SUCCESSIONS. Si dividim cada dos termes consecutius de la successió de Fibonacci, obtenim:

Transcripción

1 SUCCESSIONS Pàgia REFLEXIONA I RESOL Quates parelles de coills? Quates parelles de coills es produira e u ay, começat amb ua parella úica, si cada mes qualsevol parella egedra ua altra parella, que es reproduïx al seu tor des del sego mes? Razoado del modo que se propoe, llegamos a que el úmero de parejas, mes a mes, es:,,,,, 8,,,,, 89, Así, el úmero total de parejas al fial del año es de (la que había al pricipio y otras uevas). La successió de Fiboacci i el úmero F Si dividim cada dos termes cosecutius de la successió de Fiboacci, obteim: 8,,,,, Comprova, calculat quociets ous, que el úmero a què s aproxime és el úmero auri. 89,7 ;,88 ;, Se aproxima al úmero áureo f +,80 Uitat. Successios

2 Ua represetació gràfica Observa aquesta composició feta amb quadrats: r r t è è 8è 7è 9è El costat dels quadrats primer i sego és. A partir del tercer, el costat de cada u dels quadrats següets que es va format és igual a la suma dels costats dels dos que el precedixe. Qui és el costat del 8é? I el del 9é? Observa també els rectagles que es forme successivamet: : : : Els quociets etre les seues dimesios forme la successió que hem estudiat e l apartat aterior. S aproxime, per tat, al úmero F. Açò vol dir que aquests rectagles s assemble, cada vegada més, a rectagles auris. Comprova-ho per als quatre rectagles següets: : 8 : : : El lado del 8.º cuadrado es y el lado del 9.º cuadrado es. 8 8 :,;,;,9 ;,7 Se aproxima al úmero áureo f +,80 Uitat. Successios

3 UNITAT Pàgia. Digues el criteri pel qual es forme les successios següets i afig dos termes a cada ua: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8; ; ; ; 0,; e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al aterior: a 8, a 7. b) Cada térmio es el cubo del lugar que ocupa: b, b 7. c) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por 0 el aterior: c , c d) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por (dividiedo etre ) el aterior: d 0,, d 7 0,. e) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee sumado los dos ateriores: e 7 9, e 8 7. f) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee restado los dos ateriores: f 7, f 8. g) Cada térmio es el úmero del lugar que ocupa, co sigo positivo si es impar, y egativo si es par: g 7 7, g 8 8. h) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee restádole 7 al aterior: h, h 7. Pàgia. Forma ua successió recurret,, amb aquestes dades: a, a, +,,, 8,,,,,. Escriu els quatre primers termes de les successios que tee com a terme geeral: + ( ) b ( ) c ( ) d ( )( ) e + ( ) a, a 8, a, a 8 b, b, b, b c, c, c 8, c d 0, d 0, d, d e 0, e 8, e 0, e 8 Uitat. Successios

4 . Costruïx ua successió la llei de recurrècia de la qual siga +. Si tomamos, por ejemplo, a, etoces quedaría: a +, a +, a + 0, a 0 +, a +, a ,. Dóa el terme geeral de les successios següets que o sigue recurrets: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8,,,, e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) + ( ) b) b c) c 0 d) d 8 ( ) e) Es recurrete f) Es recurrete g) g ( ) h) h 0 7 ( ) Pàgia. Quies de les successios següets só progressios aritmètiques? E cada ua digues-e la diferècia i afig-hi dos termes més: a), 7,,, 9, b),,, 9,, 8, c),,,, 8, 9, d) 0, 7,,,, e) 7,;,8;,;,; ; f) 8;,;,8;,7;,; a) Es ua progresió aritmética co d ; a, a 7 7. b) No es ua progresió aritmética. c) No es ua progresió aritmética. d) Es ua progresió aritmética co d ; d, d 7 8. e) Es ua progresió aritmética co d,; e 9,; e 7 7,8. f) Es ua progresió aritmética co d,9; f,; f 7 7,.. E la successió a), troba el terme a 0 i la suma dels 0 primers termes. a 0 a + 9 d (a S 0 + a 0 ) 0 ( + 79) 0 80 Uitat. Successios

