1 Introducción a las ecuaciones diferenciales

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1 E.T.S. Arquitectura. EDO. Introducción a las ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental tanto en la propia Matemática como en otras ciencias como la Física, Química, Economía, Biología, etc. Si y = f(x) es una función dada, su derivada respecto de la variable independiente x se puede interpretar como el ritmo de cambio de la variable y respecto de la variable x. Por ejemplo, es bastante usual que en un proceso económico, las variables involucradas y sus ritmos de variación estén relacionados entre sí por medio de los principios económicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en términos matemáticos el resultado es, con frecuencia, una ecuación diferencial. A diferencia de las ecuaciones algebraicas, en una ecuación diferencial la incógnita es una función (en ocasiones del tiempo), no un número. Una ecuación diferencial es aquélla que relaciona una o varias variables independientes, una función de dichas variables (que es la función incógnita) y las derivadas de dicha función hasta un cierto orden. Ecuación diferencial en derivadas parciales. Cuando la función incógnita depende de más de una variable, tendremos una ecuación diferencial en derivadas parciales. Por ejemplo, la ecuación: F x; y; (x; (x; (x; (x; y) relaciona las variables independientes x; y con la variable dependiente z(x; y) y las derivadas parciales de z(x; y). Un ejemplo de ecuación diferencial en derivadas parciales = kz donde la función incógnita es z = z(x; y). Ecuación diferencial ordinaria. Cuando la función incógnita depende de una variable, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria; esto es, la ecuación: F x; y(x); y 0 (x); y 00 (x); : : : ; y (n (x) = 0 relaciona la variable independiente x con la variable dependiente y(x) y las derivadas hasta orden n de y(x). Si la ecuación anterior se puede escribir como = 0 y (n (x) = f(x; y(x); y 0 (x); :::; y (n (x)) donde f es una determinada función de nida en un subconjunto de R n+, se dice que la ecuación viene dada en su forma normal.

2 E.T.S. Arquitectura. EDO Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria al mayor de los órdenes de las derivadas que aparecen en la ecuación. En el primer tema nos centraremos en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; esto es, ecuaciones de la forma F (x; y(x); y 0 (x)) = 0: Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden F (x; y(x); y 0 (x)) = 0 en el conjunto D R a toda función y = '(x) tal que F (x; '(x); ' 0 (x)) = 0 para todo x D R. En general, una ecuación diferencial ordinaria tiene in nitas soluciones pero se suelen tener condiciones, por ejemplo, valores iniciales, que limitan el número de soluciones adecuadas al modelo a estudiar. Llamamos solución general de una ecuación diferencial al conjunto de todas las soluciones. Y se denomina solución particular de una ecuación diferencial a una cualquiera de sus soluciones. El proceso de obtención de las soluciones de una ecuación diferencial se denomina resolución o integración de la misma. Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales Cuando se empezó a desarrollar la teoría de las ecuaciones diferenciales, se trató de hallar soluciones explícitas de tipos especiales de ecuaciones pero pronto se advirtió que sólo unas pocas ecuaciones se podían resolver de esta manera. Sin embargo, en muchos casos no es necesario obtener fórmulas explícitas de las soluciones y basta con poner en relieve las propiedades más relevantes de la solución. La teoría de las ecuaciones diferenciales comprende muchos resultados sobre el comportamiento general de las soluciones. Esto es lo que se llama teoría cualitativa. Sus resultados principales son los teoremas de existencia y unicidad de solución, los análisis de sensibilidad e investigaciones de estabilidad de equilibrios. Estos temas tienen tanto interés teórico como una gran importancia práctica. NOTA: Usaremos indistintamente las siguientes notaciones para una EDO de primer orden en forma normal: y 0 (x) = f(x; y(x)); x variable independiente, y(x) variable dependiente, u 0 (x) = f(x; u(x)); x variable independiente, u(x) variable dependiente, x 0 (t) = f(t; x(t)); t variable independiente, x(t) variable dependiente.

3 E.T.S. Arquitectura. EDO3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Vamos a estudiar diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y las técnicas de integración que nos permiten calcular la solución general en cada caso. En primer lugar, y antes de proceder a realizar las operaciones oportunas para el cálculo de la solución del problema planteado, es necesario veri car la existencia y unicidad de solución, para ello contamos con el Teorema de existencia y unicidad de solución, que nos dice que, dado un problema de Cauchy y 0 = f(x; y) y(x 0 ) = y 0 esto es, dada una ecuación diferencial ordinaria y 0 = f(x; y) donde f es una función real de clase C en un abierto A R, (es decir, existen las derivadas primeras de f en A y son funciones continuas) y dada una condición inicial y(x 0 ) = y 0, con (x 0 ; y 0 ) A, entonces existe un entorno de x 0 en el cual dicha ecuación diferencial posee una única solución y = '(x), que veri ca la condición inicial '(x 0 ) = y 0. La solución de un problema de Cauchy concreto se encuentra a partir de la integral general de la ecuación diferencial '(x; C), donde C es una constante arbitraria, determinando la constante C de manera que se obtenga una curva que contenga al punto (x 0 ; y 0 ). En muchas ocasiones puede ser conveniente apoyarnos en la interpretación geométrica de las soluciones diferenciales de primer orden, para ello, analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo : Sea la ecuación diferencial: y 0 = x y () La ecuación () es una ecuación diferencial de las denominadas en variables separables, cuya resolución se efectuará más adelante (Ejemplo 3); se adelanta que su solución es: y + x = C; C R: Esto es, la solución general es una familia de circunferencias concéntricas, de centro (0; 0) y radio p C. Para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial () que veri que: (x; y) = (; ), únicamente tendríamos que sustituir el punto (; ) en la solución general y de esta manera obtendríamos el parámetro C: Es decir, la solución particular es: + = C de donde C = 5: x + y = 5 que, geométricamente, es la circunferencia de centro (0; 0) y radio p 5.

4 E.T.S. Arquitectura. EDO4. Ecuaciones diferenciales de variables separables Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden u 0 (x) = f(x; u(x)) se dice que es de variables separables si se puede expresar en la forma g(u(x))u 0 (x) = h(x) donde g y h son funciones dadas. La solución general de este tipo de ecuaciones se calcula integrando los dos miembros de la ecuación; esto es, g(u(x))u 0 (x)dx = h(x)dx + C: Ejemplo : Vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables separables: u 0 (x) = x(u(x) + 3); esto es, Integrando tenemos esto es, u 0 (x) u(x) + 3 = x: u 0 (x) u(x) + 3 dx = xdx; ln ju(x) + 3j = x + C y, tomando exponenciales a ambos lados de la igualdad y operando, obtenemos la solución general: u(x) = e x +C 3 = Ke x 3; donde K = e C.

