UNIDAD Moviiento arónico siple Un trapolín ejerce una fuerza de restauración sobre la persona que salta directaente proporcional a la fuerza edia necesaria para desplazar la colchoneta. El oviiento hacia delante y atrás debido a las fuerzas de restitución suinistra la energía necesaria para el oviiento arónico siple. (Fotografía de Mark Tippens). Objetivos Al finalizar la unidad estará en capacidad de: Aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton para describir un oviiento arónico siple. Relacionar el oviiento circular unifore y el oviiento arónico siple para deostrar las ecuaciones del oviiento arónico siple. Aplicar las ecuaciones del oviiento arónico siple en la solución de probleas relacionados con sisteas asa-resorte y péndulos. Tippens_U0_L_00-022.indd 5/8/08 5:20:6
. Moviiento periódico Siepre que se defora un objeto, aparece en él una fuerza elástica de restitución proporcional a la deforación. Cuando la fuerza deja de actuar, el objeto vibra de un lado a otro respecto de su posición de equilibrio. Por ejeplo, después de que un clavadista salta del trapolín (figura.), éste continúa vibrando de arriba abajo de su posición noral durante cierto tiepo. Se dice que este tipo de oviiento es periódico porque la posición y la velocidad de las partículas en oviiento se repiten en función del tiepo. Puesto que la fuerza de restitución disinuye después de cada vibración, tarde o teprano el trapolín volverá al estado de reposo. El oviiento periódico es aquel en el que un cuerpo se ueve de un lado a otro, sobre una trayectoria fija, y regresa a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiepo definido. Una esa de aire es un aparato de laboratorio sobre el que los objetos se deslizan con uy poca fricción. Suponga que fijaos un extreo de un resorte ligero a la pared y el otro a un disco circular libre para deslizarse sobre esa esa, coo se uestra en la figura.2. Denotareos su posición inicial de equilibrio con x 5 0, y luego estirareos el resorte a la derecha una distancia x 5 A. Al soltarlo, se observa que el disco oscila de un lado a otro por la posición de equilibrio con fricción despreciable. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza de restitución F es directaente proporcional al desplazaiento a partir de x 5 0. Esa fuerza siepre se opone al desplazaiento, de odo que la ley de Hooke puede escribirse coo F 5 2kx Ley de Hooke (.) Figura. Vibración periódica de un trapolín. Mesa de aire F Presión del aire A O +A F = kx x Figura.2 Un disco unido a un resorte oscila a un lado y otro sobre una esa de aire, lo que ejeplifica el oviiento arónico siple. Tippens_U0_L_00-022.indd 2 5/8/08 5:20:8
El desplazaiento áxio a partir de la posición de equilibrio x 5 6A se llaa aplitud. En esta posición, el disco experienta su fuerza áxia dirigida hacia el centro de oscilación. La fuerza disinuye a edida que el disco se aproxia al centro de oscilación; al llegar a él, se vuelve igual a cero. La cantidad de oviiento del disco lo lleva ás allá del centro, pero luego la fuerza invierte esta dirección, lo que disinuye el oviiento hasta que el disco alcanza su aplitud en la otra dirección y la oscilación continúa. Sin fricción, este oviiento perduraría por siepre. Este tipo de oviiento oscilatorio sin fricción se denoina oviiento arónico siple (MAS). El oviiento arónico siple (MAS) es un oviiento periódico que ocurre en ausencia de fricción y es producido por una fuerza de restitución directaente proporcional al desplazaiento y tiene una dirección opuesta a éste. El periodo T se define coo el tiepo en el que se realiza una oscilación copleta cuando el objeto se ueve con MAS. Considere, por ejeplo, la asa atada al extreo de un resorte vertical, coo aparece en la figura.3. Si tiraos de la asa hacia abajo una distancia y 5 2A y luego la soltaos, su oviiento se aproxiará al MAS. El tiepo que va desde que se la suelta en y 5 2A hasta que vuelve a y 5 2A representa el lapso de una oscilación copleta, es decir, el periodo. En realidad, podríaos elegir cualquier posición y durante la oscilación y el periodo sería el tiepo que deoraría la asa en volver a ese lugar oviéndose en la isa dirección. Cabe señalar que el tiepo requerido para overse del centro de oscilación al áxio desplazaiento A en cualquier dirección sólo es una cuarta parte del periodo. Suponga que la asa oscilatoria de la figura.3 tiene un periodo igual a 4 s. En t 5 0, pasa el centro de oscilación en dirección ascendente. Tras un segundo, se hallará en y 5 A. Después de 2 s, pasará otra vez por el centro de equilibrio. No obstante, irá en dirección descendente, así que el tiepo es igual a edio periodo. El periodo copleto de 4 s sólo se alcanza cuando la asa vuelve a y 5 0 y se ueve en la isa dirección que tenía cuando t 5 0. La frecuencia f es el núero de oscilaciones copletas por unidad de tiepo. Puesto que el periodo es igual a la cantidad de segundos por oscilación, se deduce que la frecuencia será el recíproco del periodo o núero de oscilaciones por segundo f T (.2) En el SI, la unidad para la frecuencia (oscilacionesysegundo) es el hertz (Hz) El hertz Hz s s Por tanto, una frecuencia de 20 oscilaciones por segundo se escribe 20 Hz. Moviiento arónico siple y = +A El periodo T es el tiepo en que se tiene una oscilación copleta (segundos, s) Aplitud A y = A f = T La frecuencia f es el núero de oscilaciones copletas por segundo Figura.3 El oviiento arónico siple (MAS) es un oviiento periódico con aplitud, frecuencia y periodo constantes. Tippens_U0_L_00-022.indd 3 5/8/08 5:20:20