5 UNITAT. E la successió d), troba el terme d 0 i la suma dels 0 primers termes. d 0 d + 9 ( ) (d S 0 + d 0 ) 0 (0 07) E la successió e), troba el terme e 00 i la suma dels 00 primers termes. e 00 e + 99 (,) 7, 8, (e S 00 + e 00 ) 00 (7, ) E la successió f), troba els termes f 8, f 7 i la suma f 8 + f f + f 7. f 8 f + 7, , 8, f 7 f +, , 0, E la suma pedida hay 0 sumados. (f (8, + 0,) 0 S + f 7 ) 0, Pàgia. Quies de les successios següets só progressios geomètriques? E cada ua digues-e la raó i afig-hi dos termes més: a),, 9, 7, 8, b) 00; 0; ;,; c),,,,, d),,,,,, e) 90, 0, 0, 0/, 0/9, a) Es ua progresió geométrica co r ; a, a b) Es ua progresió geométrica co r ; b,, b,. c) Es ua progresió geométrica co r ; c, c 7. d) Es ua progresió geométrica co r ; d 7, d e) Es ua progresió geométrica co r ; e, e Calcula la suma dels 0 primers termes de cada ua de les progressios geomètriques de l exercici aterior. a) a 0 a r a S 0 0 r a r Uitat. Successios

6 b) b 0 b r 9 00 ( ) 9 b 00 S 0 0 r b 8 99,80 r c) c 0 ; S d) d 0 ; S 0 0 e) e 0 e r 9 90 ( ) e S 0 0 r e 7,99 r 8. E quies de les progressios geomètriques de l exercici aterior pots calcular la suma dels seus ifiits termes? Troba-la. Podemos calcular la suma de sus ifiitos térmios e las progresioes geométricas co r < : b b) S r e e) S , r ( ) Pàgia 9. Calcula: (0 + ) (0 + ) 0. Calcula: ( ) ( ) Calcula: Uitat. Successios

7 UNITAT. Calcula: ( ) + ( ) + ( ) + + ( 0) ( ) Pàgia Represeta la successió i assiga u valor al límit. 0 8 a, a, a,; a,7; a,,, a 0,, ; a 00,0; ; a 000,00, lím 0. Represeta la successió b + i assiga u valor al límit. 8 b,; b 0; b 0,7; b ; b 0,7; b 0; b 7,; b 8 ; b 9,; b 0 8,, 0 b 00 0, lím b +@ Uitat. Successios 7

8 Pàgia 9. Estudia el comportamet d aquestes successios per a termes molt avaçats i idica el límit: a) b) b + c) c d) d a) a 0,8; a 00,8; a 000,8, lím +@ b) b 0,; b 00,87; b 000,987, lím b c) c 0 0; c 00,7 0, lím d) d 0,999; d 00,999999, lím d. Digues, raoadamet, quies de les successios següets tee límit: a) b) b ( ) + c) c ( ) d) d ( ) a) a 0 0,0; a 00 0,000; a 000 0,00000, lím 0. b) b 0 0,7; b 0,7; b 00 0,9; b 0 0,9, Los térmios pares so positivos y tiede a ; los térmios impares so egativos y tiede a. La sucesió o tiee límite. c) c, c, c, c , c 00 00, Los térmios impares so egativos y tiede los térmios pares so positivos y tiede a +@. La sucesió o tiee límite. d) d ; d 0,; ; d 00 0,000; d 0 0,0009, lím d 0. Pàgia. Obtí els huit primers valors de (termes de la successió) i de S (sumes parcials) e cada ua de les progressios següets. Calcula e cada ua el lím S : a), 0, 0, b), 0, 0, c) 7, 7, 7, d) 7, 7, 7, e) 0; ;,; f) 0; ;,; a) a, a 0, a 0, a 8, a,; a,8; a 7 0,; 8 a 8 0,08. 8 Uitat. Successios