5 E.T.S. Arquitectura. EDO5 Ejemplo 3: Hallar la curva tal que la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto es x=y. Por tanto, dicha curva debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial: y 0 = x y con (x; y) R f(0; 0)g. La ecuación anterior se puede escribir como sigue: yy 0 = x e integrando, tenemos y(x)y 0 (x)dx = xdx; esto es, de donde, operando se tiene y(x) = x + C y + x = C: NOTA: A la constante C, la denominamos también C ya que vuelve a ser una constante arbitraria. Ejemplo 4: Vamos a resolver ahora la siguiente ecuación diferencial: u 0 (x) = u(x) x con valor inicial: u(0) = =. Operando obtenemos: u 0 (x) u(x) = x; e, integrando la ecuación anterior se tiene u 0 (x) u(x) dx = esto es, u(x) = x + C: xdx; Con lo que la solución general de la ecuación dada es la siguiente familia de curvas: u(x) = ; con C R. x + C Para hallar la curva integral que veri ca u(0) = constante C correspondiente. Tenemos que = 0 + C =, debemos hallar el valor de la

6 E.T.S. Arquitectura. EDO6 luego C =. Así, la curva integral es u(x) = x que es la solución particular buscada. Puede verse su representación grá ca en la siguiente gura: y x 0.5

7 E.T.S. Arquitectura. EDO7 Ejemplo 5: La ecuación se puede escribir como u 0 (x) = ( + x )( + u(x)) u 0 (x) + u(x) = + x : Integramos a ambos lados de la igualdad: u 0 (x) + u(x) dx = + x dx =) ln j( + u(x))j = x + x3 3 + C: Y, operando obtenemos: Ejemplo 6: La ecuación se puede escribir como x3 x+ u(x) = Ce 3 : u 0 (x) + + u (x) x Integramos a ambos lados de la igualdad: u 0 (x) + u (x) dx = u 0 (x) + u (x) = x : = 0; dx x =) arctg(u(x)) = ln jxj + C = ln + C: jxj Y, operando obtenemos: u(x) = tg ln + C : jxj

8 E.T.S. Arquitectura. EDO8 Problema: Hallar la curva tal que por cada punto de la curva, el segmento cuyos extremos son los puntos de corte de la recta tangente a la curva en dicho punto con los ejes coordenados, se divide a la mitad en el punto de tangencia. Supongamos que la curva es la grá ca de una función y(x). Un punto de la curva es de la forma (x; y(x)). La condición es: y 0 = y x : Por tanto, integrando obtenemos: y 0 (x) y(x) dx = y 0 (x) y(x) = x ; dx =) ln jy(x)j = ln jxj + C = ln + C: x jxj Y, tomando exponenciales a ambos lados de la igualdad, obtenemos: y(x) = K jxj :

9 E.T.S. Arquitectura. EDO9. Ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden u 0 (x) = f(x; u(x)) se dice que es homogénea si la función f es una función homogénea de grado 0; esto es, f(tx; tu(x)) = t 0 f(x; u(x)) = f(x; u(x)): En este caso, la ecaución diferencial se puede escribir de la siguiente manera: u 0 (x) = f ; u(x) : () x La integral general de este tipo de ecuaciones se puede obtener haciendo el cambio de variable: v(x) = u(x) () u(x) = xv(x); (3) x con lo que, derivando, obtenemos u 0 (x) = v(x) + xv 0 (x): (4) Sustituyendo (3) y (4) en la ecuación () se obtiene la siguiente ecuación diferencial que es de variables separables: v(x) + xv 0 (x) = f (; v(x)) pues operando, se puede escribir de la siguiente forma: Veamos algunos ejemplos. v 0 (x) f (; v(x)) v(x) = x : Ejemplo 7: Vamos a obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden: Despejamos u 0 (x) de la ecuación anterior: (x + u(x) ) xu(x)u 0 (x) = 0: u 0 (x) = x + u(x) : xu(x) Y así escrita es fácil ver que es una ecuación homogénea. Dividiendo el numerador y el denominador del miembro de la derecha de la igualdad entre x, obtenemos u 0 (x) = + u(x) x u(x) x :

10 E.T.S. Arquitectura. EDO0 Haciendo el cambio de variable v(x) = u(x)=x, y por tanto, obtenemos esto es, de donde u 0 (x) = v(x) + xv 0 (x) v(x) + xv 0 (x) = + v(x) v(x) xv 0 (x) = v (x) v(x) v(x) v (x) v0 (x) = x : Integrando a ambos lados de la ecuación anterior se obtiene: v(x) dx v (x) v0 (x)dx = x esto es, ln v (x) = ln jxj + C; ln v (x) = ln jxj C = ln jxj C: Tomando exponenciales en la ecuación anterior se obtiene v (x) = K x =) v(x) = r K x : Deshaciendo el cambio de variable: v(x) = u(x)=x, tenemos r K u(x) = x x que es la solución general del problema planteado. Ejemplo 8: Vamos a obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden: u 0 (x) = u(x) x + : Es inmediato comprobar que es una ecuación homogénea. Haciendo el cambio de variable v(x) = u(x)=x, y por tanto, u 0 (x) = v(x) + xv 0 (x)

11 E.T.S. Arquitectura. EDO obtenemos esto es, v(x) + xv 0 (x) = v(x) + v 0 (x) = x : Integrando a ambos lados de la ecuación anterior se obtiene: dx v 0 (x)dx = x esto es, v(x) = ln jxj + C: Deshaciendo el cambio de variable: v(x) = u(x)=x, tenemos u(x) = x (ln jxj + C) que es la solución general del problema planteado. Ejemplo 9: Vamos a obtener la solución general de la ecuación u 0 (x) = x + u(x) x u(x) + : Esta ecuación no es una ecuación homogénea. Vamos a hacer un cambio de coordenadas de manera que en el nuevo sistema de coordenadas la ecuación sea homogénea. Las rectas x + y = 0 x y + 4 = 0 se cortan en el punto ( ; 3). Consideramos el cambio de variables x = z u(x) = v(z) + 3 luego, u 0 (x) = v 0 (z) y obtenemos la siguiente ecuación homogénea: v 0 (z) = (z ) + (v(z) + 3) (z ) (v(z) + 3) + 4 = z + v(z) z v(z) que sí es una ecuación homogénea. Dividimos por z el numerados y el denominador del miembro de la derecha de la ecuación y obtenemos: v 0 (z) = + v(z) z v(z) z

12 E.T.S. Arquitectura. EDO Haciendo ahora el cambio de variable w(z) = v(z)=z obtenemos de donde, obtenemos w(z) + zw 0 (z) = + w(z) w(z), zw 0 (z) = + w(z) w(z) w(z) = + w (z) w(z) luego w(z) + w (z) w0 (z) = z e, integrando, se tiene w(z) + w (z) w0 (z)dz = z dz: Tenemos w(z) + w (z) w0 (z)dz = + w (z) w0 (z)dz = arctan w(z) ln( + w (z)): w(z) + w (z) w0 (z)dz Por tanto, arctan w(z) ln( + w (z)) = ln jzj + C y, deshaciendo los cambios de variables considerados (primero w(z) = v(z)=z y después x = z, u(x) = v(z) + 3, se tiene! u(x) 3 u(x) 3 arctan x + ln + = ln jx + j + C; x + que es la ecuación implícita de la solución general de la ecuación diferencial dada.