Ejeplo. La asa suspendida de la figura.3 se tira hacia abajo y luego se suelta, por lo que oscila con MAS. Un estudiante deterina que el tiepo transcurrido para 50 vibraciones copletas es de 74. s. Cuáles son el periodo y la frecuencia del oviiento? Plan: El tiepo proporcionado es de 50 vibraciones. Sabeos que el periodo es el tiepo que se lleva una vibración y que la frecuencia es el recíproco del periodo. Solución: Al dividir el tiepo total entre las vibraciones totales se obtiene T 74. s 50 vib.48 s Por últio, con base en la ecuación (.2) se deterina la frecuencia f T ; f 0.675 Hz.48 s Debe señalarse que una vibración u oscilación es una unidad adiensional tal que vibys se expresa sencillaente coo s 2 o Hz. Ejeplo.2 Se fija al techo un resorte ligero; luego se arca su posición inferior en un etro. Cuando se cuelga una asa del extreo inferior del resorte, éste se ueve hacia abajo una distancia vertical de 2 c. Deterine la constante del resorte. Plan: De acuerdo con la ley de Hooke, la constante del resorte es la razón de cabio de fuerza al cabio de desplazaiento. Observe que la constante del resorte es una cantidad absoluta. El signo negativo de la ley de Hooke indica que la dirección de la fuerza de restitución es opuesta al desplazaiento. Solución: El cabio de la fuerza es igual al peso de la asa g, así que F 5 g y x 5 0.2. A partir de la ley de Hooke se obtiene k F x g x (3 kg)(9.8 /s2 ) 0.2 242 N/ La letra griega delta en las ecuaciones anteriores es iportante, ya que denota el cabio de fuerza y de desplazaiento que deterinan la constante del resorte. En este ejeplo, si añadios una segunda asa de 3 kg debajo de la priera, el resorte se overá hacia abajo otros 2 c. En el tea.7 deostrareos que el periodo y la frecuencia para un sistea que oscila con MAS puede deterinarse a partir de la asa y la constante del resorte..2 Segunda ley de Newton y ley de Hooke La fuerza de restitución de un sistea oscilatorio con MAS cuple la ley de Hooke, pero cualquier fuerza resultante satisface la segunda ley de Newton; por ende, la aceleración de una asa que vibra será proporcional tanto a la fuerza resultante coo al desplazaiento F 5 a y F 5 2kx Tippens_U0_L_00-022.indd 4 5/8/08 5:20:22
Al cobinar estas dos relaciones se obtiene a 5 2kx así que la aceleración de una asa que se ueve con MAS está dada por a k x (.3) El signo negativo indica que la aceleración (y la fuerza de restitución) se dirige siepre en dirección opuesta al desplazaiento. Si éste es hacia abajo, la aceleración es hacia arriba; si el desplazaiento va a la derecha, la aceleración lo hará a la izquierda. Ejeplo.3 Suponga que el disco circular de la figura.4 tiene una asa de.5 kg y que se le tira hacia fuera una distancia de 2 c; luego se le suelta y oscila con MAS sobre una esa de aire. La constante del resorte es de 20 Ny. (a) Cuáles son la agnitud y la dirección de la aceleración? (b) Cuál es la fuerza sobre la asa cuando ésta tiene los desplazaientos siguientes: (a) 2 c, (b) 8 c, y (c) 24 c? Plan: Con la ecuación (.3) halle la aceleración correspondiente a cada desplazaiento. Deterine entonces la fuerza a partir de la ley de Hooke o de la segunda ley de Newton. Sin ebargo, debe prestar atención a los signos porque tanto la fuerza coo la aceleración deben ser opuestas al desplazaiento. Elija la dirección hacia la derecha coo positiva. Solución (a): Priero calculaos la aceleración y la fuerza para x 5 2 c 5 0.2, que debe representar la aceleración áxia y la fuerza de restitución, ya que la asa se halla en la aplitud A. a kx N/)( 0.2 ) (20 ; a 9.6 /s 2.5 kg F kx (20 N/)( 0.2 ); F 4.4 N Observe que la fuerza y la aceleración correspondientes a este desplazaiento se dirigen a la izquierda. Solución (b): Cuando x 5 8 c 5 0.08, la aceleración y la fuerza son a kx N/)( 0.08 ) (20 ; a 6.4 /s 2.5 kg F kx (20 N/) (0.08 ); F 9.6 N F F (x) = kx F x Figura.4 Trabajo realizado por la fuerza de extensión F cuando ésta desplaza la asa una distancia igual a x a partir de la posición de equilibrio. x Tippens_U0_L_00-022.indd 5 5/8/08 5:20:25
Solución (c): Cuando x 5 24 c 5 20.04 se obtiene a kx N/)( 0.04 ) (20 ; a 3.2 /s 2.5 kg F kx (20 N/)( 0.04 ); F 4.8 N Cabe advertir en el últio ejeplo que el disco se halla del lado izquierdo de la posición de equilibrio, lo que significa que el resorte está copriido y ejerce una fuerza de restitución que va a la derecha. Los signos de las respuestas indican las direcciones..3 Trabajo y energía en el oviiento arónico siple Suponga que consideraos el trabajo hecho al extender un resorte, coo el que aparece en la figura.5. Una fuerza externa F actúa a lo largo de una distancia x al copriir el resorte. Este trabajo es positivo e igual al producto de la fuerza por la distancia, Fx. A la vez, el resorte ejerce una fuerza equivalente y en dirección opuesta (contra la fuerza que coprie) que realiza la isa cantidad de trabajo, pero negativo. Si trazaos una gráfica de la fuerza as a F function en of displace función del desplazaiento x, es posible deostrar que el trabajo by que this efectúa force is es equal igual to a 2kx 2, which eans that lo que significa que la energía potencial U alacenada en el resorte está dada por Energía potencial U 2 kx2 (.4) Cuando as a function se suelta of displaceent un resorte copriido, la energía potencial se convierte en energía cinética to ( 2kx v 2,) which a edida eans que that la asa the potential que aquél energy tiene unida gana velocidad. Si suponeos que by this force is equal no hay fricción, la energía cinética final será igual a la energía potencial inicial. La energía potencial se guarda en el resorte sólo cuando está copriido o extendido. Por su parte, la energía cinética sólo existe si la asa tiene velocidad. Recuerde que la energía total (U K) de un sistea no cabia. En consecuencia, en ausencia de fricción escribios Conservación de la energía U 0 K 0 5 U f K f 2 kx 2 0 2 v 2 0 2 kx2 f 2 v 2 f (.5) donde los subíndices 0 y f se refieren a los valores inicial y final. Si hay fricción, debeos suar en el iebro derecho de la ecuación el trabajo absoluto realizado por ella. Ahora estaos listos para considerar la conservación de la energía para una asa que oscila con MAS, coo se uestra en la figura.5. Básicaente, en cualquier punto durante la oscilación, la energía total (E 5 U K) es E 2 kx2 2 v2 + x = A x = 0 F x = +A Figura.5 Conservación de la energía para el MAS. x Tippens_U0_L_00-022.indd 6 5/8/08 5:20:29