9 UNITAT S ; S 7; S 9; S 0; S 0,; S 07,8; S 7 07,99; S 8 08,98. Como r 0, < ; lím S 08, ) r b) b ; b 0; b 0; b 8; b,; b,8; b 7 0,; b 8 0,08. S ; S 7; S 9; S 87; S 90,; S 88,9; S 7 89,; S 8 89,7. Como r 0, < ; lím S 89,8 r 7 + a c) c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7 7; c 8 7. S 7; S 0; S 7; S 0; S 7; S 0; S 7 7; S 8 0. b S o tiee límite. d) d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7 7; d 8 7. S 7; S ; S ; S 8; S 8; S 0; S 7 9; S 8. lím S +@. e) e 0; e ; e,; e 7,8; e 0,7; e,88; e 7 9,898; e 8,8808. S 0; S ; S,; S,8; S 7,; S 99,99; S 7 9,90; S 8,9908. Como r, > ; lím S +@. f) f 0; f ; f,; f 7,8; f 0,7; f,88; f 7 9,898; f 8,8808. S 0; S ; S,; S,88; S,8; S 9,07; S 7 0,8; S 8,9998. S o tiee límite. Uitat. Successios 9

10 Pàgia EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Criteri per a formar successios Descriu el criteri amb què es forme aquestes successios i afig tres termes a cada ua: a),,,,, b),,,,, c),, 0, 7,, d) 0,, 8,,, e),,, 0,, a) Cada térmio lo obteemos dividiedo etre el lugar que ocupa el térmio: a, a 7, a b) Cada térmio es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a, a 7 7, a 8 8 c) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa más uidad: a 7, a 7 0, a 8 d) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa meos uidad: a, a 7 8, a 8 e) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al lugar que ocupa el térmio aterior: a, a 7 8, a 8 Escriu els cic primers termes de les successios els termes geerals de les quals só aquests: a) + b) b 0 c) c d) d + e) e f) f ( ) a) a,; a,0; a,00; a,000; a, b) b 0; b ; b ; b ; b 7 c) c ; c ; c ; c ; c d) d ; d ; d ; d ; d 8 0 Uitat. Successios

11 UNITAT e) e ; e ; e ; e ; e 0 f) f ; f 0; f ; f 0; f Escriu el terme geeral d aquestes successios: a),,,, b),,,, c) 0,,,,, d),;,0;,00;,000; 0 7 a) b) b ( ) c) c d) d Costruïx dues successios les lleis de recurrècies de les quals sigue les següets: a) a 0 a a + b) a a a) 0,,,,,,,, b),,,,,,,, 8 8 Busca ua llei de recurrècia per a defiir les successios següets: a), 7,,, 7, b),,,,, a) a, a 7, par > b b) b, b, b par > b Progressios aritmètiques De les successios següets, digues quies só progressios aritmètiques i escriu-e el terme geeral: a),;,;,;,8; ; b) ;,;,;,8;,; c),,, 7,, d),,, 8,, a) Es ua progresió aritmética co a, y d,., + ( ),,. b) Es ua progresió aritmética co b y d 0,. b + ( ) ( 0,) 0, +,. c) y d) o so progresioes aritméticas. Uitat. Successios

12 7 De les successios següets, idica quies só progressios aritmètiques: a) b) b 8 c) c d) d e) e + f) f a) ( ) + Es ua progresió aritmética co d. b) b b [( ) )] + + Es ua progresió aritmética co d. c) c, c, c, c, c c? c c. No es ua progresió aritmética. 8 8 ( ) d) d d Es ua progresió aritmética co d. Es ua progresió aritmética co d. f) f 0, f, f 8, f, e) e e + ( + ) + +. f f? f f. No es ua progresió aritmética. 8 Calcula els termes a 0 i a 00 de les següets progressios aritmètiques: a),, 0,,, b),, 8,, 8, 7 c),,,,, a) a 0 a + 9d a 00 a + 99d b) a 0 a + 9d 9 a 00 a + 99d Uitat. Successios

13 UNITAT c) a 0 a +9d a 00 a + 99d Calcula la suma dels primers termes de les següets progressios aritmètiques: a),, 9,,, b) ;,9;,8;,7;,; c) c d) d a) a ; a a + d + 7 (a S + a ) ( + 7) 97 b) b ; b b + d 0,, (b S + b ) ( +,) 9 c) c ; c 98 (c S + c ) ( + 98) 0 9 d) d ; d ( 9 (d S ) + d ), Progressios geomètriques 0 De les successios següets, quies só progressios geomètriques? Escriu tres termes més e cada ua i també el seu terme geeral. a),, 8,,, b) ; 0,; 0,0; 0,00; c),, 9,,, d),,,,, a) Es ua progresió geométrica co a y r. a, a 7, a 8 ; ( ) b) No es ua progresió geométrica; b, b 7 9, b 8, b. Uitat. Successios

