4 MOVIMIENO ARMÓNICO SIMPLE 4.. MOVIMIENOS PERIÓDICOS. Conocido el período de rotación de la Luna alrededor de la ierra, y sabiendo que la Luna no eite luz propia, sino que refleja la que recibe del Sol, explica las fases de la Luna y la periodicidad con que se producen. La Luna efectúa un giro a la ierra cada 8 días, aproxiadaente. Según la posición en que se encuentre respecto al Sol y la ierra, la Luna puede interceptar o no los rayos de luz que proceden del Sol. En la posición (véase la gráfica de la cuestión, la Luna intercepta la luz que recibe del Sol y la refleja, ipidiendo que llegue a la ierra. Debido a ello, la Luna no se verá; es la fase que denoinaos luna nueva. En la figura de la siguiente cuestión están representadas las cuatro fases de la Luna. Las fases se representan cada cuarto de vuelta. Ello supone que, si el ciclo total es de 8 días, se produzca una fase cada seana.. En qué sentido (horario o antihorario gira la Luna en torno a la ierra? Dedúcelo de la fora en que se suceden las fases lunares. Las fases se suceden del siguiente odo: luna nueva, cuarto creciente, luna llena y cuarto enguante. Partireos de la posición de luna nueva (posición núero. Para deducir el sentido 4 L de giro, recurrios a la observación. En cuarto creciente, la Luna tiene fora de L 3 D. La posición de la figura que se corresponde S L con esa observación es la posición núero. En ese instante, la Luna recibe la luz por el lado derecho, que es el que L veos iluinado. Por tanto, la Luna realiza un recorrido antihorario. 3. Al colgar un objeto de 300 g de un uelle, se produce en este un alargaiento de 3,5 c. Calcula su constante recuperadora. La fuerza que produce el alargaiento del uelle es el peso del objeto que se cuelga de él: P = g = 0,3 9,8 =,94 N eniendo en cuenta la expresión que corresponde a la fuerza elástica recuperadora, dada por la ley de Hooe, despejando y sustituyendo los datos de que disponeos, obteneos el valor de la constante recuperadora del resorte: F = x = P = P x =, 94 = 84 N 0, 035 Unidad 4. Moviiento arónico siple
4. Confecciona un gráfico que uestre cóo varía la fuerza recuperadora del uelle anterior en función de la distancia para deforaciones que vayan de 0 a 6 c. La fuerza recuperadora que ejerce el uelle, de acuerdo con la ley de Hooe, es: F = x Esta fuerza es de sentido contrario a la que ejerce la asa que cuelga de él, y tiene su iso valor. Su representación gráfica es una recta, coo se uestra a continuación: F (. 0 _ N 3 4 5 6 00 x (. 0 _ 00 300 400 500 4.. ESUDIO CINEMÁICO DEL M.A.S.. Un cuerpo oscila con.a.s. de acuerdo con la ecuación: x = 3 sen 0 π t + π en la que todas las agnitudes se expresan en unidades S.I.: a Calcula la aplitud, la frecuencia angular y la fase inicial del oviiento. b Escribe las ecuaciones de la velocidad y la aceleración del oviiento. c Calcula la elongación, la velocidad y la aceleración en el instante t = s. a La ecuación de un.a.s. es la siguiente: x = A sen (ω t + ϕ donde: A = aplitud ; ω=frecuencia angular t = tiepo ; ϕ = fase inicial Si identificaos térinos con la ecuación del enunciado: x = 3 sen 0 π t + π Unidad 4. Moviiento arónico siple
las agnitudes características del oviiento del cuerpo resultan: A = 3 ; ω=0 π rad s ; ϕ=π/ rad eniendo en cuenta la relación entre la frecuencia angular y el período, podeos obtener tabién este últio: π π π ω = = = = 0, s ω 0 π b Coo heos visto en el apartado anterior, la expresión que perite calcular la elongación es: x = 3 sen 0 π t + Derivando respecto al tiepo, obteneos las ecuaciones de la velocidad y la aceleración: dx v = = 30 π cos 0 π t + dt dv a = = 300 π sen 0 π t + dt c Para el instante t = s, los valores de la elongación, la velocidad y la aceleración son: x = 3 sen 0 π + = 3 = 3 v = 30 π cos 0 π + = 0 s a = 300 π sen 0 π + = 300 π s. Una partícula se ueve con.a.s. En el instante inicial se encuentra a 0 c de la posición de equilibrio, siendo su velocidad nula. Si el período del oviiento es 0 s, escribe las ecuaciones que le corresponden para la elongación, la velocidad y la aceleración. Las ecuaciones generales de la posición, la velocidad y la aceleración en un.a.s. son: x = A sen (ω t +ϕ v = A ω cos (ω t +ϕ a = A ω sen (ω t +ϕ En el instante inicial, la velocidad es nula (v = 0. Por tanto: π v( 0 = A ω cos ϕ = 0 cos ϕ = 0 ϕ = Por otra parte, del dato del período podeos obtener la frecuencia angular: π π ω = = = 0, π rad s 0 Unidad 4. Moviiento arónico siple 3
La aplitud del oviiento la obteneos teniendo en cuenta que en el instante inicial la elongación es de 0 c: x( 0 = A sen 0+ = 0, A = 0, Conocidos los valores de la aplitud, la frecuencia angular y la fase inicial, podeos escribir las ecuaciones de la elongación, la velocidad y la aceleración: x = A sen ( ω t + ϕ x = 0, sen 0, π t + v = A ω cos ( ω t + ϕ v = 00, π cos 0, π t + 3 a = A ω sen ( ω t + ϕ a = 4 0 π sen 0, π t + 3. La elongación de un.a.s. viene dada por la ecuación x = 5 sen (4 t. En esta expresión, x viene dada en si t se expresa en s. Indica la aplitud, la frecuencia y el período del oviiento. Escribe las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración y calcula los valores áxios de abas agnitudes. La ecuación general de un.a.s. es la siguiente: x = A sen (ω t +ϕ donde: A = aplitud ; ω=frecuencia angular t = tiepo ; ϕ = fase inicial Si identificaos térinos con la ecuación del enunciado: x = 5 sen (4 t resulta: A = 5 ; ω=4 rad s ; ϕ=0 rad El período está relacionado con la frecuencia angular: ω= π π π = = =,57 s ω 4 Derivando respecto al tiepo, obteneos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: v = 00 cos (4 t a = 400 sen (4 t La velocidad áxia se obtiene cuando cos (4 t =, siendo su valor: v áx = 00 /s y la aceleración áxia, cuando sen (4 t = : a áx = 400 /s Unidad 4. Moviiento arónico siple 4