Considere la energía total E en cada uno de los casos siguientes: En x 5 6 A: E 5 2 ka2 2 (0)2 o E 5 2 ka2 En x 5 0: E 5 2 k(0)2 2 v2 áx o E 5 2 v2 áx En x 5 x: E 5 2 kx2 2 v2 Enseguida, deducireos una expresión para deterinar la velocidad v de una asa que se ueve con MAS y sin fricción. Coo la energía total en cualquier punto es la isa que se tiene al alcanzar la aplitud, podeos escribir 2 kx2 2 v2 2 ka2 Si resolveos para la velocidad, v, hallareos que k v A A (A2 x 2 ) (.6) Observe que para el caso especial en que x 5 0, la velocidad es áxia e igual a k v áx A A (.7) Las ecuaciones (.6) y (.7) son útiles en cálculos repetitivos, pero casi siepre es ejor aplicar solaente la ecuación de conservación (.5) porque es ás fácil recordarla. Puesto que la energía es una cantidad escalar, no se sabe la dirección de la velocidad a partir de estas ecuaciones. La raíz cuadrada de un núero puede ser positiva o negativa. Ejeplo.4 Un resorte tiene atada una asa de 0.4 kg que oscila con MAS a lo largo de una superficie sin fricción, coo en la figura.5. La constante del resorte es de 20 Ny y la aplitud de 5 c. (a) Cuál es la velocidad áxia de la asa? (b) Cuál es la velocidad cuando la asa se halla a una distancia de 3 c a la derecha de la posición de equilibrio? Plan: La energía total se conserva, de fora que abas preguntas pueden responderse aplicando la ecuación (.4) para las distancias conocidas. Reconoceos que la velocidad alcanza su áxio cuando x 5 0, ya que la fuerza de restitución siepre ha ido en una isa dirección para el periodo ás grande en ese punto. La velocidad en la posición x 5 3 puede deterinarse reconociendo que la energía total en ese punto es igual a la energía total en at cualquier either aplitude ( 2kA 2 ). Es It will útil organizar be useful los to datos organize antes the de data resolver before para solving v. for Dados: A 5 0.05, x 5 0 y 0.03, 5 0.4 kg, k 5 20 Ny Solución (a): La velocidad áxia ocurre para x 5 0, así que la conservación de la energía obliga a que Al despejar v áx se obtiene 2 k(0)2 2 v2 áx 2 ka2 o 2 v2 áx 2 ka2 k v áx A A 20 N/ (0.05 ); A 0.4 kg v áx 0.354 /s A partir de este resultado no podeos saber si la asa se ueve a la derecha o a la izquierda cuando pasa por x 5 0. Tippens_U0_L_00-022.indd 7 5/8/08 5:20:33
Solución (b): La velocidad en x 5 0.03 se deterina con la ecuación de conservación. Al resolver para v se llega a 2 kx2 2 v2 áx 2 ka2 2 (20 N/)(0.03 )2 2 (0.4 kg)v2 (20 N/)(0.05 )2 2 v 5 60.283 ys La sustitución directa en la ecuación (.6) da la isa respuesta. De nuevo, ello sólo indica la rapidez de la asa en este punto. Podría estarse oviendo a la derecha o a la izquierda en el instante en que se ubica 3 c a la derecha del centro..4 El círculo de referencia y el oviiento arónico siple Las leyes del oviiento uniforeente acelerado no se aplican al MAS debido a que en éste hay una fuerza que varía. El oviiento arónico siple es producto de esa fuerza, que es proporcional al desplazaiento. Recordará de la ecuación (.3) que a k x Mientras la asa peranezca constante, la aceleración auentará con el desplazaiento y su dirección siepre será opuesta a éste. A fin de deterinar relaciones nuevas que nos peritan predecir la posición, la velocidad y el desplazaiento en función del tiepo heos de recurrir al cálculo. Por fortuna, esas ecuaciones pueden deducirse de una coparación del MAS con la revolución periódica de una asa en torno a cierto radio. Considere el aparato que se uestra en la figura.6, donde la sobra de una pelota unida a un disco giratorio se ueve hacia delante y hacia atrás con oviiento arónico siple. Este experiento indica que lo que sabeos del oviiento circular unifore puede ser de utilidad al describir el oviiento arónico siple. El círculo de referencia de la figura.4 sirve para coparar el oviiento de un objeto que se ueve en un círculo, con su proyección horizontal. Puesto que es el oviiento de la proyección el que deseaos estudiar, nos referireos aquí a la posición P del objeto que se ueve en círculo coo el punto de referencia. El radio del círculo de referencia es igual a la aplitud de la oscilación horizontal. Si la rapidez lineal v T y la velocidad angular v del punto de referencia son constantes, entonces la proyección Q se overá de un lado al otro con MAS. Al tiepo se le asigna un valor de cero cuando el punto de referencia se encuentra en B en la figura.4. En un oento posterior t, el punto de referencia P se habrá ovido a lo largo de un ángulo u. El desplazaiento x de la proyección Q es, por tanto, x 5 A cos u Coo el ángulo u 5 v t, ahora podeos escribir el desplazaiento coo una función de la velocidad angular del punto de referencia x 5 A cos u 5 A cos v t (.8) Aunque la velocidad angular v es útil para describir el oviiento del punto de referencia P, no se aplica directaente a la proyección Q. Sin ebargo, recordeos que la velocidad angular se relaciona con la frecuencia de revolución ediante v 5 2p f Tippens_U0_L_00-022.indd 8 5/8/08 5:20:34
C v T Motor P A R = A u x = A cos u B Pantalla Luz Figura.6 La proyección o sobra de una pelota unida a un disco que gira se ueve con oviiento arónico siple. Figura.7 Desplazaiento en el oviiento arónico siple. Q donde v se expresa en radianes por segundo y f es el núero de revoluciones por segundo. Tabién hay que reconocer que la proyección Q describirá una oscilación copleta, ientras el punto de referencia describe una revolución copleta. Por tanto, la frecuencia f es la isa para cada punto. Sustituyendo v 5 2p f en la ecuación (.8) se obtiene x 5 A cos 2p f (.9) Esta ecuación puede aplicarse para calcular el desplazaiento de un cuerpo que se ueve con un MAS de aplitud A y frecuencia f. Recuerde que el desplazaiento x siepre se ide a partir del centro de oscilación..5 Velocidad en el oviiento arónico siple Considere un cuerpo que se ueve de un lado a otro con un MAS bajo la influencia de una fuerza de restitución. Puesto que la dirección del cuerpo que oscila se invierte en los puntos extreos de su oviiento, su velocidad debe ser cero cuando su desplazaiento es áxio. Entonces se acelera hacia el centro ediante la fuerza de