GUÍAS DE TRABAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 5 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
Guía de Trabajo N FORMAS DE COMPARACIÓN Jorge tiene 8 años y quiere comparar su edad con la de su esposa Sandra que tiene años. a. Quién es mayor: Jorge o su esposa? b. Cuántos años mayor es Jorge que Sandra? Qué operación tuviste que hacer para responder esta pregunta? c. Cuántas veces mayor es Jorge que Sandra? Qué operación tuviste que hacer para responder esta pregunta? a. El hermanito de Pablo pesaba kilos al nacer. Hoy cumple 5 años y ya pesa 8 kilos. Qué información acerca del peso de su hermanito obtendría Pablo si efectúa la resta 8 -? Y si calcula el cuociente 8 :? b. En el curso de Patricia hay el mismo número de hombres que de mujeres. Qué resultado obtendría Patricia si compara por diferencia el número de hombres con el número de mujeres? Y si hace una comparación por cuociente? c. La señora Julia está muy contenta con su fábrica de empanadas. Este mes vendió el triple de empanadas que el mismo mes del año pasado. Qué cantidades tuvo que comparar la señora Julia para llegar a ese resultado? Qué tipo de comparación realizó la señora Julia? Tomás y su padre están de cumpleaños el mismo día. Este año, Tomás cumplió 0 años y su padre cumplió 0 años. a. A qué conclusión llegará Tomás si compara por diferencia su edad con la de su padre? Y si compara la edades por cuociente? b. Variará el resultado de la comparación por diferencia si Tomás repite la comparación dentro de 5 años? Y si entonces repite la comparación por cuociente? Dos cantidades pueden compararse por diferencia o por cuociente. Qué diferencias y qué semejanzas encuentras entre estos dos tipos de comparación? Apoya tu respuesta con un ejemplo. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
Guía de Trabajo N UNA FORMA DE EXPRESAR UNA COMPARACIÓN POR CUOCIENTE En el curso de Susana decidieron comparar los precios de la carnicería La Estrella con los de la carnicería El Monte. Encontraron que el precio de la cazuela en La Estrella está en la razón de : en relación al precio de la cazuela en El Monte. a. Qué cantidades tuvieron que comparar para llegar a esa conclusión? b. Qué tipo de comparación hicieron? c. Qué significa que los precios estén en la razón de :? d. En cuál carnicería está más cara la cazuela? Siguiendo con su estudio, los alumnos y alumnas del curso de Susana compararon el precio del kilo de carne molida en las dos carnicerías. Encontraron que el precio en La Estrella está en la razón de : en relación al precio en El Monte. a. Qué significa que los precios estén en la razón de :? b. En cuál carnicería está más cara la carne molida? Eduardo ha formado un rectángulo uniendo dos cuadrados de 5 centímetros de lado. a. En qué razón está los lados del rectángulo formado? 5 cm b. En qué razón estarían los lados del rectángulo si Eduardo hubiera unido cuadrados, uno a continuación del otro? c. Cambiarían tus respuestas si los lados del cuadrado midieran 0 centímetros en lugar de 5 centímetros? Una tienda ofrece un par de zapatillas a $.990. Las mismas zapatillas están en otra tienda a $9.990. a. Rosa afirma que en la primera tienda las zapatillas están $.000 más caras que en la segunda. Tiene razón? Qué tipo de comparación hizo? b. Pedro agrega que el precio en la primera tienda está aproximadamente en la razón de 6 : 5 con respecto al precio en la segunda tienda. Tiene razón? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
5 a. Una receta dice que para preparar arroz graneado, la cantidad de agua debe estar en la razón de : en relación con la cantidad de arroz. Qué significa esto? b. En qué razón está el número de días domingo en comparación con el resto de los días de la semana? 6 a. Nicolás dice que normalmente una persona duerme cada día de cada horas. Qué cantidades está comparando Nicolás? Te parece que tiene razón? Explica tu respuesta. b. Rita dice que lo que dice Nicolás también se puede decir así: En un día, el tiempo que una persona duerme está en razón de : con respecto a la duración total del día. Qué opinas tú? 7 Tradicionalmente la pantalla de los televisores tenía forma rectangular cuyos lados estaban en la razón de :. Actualmente los lados de la pantalla están en la razón de 5 : 9. a. Dibuja un rectángulo cuyos lados estén en la razón de : y un rectángulo cuyos lados estén en la razón de 5 : 9. b. Cuál de ellos tiene una forma más alargada? 8 Los dos componentes principales del aire son el oxígeno y el nitrógeno. Normalmente, estos dos gases están en la razón de :. a. Cómo interpretas tú este dato? b. De acuerdo con esto, en el aire hay más oxígeno o más nitrógeno? 9 Las estadísticas indican que en Chile en un año se producen 5 nacimientos por cada.000 habitantes. a. Qué cantidades se están comparando en esta información? b. En qué razón está el número de nacimientos anuales y la población del país, según el dato dado? 0 El entrenador del equipo de fútbol en que juega Aníbal decidió analizar los resultados alcanzados durante el año y llegó a la conclusión que por cada partido ganado el equipo había perdido partidos. a. Cómo interpretas tú este dato? b. Te parece que el entrenador podría estar satisfecho con el rendimiento del equipo? Explica tu respuesta. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