4.3. DEERMINACIÓN DEL PERÍODO DE UN M.A.S.. Calcula las expresiones que periten calcular la velocidad y la aceleración con que se ueve un cuerpo que oscila unido al extreo de un uelle. La ecuación de la posición para el uelle que oscila es: x = A sen t + θ 0 Al derivar respecto al tiepo, obteneos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: v A cos = t + θ0 a A sen = t + θ0. Calcula el período con que oscila un péndulo de de longitud en un lugar en el que la aceleración de la gravedad es 9,8 s. El período de oscilación del péndulo lo podeos calcular a partir de la siguiente expresión: = π l g Por tanto: = π = s 98, 3. Calcula la longitud de un péndulo cuyo período de oscilación es (,3 ± 0,0 s, si oscila en un lugar de la ierra en el que g = (9,806 ± 0,00 s. Expresa el resultado con todas sus cifras significativas. NOA: Consulta en el CD los contenidos relacionados con cálculo de errores, que estudiaste el curso pasado. El período de oscilación de un péndulo es: = π l g Despejando, la longitud del péndulo será: g, 3 9, 806 l = = =, 3548 4 π 4 π Para calcular el valor que dareos coo bueno, teneos en cuenta los criterios de error vistos el curso pasado. Unidad 4. Moviiento arónico siple 5
De ese odo, al tratarse de una edida indirecta, resulta: l g = + l g g l = l + g l = 3548 00, 0, 00, + 3, 9, 806 l = 0, 06 Coo iprecisión del período y de la aceleración de la gravedad heos considerado una unidad de la últia cifra significativa en cada caso, y para el núero pi heos supuesto un valor exacto, entendiendo por exacto el valor que proporciona la calculadora con todos los dígitos que ofrece. De acuerdo con las noras que ya conoceos, la longitud se expresará en la fora: l =,33 ± 0,0 4.4. ENERGÍA ASOCIADA A UN M.A.S.. Una asa de 00 g está suspendida de un uelle. Debido a ello, este se defora 4 c. A continuación, separaos el uelle 0 c de la posición de equilibrio y lo dejaos en libertad. En esas condiciones, calcula la frecuencia, la frecuencia angular y la aplitud del.a.s. que describe la asa. La frecuencia angular del sistea será su frecuencia propia, dada por: ω= Sabeos que, al colocar una asa de 00 g, el uelle se estira 4 c. Eso nos perite calcular la constante elástica, ya que la fuerza elástica recuperadora, dada por la ley de Hooe, es igual y opuesta al peso del cuerpo: P g F = x = P = = x x 0, 98, = = 49 N 004, Por tanto, la frecuencia angular (o propia del sistea resulta: 49 ω= = = 5, 65 rad s 0, siendo la frecuencia: ω 5, 65 ω = π f f = = = 49, Hz π π La aplitud del oviiento es de 0 c. Unidad 4. Moviiento arónico siple 6
. Calcula la elongación para la que, en un oscilador arónico de aplitud A, la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales. Supongaos una asa, puntual, suspendida de un uelle sin asa. De acuerdo con el enunciado: E E pe c = x = v x = v x = ± v 3. Un uelle de 0 c de longitud requiere un trabajo exterior de 0 J para copriirlo hasta 8 c. Calcula su constante elástica. A partir de la expresión del trabajo realizado al copriir el uelle: W = x = W x Sustituyendo los datos de que disponeos, se obtiene: = 0 = 4 000 N 0, AMPLIACIÓN DE CONENIDOS. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENOS ARMÓNICOS SIMPLES. De acuerdo con lo expuesto en este apartado de apliación de contenidos, señala cóo será el oviiento arónico siple resultante si los dos oviientos que interfieren: a Son de igual fase. b Son de igual fase y aplitud. c Están en oposición de fase. d Están en oposición de fase y tienen la isa aplitud. e Están en cuadratura de fase. f Están en cuadratura de fase y tienen la isa aplitud. En todos los casos, el.a.s. resultante será de la isa frecuencia que los dos oviientos que se superponen si estos son de igual frecuencia. Estudiareos lo que sucede con la aplitud y la fase del.a.s. resultante. a Moviientos de igual fase. En este caso, la aplitud resulta: AR = A + A + A A cos ( θ θ θ = = θ θ A = A + A + A A cos 0 = ( A + A R Unidad 4. Moviiento arónico siple 7
Por tanto: A = ( A + A = A + A R La aplitud resultante es la sua de las aplitudes. En cuanto a la fase: tg Φ = A sen θ + A sen θ A cos θ + A cos θ sen θ = = tg θ Φ = θ cos θ La fase del oviiento resultante coincide con la fase de los oviientos que dan lugar a él. b Moviientos de igual fase y aplitud. En este caso, la aplitud resulta: La aplitud resultante es igual a la sua de las aplitudes de los dos oviientos. En cuanto a la fase: La fase del oviiento resultante coincide con la fase de los oviientos que dan lugar a él. c Moviientos en oposición de fase. Dos oviientos se encuentran en oposición de fase si sus fases iniciales difieren en pi radianes, es decir, si: θ =θ + π. eniendo en cuenta lo anterior, la aplitud del oviiento resultante es: Por tanto: AR = A + A + A A cos ( θ θ Si θ = = A = A = A θ θ y A = A + A + A A cos 0 = 4 A = A R A sen θ + A sen θ sen θ tg Φ = = = tg θ Φ = θ A cos θ + A cos θ cos θ A = A + A + A A cos π R A = A + A A A = ( A A R A R = A A Coo veos, la aplitud resultante es la diferencia de aplitudes. En cuanto a la fase: tg Φ = tg Φ = = A sen θ + A sen θ A cos θ + A cos θ A sen θ + A sen ( θ + π = A cos θ + A cos ( θ + π A sen θ A sen θ A cos θ A cos θ = tg θ Φ = θ Unidad 4. Moviiento arónico siple 8