restitución, hasta que alcanza su rapidez áxia en el centro de la oscilación, cuando su desplazaiento es igual a cero. En la figura.8 la velocidad de un cuerpo que oscila se copara en tres distintos instantes con los correspondientes puntos sobre el círculo de referencia. Se observará que la velocidad v del cuerpo, en cualquier instante, es la coponente horizontal de la velocidad tangencial v T del punto de referencia. En el punto B, el punto de referencia se ueve en dirección vertical hacia arriba y no tiene velocidad horizontal. Por tanto, este punto corresponde a la velocidad cero del cuerpo oscilante, cuando éste alcanza su aplitud A. En el punto C la coponente horizontal v T es igual a su agnitud total. Este punto corresponde a una posición de velocidad áxia para el cuerpo que oscila, es decir, a su centro de oscilación. En general, la velocidad de este cuerpo en cualquier punto Q se deterina a partir del círculo de referencia de esta fora: v 5 2v T sen u 5 2v T sen v t (.0) El signo es negativo en virtud de que la dirección de la velocidad es hacia la izquierda. Podeos dar una fora ás conveniente a la ecuación si recordaos la relación entre la velocidad tangencial v T y la velocidad angular: v T 5 v A 5 2pƒA Tippens_U0_L_00-022.indd 9 5/8/08 5:20:36
0 C C v T u v T C v T v P R = A A O B O u x = A cos u B O B (a) v = 0 Figura.8 La velocidad y el círculo de referencia. (b) v Q v áx (c) Sustituyendo en la ecuación.5 nos queda v 5 22pƒA sen 2pƒt (.) Con esta ecuación se obtiene la velocidad de un cuerpo que oscila en cualquier instante si se tiene presente que sen u es negativo cuando el punto de referencia queda por debajo del diáetro del círculo de referencia. Ejeplo.5 Se fija una asa a un resorte coo se uestra en la figura.4, luego se tira de ella 6 c a la derecha y entonces se la suelta. Vuelve al punto de donde se soltó en 2 s y sigue oscilando con oviiento arónico siple. (a) Cuál es su velocidad áxia? (b) Cuál es su posición y velocidad 5.2 s después de que se soltó? Plan: Priero se reconoce que 2 s para la priera oscilación copleta corresponde al periodo del oviiento. Coo la frecuencia es el recíproco del periodo, entonces ƒ = 0.5 Hz (si una oscilación ocupa 2 s, entonces cada segundo se tiene edia oscilación). Organice la inforación proporcionada y decida qué ecuaciones coprenden esas cantidades. El prier áxio para la velocidad se presenta cuando el desplazaiento es igual a cero, lo cual corresponde a 90 en el círculo de referencia. La posición y la velocidad 5.2 s después de haber soltado la asa se deterinan con las ecuaciones (.9) y (.). La conservación de la energía no ayuda en este caso, ya que no se conoce la constante del resorte ni la posición. Solución (a): Sabeos que ƒ 5 0.5 Hz, A 5 0.06 y u 5 90. La velocidad áxia se deterina sustituyendo estos datos en la ecuación (.9). Recuerde que sen 90 5. v áx 2pfAsen 90 2pfA 2p(0.5 Hz)(0.06 ) 0.88 /s El signo negativo indica que la priera velocidad áxia es 28.8 cys en dirección izquierda. Si hubiéraos sustituido 270 para el ángulo u, la velocidad áxia hubiera sido 8.8 cys hacia la derecha. Tippens_U0_L_00-022.indd 0 5/8/08 5:20:38
Solución (b): En este caso se pide deterinar la posición y la velocidad en un instante deterinado: 5.2 s. Cuando el ángulo de referencia u se escribe coo 2pƒt es indispensable recordar que los ángulos deben expresarse en radianes, no en grados. Cerciórese de que su calculadora está configurada para leer los ángulos en radianes. Coo un pequeño error en la edida de éstos es iportante, ejor asegúrese de no redondear sus datos hasta que haya alcanzado la respuesta final. El desplazaiento en t 5 5.2 s se halla a partir de la ecuación (.9) x Acos(2pft) (0.06 ) cos[2p(0.5 Hz)(5.2 s)] (0.06 ) cos(6.34 rad) (0.06 )( 0.809) 0.0485 4.85 c La velocidad se encuentra con la ecuación (.) usando el iso ángulo, en radianes v 2pfA sen(6.34 rad) 2p(0.5 Hz)(0.06 )( 0.588) 0.22.2 c/s Cabe observar que la velocidad después de 5.2 s es positiva, lo que indica que la asa se ueve a la derecha en ese instante..6 Aceleración en el oviiento arónico siple La velocidad de un cuerpo que oscila jaás es constante. Por tanto, la aceleración tiene sua relevancia en las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad en la sección anterior. Ya contaos con una expresión para predecir la aceleración en función de la distancia; ahora deducireos la relación con el tiepo. En la posición de desplazaiento áxio (6A), la velocidad de una asa que oscila es igual a cero. Es en ese instante cuando la asa está soetida a la áxia fuerza de restitución. Por consiguiente, su aceleración es áxia cuando su velocidad es cero. Cuando la asa se aproxia a su posición de equilibrio, la fuerza de restitución (y, por tanto, la aceleración) se reduce hasta llegar a cero en el centro de la oscilación. En la posición de equilibrio, la aceleración es igual a cero y la velocidad alcanza su valor áxio. Mireos el círculo de referencia de la figura.9, trazado para estudiar la aceleración a de una partícula que se ueve con oviiento arónico siple (MAS). Note que la aceleración centrípeta a c de una asa que se ueve en un círculo de radio R 5 A se copara con la aceleración de su propia sobra. La aceleración a de la sobra representa el MAS y es igual a la coponente horizontal de la aceleración centrípeta a c de la asa. Con base en la figura, a 5 2a c cos u 5 2a c cos v t (.2) donde v 5 2p f. El signo enos indica que la aceleración es opuesta al desplazaiento pero igual a la dirección de la velocidad. De nuestra explicación sobre la rotación y el oviiento circular recordeos que v vr Si cobinaos abas relaciones se obtiene y a c v2 R a c (vr)2 R o a c v 2 R Coo a c 5 v 2 R y R 5 A, es posible rescribir la ecuación (.2) coo sigue Tippens_U0_L_00-022.indd 5/8/08 5:20:4
