1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions són cada un dels valors de les incògnites que verifiquin l equació. També es pot escriure així: La solució d aquest exemple seria: 1.2 Sistemes d equacions lineals Un sistema format per infinites equacions lineals amb infinites incògnites (les mateixes incògnites), ha de tenir una solució comuna per a que es resolguin les igualtats. La solució d aquest sistema seria: 1.3 Classificació de sistemes SISTEMES COMPATIBLES INCOMPATIBLES DETERMINAT (la solució és única) INDETERMINAT (hi ha infinites solucions) (no tenen solució)
1.3 Sistemes escalonats Un sistema és escalonat quan cada equació té, com a mínim, una incògnita menys que l anterior: 2. MÈTODE DE GAUUS PER RESOLDRE SISTEMES 2.1 En què consisteix Resoldre un sistema, és a dir, trobar tots els valors possibles per a x, y i z fent que aquest compleixin les igualtats del sistema, fent servir el mètode de Gauss, consisteix en convertir el sistema inicial en un d escalonat equivalent. (Escrivim el sistema en forma matricial) (Quan queden els coeficients de les incògnites a la part esquerra, i els termes independents a la part dreta de la línia vertical, hem d aconseguir fer 0 al triangle que es forma sota la diagonal, per tal de formar un sistema equivalent esglaonat) 2 F₂ - F₁ 2 F₃ - 3 F₃ (Transformem la matriu resultant en sistema d equacions i el resolem) Solució: COMPROVACIÓ: 2.2 Discussió de sistemes Classifiquem els sistemes en funció del nombre de solucions que té. (Pot ser: compatible indeterminat, compatible determinat o incompatible). Amb el mètode de Gauss podem discutir un sistema una vegada hem acabat tot el procés, ho fem fixant-nos en l última fila: Sistema compatible indeterminat (SCI): Si a = 0 o b= 0 i tenim més incògnites que equacions. Sistema compatible determinat: Si a 0 i tenim tantes equacions com incògnites. Sistema incompatible: Si b 0 equació impossible.
(Escrivim la forma matricial del sistema d equacions) (Modificant les files, aconseguim un sistema escalonat equivalent) F₂ + F₁ F₃ - 3 F₁ 2 F₃ + F₂ (A sota de la diagonal tot són zeros, per tant, tenim un sistema d equacions, amb les mateixs solucions que l inicial, però la seva resolució serà més senzilla. SOLUCIÓ COMPROVACIÓ: El sistema és compatible determinat, és a dir, té una única solució. Si ens hi fixem: com incògnites(x,y,z)., l última fila és de tipus i i tenim tantes equacions vàlides(3) 2.3 Discussió de sistemes amb paràmetres Un dels seus coeficients o termes independents és un nombre real que pot agafar qualsevol valor. Per discutir un sistema d equacions en funció d un paràmetre hem de mirar totes les possibilitats. (Passem el sistema a forma matricial) (Apliquem el mètode de Gauss, i canviem la columna de les x per la de les z ) 3 F₂ + 5 F₁ 3 F₃- 4 F₁ 4 F₃+5 F₂ Si λ=2 es tracta d un sistema incompatible ja que 0=33 2 + 15 és impossible. Si λ 2 es tracta d un sistema compatible determinat.
3. EXPRESSIÓ MATRICIAL D UN SISTEMA D EQUACIONS Expressem un sistema d equacions lineals de forma matricial quan separem per matrius els coeficients, les incògnites i els termes independents de la forma: A X=B 4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS Un sistema A X = B només té solució si el rang de la matriu dels coeficients del sistema (A), és igual al rang de la seva matriu ampliada (A*). TEOREMA ROUCHÉ- FROBENIUS rang(a)=rang(a*) si rang= nº incògnites: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT si rang < nº incògnites: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT rang(a) rang(a*) SISTEMA INCOMPATIBLE 1. Escrivim el sistema en forma matricial): (La part verda és la matriu (A), i tot el conjunt és la matriu ampliada(a*): com a màxim el rang pot ser 3... ho comprovem: 2. Calculem el rang de les dues matrius (primer el rang de (A), ja que en aquest cas, si és 3, el rang de (A*) no pot ser major.) = -6+4-6-(-1-16+9)= 0 El rang d (A) no és 3. = -2-(3)= -5 El rang d (A)=2, =0 El rang d (A*) és 2.
Per tant, es tracta d un Sistema Compatible Indeterminat, perquè el rang(a)=rang(a*)<nº incògnites. : 2=2<3