Modelo posibilista: Objetivos

Introducción Modelo posibilista: Objetivos Intentamos representar la imprecisión del lenguaje Los expertos expresan su conocimiento como apreciaciones cualitativas Dos elementos: Variables definidas sobre un dominio (Universo del discurso) Conjuntos de términos cualitativos sobre las variables (etiquetas lingüísticas) Por ejemplo: La temperatura es alta cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 / 25

Conjuntos difusos Modelo posibilista Conjuntos difusos Una etiqueta lingüística no representa un conjunto en el sentido clásico Dependiendo del valor concreto, la creencia en la pertenecia al conjunto varía (difícil determinar la frontera) Los conjuntos difusos representan la pertenencia como un valor continuo Podemos usar ese concepto para modelar la imprecisión del lenguaje 2 Conjunto Clásico 2 Conjunto Difuso cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 2 / 25

Conjuntos difusos Conjuntos difusos/lógica difusa La lógica posibilista se basa en la teoría de los conjuntos difusos (lógica difusa) Una etiqueta lingüística se identifica con un conjunto difuso Los conjuntos difusos se definen a partir de su función característica (µ A : U [, ]) Cada conjunto difuso relaciona un valor de un dominio con un grado de pertenencia a traves de la función de posibilidad (π A : U [, ]) En la práctica consideraremos que µ A = π A cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 3 / 25

Conjuntos difusos Hechos difusos El conocimiento sobre el dominio lo expresaremos mediante hechos difusos Siendo X la variable en un dominio U y A un conjunto difuso definido sobre U, podremos decir [X es A] Por ejemplo: [La temperatura es agradable], [La temperatura es fría] FRIA AGRADABLE CALUROSA 5 2 25 3 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 4 / 25

Conectivas Difusas Conectivas difusas Para poder combinar hechos difusos y crear expresiones más complejas utilizaremos las conectivas de la lógica difusa Éstas son una extensión contínua de las conectivas de la lógica clásica Combinarán los valores de posibilidad de los hechos para dar el valor de posibilidad de la combinación Utilizaremos tres conectivas: conjunción, disyunción y negación cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 5 / 25

Conectivas Difusas Conjunción Difusa: T-norma La función que calcula la conjunción se denomina T-norma, se define como T (x, y) : [, ] [, ] [, ] y ha de satisfacer las propiedades: Conmutativa, T (a, b) = T (b, a) 2 Asociativa, T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c) 3 T (, a) = 4 T (, a) = a 5 Es una función creciente, T (a, b) T (c, d) si a c y b d Por ejemplo T (x, y) = m«ın(x, y) T (x, y) = x y T (x, y) = m«ax(, x + y ) cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 6 / 25

Conectivas Difusas Disyunción Difusa La función que calcula la disyunción se denomina T-conorma, se define como T (x, y) : [, ] [, ] [, ] y ha de satisfacer las propiedades: Conmutativa, S(a, b) = S(b, a) 2 Asociativa, S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) 3 S(, a) = a 4 S(, a) = 5 Es una función creciente, S(a, b) S(c, d) si a c y b d Por ejemplo: S(x, y) = m«ax(x, y) S(x, y) = x + y x y S(x, y) = m«ın(x + y, ) cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 7 / 25

Conectivas Difusas Negación Difusa La función que permite negar una función de posibilidad es denominada negación fuerte y se define como N(x):[, ] [, ] y ha de satisfacer las propiedades: N((N(a)) = a 2 Es una función decreciente, N(a) N(b) si a b Ejemplos de funciones que cumplen estas propiedades son: N(x) = x N(x) = x 2 N t (x) = x +t x t > cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 8 / 25

Conectivas Difusas Combinación difusa El resultado de la combinación de hechos difusos es un nuevo conjunto difuso Las caracterísiticas de este conjunto dependerán de si la combinación es de hechos que pertenecen al mismo universo de discurso. Si todos los hechos pertenecen al mismo universo el nuevo conjunto difuso será una función característica en una dimensión π A B (U) = f (π A (U), π B (U)) Si los hechos pertenecen a diferentes universos la función característica tendrá tantas dimensiones como universos diferentes tengan los hechos π A B (U, V) = f (π A (U), π B (V)) cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 9 / 25

Conectivas Difusas Hechos difusos de un mismo dominio AGRADABLE CALUROSA 5 2 25 3 5 2 25 3 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 / 25

Conectivas Difusas Hechos difusos de un mismo dominio AGRADABLE Y CALUROSA AGRADABLE O CALUROSA 5 2 25 3 5 2 25 3 NO AGRADABLE 5 2 25 3 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 / 25

Conectivas Difusas Hechos difusos de diferentes dominios ALTO JOVEN.5..5 2. 2.5 2 3 4 5 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 2 / 25

Modelo posibilista Conectivas Difusas Hechos difusos de diferentes dominios ALTO Y JOVEN ALTO.5..5 2. 2.5 Alto min(alto,joven) Joven.5 conj(alto(x),joven(y)).833.667.5.333.67 2 3 4 5 JOVEN.5.5 2 2.5 45 5 4 35 3 25 2 5 5 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 3 / 25

Modelo posibilista Conectivas Difusas Hechos difusos de diferentes dominios ALTO O JOVEN ALTO.5..5 2. 2.5 Alto max(alto,joven) Joven.5 disy(alto(x),joven(y)).833.667.5.333.67 2 3 4 5 JOVEN.5.5 2 2.5 45 5 4 35 3 25 2 5 5 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 4 / 25