2 v T v T C v T a u P a c O B O O a áx a (a) (b) Q a = 0 (c) Figura.9 Aceleración y el círculo de referencia. a 5 2v 2 A cos v t Esta relación expresa la aceleración de un cuerpo que se ueve con MAS con aplitud igual a A y frecuencia angular igual a v (en rad/s). Es posible hallar la isa ecuación expresada en térinos de la frecuencia f (en Hz) sustituyendo v 5 2p f para obtener a 5 24p 2 f 2 A cos (2p f ) (.3) Si observaos la ecuación (.9) podeos siplificar esta ecuación coo sigue Por tanto, la ecuación (.3) se convierte en cos u cos(2p ft) x A o bien a 4p 2 f 2 A x A a 5 24p 2 f 2 x (.4) Se advierte que la aceleración es directaente proporcional al desplazaiento, a cuya dirección se opone, coo debe suceder de conforidad con la ley de Hooke..7 El periodo y la frecuencia A partir de la inforación establecida acerca del desplazaiento, la velocidad y la aceleración de cuerpos que oscilan podeos deducir algunas fórulas útiles para calcular el periodo o la frecuencia de la oscilación. Por ejeplo, si resolveos la ecuación (.9) para la frecuencia f se obtiene f 2p A a x (.5) Tippens_U0_L_00-022.indd 2 5/8/08 5:20:44
3 FÍSICA HOY Los balcones y los puentes para cainar requieren una ingeniería precisa respecto de su frecuencia de resonancia. La gente que zapatea o archa puede ocasionar que esas estructuras resuenen y se sacudan. La altura total de la onda puede ser ayor de la que resultaría únicaente del peso de las personas suado al de la estructura. Puesto que el desplazaiento x y la aceleración son siepre de signos opuestos, el térino 2ayx siepre es positivo. El periodo T es el recíproco de la frecuencia. Recurriendo a este hecho en la ecuación (.5) definios el periodo coo T 2p A x a (.6) Por consiguiente, si se conoce la aceleración correspondiente a un deterinado desplazaiento es posible calcular el periodo de oscilación. Cuando se analiza el oviiento de cuerpos bajo la influencia de una fuerza de restitución elástica, es ás conveniente expresar el periodo en función de la constante del resorte y de la asa del cuerpo que oscila, lo cual se logra coparando las ecuaciones (.3) y (.4): a k x a 4p 2 f 2 x Cobinando estas relaciones obteneos de donde resulta que la frecuencia es 4p 2 f 2 k f k 2p A (.7) Finalente, el periodo T está dado por el recíproco de la frecuencia, es decir, T 2p A k (.8) Observe que ni el periodo ni la frecuencia dependen de la aplitud (desplazaiento áxio) del cuerpo oscilatorio; sólo dependen de la constante del resorte y de la asa del cuerpo iso. Ejeplo.6 Una bola de acero de 2 kg está unida al extreo de una tira plana de etal que está sujeta en su base, coo uestra la figura.0. Si se requiere una fuerza de 5 N para desplazar la bola 3 c, cuál será su periodo de oscilación después de soltarla? Cuál será su aceleración áxia? Plan: Priero deterine la constante del resorte k a partir de la ley de Hooke y del hecho de que una fuerza de 5 N desplaza la asa 3 c. La aceleración áxia se presenta cuando el desplazaiento es un áxio (en x 5 3 c). Solución: De la ley de Hooke se tiene que k 5 F x 5 5 N 0.03 ; k 5 67 N/ Ahora sustituios k 5 67 Ny y 5 0.2 kg en la ecuación (.8) para hallar el periodo T Tippens_U0_L_00-022.indd 3 5/8/08 5:20:47
4 3 c 3 c 5 N Figura.0 T 2p A k 2p 0.2 kg A 67 N/ T 0.28 s Recuerde que la frecuencia f es el recíproco del periodo, es decir, equivale a yt, y la aceleración áxia se deterina sustituyendo x 5 6A 5 60.03 en la ecuación (.4) a 4p 2 f 2 x 4p2 A T 2 a 4p2 (0.03 ) 2 ; a 25.0 /s2 (0.28 s) Observe que el signo negativo resulta de que usaos el signo positivo para la aplitud. Cuando la bola llega al lado izquierdo, x 5 20.03 y la aceleración es de 25 ys 2..8 El péndulo siple Cuando una lenteja de un péndulo oscila unida al extreo de una cuerda o varilla ligera, coo se uestra en la figura., lo hace con algo próxio al oviiento arónico siple (MAS). Si suponeos que toda la asa se concentra en el centro de gravedad de la lenteja y que la fuerza de restitución actúa en un solo punto, denoinaos a este aparato péndulo siple. Aunque esta suposición no es estrictaente cierta, se obtiene una aproxiación haciendo que la asa de la cuerda o varilla de sostén sea pequeña en coparación con la lenteja del péndulo. Observe que el desplazaiento x de la lenteja no se produce a lo largo de una línea recta sino que sigue un arco subtendido por el ángulo u. De acuerdo con los étodos estudiados en trigonoetría, la longitud del desplazaiento es sipleente el producto del ángulo u y la longitud de la cuerda, por lo que x 5 L u Tippens_U0_L_00-022.indd 4 5/8/08 5:20:49
5 Si el oviiento de la lenteja corresponde al MAS, la fuerza de restitución estará dada por F 5 2kx 5 2kL u (.9) lo que significa que la fuerza de restitución debiera ser proporcional a u, puesto que la longitud L es constante. Exaineos la fuerza de restitución para ver si esto es cierto. En el oviiento de un lado a otro de la lenteja, la fuerza de restitución necesaria la proporciona la coponente tangencial del peso. Con base en la figura. podeos escribir F 5 2g sen u (.20) Por consiguiente, la fuerza de restitución es proporcional a sen u y no a u. La conclusión es que la lenteja no oscila con MAS. Sin ebargo, si estipulaos que el ángulo u es pequeño, sen u será aproxiadaente igual al ángulo u en radianes. Copruébelo considerando varios ángulos pequeños: sen U U (rad) sen 6 5 0.045 6 5 0.047 sen 2 5 0.208 2 5 0.209 sen 27 5 0.454 27 5 0.47 Cuando se utiliza la aproxiación sen u u, la ecuación (.20) se vuelve F 5 2g sen u 5 2g u Coparando esta relación con la ecuación (.9) se obtiene de donde F 5 2kL u 5 2g u k L g u A L x = Lu g sen u u g cos u g Figura. Tippens_U0_L_00-022.indd 5 5/8/08 5:20:5