13 E.T.S. Arquitectura. EDO3.3 Ecuación lineal de primer orden Decimos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si se puede escribir de la siguiente forma: y 0 (x) = y(x)f(x) + g(x): (5) Para su resolución, hacemos el cambio y(x) = u(x)v(x). Entonces y la ecuación se escribe como sigue: de donde y 0 (x) = u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = u(x)v(x)f(x) + g(x); u 0 (x)v(x) + u(x) [v 0 (x) v(x)f(x)] = g(x): (6) Elegimos v(x) en el cambio y(x) = u(x)v(x) de manera que v 0 (x) v(x)f(x) = 0: Nótese que v(x) es solución de la parte homogénea de la ecuación lineal. Integramos la EDO anterior: v 0 (x) v(x) = f(x) después de unas operaciones elementales, obtenemos la solución particular v(x) = e R f(x)dx que, sustituida en la ecuación (6), nos da u 0 (x)e R h f(x)dx + u(x) f(x)e R f(x)dx e R i f(x)dx f(x) = g(x) esto es, u 0 (x)e R f(x)dx = g(x); que es una ecuación en variables separadas, cuya solución general es de la forma: u(x) = g(x)e R f(x)dx dx + C La solución general de la ecuación lineal será y(x) = u(x)v(x), por tanto, y(x) = e R f(x)dx g(x)e R f(x)dx dx + C :

14 E.T.S. Arquitectura. EDO4 Ejemplo 0: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = y(x) + e 3x : Haciendo el cambio y(x) = u(x)v(x) obtenemos de donde Una solución particular de la ecuación v 0 (x) Y lo sustituimos en nuestra ecuación: u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = u(x)v(x) + e 3x ; u 0 (x)v(x) + u(x) [v 0 (x) v(x)] = e 3x : v(x) = e x : u 0 (x)e x = e 3x : v(x) = 0 es Por tanto, integrando u 0 (x) = e 3x e x = e x obtenemos: u(x) = ex + C: Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = y(x) + e 3x es y(x) = ex + C e x : COMPROBACIÓN: Derivando y(x) = ex + C e x obtenemos: y 0 (x) = e x e x + ex + C e x = e 3x + y(x):

15 E.T.S. Arquitectura. EDO5 Ejemplo : Obtengamos la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = tg(x)y(x) + sin(x): Haciendo el cambio y(x) = u(x)v(x) obtenemos de donde Imponiendo v 0 (x) e integrando tenemos: v 0 (x) v(x) dx = Por tanto, u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = tg(x)u(x)v(x) + sin(x); u 0 (x)v(x) + u(x) [v 0 (x) tg(x)v(x) = 0 obtenemos tg(x)v(x)] = sin(x): v 0 (x) = tg(x)v(x) =) v0 (x) v(x) = tg(x) tg(x)dx = Tomo K = y sustituyo v(x) = cos(x) sin(x) cos(x) dx = ln j cos(x)j + C ln jv(x)j = ln j cos(x)j + C =) v(x) = K cos(x) : en la ecuación. Obtenemos: u 0 (x) cos(x) = sin(x) () u0 (x) = sin(x) cos(x): Por tanto, integrando u 0 (x) = sin(x) cos(x) obtenemos: u(x) = sin(x) cos(x)dx = sin (x) + C: Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = tg(x)y(x) + sin(x) es sin (x) y(x) = + C cos(x) : COMPROBACIÓN: h i Derivando y(x) = sin (x) + C obtenemos: cos(x) y 0 sin (x) = sin(x) cos(x) cos(x) + (x) sin(x) + C cos (x) sin (x) sin(x) = sin(x) + + C cos(x) cos(x) = sin(x) + y(x)tg(x):

16 E.T.S. Arquitectura. EDO6 Ejemplo : Obtengamos la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = y(x) + sin (x): Hacemos el cambio y(x) = u(x)v(x) con v(x) solución de la parte homogénea de la EDO; esto es, v 0 (x) = v(x) luego v 0 (x) v(x) dx = dx =) ln jv(x)j = x =) v(x) = e x : Tomando y(x) = u(x)v(x) con v(x) = e x la EDO se escribe como sigue: u 0 (x)v(x) = sin (x); de donde Integrando obtenemos: u 0 (x) = sin (x)e x : u(x) = sin (x)e x dx Integramos por partes tomando: u = sin (x) du = sin x cos xdx dv = e x dx v = e x luego sin (x)e x dx = sin (x)e x + sin x cos xe x dx: Integramos otra vez por partes tomando: u = sin x cos x du = cos x sin x dx = sin x dx dv = e x dx v = e x obtenemos: sin (x)e x dx = sin (x)e x + sin x cos xe x dx = sin (x)e x sin x cos xe x + sin x e x dx = sin (x)e x sin x cos xe x + e x dx 4 sin xe x dx = sin (x)e x sin x cos xe x e x 4 sin xe x dx:

17 E.T.S. Arquitectura. EDO7 Por tanto, sin (x)e x dx = 5 sin (x)e x sin x cos xe x e x + C : Luego la solución general de nuestra EDO es: y(x) = 5 sin (x)e x sin x cos xe x e x + C e x : Ejemplo 3: Obtengamos la solución del problema de Cauchy: y 0 (x) cos (x) + y(x) = tg(x) y 4 = Hacemos el cambio y(x) = u(x)v(x) con v(x) solución de la parte homogénea de la EDO; esto es, v 0 (x) cos (x) + v(x) = 0: Luego v 0 (x) v(x) dx = cos (x) dx =) ln jv(x)j = tg(x) =) v(x) = e tg(x) : Tomando y(x) = u(x)v(x) con v(x) = e tg(x) la EDO se escribe como sigue: de donde Integrando obtenemos: u 0 (x)v(x) = u 0 (x) = u(x) = cos (x) tg(x); cos (x) tg(x)etg(x) : cos (x) tg(x)etg(x) dx: Integramos por partes tomando: ( u = tg(x) du = Tenemos: dv = cos (x) etg(x) dx v = e tg(x) cos (x) dx u(x) = cos (x) tg(x)etg(x) dx = tg(x)e tg(x) e tg(x) cos (x) dx = tg(x)e tg(x) e tg(x) + C = (tg(x) ) e tg(x) + C:

18 E.T.S. Arquitectura. EDO8 Luego la solución general de nuestra EDO es: y(x) = (tg(x) ) e tg(x) + C e tg(x) = (tg(x) ) + Ce tg(x) : Queremos que y 4 = por tanto, tg 4 + Ce tg 4 = de donde: C = e. Luego la solución del problema de Cauchy es: y(x) = (tg(x) ) + e tg(x) :

19 E.T.S. Arquitectura. EDO9.4 Ecuaciones de Bernouilli Decimos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de Bernouilli si se puede escribir de la siguiente forma: y 0 (x) = y(x)f(x) + y(x) n g(x); con n 6= 0;. Si n = 0 tenemos una EDO de variables separables y con n = tenemos una ecuación lineal. Dividiendo por y(x) n obtenemos: y 0 (x) y(x) = y(x) f(x) + g(x): n y(x) n Para convertirla en una EDO lineal hacemos el cambio: Entonces luego, u(x) = y(x) y(x) n : u 0 (x) = y0 (x)y(x) n y(x)ny(x) n y 0 (x) y(x) n = y 0 (x) y(x)n ny(x) n y(x) n = y 0 (x)( n) y(x) ; n y 0 (x) y(x) = u0 (x) n n : Sustituyéndolo en la EDO obtenemos la siguiente EDO lineal que resolvemos siguiendo los pasos del apartado anterior: u 0 (x) = ( n) f(x)u(x) + ( n) g(x): Ejemplo 4: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = x + y(x) (x + )4 y(x) : Es una EDO de Bernuilli con n =. Dividiendo por y(x), obtenemos: y 0 (x) y(x) = x + y(x) (x + )4 ;

20 E.T.S. Arquitectura. EDO0 y hacemos el cambio de variable: u(x) = y(x) : luego u 0 (x) = y0 (x) y(x) : Lo sustituimos en la EDO y obtenemos la siguiente ecuación lineal: u 0 (x) = x + u(x) + (x + )4 : Hacemos el cambio u(x) = w(x)v(x). Luego u 0 (x) = w 0 (x)v(x)+w(x)v 0 (x), y lo sutituimos en la EDO: w 0 (x)v(x) + w(x)v 0 (x) = x + w(x)v(x) + (x + )4 : (7) Tomamos v(x) tal que: v 0 (x) = x + v(x): Integrando esta EDO obtenemos: v 0 (x) v(x) dx = luego, Luego la EDO (7) se escribe como sigue: Luego, integrando obtenemos: Luego v(x) = x + : x + dx w 0 (x) (x + ) = (x + )4 =) w 0 (x) = (x + )3 : w(x) = (x + )3 dx = (x + ) 4 + C: 4 u(x) = w(x)v(x) (x + ) 4 = 8 y la solución general de nuestra EDO es: y(x) = + C (x + ) = (x + )5 + 8C(x + ) : 8 8 (x + ) 5 + 8C(x + ) :

