplica por 4) I = P n i 18,000.00 X 1.25 X 0.24 = El interés que produce es Q.5, 400.00 Problema No. 2: El 15 de enero de este año, se contrató un préstamo de medio millón de quetzales al 2% de interés mensual, se canceló el 15 de octubre de ese mismo año (año de 365 0 366 días). Cuánto se pagó de interés? P = 500,000.00 n = 0.747945 i = 0.24 ( 273 / 365= 0.747945) (2 /100 X 12 = 0.24 anual) 5

MESES DIAS Enero = 16 Febrero = 28 Marzo = 31 Abril = 30 Mayo = 31 Junio = 30 Julio = 31 Agosto = 31 Septiembre = 30 Octubre = 15 TOTAL = 273 273 / 365 0.747945 I = P n i 500,000.00 X 0.747945 X 0.24 = El interés que produce es Q 89,753.40 Problema No. 3: Una empresa vende artículos electrónicos al contado y a plazos. Una plancha tiene un precio de contado Q85.00 y se dar al crédito en dos pagos, uno de engancha de Q40.00 y otro a un año plazo. Si la empresa tiene políticas de cargar un 20% de interés anual por financiamiento, de qué valor debe ser el segundo y último pago. P = 45.00 n = 1 i = 0.20 (Precio de contado Q85.00, pero se recibe un enganche de Q40.00, el financiamiento que se otorga es 85-40=45) Como vemos, hay que establecer bien el capital base para la operación. Si se considera un capital de Q85.00, no se toma en cuenta el engancha y la respuesta seria incorrecta. I = P n i 45.00 X 1 X 0.20 = El interés que produce es Q 9.00 6

Luego, el paso será de Q45.00 de la deuda y Q9.00 de interés. Quiere decir que hay que hacer un segundo pago de Q54.00. Esta última suma, constituida por el capital y el interés calculado, se le conoce también como MONTO, los que se estudiara más adelante. Interés en Fracción de Año Cuando se tiene que calcular el interés para fracción de año, se presentan cuatro métodos que benefician en más o en menos a quienes tengan que cobrar o pagar el interés. METODO DETERMINACION DE "n" Exacto t=365 ó t=366 Ordinario t=360 Obligaciones h=360 Mixto h=365 SIGNIFCADO DE: t= número exactos de días entre fechas h= número de días entre fechas, considerando todos los meses de 30 días La fórmula del interés siempre es la misma, I=P n i, teniendo el cuidado de que el valor de n estará definido por el método que se trate. Por lo tanto, la fórmula del interés n puede ser de cuatro formas siguientes: METODO EXACTO ORDINARIO OBLIGACIONES MIXTO FORMULA I = P x i x (t/365) ó (t/366) I = P x i x (t/360) I = P x i x (h/360) I = P x i x (h/365) NOTA: El valor de n está definido en los paréntesis, según el método. Cálculo del Tiempo en Fracción de Año (Asignación de valores de t y n ) Si hoy recibimos una cantidad de dinero en calidad de préstamo, la cual pagamos el día de mañana, cuanto tiempo nos cobran de interés (uno o dos días). Tanto el día que se recibe el dinero, como el día en que se paga, se conocen como días terminales, de los cuales, para el computo del tiempo se toma en cuenta uno solo de ello, el primero o el ultimo. 7

En Guatemala la Junta Monetaria ha distado resoluciones al respecto, contenidas dentro de las Medidas y Políticas Monetarias, en las cuales señala que: Para el cálculo de interés y recargo se incluirá el día de apertura de la cuenta o entrega de los fondos y se excluirá el día de vencimiento de la obligación. Es decir se incluye el primer día terminal y se excluye el último. Entre dos fechas cualquiera, podemos encontrar el número de días exactos (t), o bien el número de días considerando todos los meses de 30 días (h). Siempre, insistimos, hay que computar uno sólo de los días terminales. Volviendo a la pregunta de cuantos días calcular si recibimos un préstamo hoy y lo pagamos mañana. Vemos que hay dos días terminales, hoy y mañana, de los cuales solamente habrá que tomar uno, por lo tanto el plazo del préstamo es de un día. 1 2 Hoy Mañana Dos días terminales Un dia plazo Ejemplos: Valores de h. (En este caso todos los meses se consideran de 30 días, por lo tanto es más fácil) 1.- Del 15 de enero 15 de septiembre del mismo año 2.- Del 23 de febrero 23 de agosto del mismo año 3.- Del 10 de abril 18 de enero siguiente año 4.- Del 19 de septiembre 4 de agosto siguiente año 5.- Del 7 de febrero 24 de diciembre mismo año 6.- Del 8 de marzo 6 de enero siguiente año h= 8 x 30= 240 h= 6 x 30= 180 h= (9X30) + 8= 278 h=(10x30)+15= 315 h=( 10x30) + 17 = 317 h=(9x30)+28= 298 Ejemplos: Valores de t. (En este caso hay que considerar los días que tiene cada mes según el calendario, no es más difícil sino más laborioso que determinar h. Del Al 15 de enero 15 de septiembre del mismo año Enero 16 Febrero 28 Marzo 31 Abril 30 Mayo 31 Junio 30 Julio 31 Agosto 31 Sep 15 TOTAL 243 8