6 Sustituyendo esta proporción en la ecuación (.8) resulta una expresión para el periodo de un péndulo siple: T 2p A L g (.2) Observe que para aplitudes pequeñas el periodo del péndulo siple no está en función de la asa de la lenteja ni de la aplitud de la oscilación. En realidad, puesto que la aceleración de la gravedad es constante, el periodo depende exclusivaente de la longitud de la cuerda o varilla. Ejeplo.7 En un experiento de laboratorio un estudiante recibe un cronóetro, una lenteja de adera y un trozo de cuerda. Para deterinar la aceleración debida a la gravedad (g), construye un péndulo siple de de longitud. Se ata la lenteja de adera a un extreo y se hace oscilar el péndulo con MAS. Si el tiepo de 20 oscilaciones copletas es igual a 40 s, cuál será el valor obtenido para g? Plan: El periodo es el tiepo de una oscilación o, en este caso, 2 s (40 sy20 osc 5 2 syosc). Para deterinar la aceleración debida a la gravedad debeos resolver la ecuación (.2) explícitaente para g y luego sustituir las valores para T y para L. Solución: Al elevar al cuadrado abos iebros de la ecuación (.2) se obtiene T 2 4p 2 L g de donde g 4p2 L 4p2 ( ) T 2 (2 s) 2 9.87 /s 2.9 El péndulo de torsión Otro ejeplo de MAS es el péndulo de torsión (figura.2), que consta de un disco o cilindro sólido apoyado en el extreo de una barra delgada. Si el disco se hace girar recorriendo un ángulo u, el oento de torsión t es directaente proporcional al desplazaiento angular. Por tanto, Figura.2 R u F t 5 2k u (.22) donde k9 es una constante que depende del aterial de que está hecha la varilla. Cuando el disco se suelta, el par de restitución produce una aceleración angular que es directaente proporcional al desplazaiento angular. El periodo del oviiento arónico siple angular producido en esta fora está dado por T 2p A I k (.23) donde I es el oento de inercia del sistea que oscila y k es la constante de torsión definida por la ecuación (.7). Tippens_U0_L_00-022.indd 6 5/8/08 5:20:54
7 Ejeplo.8 Un disco sólido de asa igual a 0.40 kg y radio a 0.2 está sostenido por el centro por una varilla delgada y rígida que, a su vez, se ha fijado al techo. Se gira la varilla en un ángulo de rad y luego se le suelta para que oscile. Si la constante de torsión es de 0.025 N yrad, cuál será la aceleración áxia y el periodo de oscilación? Plan: will first Priero calculate calcule the el oento of de inertia inercia for del the disco disk ( 2 R 2 ). Para To find deterinar the la aceleración angular as a en function función of del angular desplazaiento displaceent, angular we cobine need to las cobine leyes de Newton y angular acceleration de Hooke para la rotación, de un odo seejante al usado para la oscilación lineal. El periodo se halla ediante la sustitución directa de los datos en la ecuación (.23). Solución: El oento de inercia del disco es I 2 R2 2 (0.40 kg)(0.2 )2 ; I 2.9 0 3 kg 2 A partir de la ley de Newton, el oento de torsión es igual a Ia y, con base en la ley de Hooke, a 2k a, así que a Ia k u o a k u I (0.025 N /rad)( rad) 8.68 rad/s 2 2.9 0 3 kg 2 Después, el periodo T se halla con sustitución directa, de este odo I T 2p B k 2p 2.9 0 3 kg 2 B 0.025 N /rad T 2.4 s Observe que el periodo no es función del desplazaiento angular. Tippens_U0_L_00-022.indd 7 5/8/08 5:20:56
Resuen y repaso Resuen En esta unidad se describirá el oviiento arónico siple coo un oviiento periódico que se relaciona con el oviiento circular unifore. Adeás, se deuestran y se aplican las ecuaciones del oviiento arónico siple para sisteas asa resorte y para péndulos. Los siguientes puntos resuen los conceptos ás iportantes que se estudian en esta unidad. El oviiento arónico siple es producido por una fuerza de restitución F que se calcula ediante: F 5 2kx x Acos 2pft v 2pfA sen 2pft a 4p2f 2x Fuerza de restitución Puesto que F 5 a 5 2kx, la aceleración producida por una fuerza de restitución es a52 Una fora práctica de estudiar el oviiento arónico siple consiste en usar el círculo de referencia. Las variaciones del desplazaiento x, la velocidad v y la aceleración a pueden observarse toando coo referencia las figuras.7,.8 y.9, respectivaente. En el MAS, el desplazaiento, la velocidad y la aceleración se pueden expresar en función de la aplitud A, el tiepo t y la frecuencia de vibración f : k x El periodo T y la frecuencia f en el oviiento arónico siple se calculan a partir de o Aceleración La energía se conserva durante el MAS sin fricción. Heos deterinado que para una asa que oscila en un extreo de un resorte la energía total E es constante E kx 2 v2 constante 2 2 2 2 2 kx v váx ka2 2 2 2 2 En esta relación, k es la constante del resorte, v la velocidad, x el desplazaiento, A la aplitud y la asa. Desplazaiento Velocidad Aceleración f a A 2p A x f k 2p A o T 2p x A a T 2p Ak Frecuencia o o Periodo CONVENCIONES DEL USO DE LOS SIGNOS EN EL MAS + x = A x=0 F x = +A x El desplazaiento x es positivo cuando la asa se ubica a la derecha de x 5 0 y negativo cuando se halla a la izquierda del cero. No queda deterinado por la dirección de la velocidad ni de la aceleración. La velocidad v es positiva cuando el oviiento va a la derecha y negativo cuando va a la izquierda. La dirección de la aceleración o de la velocidad no es un factor. La velocidad es áxia en el punto edio y cero en cada extreo. La aceleración a y la fuerza de restitución F son positivas cuando el desplazaiento es negativo y negativas cuando éste es positivo. La aceleración y la fuerza son un áxio en los extreos e iguales a cero en el punto edio. 8 Tippens_U0_L_00-022.indd 8 5/8/08 5:2:02
E n el caso de un péndulo siple de longitud L, el periodo se calcula ediante T 2p de una varilla delgada. Si la constante de torsión k9 es conocida, el periodo se calcula ediante L Periodo del péndulo siple Ag T 2p I Periodo del péndulo de torsión B k E l péndulo de torsión consiste en un disco o cilindro sólido cuyo oento de inercia es I, suspendido del extreo Conceptos clave aplitud 3 constante de torsión 6 desplazaiento 3 frecuencia 3 fuerza de restitución 3 hertz 3 oviiento arónico siple (MAS) 3 oviiento periódico 2 péndulo siple 4 periodo 3 Probleas Tea. Moviiento periódico Tea.2 Segunda ley de Newton y ley de Hooke. Una piedra oscila en círculos a rapidez constante en el extreo de una cuerda, describiendo 50 revoluciones en 30 s. Cuáles son la frecuencia y el periodo de este oviiento? Resp..67 revys, 0.600 s 2. Un niño está sentado en el borde de una platafora que gira a 30 rp. La platafora tiene 0 de diáetro. Cuál es el periodo del oviiento y cuál es la rapidez del niño? 3. Una pelota de caucho oscila en un círculo horizontal de 2 de diáetro y describe 20 revoluciones en in. Una luz distante proyecta la sobra de la pelota sobre una pared. Cuáles son la aplitud, la frecuencia y el periodo del oviiento de la sobra? Resp..00, 0.333 Hz, 3.00 s 4. Suponga que una pelota se ueve en un círculo de 2 c de radio a 300 rp. Cuáles son la aplitud, la frecuencia y el periodo de la sobra de la pelota proyectada en una pared? 