4 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden II 4.1. Ecuaciones lineales La e.d.o. de primer orden lineal es Si g(x) = 0: ecuación lineal homogénea. a 1 (x) + a 0(x)y = g(x). Si g(x) 0: ecuación lineal no homogénea. Forma estándar de una e.d.o. de primer orden lineal + P (x)y = f(x). Resolución de la ecuación lineal de primer orden Escribir la ecuación lineal de forma estándar. Identicar P (x) y determinar el factor integrante e R P (x). Multiplicar la forma estándar por el factor integrante. Al nal resulta Se integran ambos lados de la ecuación. Ejemplo: Integrar la ecuación lineal Factor integrante Multiplicando por el factor integrante d [ R ] R P e (x) P y = e (x) f(x). 3y = 6. e R ( 3) = e 3x. 3x e 3e 3x y = 6e 3x Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene d [ e 3x y ] = 6e 3x. e 3x y = 2e 3x + C y = 2 + Ce 3x, < x <. Algunas e.d.o. se transforman en otras con resolución más fácil si antes se transforman por un cambio de variable o sustitución: 1
4.2. Ecuaciones homogéneas 4.2.1. Funciones homogéneas Se dice que la función f(x, y) es homogénea de grado n si Ejemplos: f(tx, ty) = t n f(x, y). f(x, y) = x + 4 es homogénea de grado 0, pues: 2y f(tx, ty) = tx + 4 = f(x, y). 2ty f(x, y) = x 3 xy + 5y es homogénea de grado 1, pues: f(tx, ty) = tx 3 txty + 5ty = t(x 3 xy + 5y) = tf(x, y). f(x, y) = x 2 + y 2 + 1 no es homogénea, pues: 4.2.2. Ecuaciones homogéneas Una e.d.o. de primer orden de la forma f(tx, ty) = (tx) 2 + (ty) 2 + 1 f(x, y). M(x, y) + N(x, y) = 0 se dice que es una ecuación homogénea si las funciones N(x, y) y M(x, y) son homogéneas del mismo grado. 4.2.3. Resolución de ecuaciones homogéneas Haciendo la sustitución y = u(x) x (o también x = v(y) y), la ecuación homogénea se transforma en una ecuación de variables separables en las variables u y x. Ejemplo: (x 2 + y 2 ) + (x 2 xy) = 0. M(x, y) = x 2 + y 2 y N(x, y) = x 2 xy: homogéneas de grado dos. Sustitución Entonces y = ux = du x + u = u + x du. (x 2 + u 2 x 2 ) + (x 2 ux 2 )(u + xdu) = 0. x 2 (1 + u) + x 3 (1 u)du = 0. ( 1 + 2 ) du + 1 + u x = 0. 2
Integrando: u + 2 ln 1 + u + ln x = ln c. Deshaciendo la sustitución u = y/x: y 1 x + 2 ln y + + ln x = ln c. x Por las propiedades de los logaritmos: ln (x + y)2 xc = y x. Queda (x + y) 2 = cxe y/x. 4.3. Ecuación de Bernouilli La ecuación de Bernouilli tiene la forma y + P (x)y = f(x)y n. 4.3.1. Resolución de la ecuación de Bernouilli Si n = 0 ó n = 1, la ecuación es lineal. Si n > 1, se resuelve mediante la sustitución z = y 1 n. Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernouilli y + 1 x y = xy2. n = 2 z = y 1 2 = y 1 y = 1 z. z = 1 y 2 y y = y 2 z = z z 2. Sustituyendo en la ecuación Queda una ecuación lineal: z 2 + 1 1 x z = x 1 z 2. z z 1 x z = x. 3
Ejercicios del capítulo 1. Determina la solución general de las e.d.o. de primer orden lineales: (a) y + 2y = 0; (b) 3y + 12y = 4; (c) y + 2xy = x 3 ; (d) y = (ye y 2x); (e) dp dt + 2tP = P + 4t 2. 2. Resuelve la ecuación lineal y + ay = be, a, b, c, d 0, a d, constantes. 3. Resuelve los problemas de valores iniciales: k, T, T 0 son constantes. (a) dt dt = k(t T m), T (0) = T 0 (b) y + (tan x)y = cos 2 x, y(0) = 1. 4. Resuelve las e.d.o. de primer orden homogéneas siguientes, comprobando previamente que lo son: (a) (x + y) + x = 0; (c) (y 2 + yx) + x 2 = 0; (b) y = 2(x + y) ; (d) = x + 3y 3x + y 5. Resuelve el problema de valor inicial: (x 2 + 2y 2 ) = xy, y( 1) = 1. 6. Resuelve las ecuaciones de Bernouilli dadas, empleando una sustitución adecuada: (a) x (1 + x)y = xy2 ; (b) 3(1 + t 2 ) dt = 2ty(y3 1). Ejercicios de resolución e.d.o. de primer orden en general: 1. Resuelve las siguientes e.d.o. de primer orden utilizando para ello el método que creas más conveniente: (a) (e x + e x ) = y2 ; (b) (x 2 1) + 2y = (x + 1)2. (c) (x 3 + y 3 ) + 3xy 2 = 0; (d) xy 2 = y3 x 3 ; (e) y + x(ln x ln y 1) = 0; (f) = (x + y + 1)2 ; 1/2 (g) y + y1/2 = 1; (h) (x + 2) 2 = 5 8y 4xy. 2. Sea la ecuación y = A(x)y 2 + B(x)y + C(x), (ecuación de Riccatti). Considera en la ecuación A(x) = 1 x, B(x) = 2x 1 y C(x) = x: Demuestra que el cambio de variable y = 1 + 1, (v = v(x)), transforma la ecuación en una v lineal. Calcula una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación. ¾Cuál es la solución que pasa por el punto (0, 1/2)?. 4
3. Resuelve la ecuación ordinaria de primer orden dv dt = av sujeta a la condición inicial v(0) = v 0 por los siguientes métodos: a) separando variables e integrando; b) tratando la ecuación como exacta; c) tratando la ecuación como lineal; Solución: v(t) = v 0 e at. 4. Sea la ecuación diferencial ( y + xf(x 2 + y 2 ) ) + ( yf(x 2 + y 2 ) x ) = 0, f es una función real, de variable real f = f(z), z = x 2 + y 2. a) Demuestra que µ(x, y) = 1 es un factor integrante para una ecuación de esta forma. x 2 + y2 b) Resuelve la ecuación (y + x 3 + xy 2 ) + (yx 2 + y 3 x) = 0. (Pista: busca antes en la ecuación una función f que dependa sólo de x 2 + y 2 para aplicar el apartado anterior). c) ¾Cuál de todas las de la familia obtenida es la solución que pasa por el punto (0, 1)?. 5