21 E.T.S. Arquitectura. EDO Ejemplo 5: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) = x y(x) + (x )e 3x y(x) : Es una EDO de Bernouilli con n =. Multiplicando por y(x), obtenemos: y 0 (x)y(x) = x y(x) 3 + (x )e 3x : Y tomando u(x) = y(x) 3 obtenemos u 0 (x) = 3y(x) y 0 (x) luego la EDO se escribe como la siguiente EDO lineal: 3 u0 (x) = x u(x) + (x )e 3x : Hacemos el cambio u(x) = w(x)v(x) siendo v(x) solución de la EDO homogénea asociada: e integrando obtenemos: Tomamos v 0 (x) = 3x v(x) =) v0 (x) v(x) = 3x ; ln jv(x)j = v 0 (x) v(x) dx = v(x) = e x3 : 3x dx = x 3 : Luego u 0 (x) = w 0 (x)v(x) + w(x)v 0 (x), y lo sutituimos en la EDO anterior: w 0 (x)v(x) + w(x)v 0 (x) = 3 x w(x)v(x) + (x )e 3x : Y la EDO lineal que teníamos se escribe como sigue: w 0 (x)e x3 = 3(x )e 3x =) w 0 (x) = 3(x )e 3x e x3 = 3(x )e x3 +3x : Integrando obtenemos: w(x) = 3(x )e x3 +3x dx = 3( x + )e x3 +3x dx = e x3 +3x + C: Por tanto, h u(x) = i e x3 +3x + C e x3 ; y la solución general de nuestra ecuación es: y(x) = u(x) =3 h i =3 = e x3 +3x x + C e 3 3 :

22 E.T.S. Arquitectura. EDO.5 Aplicaciones.5. Trayectorias ortogonales Decimos que dos curvas planas se cortan ortogonalmente si sus tangentes en los puntos de corte son perpendiculares. Problemas comunes de física requiere conocer una familia de curvas todas ellas ortogonales a las curvas de otra familia dada. Por ejemplo, en electrostática, las lineas de fuerza son ortogonales a las curvas equipotenciales. Sea F (x; y(x)) = C la ecuación de nuestra familia de curvas. La ecuación diferencial de dicha familia se obtiene derivando la ecuación anterior respecto de x. Tenemos: ( F (x; y(x)) = C F x + F y y 0 = 0 La familia de curvas ortogonales es la que satisface la ecuación: F x F y y 0 = 0: Ejemplo 6: Obtener las curvas ortogonales a la familia de curvas dadas por y = C=x, C 6= 0. Derivamos respecto de x la ecuación. Tenemos: 8 >< y 0 (x) = C x >: y(x) = C x sustituimos el valor de C en la primera ecuación y obtenemos la EDO de nuestra familia: y 0 (x) = xy(x) x = y(x) x : Estamos buscando una familia de curvas cuyas pendientes sean ortogonales a las pendientes de las curvas de la familia dada. Por tanto, buscamos curvas y = y(x) tales que: y 0 (x) = x y(x) : Operando e integrando la EDO anterior obtenemos: y(x) = x + K: Luego la famila de curvas ortogonales a las hipérbolas de ecuación y = C=x es la familia de las hipérbolas de ecuación y x = K.

23 E.T.S. Arquitectura. EDO3 Ejemplo 7: Obtener las curvas ortogonales a una familia de circunferencias centradas en el origen de coordenadas. La ecuación implícita de la familia de circunferencias centrada en el origen de coordenadas es: x + y(x) = C: Derivando los dos miembros de la ecuación anterior respecto de x obtenemos: x + y(x)y 0 (x) = 0: Por tanto, la pendiente en cada punto (x; y(x)) de esa familia de circunferencias es: y 0 x (x) = y(x) : Por tanto, la familia de curvas ortogonales tiene pendiente y 0 (x) = y(x) x : Resolvamos la EDO anterior y obtenemos: y 0 (x) y(x) dx = dx =) ln jy(x)j = ln jxj + C x =) y(x) = Kx: Luego la familia de rectas de ecuación y(x) = Kx es ortogonal a la familia de circunferencias centradas en el origen. Ejemplo 8: Obtener las curvas ortogonales a una familia de elipses de ecuación: 3x + y(x) = C: Derivando los dos miembros de la ecuación anterior respecto de x obtenemos: 6x + 4y(x)y 0 (x) = 0: Por tanto, la pendiente en cada punto (x; y(x)) de esa familia de elipses es: y 0 (x) = 6x 4y(x) : Por tanto, la familia de curvas ortogonales tiene pendiente y 0 (x) = y(x) 3x : Resolvamos la EDO anterior y obtenemos: y 0 (x) y(x) dx = 3x dx =) ln jy(x)j = ln jxj + C 3 =) y(x) = K(x) =3 : Luego la familia de curvas de ecuación y(x) = K(x) =3 es ortogonal a la familia de elipses de ecuación 3x + y(x) = C.

24 E.T.S. Arquitectura. EDO4 Ejemplo 9: Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y + ax = a, con a > 0. Calculamos primero la ecuación diferencial asociada a dicha familia. Derivando respecto de x la ecuación implícita de la familia de curvas; esto es, y(x) + ax = a, obtenemos: y(x)y 0 (x) + a = 0: Por tanto, dicha famila de curvas satisface las ecuaciones: y(x) + ax = a ; y(x)y 0 (x) + a = 0: Despejamos a de la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera. Tenemos: y(x) y(x)y 0 (x)x = y (x) (y 0 (x)) ; que es la ecuación diferencial que describe a la familia de curvas dadas. Las curvas de la familia ortogonal tienen pendiente =y 0 (x). Por tanto, las trayectorias ortogonales se obtienen sustituyendo en la ecuación diferencial de la familia y 0 (x) por =y 0 (x). Obtenemos: y(x) + y(x) y 0 (x) x = y (x) (y 0 (x)) : Multiplicando la ecuación anterior por (y 0 (x)) obtenemos: y(x) (y 0 (x)) + y(x)x = y (x): Que coincide con la ecuación diferencial de la familia de curvas dada. Por tanto, dichas curvas son autoortogonales.