5. Una asa oscila a la frecuencia de 3 Hz y con una aplitud de 6 c. Cuáles serán sus posiciones en los tiepos t 5 0 y t 5 3.22 s? Resp. 6 c, 23.22 c 6. Una asa de 50 g oscila con un MAS cuya frecuencia es de 0.25 Hz. Suponga que t 5 0 cuando la asa se halla en su desplazaiento áxio. En qué oento será el desplazaiento igual a cero? En qué oento se encontrará la asa a la itad de su aplitud? 7. Cuando una asa de 200 g cuelga de un resorte, la altura de éste desciende una distancia de.5 c. Cuál es la constante k del resorte? Resp. 3 Ny Tippens_U0_L_00-022.indd 9 8. Una asa adicional de 400 kg se añade a la asa inicial de 200 g del problea 7. Cuál será el increento del desplazaiento hacia abajo? 9. Una asa de.5 kg oscila en el extreo de un resorte con MAS. La aplitud de la vibración es de 0.5 y la constante del resorte es de 80 Ny. Cuáles son la agnitud y la dirección de la aceleración y de la fuerza sobre la asa que se ubica en los desplazaientos siguientes: (a) 0.5, (b) 20.09, y (c) 0.05? Resp. (a) 28 ys2, 22 N; (b) 4.8 ys2, 7.2 N; (c) 22.67 ys2, 24 N 0. Un resorte ligero y un bloque de 0.65 kg se hallan en una superficie horizontal sin fricción. El resorte se coprie una distancia de 6 c y se suelta para que vibre con MAS. Si la constante del resorte es de 9 Ny, cuál es la aceleración inicial del bloque y cuál es la fuerza inicial sobre el bloque? Tea.3 Trabajo y energía en el oviiento arónico siple. Se coprie un resorte una distancia de 4 c. Si su cons- tante es de 200 Ny, cuánto trabajo realiza la fuerza de copresión? Cuál es la energía potencial? Resp. 0.6 J, 0.6 J 2. Una pistola de juguete funciona epujando una bola de plástico contra un resorte, al que se coprie una distancia de 8 c. La constante del resorte es de 400 Ny. Si se suelta la bola, cuál será la velocidad cuando se aparta del extreo del resorte? 3. Una asa de 0.5 kg está unida a un resorte ligero cuya constante es de 25 Ny. La asa es desplazada una dis 9 8/5/08 5:54:57 PM
tancia de 6 c y luego se le suelta para que oscile con MAS sobre una superficie horizontal sin fricción. (a) Cuál es la energía total del sistea? (b) Cuál es la velocidad áxia? (c) Cuál es la aceleración áxia? Resp. (a) 45 J, (b) 0.424 ys, (c) 3 ys2 4. Se tienen las isas condiciones del problea 3. Cuál será la velocidad de una asa de 0.5 kg cuando su posición es x 5 5 c y cuál será su velocidad cuando x 5 23 c? Tea.5 Velocidad en el oviiento arónico siple Tea.6. Aceleración en el oviiento arónico siple 25. Una asa de 400 g está unida a un resorte y hace que éste se alargue hasta una distancia vertical de 2 c. A continuación, se tira de la asa hacia abajo hasta una distancia de 4 c y se suelta para que vibre con MAS coo se uestra en la figura.3. Cuál es la constante del resorte? Cuáles son la agnitud y la dirección de la aceleración cuando la asa se halla 2 c por debajo de su posición de equilibrio? Resp. 96 Ny, 9.8 ys2 hacia arriba 5. Un cuerpo vibra con una frecuencia de.4 Hz y una a- plitud de 4 c. Cuál es la velocidad áxia? Cuál es su posición cuando la velocidad es cero? Resp. 60.35 /s, x 5 64 c 6. Un objeto oscila con una frecuencia de 5 Hz y una apli- tud de 6 c. Cuál es la velocidad áxia? 7. Un bloque liso colocado sobre una superficie sin fricción está unido a un resorte, del que se tira a la derecha una distancia de 4 c y luego se suelta. Tres segundos después regresa al punto de partida. Cuál es su frecuencia y cuál es su rapidez áxia? Resp. 0.333 Hz, 8.38 cys 8. En el problea 7, cuáles son la posición y la velocidad 2.55 s después de soltar el bloque? 9. Una asa unida al extreo de un resorte oscila hacia arri- ba y hacia abajo con una frecuencia de 0.600 Hz y una aplitud de 5 c. Cuál será su desplazaiento 2.56 s luego de soltar desde A 5 5 c? Resp. 24.87 c 20. Un objeto vibra con MAS de aplitud igual a 6 c y fre- Figura.3 26. Cuál es la aceleración áxia para el sistea descrito en el problea 25 y cuál es su aceleración cuando se halla 3 c arriba de su posición de equilibrio? 27. Un cuerpo describe una oscilación copleta en 0.5 s. Cuál es su aceleración cuando se desplaza a una distancia de x 5 2 c de su posición de equilibrio? Resp. 23.6 ys2 cuencia de 0.490 Hz. En t 5 0, el desplazaiento es x 5 6 c. En qué instante posterior su desplazaiento priero será x 5 2 c? 28. Halle la velocidad y la aceleración áxias de un objeto 2. Deuestre que la velocidad de un objeto en MAS puede 29. Un objeto que oscila con un periodo de 2 s es desviado escribirse coo una función de su aplitud y desplazaiento v 2pf 2A2 x 2 22. Use la relación derivada en el problea 2 para copro- bar las respuestas obtenidas para la posición y la velocidad en el problea 8. 23. Una asa que vibra a una frecuencia de 0.5 Hz tiene una velocidad e 5 cys cuando pasa por el centro de oscilación. Cuáles serán la aplitud y el periodo de oscilación? Resp..59 c, 2 s. 24. Un cuerpo vibra con una frecuencia de 8 Hz y una apli- tud de 5 c. En qué instante después de que se le suelta de x 5 5 su velocidad será igual a 2.00 ys? que se ueve con MAS con una aplitud de 6 c y una frecuencia de 2 Hz. hasta una distancia de x 5 6 c y luego se suelta. Cuáles son su velocidad y su aceleración 3.20 s después de ser soltado? Resp.. cys, 0.479 ys2 30. Un cuerpo vibra con MAS y su periodo es de.5 s y su aplitud es de 6 in. Cuáles son su velocidad y su aceleración áxias? 3. En el caso del cuerpo descrito en el problea 30, cuáles son su velocidad y su aceleración después de 7 s? Resp..8 ftys, 4.39 ftys2 Tea.7 El periodo y la frecuencia 32. Las puntas de un diapasón vibran con una frecuencia de 330 Hz y una aplitud de 2. Cuál es la velocidad cuando el desplazaiento es de.5? 20 Tippens_U0_L_00-022.indd 20 5/8/08 5:2:0
