MATEMATICA FINANCIERA

Transcripción

1 MATEMATICA FINANCIERA

2 Interés Compuesto F f Plazo de la tasa de interés nominal. Plazo del periodo capitalizable. f k FSA FSC h k I d k i k I k Duración del periodo de cada tasa i k Factor simple de actualización Factor simple de capitalización Duración de cada subhorizonte temporal. Interés compuesto devengado en el k-ésimo periodo. Tasa de interés efectiva vigente durante el k-ésimo subhorizonte del horizonte T. Stock o acumulación de interés al término el k-ésimo periodo.

3 Interés Compuesto J k m n n k P k R k S k Tasa de interés nominal vencida o tasa de interés simple cuyo plazo puede coincidir o no con el horizonte temporal de la operación. Número entero no negativo que representa un periodo de tasa de interés dentro del horizonte temporal. Número de periodos que capitaliza la tasa i en su respectivo plazo. Número de periodos de la tasa i, en el horizonte temporal. Número de periodos de la tasa i, en el k-ésimo subhorizonte del horizonte temporal. Principal al término de los k primeros periodos. Variación en el monto de la operación producida al término de los k subhorizontes que no corresponde a la capitalización de intereses, depósitos o retiros. Monto compuesto al término de k-ésimo periodo.

4 Interés Compuesto El interés compuesto es un régimen en el cual el interés generado por un capital, en una unidad de tiempo, se capitaliza; es decir que se incorpora al capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el horizonte temporal. El capital crece de manera geométrica si las demás variables se mantienen constantes.

5 Interés Compuesto Una cuenta está bajo régimen de interés compuesto cuando: El capital devenga interés generado por una tasa de interés efectiva, la que a su vez puede estar en función de una tasa de interés nominal que capitaliza cada cierto periodo de tiempo. Se produce más de una capitalización de interés durante el horizonte temporal pactado, aun cuando éste plazo sea diferente del plazo de la tasa de interés.

6 Se supone que durante el horizonte temporal de la operación a interés compuesto: El principal permanece invariable durante el plazo de la operación, es decir que no se produce depósitos o retiros después de la apertura de cuenta. La tasa de interés efectiva i no sufre variaciones durante el plazo de la operación. Las variables i y n hacen referencia a períodos de la misma duración.

7 Plazos de tasa de interés compuesto Dado que la tasa de interés compuesta o tasa de interés efectiva puede definirse a diferentes plazos, se designará con las siguientes siglas: I ANUAL SEMESTRAL CUATRIMESTRAL TRIMESTRAL BIMESTRAL MENSUAL QUINCENAL DIARIA SIGLAS TEA TES TEC TET TEB TEM TEQ TED

8 Deducción de la fórmula del monto final Entonces, aplicando el método inductivo, puede llegarse a la siguiente fórmula: S = P(1 + i) n La fórmula calcula el monto final o valor futuro en una cuenta a interés compuesto cuando el principal y la tasa de interés efectiva no varían, no se producen incrementos ni reducciones del principal, ni se producen retiros de interés durante el horizonte temporal. Las variables i y n se refieren a períodos de tiempo de la misma duración; esto significa que si i es anual, n es número de años; si i es mensual, n es número de meses y así sucesivamente.

9 Factor simple de capitalización FSC El factor simple de capitalización (1+i) n Al término (1+i) n se le denomina factor simple de capitalización (FSC) a interés compuesto; por tanto la fórmula se puede representar así: S = P x FSC i;n Se interpreta como el FSC que a una tasa efectiva periódica i acumula al cabo de n períodos un monto S a partir de un principal P. El FSC es el monto compuesto que genera un capital de 1 unidad durante n períodos, a una tasa i por período; su función es llevar al futuro cualquier importe del presente o traer al presente cualquier importe del pasado.

10 Fórmulas del monto final en una cuenta a interés compuesto S = P (1 + i) n P = S (1 + i) - n i = S 1/n -1 P n = Log (S/P) Log (1+i) En estas fórmulas, la tasa i y el número de períodos n que componen el horizonte temporal se refieren a la misma unidad de tiempo. El valor de la variable n puede obtenerse al dividir la duración el horizonte temporal por la duración del período de la tasa.