d Moviientos en oposición de fase y con igual aplitud. Valiéndonos de lo expuesto para el caso anterior: Al ser A = A, A R = 0. La aplitud es nula. La interferencia es total y el oviiento nulo. Coo el oviiento es nulo, el desfase tabién lo será. e Moviientos en cuadratura de fase. Decios que dos oviientos se encuentran en cuadratura de fase si sus fases iniciales cuplen la relación: θ =θ +π/. eniendo en cuenta lo anterior, la aplitud del oviiento resultante es: En cuanto a la fase inicial del oviiento resultante: f Moviientos en cuadratura de fase e igual aplitud. Valiéndonos de los cálculos anteriores, resulta para la aplitud: Coo A = A = A: A = A + A + A A cos π R A = A + A A A = ( A A A = A + A + A A cos ( π/ R A = A + A A sen θ + A sen θ tg Φ = A cos θ + A cos θ A sen θ + A sen θ + tg Φ = A cos θ + A cos θ + A tg θ + A sen θ + A cos θ A tg Φ = = A cos θ A sen θ A A tg θ A = A + A + A A cos ( π/ R R R A = A + A R A = A + A = A = A R Mientras que para la fase, aplicando igualente que A = A = A: tg θ tg Φ = A A A + A tg θ tg tg Φ = + θ tg θ Unidad 4. Moviiento arónico siple 9
ACIVIDADES DE LA UNIDAD CUESIONES. Señala cuál será el desplazaiento de una partícula que se ueve efectuando un oviiento arónico siple al cabo de un período copleto. El oviiento arónico siple es un oviiento periódico. Al cabo de un período copleto, la partícula se encontrará de nuevo en la isa posición; por tanto, su desplazaiento, que es una agnitud vectorial, será nulo.. Sabeos que la velocidad de una partícula que describe un oviiento arónico siple es nula en ciertos instantes. Con esta inforación, podeos conocer su posición en esos instantes? Las expresiones que corresponden, respectivaente, a la posición y a la velocidad en un oviiento arónico siple son: x = A sen (ω t +θ 0 v = A ω cos (ω t +θ 0 Observa que, en los instantes en que la velocidad se anula, cos (ω t +θ 0 = 0, y, por tanto, sen (ω t +θ 0 alcanza un valor áxio, positivo (sen (ω t +θ 0 = + o negativo (sen (ω t +θ 0 =. En consecuencia, en esos instantes la partícula se encontrará en los puntos de aplitud áxia: x = A ; x = A 3. Qué valor toa la aceleración de un oscilador arónico, de aplitud A y frecuencia f, cuando su velocidad es áxia? Y cuando su elongación es áxia? Las ecuaciones que corresponden a la posición, la velocidad y la aceleración de un oscilador arónico de aplitud A y frecuencia f son, respectivaente: x = A sen ( π f t +θ 0 v = A π f cos ( π f t +θ 0 a = A 4 π f sen ( π f t +θ 0 Los valores áxio y ínio de la velocidad son: v áx = A π f ; v ín = A π f Estos valores se dan cuando cos ( π f t +θ 0 = o cos ( π f t +θ 0 =. En esos instantes, el valor de la elongación y de la aceleración es cero, ya que en ellos se cuple que sen ( π f t +θ 0 = 0. Del iso odo, cuando la elongación es áxia, la aceleración es ínia: x = A a = A π f y cuando la elongación es ínia, la aceleración es áxia: x = A a = A π f Unidad 4. Moviiento arónico siple 0
4. El siguiente esquea representa un oviiento arónico siple: Señala si son positivos, negativos o nulos los valores de la elongación, la velocidad y la aceleración de la partícula que describe dicho oviiento en los siguientes casos: a La partícula se encuentra en O y se desplaza hacia D. b La partícula se encuentra en C y se desplaza hacia O. c La partícula está en el punto D. d La partícula pasa por O y se dirige hacia A. e La partícula está en A. A B O C D f La partícula pasa por B, de caino hacia O. En prier lugar, debeos tener en cuenta que, en un.a.s., los sentidos que corresponden a la elongación y a la aceleración siepre son opuestos. En la siguiente figura se representa la posición, la velocidad y la aceleración que corresponden a una partícula que efectúa una oscilación copleta: a v A B O C D C O B A x De acuerdo con ella, las respuestas a los casos que propone el enunciado son las siguientes (en ellas, la letra A designa el valor áxio de la elongación, es decir, la aplitud del oviiento. a x = 0 d x = 0 v > 0 v < 0 a = 0 a = 0 b x > 0 e x = A < 0 v < 0 v = 0 a < 0 a > 0 (valor áxio c x = A > 0 f x < 0 v = 0 v > 0 a < 0 (valor ínio a > 0 Unidad 4. Moviiento arónico siple
5. En un oviiento arónico siple, la energía es proporcional: a Al ángulo de fase. b A la aplitud. c Al cuadrado de la aplitud. d A la frecuencia. La expresión de la energía ecánica de un.a.s. es: E = A = A = A = 4 π π ω A = π f A Coo se puede apreciar en la expresión anterior, la energía de un.a.s. es directaente proporcional al cuadrado de la aplitud y al cuadrado de la frecuencia de vibración. Por tanto, la respuesta correcta es la c. 6. Si se duplica la aplitud de un oscilador arónico siple, cóo varía su energía? La energía de un oscilador arónico siple se puede expresar del siguiente odo: Si se duplica la aplitud: E = A E' = A = 4 ( A = 4 E' Por tanto, al duplicar la aplitud, la energía se ultiplica por cuatro. EJERCICIOS 7. Un uelle vibra con una frecuencia angular de 30 rad s. Sabiendo que la asa del uelle es 00 g, calcula su constante elástica. A partir de la expresión de la frecuencia propia del sistea, obteneos la constante elástica del uelle: ω = = ω = 30 0, = 90 N 8. Calcula la longitud del hilo del que cuelga la asa en un péndulo siple cuyo período es segundos. Aplicando directaente la expresión que perite calcular el período para un péndulo siple, obteneos el siguiente resultado: l g = π l = g 4 π 9, 8 = = 0, 993 4 π Unidad 4. Moviiento arónico siple