14 c) Es ua progresió geométrica co c y r 0,. c 0,0000; c 7 0,00000; c 8 0,000000; c 0, 0, d) Es ua progresió geométrica co d y r. d 8; d 7 8 ; d 8 ; d ( ) ( ). Calcula la suma dels primers termes de les següets progressios geomètriques i troba la suma dels ifiits termes e els casos que siga possible: a) a, r b) a 0, r 0 c) a 0, r d) a, r a a S r r a a, r r ( ) a) S, r 0 ( ) b) S, 0 00, 9 r c) S , No se puede calcular porque r es mayor que. ( ) ( ) ( ) a r d) S ( ) a a Pàgia Suma de potècies a) Demostra que: ( ) b) Calcula la suma dels quadrats dels 0 primers ombres parells. c) Calcula la suma dels quadrats de tots els ombres imparells meors que 00. Uitat. Successios

15 UNITAT a) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) Troba la suma següet: ( ) ( ) Límit d ua successió Calcula els termes a 0, a 00 i a 000, e cada successió i idica qui és el límit: a) b) c) d) 7 a) a 0 0, ) ; a 00 0, ) 0; a 000 0, ) 00 lím 0 b) a 0,; a 00,0; a 000,00 lím c) a 0 0,; a 00 0,9; a 000 0,99 lím d) a 0,7; a 00 97; a Uitat. Successios

16 Troba algus termes molt avaçats de les successios següets i idica qui és el límit: a) 0 b) b 00 c) c d) d + a) a 0 0; a 00 90; a lím +@ b) b 0 90; b 00 0; b lím c) c 0 0,; c 00 0,90; c 000 0,99 lím c d) d 0 0,7; d 00 0,98; d 000 0,998 lím d 0, + Estudia el comportamet de les successios següets per a termes molt avaçats i idica qui és el límit de cada ua: a) 0 b) b c) c 0 + d) d ( ) e) e ( ) f) f ( + ) a) a 0 90; a ; a lím +@ b) b 0 70; b ; b lím c) c 0 0; c ; c lím c +@ d) d 0 ; d ; d lím d +@ e) e 0 ; e ; e lím f) f 0 ; f ; f lím Uitat. Successios

17 UNITAT 7 Estudia el comportamet de les successios següets per a termes molt avaçats i idica qui és el límit de cada ua: a) b) b c) c + d) d e) e f ) f g) g ( ) h) h a) a 0 0,0; ) a 00 0,00; ) a 000 0,000 ) lím 0 b) b 0 0,; b 00 0,0; b 000 0,007 lím b 0 c) c 0 0, 7; ) c 00 0, 097; ) ) c 000 0, lím c 0 d) d 0 0,97; d 00 0,09997; d 000 0, lím d 0 e) e 0 0,0; e 00 0,000; e 000 0,00000 lím e 0 f) f 0 ; f 00 0,0; f 000 0,000 lím f 0 g) g 0 ; g 0 ; g 000 ; g 0 00 La sucesió o tiee límite. h) h 0 0,0909; h 00 0,0099; h 000 0,000999; h 00 0, lím h ( ) + PER A RESOLDRE 8 Calcula el é terme e la progressió següet: ;,7;,;,; Es ua progresió aritmética co a y d 0,. Por tato, a a + d 0,,,. Uitat. Successios 7

18 9 Troba el quart terme d ua progressió aritmètica e què d i a a 0 a + d 8 a a 0 d 00 0 Calcula la suma de tots els ombres imparells de tres xifres. Es la suma de los térmios de ua progresió aritmética e la que el primer térmio es 0, el último es 999, y hay 0 sumados: ( ) 0 S 7 00 Quat val la suma dels 00 primers múltiples de 7? Queremos calcular la suma de los 00 primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a 7 y d 7. (a S 00 + a 00 ) 00 ( ) 00 0 E ua progressió aritmètica sabem que d, i S. Calcul i a. a +( ) d 8 a +( ) (a + ) (a + ) S 8 a + 8 a 7 (7 + ) 8 (7 ) ± ± 89 7 ± a a 0 / (o vale) 9 Els costats d u hexàgo esta e progressió aritmètica. Calcula ls sabet que el major mesura cm i que el perímetre val 8 cm. Llamamos a los lados a, a, a, a, a y a. Sabemos que a cm y que S 8. Por tato: a a +d 8 a +d 8 a d (a + a ) S 8 8 ( d + ) 8 8 ( d) d 8 d 0 8 d 8 d a 0 8 a Los lados del hexágoo mide cm, cm, 7 cm, 9 cm, cm y cm. 8 Uitat. Successios

