Els nombres complexos

Transcripción

1 Els ombres complexos

2 Els ombres complexos Defiició Oposat Represetació Forma bioòmica z = a + bi, o bé z = (a, b) esset a la part real i b, la part imagiària. a = r cos α b = r si α z = a bi Cojugat z = a bi Forma polar z = r α esset r el mòdul i α, l argumet. r = z = a + b α arcta b = a Operacios si z = a + bi i z = a + b i si z = r α i z' = s β Suma z + z = (a + a ) + (b + b )i z z = (a a ) + (b b )i Resta z z = (a a ) + (b b )i

3 Multiplicació z z = (aa bb ) + (ab + a b)i r s = ( r s) α β α + β Divisió z' a' a+ b' b ab' a' b = + i z a + b a + b r s α β = ( r/ s) α β Potècia z = ( rα ) = ( r ) α 1 1 ( ) ( ) r = r = r = r α α α α+ k + k k va des de 0 fis 1

4 Què és u ombre complex? U ombre complex, z, està format d ua part real, a = Re(z), i ua part imagiària, b = Im(z), i s escriu a + bi, o bé (a, b). U ombre complex és ua expressió amb dos sumads: u és u ombre real i l altre és u ombre real per ua lletra i. Per exemple, z és u exemple de ombre complex: z = 3 + i El sumad sese la i es deomia part real, metre que el ombre que acompaya la i es deomia part imagiària del ombre complex. E l exemple aterior, 3 és la part real i s idica 3 = Re(z); metre que és la part imagiària i s idica = Im(z). U ombre complex també es pot escriure e forma de parell ordeat; e l exemple, el ombre complex z = 3 + i també es pot escriure (3, ), esset la primera coordeada la part real, i la segoa coordeada, la part imagiària. Així, docs, u ombre complex és u ombre format d ua part real, a, i ua part imagiària, b, que s escriu a + bi o bé, (a, b) Com es represeta u ombre complex? Per a represetar u ombre complex es pode fer servir els eixos de coordeades cartesiaes, l eix X per a la part real i l eix Y per a la part imagiària. Per a represetar u ombre complex es pode fer servir els eixos cartesias, l eix X per a la part real (eix real) i l eix Y per a la part imagiària (eix imagiari). Així, per exemple, el ombre z = 3 + i, o també (3, ), es represeta pel vector següet: 1

5 Só ecessaris els ombres complexos? Els ombres complexos só imprescidibles, ja que permete que qualsevol equació poliòmica tigui solució. Per acoseguir-ho, es requereix que els ombres reals sigui completats amb el deomiat ombre i, el valor del qual és i = 1. És fàcil observar que existeixe equacios que o tee solució real. Per exemple, l equació x + 1 = 0 o té solució, ja que si aïllem la x : x = 1 i o hi ha cap ombre real que elevat al quadrat sigui 1, perquè hauria de succeir que: x = 1 i ja sabem que o existeix l arrel quadrada d u ombre egatiu. Per a permetre que equacios del tipus aterior també tigui solució, es complete els ombres reals afegit l arrel quadrada de 1, amb la qual cosa obteim els ombres complexos. A l arrel quadrada de 1 se la deomia i: i = 1 és a dir i = 1 i, qualsevol ombre complex es pot expressar de la forma: z = a + bi Vegem que l equació aterior té ua solució complexa: x = 1 per tat, x = ± 1 = ± i És a dir, les solucios de l equació só +i i i. Vegem-ho: i + 1 = = 0 ( i) + 1 = = 0 D aquesta maera, qualsevol equació poliòmica té ua solució complexa. Com es represete les potècies de i? Les potècies de i só fàcils de trobar i de represetar. N hi ha prou de calcular les quatre primeres perquè la resta, a partir de la ciquea potècia de i, i 5, es repeteixe cíclicamet. Les potècies de i só fàcils de trobar: i 1 = i i = 1 i 3 = i i = i i = (i ) = ( 1) = 1 i 5 = i i = i