9. Un péndulo forado por un hilo inextensible, del que cuelga una asa de 400 g, tiene un período de segundos. Calcula la longitud del péndulo. El período de un péndulo no depende de la asa que cuelga de él, sino de su longitud y del valor de la aceleración de la gravedad; por tanto, el dato de la asa es innecesario. Si toaos el valor de 9,8 /s para la aceleración de la gravedad, la longitud del péndulo será: = π g l = 4 π l g 9, 8 = = 0, 993 4 π 0. Cuando una asa,, cuelga del extreo inferior de un resorte vertical, este realiza oscilaciones con oviiento arónico siple, de período 0. Calcula el período de las oscilaciones cuando se agrega una asa a dicho resorte. Partiendo del prier dato, podeos calcular la constante elástica del resorte: 0 = π = 4 π 0 El uelle sigue siendo el iso. No obstante, ahora se le añade una segunda asa,, con lo que el período pasa a ser: = π + Si sustituios la constante del uelle por su valor y siplificaos la expresión resultante, el período queda en la fora: = π + 4 π 0 = 0 + = + 0. Dos objetos, de la isa asa, se encuentran unidos a sendos uelles, idénticos. Se estiran a la vez, el priero 0 c y el segundo 5 c, y se dejan en libertad. Cuál de los dos objetos alcanzará priero la posición de equilibrio? El período de oscilación de una partícula ligada a un uelle cuando este oscila libreente es: = π Por tanto, en un oviiento arónico siple, el período (y, en consecuencia, la frecuencia es independiente de la aplitud. Coo en el caso que propone el enunciado tanto la asa coo el uelle son iguales, los dos objetos alcanzarán a la vez la posición de equilibrio. Unidad 4. Moviiento arónico siple 3
. En el esquea de la figura, la asa M se encuentra en la posición de equilibrio, es la constante elástica del uelle, y R, el radio de la polea. R M Calcula el período de las oscilaciones que realizará al desplazar ligeraente la asa M de dicha posición. Si consideraos despreciable el efecto de rotación de la polea, el dispositivo es siilar a un uelle ideal que separaos de su posición de equilibrio. a M M. g. x M El período será, por tanto: = π M 3. Variando la longitud de un péndulo siple y idiendo el período de oscilación que corresponde a dicha longitud, se puede deterinar con precisión el valor de la aceleración de la gravedad. Diseña una experiencia que perita calcular dicho valor. en en cuenta los criterios que debes seguir al realizar una experiencia práctica. Podeos despejar el valor de la aceleración de la gravedad de la expresión que perite calcular el período de oscilación de un péndulo siple: l l = g = 4 π π g Unidad 4. Moviiento arónico siple 4
eniendo en cuenta que la aceleración de la gravedad depende únicaente de la longitud del hilo y del período de la oscilación, puede deterinarse de anera indirecta coo se indica a continuación. Diseño de la experiencia: Enganchaos un hilo fino a una bola. Es preferible que la bola sea pequeña y de densidad elevada para que interaccione poco con el aire y se disinuya al áxio el rozaiento. Es conveniente realizar la experiencia en un lugar cerrado, sin corrientes de aire. Enganchaos el péndulo a un punto fijo (por ejeplo, el techo. Separaos la bola de la vertical un ángulo pequeño (enor de 5 ; de lo contrario, la hipótesis que nos ha llevado a obtener el resultado no es válida. Medios el período de las oscilaciones. Para ello, dejaos oscilar el péndulo y, tras realizar una o dos oscilaciones, edios el tiepo que tarda en realizar diez oscilaciones, al enos. De ese odo, la iprecisión en la edida del tiepo que tarda en realizarse una oscilación disinuye de fora apreciable. Realizaos varias ediciones para distintas longitudes del hilo. ras aplicar la fórula para cada longitud, obtendreos diversos valores para la gravedad. Coo valor de la gravedad toareos el valor edio de todos ellos. 4. Coprueba que en un oviiento arónico siple la relación entre la velocidad y la posición viene dada por la expresión: v = ω (A x La expresión que perite calcular la elongación o posición en un.a.s. es: x = A sen (ω t + θ 0 siendo la de la velocidad: v = A ω cos (ω t + θ 0 Por tanto: x v = sen (ω t + θ0 ; A A ω = cos (ω t + θ 0 Si elevaos al cuadrado abas expresiones y las suaos, el segundo iebro será igual a la unidad: x + v = A A ω de donde resulta, al despejar: ω x + v = A ω v = ω ( A x 5. La expresión: x = 0, sen (π t en la que x se ide en etros si t se ide en segundos, describe el oviiento de una partícula. Se pide: Unidad 4. Moviiento arónico siple 5
a La aplitud, el período, la frecuencia y la frecuencia angular que corresponden al oviiento. b Obtén las ecuaciones v = f (t y a = f (t. c Copleta una tabla coo la que se adjunta: t x v a 0 /4 / 3 /4 5 /4 3 / 7 /4 d Haz la representación gráfica de las ecuaciones x = f (t, v = f (t y a = f (t. Utiliza para ello los valores de la tabla anterior. a La ecuación de un.a.s. es la siguiente: x = A sen (ω t +ϕ donde: A es aplitud; ω, la frecuencia angular; t,el tiepo, y ϕ, la fase inicial. Si identificaos térinos con la ecuación del enunciado: x = 0, sen (π t resulta: A = 0, ; ω=πrad s ; ϕ=0 A partir de la relación que existe entre la frecuencia angular y el período, obteneos este últio: ω= π π π = = = s ω π Por tanto, la frecuencia, que es la inversa del período, es: = f f = = = 0,5 Hz b Las ecuaciones que corresponden a la velocidad y a la aceleración del oviiento las obteneos derivando la ecuación de la posición respecto al tiepo. De ese odo: v = d x = 0, π cos(π t dt a = d v = 0, π sen(π t dt Unidad 4. Moviiento arónico siple 6