Guía de Trabajo N EL PORCENTAJE COMO FORMA DE EXPRESAR UNA RAZÓN En los diferentes campos de la vida diaria se suelen expresar las razones en términos de porcentajes. Así, por ejemplo, decir que 0 es el 0% de 00 significa que estamos comparando 0 con 00 y que el cuociente entre ambas cantidades es equivalente a la fracción 0/00 como muestra el recuadro. 0 00 = 0 00 a. Calcula el cuociente entre 0 y 00. Calcula el cuociente entre 0 y 00. b. Obtienes en ambos casos el mismo resultado? Es correcta la igualdad del recuadro? a. Calcula el cuociente entre 50 y 00. b. Qué fracción de denominador 00 representa el mismo valor que el cuociente entre 50 y 00? De acuerdo con eso, qué tanto por ciento es 50 de 00? a. Calcula el cuociente entre 75 y 00. b. Qué fracción de denominador 00 representa el mismo valor que el cuociente entre 75 y 00? De acuerdo con eso, qué tanto por ciento es 75 de 00? a. Calcula el cuociente entre 0 y 00. b. Qué fracción de denominador 00 representa el mismo valor que el cuociente entre 0 y 00? De acuerdo con eso, qué tanto por ciento es 0 de 00? 5 a. Calcula el cuociente entre y 00. b. Qué fracción de denominador 00 representa el mismo valor que el cuociente entre y 00? De acuerdo con eso, qué tanto por ciento es de 00? 6 En los ejemplos anteriores se observa una clara relación entre los porcentajes y las fracciones. a. Completa la tabla de la derecha en que se muestran algunas de estas relaciones. b. Qué porcentaje equivaldrá a la fracción /? Y a la fracción /0? PORCENTAJE FRACCIÓN 50% / 5% / 0% % FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
7 a. La profesora afirma que hoy hay una asistencia a clases del 00%. Qué significa eso? b. Qué significaría una inasistencia del 00%? c. La pequeña industria de la señora Laura produce 8 tortas diarias. Ella ha ampliado sus instalaciones y espera aumentar la producción en un 00%. Cómo interpretas este dato? d. Cuántas tortas tendría que fabricar la señora Laura para que se pudiera decir que la producción había aumentado en un 00%? 8 a. En el curso de Aníbal el 5% son hombres. De acuerdo con esto, qué porcentaje del curso son mujeres? b. Podría haber un curso en que el 50% del curso fueran mujeres? Explica tu respuesta. 9 a. Dos amigos compran un número para un juego de azar. Deciden que si obtienen un premio lo repartirán 50 y 50. Qué quieren decir con esto? b. En un pequeño restorán trabajan 5 empleados. Ellos se han puesto de acuerdo para repartirse por partes iguales las propinas que dejan los clientes. Si se cumple el acuerdo, qué porcentaje del total de propinas recibirá cada uno? 0 En un laboratorio se está probando un nuevo medicamento. Una vez terminadas las pruebas, los investigadores informan que el medicamento resultó eficaz en un 7% de los casos, produjo serias complicaciones en un 5% de los casos y en el resto de los casos no tuvo ningún efecto. Qué opinarías tú acerca de este nuevo medicamento? 0 La expresión 8% también puede ser interpretada como: 8 de cada 00. a. De acuerdo con el Instituto Nacional de Estadísticas, aproximadamente el 7% de los habitantes de nuestro país tienen menos de 0 años. Da interpretaciones para este dato. b. Aproximadamente 0 de cada 00 personas viven actualmente en China. Expresa este dato en porcentajes. c. El 7% de la población mundial vive en India. Qué cantidades se están comparando en esta información? Cómo interpretarías tú este dato? d. En Chile vive solo el 0,5% de la población mundial. Cómo interpretarías tú este dato? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