Inferencia difusa Inferencia en lógica difusa Debemos incluir la implicación como operador de combinación Debemos definir la semántica/funcionamiento de la implicación Dos escenarios: Razonamiento con datos difusos (definir la función de combinación para la implicación, regla del modus ponens) Razonamiento con datos precisos (definir como calcular la posibilidad del antecedente y del consecuente) cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 5 / 25

Inferencia difusa Inferencia con datos precisos Se utilizan dos modelos Modelo de inferencia de Mamdani: El consecuente de la regla es un hecho difuso, el resultado será la aplicación del valor de posibilidad del antecedente al consecuente Modelo de inferencia de Sugeno: El consecuente de la regla es una función lineal de los valores de posibilidad de los antecedentes, el valor de la función es el resultado del consecuente cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 6 / 25

Modelo de inferencia de Mamdani Inferencia difusa Evaluación de los antecedentes: Cálculo para todas las reglas del valor de posibilidad de los valores precisos en el antecedente y su combinación. Evaluación de los consecuentes: Cada consecuente se ponderará según el valor de posibilidad de su antecedente. Combinación de las conclusiones: Las conclusiones se combinarán en un conjunto difuso que representa la conclusión conjunta Obtención del valor preciso (Nitidificación): Se calcula el valor preciso correspondiente a la etiqueta obtenida (por ejemplo el centro de gravedad del conjunto) CDG(f (x)) = b f (x) xdx a b f (x)dx a cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 7 / 25

Inferencia difusa Inferencia Difusa: Ejemplo () Supongamos que tenemos dos variables de entrada E y E2 y una variable de salida S que pueden tomar valores en los conjuntos siguientes de etiquetas lingüísticas: E ={bajo,medio,alto} E 2={nada,algo,normal,mucho} S={cerrar,abrir} cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 8 / 25

Inferencia Difusa: Ejemplo (2) Inferencia difusa Estas etiquetas están descritas mediante los siguientes conjuntos difusos Bajo Medio Alto Nada Algo Normal Mucho E E2 5 5 2 25 3 35 4 2 3 4 5 6 7 8 Cerrar Abrir S 25 5 75 25 5 75 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 9 / 25

Inferencia difusa Inferencia Difusa: Ejemplo (3) Supongamos que tenemos el siguiente conjunto de reglas: R. si ([E=medio] o [E=alto]) y [E2=mucho] entonces [S=cerrar] R2. si [E=alto] y [E2=normal] entonces [S=cerrar] R3. si [E=bajo] y no([e2=mucho]) entonces [S=abrir] R4. si ([E=bajo] o [E=medio]) y [E2=algo] entonces [S=abrir] Las funciones de combinación son el mínimo para la conjunción, máximo para la disyunción y x para la negación y los valores concretos que tenemos para las variables E y E2 son 7.5 y 6.5 respectivamente. cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 2 / 25

Inferencia Difusa: Ejemplo (4) Inferencia difusa Si trasladamos esos valores a los conjuntos difusos de las variables E y E 2 obtenemos los siguientes valores de posibilidad E Bajo Medio Alto E2 Nada Algo Normal Mucho.75.5.25 5 5 2 25 3 35 4 2 3 4 5 6 7 8 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 2 / 25

Inferencia Difusa: Ejemplo (5) Inferencia difusa Si evaluamos la regla R tendríamos: [E=medio] =.75, [E=alto] =, [E2=mucho] =.5 min(max(.75,),.5) =.5 Por lo que tenemos.5 [S=cerrar] Si evaluamos la regla R2 tendríamos: [E=alto] =, [E2=normal] =.5 min(,.5) = Por lo que tenemos [S=cerrar] Si evaluamos la regla R3 tendríamos: [E=bajo] =.25, [E=mucho] =.5, min(.25,-.5) =.25 Por lo que tenemos.25 [S=abrir] Si evaluamos la regla R4 tendríamos: [E=bajo] =.25, [E=medio] =.75, [E2=algo] = min(max(.25,.75),) = Por lo que tenemos [S=abrir] cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 22 / 25

Inferencia Difusa: Ejemplo (6) Inferencia difusa La etiqueta resultante de la combinación de las conclusiones sería: Cerrar Abrir S 25 5 75 25 5 75 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 23 / 25

Inferencia Difusa: Ejemplo (7) Inferencia difusa Ahora debemos hallar el centro de gravedad de la etiqueta, ésta se puede describir mediante la función:,5 x [ 75] f (x) = ( x)/5 x (75 93,75],25 x (93,75 ] cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 24 / 25

Inferencia difusa Inferencia Difusa: Ejemplo (8) Por lo que podemos calcular el CDG como: 75,5 x dx + 75,5 dx + 93,75 75 93,75 75 ( x)/5 x dx + 75,25 x dx 93,75 ( x)/5 dx + 75,25 dx 93,75,25 x 2 75 + (x 2 x 3 /5) 93,75 75 +,625 x 2 75 93,75,5 x 75 + (2 x x 2 /) 93,75 = 75 +,25 x 75 93,75 = (,25 75 2 ) + ((93,75 2 93,75 3 /5) (75 2 75 3 /5)) + (,625 75 2,625 93,75 2 (,5 75 ) + ((2 93,75 93,75 2 /) (2 75 75 2 /)) + (,25 75,25 93,75) 3254,39 53,53 = 6,79 cbea (LSI - FIB) Sistemas Basados en el Conocimiento IA - Curso 28/29 25 / 25