c La tabla que solicita el enunciado es la siguiente: t x v a 0 0 0,63 0 /4 0, 0,97 / 0 0,63 0 3 /4 0, 0,97 0 0,63 0 5 /4 0, 0,97 3 / 0 0,63 0 7 /4 0, 0,97 0 0,63 0 d La representación gráfica de los valores de la tabla anterior es: x ( v (/s 0,63 a (/s,97 0,. t (s. t (s. t (s PROBLEMAS 6. Una partícula oscila con oviiento arónico siple de aplitud 0,5 c y 5 Hz de frecuencia. Calcula la velocidad y la elongación al cabo de un segundo de coenzar el oviiento. Los datos que proporciona el enunciado del problea son: A = 0,5 c = 5 0 3 f = 5 Hz A partir de la frecuencia, podeos calcular la frecuencia angular del oviiento arónico siple: ω= π f = π 5 = 30 π rad s Unidad 4. Moviiento arónico siple 7
La ecuación de la posición de una partícula que describe un.a.s. es: x = A sen (ω t +ϕ 0 Si consideraos la fase inicial nula, la ecuación que representa el oviiento de la partícula es: x = 5 0 3 sen (30 π t En ella, x se expresa en etros si t se expresa en segundos. Si derivaos la expresión anterior respecto al tiepo, obteneos las expresiones que corresponden a la velocidad y a la aceleración de la partícula: v = 30 π 5 0 3 cos (30 π t a = 30 π 5 0 3 sen (30 π t Al cabo de un segundo de iniciarse el oviiento, los valores de la elongación, de la velocidad y de la aceleración son: x (t = s = 5 0 3 sen (30 π = 0 v (t = s = 30 π 5 0 3 cos (30 π = 5 0 3 30 π =0,47 s a (t = s = 30 π 5 0 3 sen (30 π = 0 7. Calcula el valor áxio de la aceleración de un.a.s. cuya aplitud es 8 y cuya frecuencia es 450 Hz. Los datos de que disponeos son: A = 8 = 8 0 3 f = 450 Hz El período y la frecuencia angular del.a.s. son: = f = 450 = 0,00 s ω= π f = π 450 = 900 π rad s La expresión que proporciona la posición en un.a.s. es: x = A sen (ω t 0 Considerando nula la fase inicial, 0 = 0, la ecuación de la posición es: x = 8 0 3 sen (900 π t En esta expresión, x se ide en etros si t se expresa en segundos. Al derivarla respecto al tiepo, obteneos la ecuación de la velocidad: v = 8 0 3 900 π cos (900 π t Al derivar esta últia, de nuevo, respecto al tiepo, obteneos la ecuación de la aceleración: a = 8 0 3 900 π sen (900 π t cuyo valor áxio se obtiene cuando sen (900 π t =, siendo este: a áx = 8 0 3 900 π = 63 955,04 s Unidad 4. Moviiento arónico siple 8
8. El coportaiento elástico de un uelle es el que se indica en la figura. F(N 50 5 0 x (c Del uelle cuelga una asa de,5 g. En cierto instante, el uelle se separa 8 c de la posición de equilibrio, coenzando a oscilar. Calcula: a La constante elástica del uelle. b La frecuencia angular. c El período de las oscilaciones que efectúa la asa. a La figura nos proporciona inforación suficiente para deducir la constante elástica del uelle, ya que: F 50 5 F = x = = ( x ( 0 0 = 500 N b Conocida la constante elástica, la frecuencia angular del sistea se obtiene de fora inediata: 500 ω= = = 8, 6 rad s 5, c El período de las oscilaciones se calcula a partir de su relación con la frecuencia angular: π π π ω = = = = 0, 344 s ω 8, 5 9. Al colocar un objeto de 50 g suspendido de un resorte se produce un alargaiento de 3,5 c. Si a continuación se estira hasta 5 c y se deja oscilar libreente el sistea, este describe un oviiento arónico siple: a Calcula la fuerza recuperadora que ejerce el resorte. b Escribe la ecuación del oviiento arónico siple que describe el objeto. a La constante elástica del resorte es la relación entre la fuerza aplicada (el peso del objeto y el alargaiento producido. En efecto, a partir de la ley de Hooe:: F e = x = P = P x = g = 0, 5 9,8 = 70 N x 0,035 Unidad 4. Moviiento arónico siple 9
Cuando el uelle se estira hasta 5 c, la fuerza recuperadora que este ejerce es: F e = x = 70 0,05 = 3,5 N El signo negativo indica que la fuerza recuperadora es de sentido contrario a la elongación. b La ecuación general de la elongación de una asa sujeta al extreo de un uelle puede escribirse en la fora: En el caso del oviiento que describe el enunciado, la aplitud es: A = 5 c 3,5 c =,5 c =,5 0 ya que la posición de equilibrio está situada a 3,5 c de la longitud en reposo del uelle. Si consideraos la fase inicial nula, θ 0 = 0, la ecuación del oviiento, expresada en unidades del S.I., es: 0. Una partícula se ueve con oviiento arónico siple, según una línea recta. Del oviiento de la partícula se conoce su velocidad áxia, v = 0,4 s, y su aceleración áxia, a = 0,6 s. eniendo en cuenta estos datos, deterina el período y la frecuencia del oviiento. Las expresiones que periten calcular el valor absoluto de la velocidad áxia y de la aceleración áxia en un.a.s. son: v áx = A ω ; a áx = A ω Dividiendo entre sí abas expresiones: a áx = A ω v A ω =ω ω= 0, 6 0 =,5 rad s, 4 áx x = A sen t + θ 0 70 x = 5 0, sen t 05, Con el dato de la frecuencia angular obteneos fácilente el período y la frecuencia del oviiento: ω = π f ω 5, f = = = 0, 39 Hz = 4, 9 s f = / π π NOA: La resolución de este problea se ofrece tabién en el CD-ROM para el alunado.. Un péndulo está forado por un hilo inextensible del que cuelga una asa de 00 g. Dicho péndulo se ueve con oviiento arónico siple. La ecuación del oviiento que le corresponde es: y = cos (0 π t Deterina la ecuación de la velocidad y de la aceleración en cualquier instante. Unidad 4. Moviiento arónico siple 0