25 E.T.S. Arquitectura. EDO5 Ejemplo 0: Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y = ax 3, con a 6= 0. Calculamos primero la ecuación diferencial asociada a dicha familia. Derivando respecto de x la ecuación implícita de la familia de curvas; esto es, y(x) = ax 3, obtenemos: y 0 (x) = 3ax : Por tanto, dicha famila de curvas satisface las ecuaciones: y(x) = ax 3 ; y 0 (x) = 3ax : Despejamos a de la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera. Tenemos: y(x) = y0 (x) 3x x3 = 3 y0 (x)x; que es la ecuación diferencial que describe a la familia de curvas dadas. Las curvas de la familia ortogonal tienen pendiente =y 0 (x). Por tanto, las trayectorias ortogonales se obtienen sustituyendo en la ecuación diferencial de la familia y 0 (x) por =y 0 (x). Obtenemos: y(x) = 3 y 0 (x) x; esto es, e integrando la ecuación anterior obtenemos: Luego la familia de curvas ortogonales es: 3y(x)y 0 (x) = x; 3 y (x) = x + C: 3y (x) + x = C:

26 E.T.S. Arquitectura. EDO6.5. Trayectorias parabólicas Problema: Hallar la curva y = y(x) tal que los rayos paralelos al eje de las x que inciden sobre la curva al re ejarse pasan todos por el origen de coordenadas. Por la ley de la re exión tenemos que el ángulo de incidencia es igual al ángulo re ejado. Luego, =. Sabemos que y 0 = tg y tg = y x : Por tanto, como se tiene: tg = Despejando y 0 obtenemos: sin cos = sin cos cos sin = sin cos sin cos y x = y 0 (y 0 ) () y(y0 ) + xy 0 y = 0: y 0 = x p x + y ; y = tg tg que es una EDO homogénea. Hacemos el cambio u(x) = y(x)=x. Tenemos: esto es, xu 0 (x) + u(x) = x p x + x u (x) xu(x) u(x) + u (x) p + u (x) u0 (x) = x : (Tomamos la raíz positiva). Integrando obtenemos: u(x) + u (x) + p + u (x) u0 (x)dx = t =+u (x); tdt=u(x)u 0 (x)dx = t + dt = ln jt + j = ln jp + u (x) + j: Por tanto, Luego, ln j p + u (x) + j = ln jxj + C = ln jxj + C: p + u (x) + = K jxj () y (x) = K x jxj () y (x) = (K x) x = K x: t t + t dt

27 E.T.S. Arquitectura. EDO7 3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior Estudiamos en este tema las EDO de orden superior: F (x; y(x); y 0 (x); :::; y (n (x); y (n (x)) = 0: Dentro de esta clase de ecuaciones nos restringiremos al caso en el que la función F es linea, esto es, la EDO se escribe de la siguiente forma: a 0 (x)y (n (x) + a (x)y (n (x) + + a n (x)y 0 (x) + a n (x)y(x) = b(x): Si b(x) = 0 diremos que la EDO de orden n es lineal y homogénea y si b(x) no es idénticamente cero, diremos que la EDO es no homogénea. Si las funciones a i (x), 0 i n, son constantes, diremos que la EDO lineal es de coe - cientes constantes. Ejemplos:. La ecuación y 000 (x) = sin(xy(x)) + y 0 (x) es una EDO de tercer orden no lineal.. La ecuación y 000 (x) = sin(x)y(x)+e x y 0 (x)+(x +)y 00 (x) es una EDO de tercer orden lineal homogénea con coe cientes no constantes. 3. La ecuación y 000 (x) = sin(x)y(x) + e x y 0 (x) + (x + )y 00 (x) + cos(x) es una EDO de tercer orden lineal no homogénea con coe cientes no constantes. 4. La ecuación y 000 (x) + 7y 00 (x) + 8y 0 (x) + 5y(x) = cos(x) es una EDO de tercer orden lineal no homogénea con coe cientes constantes. La solución general de una ecuación lineal de orden n no homogénea a 0 (x)y (n (x) + a (x)y (n (x) + + a n (x)y 0 (x) + a n (x)y(x) = b(x); se escribe como la suma de la solución general de la homogénea más una solución particular de la no homogénea. Si y h (x) es solución de la homogénea se tiene: a 0 (x)y (n h (x) + a (x)y (n h (x) + + a n (x)y 0 h(x) + a n (x)y h (x) = 0: Y si y p (x) es una solución particular de la no homogénea entonces: a 0 (x)(y h + y p ) (n (x) + + a n = a 0 (x)y (n h (x) + + a n (x)yh(x) 0 + a n (x)y h (x) {z } 0 +a 0 (x)y p (n (x) + + a n (x)yp(x) 0 + a n (x)y p (x) {z } b(x) = b(x): (x)(y h + y p ) 0 (x) + a n (x)(y h + y p )(x) Empezaremos con las ecuaciones lineales de segundo orden.

28 E.T.S. Arquitectura. EDO8 3. Ecuaciones lineales de segundo orden La ecuación diferencial lineal de segundo orden general es: y 00 (x) + a (x)y 0 (x) + a (x)y(x) = b(x): (8) La ecuación lineal de segundo orden homogénea asociada a la anterior ecuación es: y 00 (x) + a (x)y 0 (x) + a (x)y(x) = 0: (9) Tenemos los siguientes teoremas: Teorema: La solución general de una ecuación lineal de orden no homogénea y 00 (x) + a (x)y 0 (x) + a (x)y(x) = b(x); se escribe como la suma de la solución general de la homogénea más una solución particular de la no homogénea. Teorema: Si y (x) e y (x) son dos soluciones cualesquiera de la ecuación lineal homogénea (9), entonces c y (x) + c y (x) es también solución de (9) para todo par de constantes c ; c. Demostración: Se tiene: (c y + c y ) 00 (x) + a (x) (c y + c y ) 0 (x) + a (x) (c y + c y ) (x) = c (y(x) 00 + a (x)y(x) 0 + a (x)y (x)) + c {z } (y(x) 00 + a (x)y(x) 0 + a (x)y (x)) {z } 0 0 = 0: Diremos que c y (x) + c y (x) es la solución general de la ecuación lineal homogénea (9) siempre que y (x), y (x) sean funciones linealmente independientes. Una condición necesaria para que el sistema de funciones fy (x); y (x)g sea linealmente dependiente en [a; b] es que el siguiente determinante, que se denomina wronskiano, W (y ; y )(x) = y (x) y (x) y(x) 0 y(x) 0 sea identicamente nulo en [a; b].

29 E.T.S. Arquitectura. EDO9 Ejemplo: Comprobar que y (x) = y y (x) = e x son soluciones independientes de la ecuación y 00 + y 0 = 0: Se tiene: y 00 (x) + y 0 (x) = = 0; y 00 (x) + y 0 (x) = e x e x = 0; y ademas el wronskiano de estas dos funciones es: W (y ; y )(x) = e x 0 e x 6= 0: Por tanto, la solución general de la ecuación es: y(x) = c + c e x.

30 E.T.S. Arquitectura. EDO Ecuaciones lineales de segundo orden con coe cientes constantes La ecuación diferencial lineal de segundo orden con coe cientes constantes es: y 00 (x) + a y 0 (x) + a y(x) = b(x): La ecuación lineal de segundo orden homogénea asociada a la anterior ecuación es: y 00 (x) + a y 0 (x) + a y(x) = 0: Estrategia:. Buscar la solución general y h de la ecuación homogénea asociada.. Buscar una solución particular y p de la no homogénea. 3. La solución general de la ecuación es y = y h + y p. Cálculo de la solución general de la ecuación homogénea de orden y(x) = e x y sustituyéndolo en la ecuación homogénea obtenemos: Tomando 0 = y 00 (x) + a y 0 (x) + a y(x) = e x + a e x + a e x = + a + a e x : Como e x > 0 la ecuación anterior se satisface para los valores de que satisfacen la ecuación: + a + a = 0; que llamamos ecuación característica de la EDO de segundo orden. La ecuación característica es de grado dos y tiene dos soluciones. El discriminante de la ecuación característica es: = a 4a. Si = a 4a > 0 las dos soluciones ; de la ecuación son reales y distintas y y (x) = e x, y (x) = e x son soluciones independientes, pues W (y ; y )(x) = e x e x e x e x = ( )e x e x 6= 0: Por tanto, la solución general es: y(x) = c e x + c e x :