33. Una asa de 400 g hace que un resorte se estire 20 c. 39. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la gra- A continuación, la asa de 400 g es reovida y sustituida por una asa desconocida. Cuando se tira de la asa desconocida para que descienda 5 c y luego se suelta, vibra con un periodo de 0. s. Calcule la asa del objeto. Resp. 4.96 g vedad es de sólo.67 ys2. Un reloj de péndulo ajustado para la Tierra es colocado en la Luna. Qué fracción de su longitud en la Tierra deberá ser su nueva longitud en ese satélite? Resp. 0.7 34. Un largo trozo de etal delgado está sujeto por su extreo inferior y tiene una bola de 2 kg unida a su extreo superior. Cuando se tira de la bola hacia un lado y luego se suelta, ésta vibra con un periodo de.5 s Cuál es la constante del resorte de este dispositivo? 35. Un autoóvil y sus pasajeros tienen una asa total de 600 kg. El arazón del vehículo está sostenido por cuatro resortes, cada uno con una fuerza constante de 20 000 Ny. Calcule la frecuencia de vibración del autoóvil cuando pasa sobre un proontorio del caino. Resp..3 Hz Tea.8 El péndulo siple 36. Cuáles son el periodo y la frecuencia de un péndulo si- ple de 2 de longitud? 37. Un reloj de péndulo siple arca los segundos cada vez que su lenteja llega a su aplitud áxia en cualquiera de los lados. Cuál es el periodo de este oviiento? Cuál debe ser la longitud del péndulo en el punto en que g 5 9.80 ys2? Resp. 2.00 s, 0.993 38. Un trozo de cuerda de 0 de longitud está unido a un peso de acero que cuelga del techo. Cuál es el periodo de su oscilación natural? 40. Un estudiante construye un péndulo de 3 de longitud y deterina que copleta 50 vibraciones en 2 in 54 s. Cuál es la aceleración de acuerdo con la gravedad en el lugar donde está este estudiante? Tea.9 El péndulo de torsión 4. Un péndulo de torsión oscila con una frecuencia de 0.55 Hz. Cuál es el periodo de su vibración? Cuál es la aceleración angular cuando su desplazaiento angular es de 60? Resp. 22.5 radys2 42. La aceleración angular áxia de un péndulo de torsión es de 20 radys2 cuando el desplazaiento angular es de 70. Cuál es la frecuencia de vibración? 43. Un disco de 20 c de diáetro constituye la base de un péndulo de torsión. Una fuerza de 20 N, aplicada al borde, hace que éste gire en un ángulo de 2. Si el periodo de la vibración angular después de soltar el borde es de 0.5 s, cuál es el oento de inercia del disco? Resp. 0.0605 kg 2 44. Un objeto irregular está suspendido de un cable coo un péndulo de torsión. Un oento de torsión de 40 lb ft hace que gire hasta un ángulo de 5. Cuando el objeto queda libre, oscila con una frecuencia de 3 Hz. Cuál es el oento de inercia de ese cuerpo irregular? Probleas adicionales 45. La constante de un resorte de etal es de 2 000 Ny. 49. Una asa de 40 g está unida a un resorte (k 5 0 Ny) y Qué asa hará que este resorte se estire hasta una distancia de 4 c? Resp. 8.6 kg después de desviarla de su posición de equilibrio se suelta, con una aplitud de 20 c. Cuál es la velocidad de la asa cuando está a la itad del caino hacia la posición de equilibrio? Resp. 2.74 ys 46. Una asa de 4 kg cuelga de un resorte cuya constante k es de 400 Ny. Se tira de la asa haciéndola descender una distancia de 6 c y luego se suelta. Cuál es la aceleración en el instante en que se suelta? 47. Cuál es la frecuencia natural de vibración del siste- a descrito en el problea 46? Cuál es la velocidad áxia? Resp..59 Hz, 659.9 cys 48. Una asa de 50 g, colocada en el extreo de un resorte (k 5 20 Ny) se ueve con una rapidez de 20 c/s cuando se coloca a una distancia de 0 c de la posición de equilibrio. Cuál es la aplitud de la vibración? Tippens_U0_L_00-022.indd 2 50. Cuál es la frecuencia del oviiento para la asa del problea 49? 5. Una asa de 2 kg cuelga de un resorte ligero. La asa se ueve de su posición de equilibrio y se suelta, describe 20 oscilaciones en 25 s. Halle el periodo y la constante del resorte. Resp..25 s, 50.5 Ny. 52. Qué longitud debe tener el péndulo para que el periodo sea de.6 s en un punto donde g 5 9.80 ys2? 2 5/8/08 5:2:3
53. Un objeto se ueve con un MAS de 20 c de aplitud y.5 Hz de frecuencia. Cuáles son la aceleración y la velocidad áxias? Resp. 67.8 ys 2, 688 cys 54. En el caso del objeto presentado en el problea 53, cuáles son la posición, la velocidad y la aceleración.4 s después de que el objeto llega a su desplazaiento áxio? 55. Una asa unida al extreo de un resorte oscila con una frecuencia f 5 2 Hz y una aplitud A. Si la asa se duplica, cuál será la nueva frecuencia para la isa aplitud? Si la asa no cabia y la aplitud se duplica, cuál será la frecuencia? Resp..4 Hz, 2.00 Hz 56. Considere una asa de 2 kg unida a un resorte cuya constante es de 400 Ny. Cuál es la frecuencia de vibración natural? Si el sistea se estira +8 c y luego se suelta, en qué puntos se axiizarán su velocidad y su aceleración? Llegará a la itad de su velocidad áxia cuando la aplitud llegue a la itad? Calcule la velocidad áxia y la velocidad en x 5 4 c para coprobar su respuesta. 57. Una asa de 200 g está suspendida de un largo resorte en espiral. Cuando la asa se desplaza hacia abajo 0 c, se observa que vibra con un periodo de 2 s. Cuál es la constante elástica? Cuáles son su velocidad y su aceleración cuando pasa hacia arriba por el punto que se ubica 5 c por arriba de su posición de equilibrio? Resp..97 Ny, 27.2 cys, 249.3 cys 2 58. Un reloj de péndulo arca los segundos cada vez que la lenteja pasa por su punto ás bajo. Cuál deberá ser la longitud del péndulo en un lugar donde g 5 32.0 ftys? Si el reloj se lleva a un sitio donde g 5 3.0 ftys 2, cuánto tiepo se retrasará en un día? 59. Una asa de 500 g está unida a un dispositivo cuya constante del resorte es de 6 N/. La asa se desplaza a la derecha hasta una distancia x 5 5 c a partir de su posición de equilibrio y luego se suelta. Cuáles son su velocidad y su aceleración cuando x 5 3 c y cuando x 5 23 c? Resp. 60.39 ys, 20.360 ys 2 ; 60.39 ys, 0.360 ys 2 22 Tippens_U0_L_00-022.indd 22 5/8/08 5:2:5