Al igual que en la capitalización, dependiendo del tipo de interés que se haya utilizado, el descuento puede ser simple o compuesto.

Transcripción

1 Actualización En la unidad anterior, estudiamos la variación de un capital hacia el futuro, lo cual conocíamos como capitalización. En esta unidad, vamos a ver cómo varía un capital hacia la época actual, partiendo de un valor futuro. Supongamos que se tiene un documento firmado por un tercero que vence dentro de n períodos, y se quiere disponer del dinero que el mismo representa, antes del vencimiento. En este caso, el documento se debe descontar. Descuento Si llamamos valor nominal al valor escrito en el documento, y llamamos valor actual V al valor recibido por haberlo descontado antes de su vencimiento, el descuento D, sería la diferencia entre ambos valores: D = V Al igual que en la capitalización, dependiendo del tipo de interés que se haya utilizado, el descuento puede ser simple o compuesto. Descuento Simple En este tipo de descuento, se ha utilizado la capitalización a interés simple. En este caso, hay dos tipos de descuentos simples: Descuento Comercial (D c ): Se define a este descuento, como el interés simple calculado sobre el valor nominal del documento D c =. p. T. i. T = =. i. n 100. ut ut Una vez calculado el descuento, se podría hallar el valor actual con descuento comercial V c a partir de la definición de descuento: D c = V c V c = D c V c =. i. n V c = (1 i. n) Ejemplo 1: Calcular el descuento comercial que sufre un documento de $10000, 6 meses antes de vencer al 5% trimestral. Ejemplo 2: Calcular la tasa mensual de interés a la cual se descontó un documento de $84000 que 10 meses antes de vencer se canjeó en $ Ejemplo 3: Calcular el valor recibido al descontar un documento de $82000, 4 meses antes de vencer, al 2% mensual.

2 Descuento Racional (D r ): Se define a este descuento, como el interés simple calculado sobre el valor actual del documento con descuento racional, V r. D r = V r. p. T 100. ut = V r. i. T = V ut r. i. n De manera similar al descuento anterior, podemos relacionar el valor actual con el nominal utilizando la definición de descuento: D r = V r = D r + V r = V r. i. n + V r = V r (i. n + 1) V r = 1 + i. n Ejemplo 4: Calcular valor actual con descuento racional de un documento de $ que se descontó al 2% mensual 7 meses antes de vencer. Ejemplo 5: Calcular el valor nominal de un documento descontado al 6% trimestral, 15 meses antes de vencer, que tenía un valor actual con descuento racional de $ Comparación entre descuentos - El descuento racional, también es conocido como descuento matemático, ya que es el que en verdad debería aplicarse pues se calcula sobre el valor percibido (valor actual) y no sobre un valor futuro o teórico, como en el caso del descuento comercial. Esto hace que el descuento comercial no sea equitativo. - De todas maneras, el descuento comercial es el más utilizado en la práctica, pero para las operaciones realizadas a corto plazo y con intereses no muy elevados, en caso contrario, se podría obtener un valor actual negativo o nulo. - El descuento comercial es mayor al descuento racional. - El descuento racional es una operación reversible, en cambio el descuento comercial, no lo es. Ejemplo 6: Se tiene un documento de $ que vence dentro de 8 meses y se descuenta al 2% mensual. Calcular el valor actual con ambos tipos de descuentos. Comparar los resultados. Ejemplo 7: Calcular el valor de un documento de $50000 que se descuenta al 4% de interés bimestral con descuento comercial, 25 bimestres antes de vencer. Ejemplo 8: Usar los valores actuales arrojados en el ejemplo 6, poniéndolos a un 2% de interés mensual durante 8 meses. Comparar.