31 E.T.S. Arquitectura. EDO3 Si = a 4a = 0 la solución = a de la ecuación es doble y y (x) = e x es solución. Para formar la solución general de la ecuación homogénea necesitamos otra solución de dicha ecuación. Probamos con y (x) = xe x. Tenemos: 0 = y(x) 00 + a y(x) 0 + a y (x) = e x + x e x + a e x + x e x + a xe x 0 = + a {z } + x C + a + a A e x : {z } 0 pues = a Las soluciones y (x) = e x, y (x) = xe x son independientes, pues W (y ; y )(x) = e x xe x e x e x + x e x = e x 6= 0: Por tanto, la solución general es: y(x) = c e x + c xe x : 0 Si = a 4a < 0 las dos soluciones ; de la ecuación son complejas conjugadas, = + i; = i: Las funciones y (x) = e x ; y (x) = e x son funciones complejas. Nótese que teniendo en cuenta la fórmula de Euler se tiene e i = cos + i sin y (x) = e x = e x+ix = e x e ix = e x (cos(x) + i sin(x)) ; y (x) = e x = e x (cos( x) + i sin( x)) = e x (cos(x) i sin(x)) : Como y (x) = e x ; y (x) = e x son soluciones de la ecuación homogénea, combinaciones lineales de dichas soluciones también son soluciones de la ecuación homogénea. Tomamos: u (x) = (y (x) + y (x)) = e x cos(x); u (x) = i (y (x) y (x)) = e x sin(x): Son soluciones reales e independientes. La solución general se escribe como sigue: y(x) = e x (c cos(x) + c sin(x)) :

32 E.T.S. Arquitectura. EDO3 Ejemplo: Hallar la solución general de la siguiente ecuación: y y 0 4y = 0. La ecuación característica de dicha ecuación es: que tiene raíces: = 0 = 3 p Por tanto, la solución general de dicha ecuación es: = y(x) = c e x + c e 4x : 4 Ejemplo: Hallar la solución general de la siguiente ecuación: y 00 6y 0 + 9y = 0. La ecuación característica de dicha ecuación es: = ( 3) = 0 que tiene raiz = 3 doble. Por tanto, la solución general de dicha ecuación es: y(x) = c e 3x + c xe 3x : Ejemplo: Hallar la solución general de la siguiente ecuación: y 00 + y 0 + 3y = 0. La ecuación característica de dicha ecuación es: que tiene raíces complejas: = p = 0 = ip 5 Por tanto, la solución general de dicha ecuación es: p! 5 y(x) = e x= c cos x + c sin = i p 5 : p!! 5 x :

33 E.T.S. Arquitectura. EDO33 Cálculo de la solución particular de la ecuación no homogénea Usaremos el método de los coe cients indeterminados para hallar una solucón particular y p de la ecuación no homogénea con coe cientes constantes: Veamos varios casos particulares: y 00 (x) + a y 0 (x) + a y(x) = b(x): El término independiente de la ecuación b(x) es una función polinómica de grado n. Entonces tomamos como candidata a solución particular de la ecuación un polinomio del mismo grado: y p (x) = Ax n + Bx n + Cx n + donde A; B; C; : : : son los coe cientes indeterminados. Sustituyéndolo en la ecuación despejamos de los valores de los coe cientes indeterminados. Ejemplo: Hallar la solución general de la siguiente ecuación: y 00 y 0 + y = 3x + x 0. La ecuación característica de la ecuación homogénea es: + = ( ) = 0, que tiene raíz doble =. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c e x + c xe x : Para hallar una solución particular de la ecuación tomamos: y p = Ax + Bx + C. Sustituyéndolo en la ecuación obtenemos: De donde, igualando coe cientes: obtenemos A (Ax + B) + Ax + Bx + C = 3x + x 0: A = 3; 4A + B = ; A B + C = 0; A = 3; B = 4; C = : Por tanto, la solución general de nuestra ecuación es: y = c e x + c xe x + 3x + 4x + :

34 E.T.S. Arquitectura. EDO34 El término independiente de la ecuación b(x) es una función exponencial; por ejemplo, y 00 (x) + a y 0 (x) + a y(x) = e ax : Tomamos y p (x) = Ae ax, donde A es el coe ciente indeterminado. y p (x) = Ae ax en la ecuación tenemos: Por tanto, si a + a a + a 6= 0 entonces A a + a a + a e ax = e ax : A = a + a a + a : Sustituyéndo Si a + a a + a = 0 entonces a es una raíz doble de la ecuación característica de la ecuación homogénea asociada. En este caso tomamos: y p (x) = Axe ax. Sustituyéndolo en la ecuación tenemos: (Aae ax + Aa xe ax ) + a (Ae ax + Aaxe ax ) + a Axe ax = e ax ; esto es, A(a + a + a + a a + a x)e ax = e ax : {z } 0 Luego si a + a 6= 0 entonces A = : a + a Si a + a = 0, esto es, a = a = entonces probaríamos con y p (x) = Ax e ax. Ejemplo: Hallar la solución general de la siguiente ecuación: y y 0 0y = 6e 4x. La ecuación característica de la ecuación homogénea es: = 0, que tiene raíces: = 3 p = 3 7 = 5 Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c e x + c e 5x : Para hallar una solución particular de la ecuación tomamos: y p = Ae 4x. Sustituyéndolo en la ecuación obtenemos: A6e 4x + Ae 4x A0e 4x = 6e 4x : De donde, A = 3 : Por tanto, la solución general de la ecuación es: y = c e x + c e 5x + 3 e4x :

35 E.T.S. Arquitectura. EDO35 Ejemplo: Hallar la solución general de la siguiente ecuación: y 00 4y = 3e x. La ecuación característica de la ecuación homogénea es: 4 = 0, que tiene raíces: = y = : Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c e x + c e x : Para hallar una solución particular de la ecuación tomamos: y p = Axe x pues sabemos que e x es solución de la homogénea y por tanto y = Ae x no es solución particular de la no homogénea. Sustituyéndo y p = Axe x en la ecuación obtenemos: A e x + e x + 4xe x 4Axe x = 3e x de donde, A = 3 4 : Por tanto, la solución general de la ecuación es: y = c e x + c e x xex :

36 E.T.S. Arquitectura. EDO36 El término independiente de la ecuación b(x) es un sin(x) o cos(x). En este caso tomamos y p (x) = A sin(x) + B cos(x); donde A; B son los coe cientes indeterminados. Los coe cientes indeterminados A; B se pueden calcular sustituyendo la solución particular en la ecuación e igualando coe cientes. Ejemplo: Hallar una solución particular de y 00 + y = sin(x). Tomamos y p (x) = A sin(x) + B cos(x): Sustituyendo dicha solución en la ecuación obtenemos: A sin(x) B cos(x) + A sin(x) + B cos(x) = sin x () 0 = sin(x): En este caso y p (x) = A sin(x) + B cos(x) es solución de la ecuación homogénea, así que probamos con y p (x) = x(a sin(x) + B cos(x)): Tenemos: y 0 p(x) = A sin(x) + B cos(x) + x(a cos(x) B sin(x)); y 00 p(x) = (A cos(x) B sin(x)) x(a sin(x) + B cos(x)): Por tanto, sustituyéndolo en la ecuación obtenemos: (A cos(x) B sin(x)) x(a sin(x) + B cos(x)) + x(a sin(x) + B cos(x)) = sin(x); esto es, igualando el coe ciente de sin(x) y el de cos(x) obtenemos: Por tanto, A = 0; B = : y(x) = y h (x) + y p (x) = A sin(x) + B cos(x) x cos(x):