19 UNITAT E u cie, la segoa fila de butaques està a 0 m de la patalla i la setea fila està a m. E quia fila ha de seure ua persoa que li agrade veure la patalla a ua distàcia de 8 m? a 7 8 a 7 a + d 0 + d 8 d, (La distacia etre las dos filas cosecutivas es de, metros). Buscamos para que 8 m: a +( ) d 8,8 + ( ), 8 8 8,8 +,, 8, 0, 8 7 La fila 7 está a 8 metros. Escriu els termes itermedis d ua progressió aritmètica sabet que a i a 0 8. a 0 a + 9d + 9d 8 8 d 9 9 Los térmios so: a, a, a, a, a, a, a 7, 0 7 a 8, a 9, a Troba els dos termes cetrals d ua progressió aritmètica de 8 termes sabet que S 8 00 i que a + a 8 8. Teemos que calcular a y a. Sabemos que: (a + a 8 ) 8 S 8 (a + a 8 ) 00 8 a + a 8 a + a 8 8 Restado a la. a ecuació la. a, queda: a 8 8 a a 8 8 a a 8 a + 7d + 7d 8 d Por tato: a a + d + 9 a a + d + a a 7 E ua progressió geomètrica, a 8 i a 0,. Calcula a i l expressió de. a a r 8r 0, 8 r 0,0 8 r ± 0, ± Uitat. Successios 9

20 . er caso: r 0,. caso: r 0, a a r 0,0 a a r 8 ( ) 0,0 a r 8 ( ) 8 ( ) 8 E ua progressió geomètrica de raó r coeixem S. Calcula a i a. a a S r r a a a 78a 79 a r r a 8 a a a r La maquiària d ua fàbrica perd cada ay u 0% del valor. Si va costar milios d euros, e quat es valorarà després de 0 ays de fucioamet? Al cabo de año valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de años valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de 0 años valdrá 8 ( 0 ) 0, ,7 0 L de geer depositem 000 e u compte bacari a u iterés aual del % amb pagamet mesual d iteressos. Qui serà el valor dels ostres diers u ay després? U % aual correspo a 0,% mesual. Cada mes els diers es multiplique per,00. Al cabo de mes tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 08,9 0 Uitat. Successios

21 UNITAT Pàgia La suma dels ifiits termes d ua progressió geomètrica és igual a i a. Calcula a i la raó. a a r 8 a r a /r S 8 r r r r r r r ± r r 8 r 8 a 8 8 Comprova, doat valors gras, que les successios següets tedixe a u úmero i digues qui és aquest úmero: a) b) b + c) c + d) d a) a 0,8; a 00,7; a 000,97 lím, b) b 0,970; b 00,9997; b 000, lím b + c) c 0,000977; c 0, lím c d) d 0 0,9; d 00 0,0999; d 000 0, lím d 0 Calcula el límit de les successios següets: ( ) a) + b) b + + c) c d) d + e) e ( + ) f ) f ( ) + a) a 0 0,78; a 00 0,9798; a 000 0,9980 lím Uitat. Successios

22 b) b 0 0,0; b 00 0,000; b 000 0,00000 lím b 0, c) c 0 9,80; c 00 0,; c 000 9,90 lím c + d) d 0,7; d 00,97; d 000,997 lím d e) e 0 0,797; e 00 07,78; e ,07 lím e + f) f 0 0,70; f 00 0,909; f 000 0,99 lím f Comprova les successios següets si tee límit: a) ( ) b) b + ( ) c) c d) d + + ( ) + ( ) a) a 00,0; a 0,0099; a 000,00; a 00, Los térmios pares tiede a y los impares a. o tiee límite. b) b 0; b ; b 0; b, Los térmios impares so 0 y los pares so. b o tiee límite. c) c 0; c ; c 0; c 0,; ; c 00 0,0 Los térmios impares so cero y los pares tiede a cero. lím c 0. d) d 0; d,; d 0,7; d,; ; d 00,0; d 0 0,99 lím d. Uitat. Successios