3 Descuento Compuesto En las operaciones a largo plazo, los descuentos suelen hacerse aplicando el régimen de interés compuesto. Recordemos la fórmula del interés simple: C n = C 0 Entonces, para calcular el valor actual con descuento compuesto: = V. V = Ejemplo 8: Calcular el valor actual de un documento cuyo valor nominal es de $10000, el cual se desea cobrar 7 meses antes de su vencimiento, si la tasa de interés es del 2% mensual. Ejemplo 9: Calcular el valor nominal de un documento que vence dentro de 2 años, sabiendo que hoy se pagó por él la suma de $10000 al 24% anual capitalizando bimestralmente. Ejemplo 10: Determinar a qué tasa de interés se descontó un documento que, siendo su nominal de $57795, 20 meses antes de vencer, valía $ Ejemplo 11: Cuántos días antes de vencer se descontó un documento de $70000 sabiendo que al 8% semestral sufrió un descuento de $15000? Tasa de Descuento Denominamos tasas de descuento d, a la deducción que se hace sobre $1 en la unidad de tiempo. Esta tasa de descuento tiene un significado distinto al de la tasa de interés i. Para comprender esto, veamos unos ejemplos: Ejemplo 13: Supongamos que solicitamos un préstamo de $100 a un año de plazo, al 20% de interés anual. Calcular el valor final del capital luego de dicho plazo. (i=0,2 anual) Ejemplo 14: Supongamos que queremos cobrar un documento de 100%, un año antes de su vencimiento, con tasa de descuento de 20%. Hallar el valor actual. Veamos que esos $80 de valor actual, se deberían colocar a una tasa mayor a la de descuento, para lograr en un año el valor nominal. Es decir, que para una misma operación, la tasa de interés es mayor a la tasa de descuento. i > d Utilizando la tasa de descuento, podemos calcular el valor actual de un documento de la siguiente manera: V =. (1 d) n Si queremos establecer una relación entre la tasa de interés y la de descuento, podemos igualar los valores actuales con cada tasa: V = V (1 + i) n =. (1 d)n

4 1 = (1 d)n 1 = 1 d 1 + i Equivalencia de Documentos Dos o más documentos comerciales son equivalentes cuando tienen distinto valor nominal, distintas fechas de vencimiento, tasas de interés iguales y en algún momento tienen el mismo valor actual. Ejemplo 15: Hallar el valor actual con descuento compuesto de un documento cuyo valor nominal es de 8000$ y se descuenta 10 meses antes de vencer, al 2% de interés. Hacer lo mismo para un documento de valor nominal 9089,47$ que vence dentro de 17 meses. Esta equivalencia, permite reemplazar un documento o un grupo de documentos, por otro. Como fue indicado anteriormente, los documentos deben tener el mismo valor actual y tasa de interés, pero pueden diferir en el valor nominal y en la fecha de vencimiento. Con Descuento Comercial Simple El valor actual con este descuento se calculaba de la siguiente forma: V =. (1 in) Tomemos por ejemplo, que queremos reemplazar tres documentos, por uno nuevo (la cantidad de documentos a reemplazar puede variar). Los valores actuales del documento 1, documento 2 y documento 3, son respectivamente: V 1 = 1. (1 in 1 ) V 2 = 2. (1 in 2 ) V 3 = 3. (1 in 3 ) Entonces, teniendo en cuenta que el valor actual del nuevo documento debe ser a suma de los valores actuales de los tres documentos a reemplazar, obtenemos: V = V 1 + V 2 + V 3. (1 in) = 1. (1 in 1 ) + 2. (1 in 2 ) + 3. (1 in 3 ) = 1. (1 in 1 ) + 2. (1 in 2 ) + 3. (1 in 3 ) 1 in Ejemplo 16: Se tiene dos documentos de valores nominales 1200$ y 1500$, que vencen dentro de 8 y 6 meses respectivamente. Se desea saber el valor nominal de un nuevo documento que venciendo dentro de 9 meses, reemplaza a los dos anteriores al 2% mensual de interés con descuento comercial.

5 Con Descuento Compuesto El valor actual con este descuento se calculaba de la siguiente forma: V = Tomemos por ejemplo, que queremos reemplazar tres documentos, por uno nuevo (la cantidad de documentos a reemplazar puede variar). Los valores actuales del documento 1, documento 2 y documento 3, son respectivamente: 1 V 1 = 1 2 V 2 = 2 3 V 3 = 3 Entonces, teniendo en cuenta que el valor actual del nuevo documento debe ser a suma de los valores actuales de los tres documentos a reemplazar, obtenemos: V = V 1 + V 2 + V 3 = = ( ). (1 + i)n 3 Ejemplo 17: Una persona tiene documentada su deuda en 3 pagarés de 1500$, 2000$ y 3500$, cada uno vence dentro de 15, 18 y 27 meses respectivamente. Decide firmar un nuevo pagaré que reemplace a los tres con vencimiento en 2 años, con un interés del 6% trimestral Cuál es el valor del nuevo documento?