37 E.T.S. Arquitectura. EDO37 Principio de superposición: Si y (x) es solución de y 00 + a y 0 + a y = b (x) y y (x) es solución de y 00 + a y 0 + a y = b (x), entonces y (x) + y (x) es solución de y 00 + a y 0 + a y = b (x) + b (x). Ejemplo: Hallar una solución particular de y y = 4 cos(x) + 4 cos(x) + 8x 4x. La ecuación característica de la ecuación homogénea es: + 4 = 0, que tiene raíces complejas i. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c cos(x) + c sin(x): Como c cos(x) + c sin(x) es solución particular de la homogénea y en el término independiente de la ecuación tenemos 4 cos(x) tomamos y = Ax cos(x) + Bx sin(x): Como en el término independiente también tenemos 4 cos(x) tomamos y = C cos(x) + D sin(x); y como también tenemos: 8x 4x tomamos y 3 = Ex + Dx + F: Por tanto, como solución particular tomamos: y p = Ax cos(x) + Bx sin(x) + C cos(x) + D sin(x) + Ex + Dx + F: Sustituyéndolo en la ecuación obtenemos: y 00 p + 4y p = 4A sin(x) + 4B cos(x) 4Ax cos(x) 4Bx sin(x) C cos(x) D sin(x) + E +4 Ax cos(x) + Bx sin(x) + C cos(x) + D sin(x) + Ex + Dx + F Por tanto, = 4A sin(x) + 4B cos(x) + E + 3C cos(x) + 3D sin(x) + 4Ex + 4Dx + 4F = 4 cos(x) + 4 cos(x) + 8x 4x: y la solución general de la ecuación es: A = 0; B = ; C = 4=3; E = ; D = ; F = ; y = y h + y p = c cos(x) + c sin(x) + x sin(x) cos(x) sin(x) + x x :

38 E.T.S. Arquitectura. EDO38 Ejemplo: Hallar una solución del problema de valor incial: 8 < y 00 4y = 3 cos(x) + 8x + y(0) = : ; 8 y 0 (0) = 0: La ecuación característica de la ecuación homogénea es: 4 = 0, que tiene raíces reales distintas = ; =. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c e x + c e x : Como solución particular de la ecuación y 00 Tenemos: por tanto y y = 0 y y = A cos(x) + B sin(x): y 0 = A sin(x) + B cos(x); 4y = 3 cos(x) probamos con y 00 = 4A cos(x) 4B sin(x) = 4y ; y 00 4y = 8y = 8 (A cos(x) + B sin(x)) = 3 cos(x) de donde A = 3=8 y B = 0. Como solución particular de la ecuación y 00 y = Ax + Bx + C: 4y = 8x + probamos con Tenemos: y 00 4y = A 4 Ax + Bx + C = 8x + de donde A =, B = 0, C = 3=. Luego, la solución general de la ecuación es: y = y h + y + y = c e x + c e x 3 8 cos(x) x 3 : Si queremos además que y(0) = =8 y y 0 (0) = 0 entonces como tenemos: de donde c = c =. y 0 (x) = c e x c e x + 3 sin(x) 4x; 4 y(0) = c e 0 + c e cos(0) = c + c = ; 8 8 y 0 (0) = c e 0 c e sin(0) 4 = c c = 0;

39 E.T.S. Arquitectura. EDO39 3. Método de variación de las constantes El método que vamos a desarrollar nos servirá para encontrar una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden con coe cientes no constantes de la forma y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = r(x): Suponemos conocidas dos soluciones y (x); y (x), de la ecuación homogénea asociada. Por tanto, y(x) = c y (x) + c y (x) es también solución dela homogénea. Veamos que condiciones deben satisfacer las funciones c (x) y c (x) para que y(x) = c (x)y (x)+c (x)y (x) sea solución de la ecuación. Tenemos: y 0 (x) = c (x)y 0 (x) + c (x)y 0 (x) + c 0 (x)y (x) + c 0 (x)y (x): Vamos a pedir: y entonces c 0 (x)y (x) + c 0 (x)y (x) = 0; y 0 (x) = c (x)y 0 (x) + c (x)y 0 (x); y 00 (x) = c (x)y 00 (x) + c (x)y 00 (x) + c 0 (x)y 0 (x) + c 0 (x)y 0 (x): Sustituyéndolo en la ecuación obtenemos: y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = c (x)y(x) 00 + c (x)y(x) 00 + c 0 (x)y(x) 0 + c 0 (x)y(x) 0 +p(x) [c (x)y(x) 0 + c (x)y(x)] 0 +q(x) [c (x)y (x) + c (x)y (x)] = c (x)[y(x) 00 + p(x)y(x) 0 + q(x)y (x)] {z } 0 +c (x)[y(x) 00 + p(x)y(x) 0 + q(x)y (x)] {z } 0 +c 0 (x)y(x) 0 + c 0 (x)y(x) 0 = r(x): Por tanto, buscamos c (x); c (x) tales que: c 0 (x)y (x) + c 0 (x)y (x) = 0; c 0 (x)y 0 (x) + c 0 (x)y 0 (x) = r(x): De donde, resolviendo el sistema lineal anterior por Cramer, se obtiene: c 0 (x) = y (x)r(x) W (y ; y ) ; c0 (x) = y (x)r(x) W (y ; y ) :

40 E.T.S. Arquitectura. EDO40 Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación y 00 + y = tg(x). La ecuación característica de la ecuación homogénea es + = 0. Tiene dos raíces complejas i y la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c cos x + c sin x: Por tanto, dos soluciones de la ecuación homogénea son: y (x) = cos x y y (x) = sin x y aplicamos el método de variación de las constantes. Tenemos: W (y ; y ) = cos x sin x sin x cos x = : Buscamos c (x), c (x) tales que: c 0 (x) = c 0 (x) = sin x tg(x) W (y ; y ) = sin x cos x ; cos x tg(x) = sin x: W (y ; y ) Por tanto, c (x) = sin x cos cos x dx = x dx cos x = cos x dx = cos x cos x = cos xdx = cos x t=sin x; = = t + = dt + t = ln j tj + ln j + tj t = + t = ln t t = + sin x = ln sin x + k : sin x y c (x) = dt=cos xdx sin xdx = cos x + k : cos x cos xdx cos x dt t Por tanto, la solución general de nuestra ecuación es:! = + sin x y(x) = ln sin x + k cos x + ( cos x + k ) sin x: sin x

41 E.T.S. Arquitectura. EDO4 Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación y 00 3y 0 + y = e 3x (x + 3). La ecuación característica de la ecuación homogénea es 3 + = 0. Tiene raíces =, = y la solución general de la ecuación homogénea asociada es: y h = c e x + c e x : Por tanto, dos soluciones de la ecuación homogénea son: y (x) = e x y y (x) = e x y aplicamos el método de variación de las constantes. Tenemos: W (y ; y ) = ex e x = e3x : Buscamos c (x), c (x) tales que: e x e x c 0 (x) = y (x)r(x) W (y ; y ) ; c0 (x) = y (x)r(x) W (y ; y ) Por tanto, c 0 (x) = e x e 3x (x + 3) e 3x = e x (x + 3); c 0 (x) = ex e 3x (x + 3) e 3x = e x (x + 3): c (x) = e x (x + 3)dx: Integramos por partes dos veces tomando u = x +3 y dv = e x dx. Obtenemos: c (x) = e x (x + 3)dx = 4 ex x x k ; y análogamente integrando por partes dos veces tomando u = x +3 y dv = e x dx obtenemos c (x) = e x (x + 3)dx = e x (x x + 5) + k : Por tanto, la solución general de nuestra ecuación es: y(x) = k e x + k e x 4 e3x x x e 3x (x x + 5):