23 UNITAT Doades les successios i b, estudia el límit de: + a) + b b) b c) b a) A + b + + A 0 00,0099; A ,000 lím ( + b ) +@ b) B b + B 0 0,990; B 00 0,9999 lím ( b ) c) C ( + ) + ( + ) b C ; C a lím ( ) +@ b + Durat ays depositem e u bac 000 al % amb pagamet aual d iteressos. a) E quat es covertix cada depòsit al fial del ciqué ay? b) Quia quatitat de diers hem acumulat durat aquests ays? a) Al fial del º año: Los primeros 000 se covierte e 000,0, Los segudos 000 se covierte e 000,0 9,7 Los terceros 000 se covierte e 000,0 9,7 Los cuartos 000 se covierte e 000,0, Los quitos 000 se covierte e 000,0 080 b) Sumamos las catidades ateriores: 000, , , , ,0 000(,0 +,0 +,0 +,0 +,0) (*),0 000,0,9,0 (*) Suma de ua progresió geométrica co a,0 y r,0. Uitat. Successios

24 7 Rebem u préstec de 000 al 0% d iterés aual i hem de torar-lo e ays, pagat cada ay els iteressos de la part deguda més la quarta part del capital prestat. Calcula el que hem de pagar cada ay. a , 700 a , 0 a , 00 a , 0 8 Troba el terme geeral de la successió:,,,,, i estudia el límit. / a ; a,; a,99; a,89; ; a 0,078 a 00,009; lím 9 Doades les successios + i b, calcula els límits següets: a) lím ( + b ) b) lím ( b ) c) lím ( b ) d) lím b a) A + b + + lím ( + b ) b) B b + ( ) B 0 ; B 00 0; B lím ( b ) +@ c) C b ( + ) ( ) + + C 0 0; C ; C lím ( b + d) D b D 0,; D 00,0; D 000,00 a lím b Uitat. Successios

25 UNITAT 0 La successió x x + ; x + ; x + x +, és ua progressió aritmètica? Si ho fóra, calcula el ciqué terme i la suma dels cic primers termes. Llamamos a x x + ; a x + ; a x + x +. Veamos si la diferecia etre cada dos térmios cosecutivos es la misma: a a x + (x x + ) x + x + x x a a x + x + (x + ) x + x + x x Por tato, sí es ua progresió aritmética co a x x + y diferecia d x. Así, teemos que: a a + d x x + + x x + x + (a (x S x + + x + a ) + x + ) (x + x + ) x + x + (x + x + ) Troba la suma següet: Llmamos S ( ) Por tato: S 7 ( ) 7 8 QÜESTIONS TEÒRIQUES Siga ua progressió aritmètica amb d > 0. Qui és el límit? Si d > 0, la sucesió se va haciedo cada vez mayor. Por tato, lím +@. Si és ua progressió geomètrica amb r, qui és el límit? Al ir multiplicado por Es decir, lím 0. sucesivamete, los térmios se va aproximado a cero. Uitat. Successios

26 La successió,,,, pot cosiderar-se ua progressió aritmètica i també geomètrica. Quia és la diferècia e el primer cas? I la raó e el sego? Es ua progresió aritmética co d 0. Tambié es ua progresió geométrica co r. E ua progressió geomètrica qualsevol, a, ar, ar, ar,, comprova que: a a a a a a Es verifica també a a 7 a a? Eucia ua propietat que expresse els resultats ateriors. a a a (a r ) a r a a (a r) (a r ) a r a a (a r ) (a r ) a r So iguales a a 7 (a r ) (a r ) a r 8 a a (a r ) (a r ) a r 8 So iguales Propiedad: Si es ua progresió geométrica, se verifica que a p a q a m siempre que p + q m +. ) Podem cosiderar el úmero,9 com la suma dels ifiits termes de la successió: 9 9 9,,,, Calcula la suma i troba el límit. Et pareix raoable el resultat obtigut? ) ,9 + 0,99 + 0,999 +, Si cosideramos la progresió geométrica,,, y sumamos todos sus térmios, queda: 9 9 a S 0 0 r Por tato: + ( ) + Uitat. Successios