La ecuación de la velocidad y la de la aceleración las obteneos derivando, respecto al tiepo, la ecuación de la posición proporcionada por el enunciado: v = d y = 0 π sen (0 π t dt a = d v = 0 π cos (0 π t dt. Una partícula se ueve a lo largo de una recta con.a.s. En el punto x = c lleva una velocidad de 8 c s y en el punto x = 6 c lleva una velocidad de 3 c s. Calcula: a La frecuencia angular. b El período y la frecuencia del oviiento. c La aplitud de la vibración. FE DE ERRAAS DEL LIBRO DEL ALUMNO: el segundo valor de la velocidad que aparece en el enunciado debe estar expresado en c s, no en s. a Las expresiones generales de la posición y de la velocidad de una partícula que efectúa un.a.s. son: x = A sen (ω t +θ 0 ; v = A ω cos (ω t +θ 0 Si consideraos la fase inicial nula, θ 0 = 0, podeos escribir, para el prier instante de tiepo, t : = sen ( ω t = A sen ( ω t A 8 = A ω cos ( ω t 8 = cos ( ω t A ω Si elevaos las dos expresiones al cuadrado y las suaos, el iebro de la derecha es igual a la unidad. Por tanto: A 4 + 64 = 4 A ω + A ω 64 ω = 4 ω A ω + 64 = 0 [] De anera siilar, para el instante de tiepo t podeos escribir lo siguiente: 6 6 = A sen ( ω t = sen ( ω t A 3 = A ω cos ( ω t 3 = cos ( ω t A ω Elevando abas expresiones al cuadrado y operando, se obtiene: 3 6 9 A + = 36 ω + 9 = 36 ω A ω + 9 = 0 [] A ω A ω Si restaos la expresión [] de la [] y despejaos ω, obteneos el valor de la frecuencia angular: 55 3 ω 55 = 0 ω = = 3, rad s 3 Unidad 4. Moviiento arónico siple
b eniendo en cuenta que: ω ω= π f f = π =, 3 = 0, Hz π El período del oviiento será: = f = 0, = 4,79 s c La aplitud de la vibración la podeos obtener directaente a partir de las expresiones [] o []. Por ejeplo, si partios de la ecuación [], se obtiene: 4 ω A ω + 64 = 0 A = 4 ω + 64 ω A = 4 ω + 64 4, 3 + 64 = ω 3, = 64, Por tanto, la ecuación general del.a.s. que efectúa la partícula es: x = 6,4 sen (,3 t En ella, la posición se expresa en centíetros si el tiepo se expresa en segundos. 3 Una asa de 5 g se coloca sobre un resorte situado en posición vertical y lo coprie 0 c. La asa es ipulsada hacia abajo, hasta que coprie el uelle 0 c. ras esto, el sistea queda en libertad. Calcula: a La constante elástica del uelle. b La aplitud y el período de las oscilaciones. c La posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante. a La constante elástica del resorte es la relación entre fuerza aplicada y alargaiento: F g F = x = = x x 5 = 9, 8 = 490 N 0, b El sistea está en equilibrio cuando, debido al peso del cuerpo, el uelle se ha contraído 0 c respecto a su longitud natural. No obstante, el uelle se separa de dicha posición de equilibrio hasta que la elongación áxia respecto a su longitud natural es de 0 c. Por tanto, la aplitud del oviiento será: A = 0 0 = 0 c Por otra parte, el período de las oscilaciones resulta: 5 = π = π = 0, 635 s 490 c En el instante en que se inicia el oviiento, la aplitud es áxia. Este dato perite calcular la fase inicial: x = A sen ( ω t + ϕ sen ϕ = ϕ = x( 0 = A sen ( ω 0+ ϕ = A π Unidad 4. Moviiento arónico siple
En cuanto a la frecuencia angular del oviiento, resulta: π π ω = = = 99, rad s 0, 635 Conocidas la fase inicial y la frecuencia, estaos en condiciones de deterinar las ecuaciones que proporcionan la posición y la velocidad en cada instante: x = 0, sen 99, t + v = 099, cos 99, t + 4. La ecuación del.a.s. con que se ueve un objeto viene dada por: y = sen (6 π t + π Calcula: a La aplitud, la frecuencia y el período de las oscilaciones. b La energía potencial de la asa en cualquier instante. c La energía cinética de la asa en cualquier instante. d La energía total de la asa en cualquier instante. a La ecuación general de posición de un.a.s. tiene por expresión: x = A sen (ω t +ϕ Identificando los paráetros de la ecuación general con la ecuación del problea, la aplitud resulta: A = La frecuencia angular es, por coparación con la ecuación general: ω=6 π rad s Conocido este valor, es inediato obtener el período y la frecuencia: π ω = π π = = = = 033, s ; f = = 3 Hz ω π = 6 3 f b La expresión que proporciona la energía potencial en un oviiento arónico siple es: E p = ω A sen (ω t +ϕ En nuestro caso, la energía potencial de la asa en función del tiepo es: E p = (6 π sen (6 π t +π E p = 8 π sen (6 π t +π J Unidad 4. Moviiento arónico siple 3
c Para la energía cinética obteneos: E c = ω A cos (ω t +ϕ E c = (6 π cos (6 π t +π E c = 8 π cos (6 π t +π J d La energía total es la sua de la energía cinética ás la energía potencial: E = E p + E c E = 8 π [sen (6 π t +π + cos (6 π t +π] E = 8 π J NOA: la resolución de este problea se ofrece tabién en el CD-ROM para el alunado. 5. Una partícula de 6 g de asa se ueve a lo largo del eje X, atraída hacia el origen con una fuerza que, en newton, es diez veces su distancia, x, respecto al origen. Si la partícula parte del reposo en la posición x = 5 c, calcula la aplitud, el período y la frecuencia del oviiento que describe. Si existe una fuerza que atrae la partícula hacia el centro, esta debería antenerse siepre en el origen. No obstante, coo ha sido separada 5 c, ha alacenado cierta energía y, fruto de ello, describe un.a.s. sobre el eje X alrededor del origen. La aplitud de este oviiento arónico siple son los 5 c de separación iniciales: A = 5 c La fuerza a la que está soetida la partícula es proporcional a la distancia y de sentido contrario (.a.s., a razón de 0 N ; es decir: F F = x = 0 N = 0 x Para calcular el período del oviiento, sustituios en la expresión que sigue, obteniendo el resultado que se indica: 0, 006 = π = π = 0, 54 s 0 La frecuencia es la inversa del período; por tanto: f = = 0, = 6,5 Hz 54 6 Un uelle de constante elástica 3,5 0 5 N está copriido 6 c. Al soltarlo y llegar a su posición de equilibrio, actúa sobre un cuerpo cuya asa es de 50 g. Calcula la velocidad que le counica. La energía potencial que alacena el uelle cuando está copriido una distancia x es: E p = x Unidad 4. Moviiento arónico siple 4