Ahora que ya conocemos los cuatro métodos de interés simple podemos resolver el siguiente problema. Ejemplo: Hallar el interés simple que gana Q152, 345.00 al 15% anual, si se colocaron el 10 de abril y se retiraron el 10 de junio del 2014. 1.-Método ordinario P = 152,345.00 n = 0.1694 (61 / 360 = 0.1694) i = 0.15 (15/100= 0.15) DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS Meses Días "t" Abril (30-10= 20) 20 Mayo 31 Junio 10 TOTAL DE DIAS 61 I = P n t/360 i 152,345.00 X 0.1694 X 0.15 = El interés que produce es Q 3,872.10 2.- Método exacto P = 152,345.00 n = 0.1671 (61 / 365 = 0.1671) i = 0.15 (15/100= 0.15) DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS Meses Días "t" Abril (30-10= 20) 20 Mayo 31 Junio 10 TOTAL DE DIAS 61 I = P n t/365 i 152,345.00 X 0.1671 X 0.15 = El interés que produce es Q 3,819.06 3.- Método de las obligaciones P = 152,345.00 n = 0.1667 (60 / 360 = 0.1666) i = 0.15 (15/100= 0.15) DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS Meses Días "h" Abril (30-10= 20) 20 Mayo 30 Junio 10 TOTAL DE DIAS 60 9

I = P n h/360 i 152,345.00 X 0.1667 X 0.15 = El interés que produce es Q 3,808.63 4.- Método mixto P = 152,345.00 n = 0.1644 (60 / 365 = 0.1644) i = 0.15 (15/100= 0.15) DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS Meses Días "h" Abril (30-10= 20) 20 Mayo 30 Junio 10 TOTAL DE DIAS 60 I = P n h/365 i 152,345.00 X 0.1644 X 0.15 = El interés que produce es Q 3,756.45 RESUMEN DE LOS METODOS 1.- Método Ordinario Genero interese por 3,872.10 2.- Método Exacto Genero interese por 3,819.06 3.- Met. de la obligación Genero interese por 3,808.63 4.- Método mixto Genero interese por 3,756.45 Con base en el problema anterior, podemos establecer que el método de interés simple que produce mayor rendimiento es el método ordinario, por lo que es el que tiene mayor aplicación. Generalmente al no señalar la clase de método a aplicar, se utiliza el método ordinario. En el sistema bancario, operaciones activas (prestamos, descuento de documentos y otros productos financieros) se aplica el método de interés simple exactos. En el caso de los bonos y el pago de sus cupones, se aplica el método del interés simple de las obligaciones. (De los bonos y obligaciones se deriva su nombre). Y el método mixto, que produce menor rendimiento, es el que menos se utiliza. Es muy raro establecer su aplicación. 10

Formulas Derivadas del Interés Si conocemos el interés podemos establecer las fórmulas para el Principal, la tasa de interés y el tiempo, con la simple transposición de los términos de la formula I = P x n x i, así: P = I n = I i = I i x n P x i P x n DEPENDIENDO EL METODO DE INTERÉS SIMPLE A APLICAR, VARIARA EL VALOR DE "n" Y LAS FORMULAS QUEDARAN ASÍ: P = I P = i x (t/365) P = I P = i x (h/360) i = I i = P x (t/365) i = I i = P x (h/360) n = I n = P x i I i x (t/360) I i x (h/365) I P x (t/360) I P x (h/365) I P x i En el casos del tiempo n tenemos que interpretar el resultado, ya que depende del método que se esté aplicando, el número de días que resulte de la formula puede corresponder a días calendario t, o a días comerciales h. 11

Aplicación para determinar el Principal, la Tasa de Interés y Tiempo partiendo del Interés. Problema No 1: Qué tiempo estuvo prestado un capital de Q7, 500.00 que al final generó intereses de Q800.00 y la tasa que cobro fue del 5% anual. P = 7,500.00 I = 800.00 n =? i = 0.05 TIEMPO n = I 800.00 P x i 7,500.00 x 0.05 NOTA: COMO NO INDICA METODO SE ASUME QUE ES EL ORDINARIO El tiempo es de 2.133333333 Años: 2 (2-2.133333333) Meses: 1 (0.133333333 x 360= 48 días) (48-30=18 días) Dias: 18 Problema No. 2: A qué tasa de interés se concedió un préstamo de Q10, 000.que al final de 5 años ganó Q800.00. P = 10,000.00 I = 800.00 n = 5 i =? TASA DE INTERÉS i = I 800.00 P x n 10,000.00 x 5 Tasa de Interés: la tasa de interés es 0.0160 1.6 anual (0.0160 x 100 = 1.6) 12

Problema No. 3: Qué capital es necesario depositar en un banco que abona el 1.25% de interés simple mensual, si queremos ganar Q5, 000.00 de interés cada 6 meses. P =? I = 5,000.00 n = 0.50 (1 año / 2 semestres) i = 0.15 (1.25 /100 x 12) CAPITAL P = I 5,000.00 i x n 0.15 x 0.50 El capital es Q 66,666.67 Variaciones en la Tasa de Interés A veces se registran cambios en las tasas de interés sobre las inversiones. Por ejemplo: Se ha invertido Q500.00 al 9% anual durante 10 días, y luego esa misma suma gano intereses al 8% anual por 40 días. Qué intereses se cobrarían al final del plazo? (usar año comercial) Primer paso: datos CAMBIO TASA DE INTERÉS P = 500.00 I =? n = 10 40 i = 0.09 0.08 Segundo Paso: la línea del tiempo LINEA DE TIEMPO Principal 10 DIAS 40 DIAS 500.00 Tasa de Interés 0.09 0.08 TOTAL 50 DIAS 13

Tercer paso: la formula a utilizar. 1.- Si se toma año de 360 días. (Comercial) I = P i h h + i 360 360 2.- Si se toma año 365 o 366. t t I = P i + i 365 365 Cuarto paso: realizar la operación. I = 500.00 10 40 0.09 + 0.08 360 360 I = 500.00 0.09 x 0.02778 + 0.08 x 0.11111 I = 500.00 0.00250 + 0.00889 I = 500.00 0.01139 I = 5.69 Respuesta: los intereses cobrados al final de plazo son de Q5.69 14