11 Valor presente a interés compuesto: Del mismo modo como un importe se puede llevar hacia un momento en el futuro (valor futuro), un importe puede llevarse (descontado) hacia el momento 0 (valor presente). S = P (1 + i) n S I P P P = S (1 + i) - n

12 Valor presente a interés compuesto: La siguiente fórmula calcula el valor presente cuando el principal y la tasa efectiva no varían durante el horizonte temporal. P = S (1 + i) - n Al término (1+i) -n se le denomina factor simple de actualización. P = S x FSA i;n Se lee: el FSA a una tasa i, durante n períodos, transforma un valor futuro S en un valor presente P

13 Ejemplo: Calcular el monto acumulado al cabo de 6 años, a partir de un capital inicial de 10,000 a una TEA de 18%. Solución: Con los datos: P = 10,000 i = 0,18 n = 6 Aplicamos la fórmula: S = 10,000 (1 + 0,18 ) 6 S = P (1 + i) n S = 10,000 x =26,995.54

14 Ejemplo: Calcular el monto que produjo un capital de 5,000 colocado en un banco durante 7 meses a una tasa TEA de 18% Solución: Con los datos: P = 5,000 i = 0,18 n = 7/12 Aplicamos la fórmula: S = 5,000 (1 + 0,18 ) 7/12 S = 5,000 x =5, S = P (1 + i) n

15 Ejemplo: Calcular el monto que produjo un capital inicial de 8,000 colocado en un banco durante 20 días a una tasa TEM de 2% Solución: Con los datos: P = 8,000 i = 0,02 n = 20/30 Aplicamos la fórmula: S = 8,000 (1 + 0,02 ) 20/30 S = 8,000 x =8, S = P (1 + i) n

16 Ejemplo: Calcular el monto que produjo un capital inicial de 9,000 colocado en un banco desde el 3 de abril al 15 de junio del mismo año. El capital genera una TET de 2% Solución: Con los datos: P = 9,000 i = 0,02 n = 73/90 Aplicamos la fórmula: S = 9,000 (1 + 0,02 ) 73/90 S = 9,000 x =9, S = P (1 + i) n

17 Ejemplo: Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario de 15,000 vigente desde el 24 al 30 de junio del 2016, si el banco cobra una TEM de 2,5%? Solución: Con los datos: P = 15,000 i = 0,025 n = 6/30 Aplicamos la fórmula: S = 15,000 (1 + 0,025 ) 6/30 S = P (1 + i) n S = 15,000 x =15,074.27

18 Ejemplo: Calcular el valor presente en la fecha 30 de junio, de un bono cuyo valor nominal es 40,000 que genera una TEA de 7% y debe redimir el 30 de diciembre del mismo año. Solución: Con los datos: S = 40,000 i = 0,07 n = 183/360 Aplicamos la fórmula: P = 40,000 (1 + 0,07 ) -183/360 P = 40,000 x =38, P = S (1 + i) - n

19 Ejemplo: A que tasa efectiva mensual un capital de 10,000 se convirtió en un monto de 10, si se colocó en un banco desde el 5 de agosto al 15 de noviembre del mismo año? Solución: Con los datos: S = 10, P = 10,000 n = 102/30 Aplicamos la fórmula: i = (10,519.24) 1/102/ ,000 i = = 0,015 = 1.5% i = S 1/n -1 P

20 Ejemplo: En cuanto tiempo un capital de 10,000 se habrá convertido en un monto de 10,300 si dicho capital original se colocó en un banco y percibe una TEA de 8%? Solución: Con los datos: S = 10,300 P = 10,000 i = 0,08 Aplicamos la fórmula: log 10,300 n = 10,000. Log(1.08) n = Log (S/P) Log (1+i) n = x 360 = 138 días Tomado y Adecuado de CARLOS ALIAGA MATEMÁTICA FINANCIERA Un enfoque práctico