6 vegem que a partir de i 5 es tore a repetir els valors, és a dir, i 5 = i i 6 = i i 7 = i 3 i 8 = i Com es calcule l oposat i el cojugat d u ombre complex? L oposat d u ombre complex z = a + bi, s idica z i és igual a z = a bi. El cojugat d aquest complex z, s idica z, i és z = a bi Doat u ombre complex z = a + bi, la seva oposat, que s idica z, és el ombre complex amb els siges oposats, és a dir, z = a bi. El cojugat d aquest complex z, que s idica z, es costrueix caviat de sige la part imagiària de z. Així, docs, z = a bi. Per exemple, l oposat de z = 3 + i és z = 3 i. Metre que el seu cojugat és z = 3 i. E aquest gràfic es pode observar l oposat i el cojugat de z = 3 + i: 3

7 Com es fa la suma i la resta etre complexos? Per a sumar dos ombres complexos z = a + bi i z = a + b i, se sume les parts reals i imagiàries, z + z = (a + a ) + (b + b )i. La resta es realitza de maera similar: z z = (a a ) + (b b )i. Per a sumar dos ombres complexos z = a + bi i z = a + b i, se sume les parts reals i imagiàries de la maera següet: z + z = (a + a ) + (b + b )i Per exemple, si z = + i i z = 1 + i z + z = ( + 1) + (1 + )i = 1 + 5i com es pot veure gràficamet: La resta es fa de maera similar, restat les parts reals i imagiàries: z z = (a a ) + (b b )i Per exemple, si z = + i i z = 1 + i z + z = ( 1) + (1 )i = 3 3i Com es fa el producte de ombres complexos? El producte de dos ombres complexos z = a + bi i z = a + b i és igual a z z = (aa bb ) + (ab + a b)i. La multiplicació de dos ombres complexos es fa de maera semblat a la multiplicació de poliomis: si els ombres só z = a + bi i z = a + b i, per a obteir el resultat se situe u sobre l altre, i es multiplique factor a factor, teit e compte que i i = i = 1: a + bi a + b i aa + ab i bb i + a bi (aa bb ) + (ab + a b)i és a dir, z z = (aa bb ) + (ab + a b)i

8 Així, per exemple, si z = + i i z = 1 + i z z = ( 1 1 ) + ( + 1 1)i = 6 7i Com es fa el quociet de ombres complexos? El quociet de dos ombres complexos z = a + bi i z = a + b i és igual a z' a' a+ b' b ab' a' b = + i. z a + b a + b Per a fer el quociet de dos ombres complexos s ha de multiplicar umerador i deomiador pel cojugat del deomiador. Si els ombres só z = a + bi i z = a + b i, i teit e compte que i i = i = 1: ( a' + b' i)( a bi) ( )( ) z' a' + b' i ( a' a+ b' b) + ( ab' a' b) i = = = = z a + bi a + bi a bi a + b aa ' + bb ' ab' ab ' = + i a + b a + b aa ' + bb ' a + b Així, per exemple, si z = 3 + i i z = 1 + i ab' a ' b. a + b és a dir, la part real del quociet és i la part imagiària és z ' 1 ( 3) ( 3) = + i = 0, + 1, i z

9 Com es represeta u ombre complex e forma polar? U ombre complex z = a + bi es pot represetar per z = r α, esset r el mòdul de z, i α l argumet o agle que forma amb l eix real. Observat la represetació d u ombre complex, és fàcil comprovar que el ombre z també es pot caracteritzar per la logitud del vector, deomiada mòdul, z, i l agle que forma amb l eix real, deomiat argumet. Si el ombre és z = 3 + i, la logitud del segmet és z = 3 + = 5, metre que l agle es pot establir buscat l arctaget del quociet etre la part imagiària i la part real: α = arcta 0,93 rad 3 E geeral, docs, u ombre complex z = a + bi, o (a, b), es pot represetar per z = r, esset r el mòdul de z, i α l agle que forma aquest segmet amb l eix real: α r = z = a + b α arcta b = a Cal destacar que l argumet ha de ser u agle etre 0 i p (molt sovit també es pot usar u argumet etre -p i p); si fos major o meor, s ha de buscar l agle etre 0 i p que es correspogui; per exemple: l agle p es correspo amb l agle p l agle 9p/ es correspo amb l agle p/ Com es trasforma u complex de forma polar a forma bioòmica? La forma biòmica d u ombre complex e forma polar, z = r α, és z = r cos α + i r si α. Si z és u ombre complex e forma polar, z = r α, per a trobar la seva forma biòmica, hi ha prou de calcular les coordeades de l eix real i imagiari, (a, b): a = r cos α b = r si α és a dir, la forma biòmica és z = r cos α + i r si α. 6