Guía de Trabajo N CÁLCULO DE PORCENTAJES En una guía anterior vimos que el % de una cantidad corresponde a la centésima parte de esa cantidad. De modo que calcular el % de un valor cualquiera resulta bastante simpe: basta dividirlo por 00. El recuadro muestra una fórmula que resume este procedimiento. Cuánto es el % de 0.000? Y el % de 60? Y el % de? CALCULO DEL % DE C a = C 00 A partir del % podemos calcular cualquier otro porcentaje. Por ejemplo, si queremos calcular el 5% de 8, podemos dividir 8 : 00 para tener el % de 8. Y luego multiplicamos el resultado por 5 y tendremos el 5% de 8. El recuadro muestra una fórmula que resume este procedimiento. a. Calcula de esa forma el 5% de 8. b. Utilizando ese procedimiento, calcula los siguientes porcentajes. CALCULO DE p % DE C a = C 00 p el % de.800 el 80% de 9 el 5% de 5 La expresión 6% de.000 también puede ser interpretada como 6/00 de.000 Y como en el lenguaje de fracciones la preposición de se asocia a la operación de multiplicación, el cálculo del 6% de.000 se reduce al producto de 6/00 por.000. El recuadro resume este procedimiento en una fórmula. a. En este caso tenemos dos posibilidades. Podemos dividir p por 00 y luego multiplicar por C el número decimal que resulta. b. Utiliza este procedimiento para calcular los siguientes porcentajes. 5% de 50 60% de 5.000 5% de 0 c. También podemos aplicar lo que sabemos acerca de la multiplicación mde una fracción por un número natural. Es decir, multiplicar p por C y dividir luego el resultado por 00, como muestra el recuadro. d. Utiliza este último procedimiento para calcular los mismos porcentajes del punto b. CALCULO DE p % DE C a = p 00 C CALCULO DE p % DE C a= p C 00 FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
a. El hermano de Irma está desconcertado. Dice que los recuadros, y muestran tres procedimientos distintos y quiere saber cuál de ellos es el correcto. Qué le responderías tú? b. Cuál de estos procedimientos te parece a ti el más simple? c. Utiliza cualquiera de los procedimientos conocidos para calcular los siguientes porcentajes. 0% de 580 % de 580 75% de 8.000 00% de.0 0% de.000 %.000 00% de 8 0,% de 60.000 0% de 0,5 5,% de 0.000 5% de 00 5% de.000 5 Algunos porcentajes pueden ser calculados mentalmente. Cómo calcularías tú mentalmente los siguientes porcentajes? 50% de 80 0% de 6 % de 700 5% de 8.000 0% de.600 500% de 0 6 El aire es una mezcla de gases cuyos principales componentes son nitrógeno y oxígeno. Si no consideramos el vapor de agua que es variable, el aire contiene un 78,08% de nitrógeno, un 0,95% de oxígeno, un 0,9% de argón, un 0,0% de dióxido de carbono y cantidades menores de varios otros gases. Utiliza estos datos para calcular la cantidad de cada uno de los gases mencionados que habría en una sala de clases de 80 metros cúbicos de volumen. (Si lo estimas necesario puedes emplear una calculadora para efectuar los cálculos). 7 De acuerdo con el Censo de 00, en Chile el 90% de la población tenía en su hogar televisor a color, el 5,8 % tenía teléfono celular y el,% tenía computador. La población actual de Chile se estima en 6.600.000 habitantes. a. Si estos porcentajes se mantienen, cuántas personas tienen televisión a color en su hogar hoy día? Cuántas personas viven en hogares que tienen teléfono celular? Cuántas personas viven en hogares que tienen computador? b. Crees que estos porcentajes se han mantenido relativamente constantes desde 00 hasta ahora? Explica tu respuesta. c. Si tienes acceso a Internet, busca información relativa a la tenencia de teléfonos celulares y computadores y compártela con tus compañeros y compañeras. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
Guía de Trabajo N 5 SITUACIONES DIVERSAS Entre los mecanismos que establecen las tiendas para atraer clientes, uno de los más frecuentes es la oferta de rebajas. En su mayor parte, estas rebajas se anuncian en términos de porcentajes. a. Una tienda ofrece una rebaja de un 5% en una blusa cuyo precio normal es de $5.800. Cuánto es el 5% de $5.800? Cuánto debe pagar una persona que compra la blusa aprovechando la rebaja? b. A qué precio queda un pantalón de $8.900 si se vende con un 0% de rebaja? A Berta le ofrecen en su empresa un nuevo puesto que le significa un aumento de % en su sueldo. a. En cuánto aumentará el sueldo de Berta si hasta ahora ganaba $80.000 mensuales? b. Cuánto será su nuevo sueldo? En la fábrica de don Octavio la venta de sus productos alcanza a alrededor de $5.00.000 mensuales. En una reunión de planificación don Octavio propone aumentar la producción de modo que las ventas aumenten por lo menos en un 8% dentro de los próximos meses. Cuánto debería ser el ingreso por ventas dentro de un año para que se cumplan las proyecciones de don Octavio? Según el censo de 00, la población de Chile ese año era de 5.6.000 habitantes, de los cuales el 50,7% eran mujeres y el 9,% eran hombres. a. Si estos porcentajes se han mantenido desde entonces, cuántas más mujeres que hombres viven hoy en el país, considerando que la población actual se estima en 6.600.000 habitantes? b. Compara el procedimiento que tú seguiste para resolver este problema con los procedimientos seguidos por los demás compañeros y compañeras. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.