42 E.T.S. Arquitectura. EDO4 Nótese que y p = 4 e3x x x e 3x (x x + 5) = e 3x x 3x + 3 es una solución particular de la ecuación. COMPROBACIÓN: Sustituimos y p en la ecuación y 00 3y 0 +y = e 5x (x +3). Tenemos: yp 0 = e 3x 3 x 3x e 3x (x 3) = e 3x 3x 7x + 3 yp 00 = e 3x 3 3x 7x e 3x (6x 7) = e 3x 9x 5x + 5 : Por tanto, 3yp 0 + y p = e 3x 9x 5x + 5 = e 3x 9x 5x + 5 y 00 p = e 3x x + 3 : 3x 7x + 3 3e 3x + e 3x 9x + x x 6x + 3 x 3x + 3

43 E.T.S. Arquitectura. EDO Ecs. lineales de orden superior con coe cientes constantes Para las ecuaciones de orden superior se procede de manera análoga a como se ha hecho para las de ecuaciones de orden. Estudiaremos algunos ejemplos: Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación y 000 y 00 y 0 + y = 4. Como el orden de la ecuación es 3 la solución general de la ecuación homogénea es combinación lineal de 3 funciones. La ecuación característica de la ecuación homogénea asociada es: 3 + = ( ) ( ) ( + ) = 0: Por tanto, las tres raíces son reales y distintas y la solución general de la ecuación homogénea es: y h (x) = C e x + C e x + C 3 e x : Como el término independiente de la ecuación es de tipo polinómico b(x) = 4 tomamos y p (x) = A. Entonces, al sustituirlo en la ecuación obtenemos: Luego la solución general de la ecuación es: A = 4 =) A = : y(x) = y h (x) + y p (x) = C e x + C e x + C 3 e x + : Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación y (4 + 6y y y 0 + 8y = 4. Como el orden de la ecuación es 4 la solución general de la ecuación homogénea es combinación lineal de 4 funciones. La ecuación característica de la ecuación homogénea asociada es: = + + ( + ) = 0: Por tanto, tiene una raíz real doble = y dos complejas conjugadas = i. La solución general de la ecuación homogénea es: y h (x) = C e x + C xe x + e x (C 3 cos(x) + C 4 sin(x)): Como el término independiente de la ecuación es de tipo polinómico b(x) = 4 tomamos y p (x) = A. Entonces, al sustituirlo en la ecuación obtenemos: Luego la solución general de la ecuación es: y(x) = y h (x) + y p (x) 8A = 4 =) A = 3: = C e x + C xe x + e x (C 3 cos(x) + C 4 sin(x)) + 3:

44 E.T.S. Arquitectura. EDO44 4 Sistemas lineales de EDOs Vamos a estudiar sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Empezamos con un sistema sin término independiente de dos ecuaciones y dos incógnitas: las funciones x = x(t) e y = y(t). Tenemos: x 0 (t) = a x(t) + b y(t) y 0 (t) = a x(t) + b y(t) o equivalentemente 8 dx >< dt = a x + b y; >: dy dt = a x + b y: Matricialmente el sistema anterior se escribe como sigue: 0 dx dt dy dt C A = Vamos a probar con soluciones del tipo: a b a b x y x = Ae t ; y = Be t ; con ; A; B constantes que vamos a intentar determinar. Sustituyéndolo en el sistema de ecuaciones obtenemos: ( ( Ake t = a Ae t + b Be t ; 0 = (a )A + b B; () Bke t = a Ae t + b Be t : 0 = a A + (b )B: Como la solución A = B = 0 no nos interesa porque es la trivial para tener una solución distinta de la trivial tenemos que hallar los valores de tales que: a b a b = 0; que se denomina la ecuación auxiliar del sistema. La ecuación auxiliar es una ecuación de grado en y por tanto tiene dos soluciones. Cada solución nos da una solución particular del sistema de ecuaciones. Veamos ejemplos con los tres tipos posibles de soluciones de la ecuación auxiliar: Raíces reales distintas Raíz real doble Raíces complejas conjugadas :

45 E.T.S. Arquitectura. EDO45 Raíces reales distintas Sean ; las dos raíces reales distintas de la ecuación auxiliar. Para (resp. ) hallamos A ; B (resp. A ; B ) soluciones del sistema de ecuaciones: ( (! 0 = (a )A + b B; 0 = (a )A + b B; resp. 0 = a A + (b )B; 0 = a A + (b )B; entonces ( x = c A e t + c A e t ; y = c B e t + c B e t ; es la solución general del sistema. NOTA: Nótese que ; son los autovalores de la matriz de coe cientes del sistema: 0 dx dt C a b dy A = x : a b y dt y (A ; B ) es el autovector asociado al autovalor y (A ; B ) es el autovector asociado al autovalor. La solución general del sistema es: x A = c y e t A + c B e t : B A las dos soluciones particulares: A e t B e t A e ; t B e t la denominamos sistema fundamental de soluciones. La solución general del sistema de ecuaciones es una combinación lineal de estas dos soluciones particulares.

46 E.T.S. Arquitectura. EDO46 Ejemplo: Hallar la solución general del siguiente sistema de ecuaciones: 8 >< >: dx dt = x + y; dy = 4x y: dt La ecuación axiliar es: 0 = 4 = + 6 = ( + 3)( ): Para = buscamos A; B soluciones del siguiente sistema: ( 0 = ( )A + B =) A = B: 0 = 4A + ( )B Por tanto, una solución no trivial es A = B =, y x = e t, y = e t, es una solución particular del sistema. Para = 3 buscamos A; B soluciones del siguiente sistema: ( 0 = ( + 3)A + B =) 0 = 4A + B: 0 = 4A + ( + 3)B Por tanto, una solución no trivial es A =, B = 4, y x = e 3t, y = 4e 3t, es una solución particular del sistema independiente de la anterior. Luego, x y = c e t + c 4 e 3t equivalentemente ( x = c e t + c e 3t ; y = c e t 4c e 3t ; es la solución general del sistema de ecuaciones.

47 E.T.S. Arquitectura. EDO47 Raíz real doble Sea las raíz real doble de la ecuación auxiliar. Para hallamos A; B soluciones del sistema de ecuaciones: ( 0 = (a )A + b B; 0 = a A + (b )B; entonces x = Ae t, y = Be t es una solución particular del sistema. Para obtener la solución general necesitamos otra solución particular. Probamos con ( x = (A + ta )e t ; y = (B + tb )e t ; esto es, La derivada es: x 0 y 0 x y = = A B A B e t A + t B e t + t A B e t : e t A + B e t Lo sustituimos en el sistema de ecuaciones x 0 x y 0 = M y a b con M = a b ; y obtenemos: A B e t + t A B e t A + B e t A = M B e t A + tm B e t multiplicando por e t e igualando los coe cientes de t y los términos independientes, obtenemos: A A M = B ; B A A (M I) = : B B Conclusión: A B A B es autovector de M asociado al autovalor, A A satisface (M I) = : B B

48 E.T.S. Arquitectura. EDO48 Ejemplo: Hallar la solución general del siguiente sistema de ecuaciones: 8 >< >: dx = 3x dt 4y; dy dt = x y: La ecuación axiliar es: 0 = 3 4 = + = ( ) : Para = buscamos (A; B) autovector asociado a =. Tenemos: ( 0 = (3 )A 4B =) 0 = A B: 0 = A + ( )B Por tanto, una solución no trivial es A =, B =, y x = e t, y = e t, es una solución particular del sistema. Buscamos ahora (A; B) tales que: 3 4 A = B esto es, ( A 4B = ; A B = ; luego A = + B. Por ejemplo (A; B) = (; 0) es solución. Otra solución particular del sistema de ecuaciones es: x + t = e t + t e t = e t : y 0 t La solucióon general del sistema es: x = C y e t + C + t t e t :