10 Com es fa la multiplicació i la divisió e forma polar? Per a fer el producte de dos ombres complexos e forma polar, r α i s β, s ha de multiplicar ambdós mòduls i posar per argumet la suma r s = r s. Per a realitzar la divisió, s ha de dividir d argumets, ( ) α β α +β ambdós mòduls i posar per argumet la diferècia d argumets, r α = ( r/ s) s. α β β La suma i la resta o se sole fer e forma polar perquè és molt més fàcil fer-les e forma biòmica. E cavi, la multiplicació i la divisió só més sezilles e forma polar que e forma biòmica. Per a fer el producte de dos ombres complexos e forma polar, r α i sβ, s ha de multiplicar ambdós mòduls i posar per argumet la suma d argumets: r s = r s ( ) α β α + β Per exemple, el producte de i z = 3 z ' = 3 és igual a ( ) 7 z z' = 3 = 3 = 6 com es pot observar e aquest gràfic: Per a dividir dos ombres complexos e forma polar, r α i s β, s ha de dividir ambdós mòduls i posar per argumet la diferècia d argumets: r s α β = ( r/ s) α β Per exemple, el quociet d i z = 3 z 3 = = = z ' 3 z ' = 3 és igual ( /3) ( /3) 3 1 7

11 Aquest gràfic ho mostra: Com es fa la potècia d u ombre complex e forma polar? La potècia d expoet d u ombre complex r α és ( rα ) ( r ) =. α Per a fer la potècia d u ombre complex, r α, s ha d observar el següet: ( r ) ( α = rα rα = r ) α 3 3 ( rα ) = rα ( rα ) = rα ( r ) = ( r ) és a dir, e geeral, ( rα ) = ( r ) α α 3α Aquesta expressió és vàlida tat per a expoets positius com egatius. Per exemple: ( ) ( ) 3 = 3 = 81 = 81 = 811,7 8 8 tots els agles ha de trobar-se etre 0 i = = = = ( ) 3 3 ( 3 3 ) ,8 tots els agles ha de trobar-se etre 0 i Com es calcule les arrels d u ombre complex e forma polar? La potècia d expoet d u ombre complex r α és ( rα ) ( r ) =. α Ua arrel o és més que ua potècia d expoet trecat. El procés és, docs, similar a l obteció d ua potècia, tot i que el ombre d arrels d u ombre complex és igual a l ídex de l arrel. 8

12 Per exemple: Això és així perquè: 1 1 ( ) = = = 1 = Ara bé, és fàcil observar que també: = = 3 3 Així, docs, per a trobar les arrels d u ombre complex e forma polar es fa el següet: 1 1 r ( ) α = r α = r = ( r) α + k k va des de 0 fis a 1 α+ k Per exemple, per a trobar les arrels d ídex de la uitat, és a dir, del ombre real 1, que e forma polar s escriu 1, s ha de fer el següet: ( ) ( ) 1 = 1 = 1 = 1 = k k 0+ k Per a k = 0 1 = 1 = Per a k = 1 1 = 1 = Per a k = 1 = 1 = 1 0 Per a k = 3 1 = 1 = Per tat, les arrels d ídex de la uitat só: 1 0, k va des de 0 fis a 1 = 3 1, 1 i

13 10