51434 - Sismología 69 7 La teoría de rayos geométricos La teoría de rayos sísmicos es análoga a la de óptica geométrica y (con la excepción de la conversión entre ondas P y SV) las reglas de ésta se aplican a la sismología. Una gran cantidad de conocimiento de la distribución de terremotos y de la estructura de velocidad (en la corteza y en el manto) se debe a la aplicación de la teoría de rayos. Sin embargo, la teoría de rayos sísmicos es una aproximación de alta frecuencia y en ciertos casos debería ser usada una teoría más precisa. Aquí entonces consideramos la aplicación de la teoría de rayos sísmicos a estructuras de velocidad, las que varían lentamente en espacio en comparación con la longitud de onda de las ondas sísmicas. Conceptos importantes La ley de Snell describe la dirección de la propagación del rayo. La curvatura del frente de la onda es directamente proporcional al gradiente de la velocidad. Las ecuaciones para el tiempo de viaje describen la propogación del rayo en términos de cantidades que se pueden medir en el sismograma. El parámetro del rayo es el gradiente de la curva del tiempo de viaje. La geometría de los rayos Fig 79: (a) Un frente de onda. (b) Parte de un rayo. Un rayo (ver la Figura 79) es el vector normal al frente de onda W(x), viaja una distancia s en un tiempo t. W(x), el vector normal al frente de onda, es proporcional al vector ds. La ley de Snell nos da una constante, p, llamada parámetro del rayo o lentitud horizontal: sini c = p = (constante) (7.1) El parámetro del rayo es unaconstante paraun rayo particular y definela trayectoria del rayo, varía de para rayos verticales (i = ) al 1/c para rayos horizontales.
51434 - Sismología 7 La ecuación del tiempo de viaje para una Tierra plana Fig 8: La geometría de un rayo. Podemos determinar la distancia horizontal que viaja un rayo y su tiempo de viaje para una cierta distribución de velocidad (c = c(x 3 )) cuando el ángulo de incidencia, i (o el parámetro del rayo, p) está dado. A un cierto punto en la trayectoria del rayo, las relaciones entre dx 1,, ds e i son: dx 1 ds = sini ds = cosi = (1 sin2 i) 1/2 (7.2) Usando la ley de Snell (7.1), con u la lentitud del rayo (u = 1/c), obtenemos dx 1 ds = p u que pueden combinarse para dar la relación dx 1 = ds = u 1 (u 2 p 2 ) 1/2 (7.3) p (u 2 p 2 ) 1/2 (7.4) y entonces la distancia de propagación del rayo, en términos del parámetro del rayo y la estructura de velocidad, es x(p) = 2p (u 2 (x 3 ) p 2 ) 1/2 (7.5) donde z p es la profundidad del punto de doblamiento del rayo, y el factor de 2 toma en cuenta la simetría de la trayectoria del rayo. Esta ecuación nos da la distancia horizontal del viaje del rayo a través de una estructura de velocidad u(x 3 ) para un cierto parámetro del rayo p (una inclinación inicial i). Similarmente, la distancia horizontal para un rayo propagándose a través de una secuencia de capas homogéneas (Figura 81) es, para u i > p, x(p) = 2p z 1 (u 2 1 p2 ) 1/2 + 2p z 2 (u 2 2 p2 ) 1/2 +...+ 2p z 3 (u 2 3 p2 ) 1/2 = 2p i z i (u 2 i p2 ) 1/2 (7.6)
51434 - Sismología 71 Fig 81: (a) Un rayo en una sola capa de lentitud constante u. (b) La nomenclatura para una secuencia de capas con lentitudes constantes. (c) La variación en la distancia, x, con el parámetro del rayo, p, para una secuencia de capas.
51434 - Sismología 72 El tiempo en que el rayo viaja una distancia ds es dt = uds = dt ds = u (7.7) Entonces para encontrar el tiempo en que el rayo se propaga en una distancia horizontal x (el tiempo de viaje): dt = dt ds ds = u 2 (u 2 p 2 ) 1/2 u 2 (x 3 ) = t(p) = 2 (u 2 (x 3 ) p 2 ) 1/2 (7.8) Similarmente, el tiempo de viaje para un rayo a través de una secuencia de capas homogéneas es t(p) = 2 u 2 i z i (u 2 i i p2 ) 1/2 (7.9) para u i > p. Podemos reescribir la ecuación (7.8) como { T(p) = 2 p 2 (u 2 (x 3 ) p 2 ) 1/2 +(u2 (x 3 ) p 2 ) 1/2 } = px +2 η(x 3 ) (7.1) que es la ecuación para la curva del tiempo de viaje. El gradiente de la curva es p = dt/dx; y η(x 3 ) = (u 2 (x 3 ) p 2 ) 1/2 es la lentitud vertical. La combinación τ(p) = T(p) px(p) es el tiempo de retraso τ(p) = 2 (u 2 (x 3 ) p 2 ) 1/2 = 2 η(x 3 ) (7.11) El tiempo de retraso para un rayo propagándose a través de una secuencia de capas homogéneas es τ(p) = 2 i (u 2 i p 2 ) 1/2 z i para u i > p (7.12) La ecuación para una línea recta tangencial a la curva del tiempo de viaje en la Figura 82 es τ(p) = T px. Tomando la derivada con respecto al p dτ dp = d dp (u 2 p 2 ) 1/2 = 2p o (u 2 p 2 = x(p) (7.13) ) 1/2 Entonces el gradientedelacurvaτ(p) es x. Porquex, lacurvaτ(p) siempre decrece. Las ecuaciones del tiempo de viaje (7.1) y del tiempo de retraso (7.11) son las dos ecuaciones primarias en la descripción de la propagación de rayos. Usando los tiempos de viaje, o retraso, observados en datos sísmicos, se pueden
51434 - Sismología 73 Fig 82: (a) La curva del tiempo de viaje para un aumento uniforme de velocidad con profundidad. (b) La curva τ(p) correspondiente. ocupar estas ecuaciones para determinar la variación en velocidad con respecto a la profundidad. La curva del tiempo de viaje para una capa homogénea La Figura 83 muestra las trayectorias de los rayos fundamentales(en la Tabla) que se propagan a través de un modelo que consiste de una capa homogénea sobre un semi espacio homogéneo. Rayo directo θ = 9 Refracción θ = i c p = u 1sinθ = u 1 crítica τ(p) = 2h(u 2 1 u 2 1) 1 2 = (rayo se propaga τ(p) = 2h(u 2 1 u 2 2 2) 1 = τc a través de la interfase) Reflexión θ < i c Reflexión θ > i c precrítica τ(p) = 2h(u 2 1 p 2 ) 2 1 postcrítica τ(p) = 2h(u 2 1 p 2 ) 2 1 (transmisión = 2hu 1cosθ (reflexión = 2hu 1cosθ parcial) total interna) La Figura 84 muestra la curva del tiempo de viaje, y las curvas x(p) y τ(p), para una capa homogénea sobre un semi espacio homogéneo. Note que la curva τ(p) en este caso es una elipse: τ(p) = 2h 1 (u 2 1 p2 ) 1/2 = τ2 4h 2 u 2 1 + p2 u 2 1 = 1 (7.14)
51434 - Sismología 74 Fig 83: Las trayectorias para el rayo directo, la refracción crítica, la reflexión precrítica y la reflexión postcrítica para una capa homogénea sobre un semi espacio homogéneo. Fig 84: (a) La curva del tiempo de viaje para una capa homogénea. (b) La curva x(p) correspondiente. (c) La curva τ(p) correspondiente.