27 UNITAT 7 Iveta dues successios el límit de les quals siga ifiit i que, e dividirles, la successió que resulte tedisca a. Por ejemplo: ; b + lím +@; lím b +@ a lím lím + b Pàgia 7 PER A APROFUNDIR-HI 8 Dibuixa u quadrat de costat cm i sobre cada costat u triagle rectagle isòsceles; després dos, després quatre, com idique les figures: a) Forma la successió dels perímetres de les figures obtigudes. Qui és el límit? b) Forma també la successió de les àrees. Qui és el límit?. er paso:.º paso:. er paso: / / / / / / Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Área + cm Área + cm Área + cm Perímetro 8 cm Paso -ésimo: Área + ( ) cm Uitat. Successios 7

28 a) 8, 8, 8, 8, ; P 8; lím P 8 b),,, ; A + ( ) ; lím A (que es el área del cuadrado de lado ). 9 Els termes de la successió,,, 0, s aomee ombres triagulars perquè es pode represetar així: Calcula a 0 i. a ; a + ; a + + ; a ; ( + 0) 0 0 a ( + ) 0 Els termes de la successió,,,, s aomee ombres petagoals perquè es pode represetar així: Calcula a, a 0 i. Aquests úmeros es pode escriure així: ; + ; + + 7; ; a ; a + ; a ; a Observamos que vamos obteiedo las sumas de los térmios de ua progresió aritmética co a y d. E el paso -ésimo tedremos: ( + ( ) ) ( ) ( + ( )) ( + ) ( ) Por tato: a 7 ; a 0 8 Uitat. Successios

29 UNITAT Utilitza les propietats de les progressios per a simplificar l expressió del terme geeral i calcular el límit de les successios següets: a) b) b ( ) ( + ) + a) ( ) ( ) ( ) + Hallamos el límite: a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lím 0, ( + ) + b) b ( ) ( ) ( ) + ( + ) + b 0 ; b 00 0; b ; lím b +@ + AUTOAVALUACIÓ. Troba el terme a 7 de la successió el terme geeral de la qual és: a Troba el terme huité de la successió defiida així: a, a 7, + + a 8 a a 7 a a 7 a a a a a a a a a a a a 7 a 7 a a 9 a 8 a a 7 Uitat. Successios 9

30 . Troba el terme geeral de les successios: a), 7,,, 9,, b),,, 0, 7,, a) Es ua progresió aritmética de diferecia d y primer térmio a. a + ( )d + ( ) b) El térmio geeral de la sucesió 0,,, 9,,, es ( ). Por tato,,,, 0, 7,, tiee por térmio geeral ( ) Troba la llei de recurrècia per la qual es forme les successios següets: a) 7, 8,,, 8,, b),,,,, 9, 7,, c) 0,,,,,, 0, 7,... a) Cada térmio, a partir del tercero, es la suma de los dos ateriores. Por tato: a 7 a 8 + b) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a a a + + c) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a 0 a a + +. Troba les sumes següets: a) b) , + 000, , c) d) e) a) Es la suma de los oce primeros térmios de ua progresió aritmética de primer térmio a y diferecia d. a a a S + a + b) Es la suma de los quice primeros térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 000 y razó r,. a 000, S r a S 77,8 r, 0 Uitat. Successios

31 UNITAT c) Es la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 80 y razó r /. a 80 0 r / d) ( + )( + ) ( ) ( ) e) ( + ) ( ) ( + ) 9 9. E ua progressió aritmètica coeixem a i a 8 8,. a) Calcula a + a 00. b) Obtí el valor de a 0. a a + d a 8 a + 8d 8, a 0,, 8 8d d, 8 d 0, a) a + a 00 a + a 8 + 8, 8, pues (a y a 8 equidista de a y a 00 ). b) a 0 a + 9 d, + 9 0, 7. Troba els límits de les successios següets: + b c + + a) a 0 0, a 00 0,0 a 000 0,00 8 lím 0 + b) b 0,8 b 00,0 b 000,00 8 lím + + c) c 0,0 c 00 0,00 c ,000 8 lím +@ Uitat. Successios