Por tanto: E p = 3,5 05 (6 0 = 630 J Si consideraos el sistea libre de rozaientos, esa energía potencial le será counicada a la asa, que se encuentra en la posición de equilibrio, en fora de energía cinética. Por tanto, la velocidad que alcanzará la asa será: E = v v = c Ec 630 = 0, 50 = 7 s - 7. Calcula la energía potencial elástica acuulada en un uelle de constante elástica 3 500 N en el instante en que está copriido y ide 5 c. Sabeos que su longitud natural es 8 c. Si la longitud natural del uelle es 8 c y cuando está copriido ide 5 c, la contracción que experienta es de 3 c. Por tanto, la energía potencial que acuula en esta situación es: E p = x = 3 500 (3 0 =,575 J 8. Un uelle, situado en un plano horizontal, lleva unido un objeto de 75 g y está copriido 7 c respecto a su longitud natural. Su constante elástica es 500 N. Calcula la velocidad que llevará el objeto cuando pase por el punto de equilibrio: a En ausencia de rozaientos. b Cuando actúa una fuerza de rozaiento constante de 56 N. a En ausencia de rozaientos, la energía potencial elástica del uelle en el estado de áxia elongación se transfora en energía cinética cuando pasa por el punto de equilibrio: Por tanto: E páx = E cáx x = v Despejando: x v = v = x 500 v = 007, = 837, s 0, 75 b Cuando actúa una fuerza de rozaiento, una parte de la energía potencial elástica inicial debe eplearse en vencer esta fuerza de rozaiento: E páx + W roz = E c Unidad 4. Moviiento arónico siple 5
Por tanto: x F roz x = v Despejando y sustituyendo valores, la velocidad del objeto resulta: v x F x v x F roz roz = = x 500 v 0 75 007 56 =, 007, = 50, s, 0, 75 Coo veos, la fuerza de rozaiento que se opone al oviiento hace disinuir la velocidad del objeto. NOA: la resolución de este problea se ofrece tabién en el CD-ROM para el alunado. 9 Una asa de 5 g coienza a caer, sin rozaiento, por el plano de la figura. R = Cuando llega al final, golpea el resorte, llegando a copriirlo 5 c. Calcula: a La constante elástica del resorte. b El período de las oscilaciones que describe el uelle al ser golpeado. a Cuando la bola, que está en lo alto del plano, llega hasta el uelle, transite toda la energía potencial que tenía arriba en fora de energía potencial gravitatoria. El balance energético podeos expresarlo coo: E pot. gravitatoria = E pot. elástica g R = x Si despejaos la constante elástica del resorte, resulta: = g R x = 5 9, 8 0, = 39 00 N 05 b Suponiendo que la asa del uelle es despreciable frente a la de 5 g, y que esta queda pegada al resorte, que no se dobla, el período de las oscilaciones se calcula directaente a partir de la expresión: 5 = π = π = 7, 0 s 3900 Unidad 4. Moviiento arónico siple 6
30. Una partícula se ueve con oviiento arónico siple. En el instante inicial se encuentra a 0 c de su posición de equilibrio, que es la que ocupa cuando se encuentra en reposo. Si su frecuencia de vibración es 40 Hz, calcula la ecuación de la posición, la ecuación de la velocidad y la ecuación de la aceleración del oviiento. La ecuación de la posición de un.a.s. es: x = A sen (ω t +ϕ Los 0 c de separación, respecto al reposo, son la aplitud del oviiento. Por tanto, si en t = 0 se encuentra en su áxia elongación: Por otra parte, recuerda que: x(0 = A sen (ω 0 + ϕ = A sen ϕ = ϕ= π Por tanto: ω= π f = π 40 = 80 π rad s x = 0, sen 80 π t + Si derivaos la ecuación de la posición respecto al tiepo, obteneos la de la velocidad: dx v = = 8 π cos 80 π t + dt Derivando la expresión anterior, obteneos: dv π a = = 640 π sen 80 π t + dt 3. Un cuerpo de 300 g se ueve con oviiento arónico siple, siendo su frecuencia angular 5 rad/s. Si la aplitud con que se ueve vale 6 c, calcula: a La constante elástica. b La energía potencial que alacena. c La velocidad áxia. a La constante elástica se puede deterinar a partir de la asa y de la frecuencia angular del sistea: ω = = ω = 5 0, 3 = 67, 5 N b En un.a.s., la energía ecánica viene dada por: E = E + E = A ω E = 03, 006, 5 = 0, J c p Este valor coincide con la energía potencial áxia de un.a.s., que se alcanza en los puntos en los que la elongación es áxia y la energía cinética es nula. Unidad 4. Moviiento arónico siple 7
c La ecuación de la velocidad en un.a.s. es: v = A ω cos (ω t +ϕ Cuando la velocidad sea áxia, el coseno valdrá. Por tanto: v áx = A ω v áx = 0,06 5 = 0,9 s NOA: la resolución de este problea se ofrece tabién en el CD-ROM para el alunado. 3. Una persona carga el aletero de un coche con 50 g de paquetes. Ello hace que descienda el centro de gravedad del vehículo 0,4 c. Calcula: a La constante elástica de los uelles aortiguadores del coche. b El período de vibración si se retiran los paquetes del autoóvil. c El período de vibración cuando los paquetes están dentro del coche. d La frecuencia angular del oviiento arónico en abos casos. a La constante elástica de los uelles se obtiene sustituyendo en la expresión de la ley de Hooe el valor de la fuerza que coprie los aortiguadores, que es el peso de los paquetes: F = x = P = P x = g = 5 0 9,8 = 500 N x 0,004 b Al quitar las aletas, la asa que peranece vibrando es solo la del autoóvil. Coo no nos dan la asa del coche, supondreos que se trata de un utilitario pequeño, de, aproxiadaente, 700 g de asa. Por tanto: = π coche 700 = π = 0, 475 s 500 c En el caso contrario, al añadir las aletas, la asa que vibra es ayor. En ese caso, el período resulta: ' = π coche + aleta ' = π 700 + 50 = 0, 49 s 500 d De la relación entre el período y la frecuencia angular deducios el valor de esta últia para cada uno de los casos analizados en el problea: π π ω = = = 3, 3 rad s 0, 475 π π ω = ' = =, 78 rad s ' 0, 49 Unidad 4. Moviiento arónico siple 8
33. La expresión que perite calcular el período del péndulo siple es: = π l g En dicha expresión, l es su longitud. Calcula la expresión que proporciona la velocidad del.a.s. correspondiente, sabiendo que su aplitud es 5 c, y la longitud del péndulo, 0,98. eniendo en cuenta la longitud del péndulo, podeos calcular el período y, en consecuencia, la frecuencia angular del oviiento: l 098, = π = π =, 987 s g 98, = π π ω = = 36, rad s, 987 Sabeos que la ecuación general de la velocidad de un.a.s. es: v = A ω cos (ω t +ϕ Luego, suponiendo la fase inicial nula (no se indica nada al respecto e identificando coponentes: v = 0,05 3,6 cos (3,6 t + 0 = 0,58 cos (3,6 t s NOA: la resolución de este problea se ofrece tabién en el CD-ROM para el alunado. 34. Una partícula se ueve con un.a.s. de 0, de aplitud y 40 Hz de frecuencia. Calcula la velocidad de dicha partícula cuando pasa por la posición x = 0,05, edida desde su posición de equilibrio. Para deterinar la posición, necesitaos conocer la frecuencia angular, que se obtiene a partir de la frecuencia: ω = π f = π 40 = 80 π rad s La fase inicial la supondreos nula, pues no se indica nada al respecto. De este odo, resulta: x = A sen (ω t = 0, sen (80 π t Para calcular la velocidad de la partícula, heos de saber, en prier lugar, el intante en que ocupa la posición x = 0,005. Si despejaos de la ecuación de la elongación, resulta: x(t = 0, sen (80 π t = 0,05 sen (80 π t = 0, 05 = 0,5 0, 80 π t = π 6 t = s 6 80 Si derivaos la ecuación de la posición y sustituios, obteneos la velocidad de la partícula en función del tiepo: v(t = A ω cos (ω t v(t = 8 π cos (80 π t Unidad 4. Moviiento arónico siple 9
En el instante en que la partícula se encuentra en x = 0,05, su velocidad es: 35 Sobre una partícula, de 00 g de asa, actúa una fuerza elástica F = 0 x, siendo x la distancia desde la posición de equilibrio. Desplazaos la partícula 0 c de dicha posición de equilibrio y la dejaos en libertad. Calcula: a La frecuencia angular, el período y la frecuencia del.a.s. que describe la partícula. b La energía que posee la partícula. a La expresión de la ley de Hooe proporciona la constante elástica, de la que deducios las agnitudes que nos piden: b La energía ecánica de la partícula es: v t = = 8 π cos 80 π = 6 80 6 80 = 8 π cos = 4 π 3 =, 77 s 6 F F = x = = 0 N - x 0 ω = ω = = 0 rad s 0, 0, = π = π = 0, π = 0, 68 s 0 f = = =, 59 Hz 0, 68 E = E c + E p = A ω = 0, 0, 0 = 0, J 36. Si colgaos una asa,, de un uelle de constante elástica y haceos oscilar verticalente el sistea que se fora, el oviiento que describe la asa es arónico siple. Para coprobarlo, heos colgado de un uelle de constante, desconocida, un asa variable. Haciendo oscilar el conjunto, los períodos obtenidos han sido los reflejados en la tabla de la derecha. Con los datos anteriores, confecciona un gráfica que uestre cóo varía el período, en función de la asa suspendida del uelle. Qué fora tiene la curva? Podeos obtener alguna conclusión? Masa (g Período (s 0,00 0,0 4,03 0,03 0,00 0,0 6,34 0,03 30,00 0,0 8,57 0,03 40,00 0,0 0,68 0,05 50,00 0,0,38 0,0 60,00 0,0 4,0 0,04 70,00 0,0 5,45 0,03 80,00 0,0 6,8 0,07 Unidad 4. Moviiento arónico siple 30
Confecciona otra gráfica que uestre la relación que existe entre la asa y el cuadrado del período. Encuentras ahora alguna relación? Calcula, con los datos anteriores, el valor que corresponde a la constante elástica del uelle y el error con que viene afectado dicho valor. Justifica el proceso analítico que sigues. NOA: Consulta, si lo necesitas, el apéndice sobre cálculo de errores que se incluye en el CD. Al representar en una gráfica los resultados que se uestran en la tabla, obteneos: (s 5 0 5 0 5 0 0 30 40 50 60 70 80 (g En la gráfica se puede observar que cuanto ayor es la asa que cuelga, ayor es el período de las oscilaciones. Sin ebargo, la relación entre abas agnitudes no es lineal; la pendiente de la curva no es constante. La gráfica que uestra la relación entre la asa y el cuadrado del período es la siguiente: (s 700 600 500 400 300 00 00 0 0 30 40 50 60 70 80 (g En ella veos que la relación entre abas agnitudes es lineal. La asa es, por tanto, directaente proporcional al cuadrado del período. Unidad 4. Moviiento arónico siple 3
En un.a.s., el período y la asa están relacionados por edio de la expresión: = π Si en esta expresión despejaos el cuadrado del período, obteneos: = 4 = cte La constante que aparece en la expresión anterior es la pendiente de la gráfica -: cte = 500, 9 96, 8 = 3 ( 50 0 0 = 7 60, 5 eniendo en cuenta este resultado, podeos calcular la constante elástica del uelle: cte = 4 π 4 π 4 π = = = 59, 0 N cte 7 60, 5 3 NOA: Dependiendo del par de puntos que hayaos toado para calcular la pendiente, su valor puede variar ligeraente, haciéndolo tabién el valor que asignaos a la constante elástica del uelle. La realización del cálculo de errores correspondiente se puede hacer si el profesor o profesora lo estia procedente. Unidad 4. Moviiento arónico siple 3