OBJECTIU IDENTIICAR LA RELACIÓ DE PROPORCIONALITAT ENTRE MAGNITUDS NOM: CURS: DATA: Per multiplicar un nombre per 0, 00,.000..., es desplaça la coma a la dreta tants llocs com zeros tingui la unitat:,,..., 00.000.000 Per dividir un nombre entre 0, 00,.000..., es desplaça la coma a l esquerra tants llocs com zeros tingui la unitat:,,..., : 00 0, : 0, En dividir el numerador entre el denominador d una fracció, s obté un nombre decimal. És el valor numèric de la fracció. :, Dues fraccions són equivalents si els seus productes creuats són iguals. ; 0 0 CONCEPTE DE MAGNITUD Una magnitud és una qualitat o una característica d un objecte que podem mesurar. Exemple: longitud, massa, nombre d alumnes, capacitat, velocitat, etc. Les magnituds s expressen en unitats de mesura. Exemple: metres, quilòmetres, quilograms, grams, nombre de persones, litres, centilitres, quilòmetres per hora, metres per segon, etc. Per a cada una d aquestes mesures hi ha diferents quantitats d aquesta magnitud. Exemple: un regle d metre, una caixa de quilograms, una bóta de litres, km/h, etc. Indica si són magnituds o no. a) El pes d un sac de patates. b) L afecte. c) Les dimensions de la teva taula. d) La bellesa. e) Els litres d aigua d una piscina. f) El riure. Indica dues unitats de mesura per a cada magnitud. a) El preu d una bicicleta. b) La distància entre dos pobles. c) El pes d una bossa de taronges. d) El contingut d una ampolla. e) L aigua d un embassament. f) La longitud de la banda d un camp de futbol. 0 MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
PROPORCIONALITAT En un menjador escolar cada alumne es menja croquetes. Dos alumnes mengen croquetes; alumnes, croquetes; alumnes, croquetes... Quantes croquetes mengen alumnes? I alumnes? I alumnes? NOMBRE D ALUMNES 0 NOMBRE DE CROQUETES 0 0 0 Les sèries de nombres de les dues magnituds, el nombre d alumnes i el de croquetes, són proporcionals entre si, perquè es pot passar d una sèrie a una altra multiplicant o dividint pel mateix nombre (). Diem que entre les magnituds, el nombre d alumnes i el nombre de croquetes que es mengen, hi ha proporcionalitat. La relació entre les magnituds s expressa mitjançant una taula anomenada taula de proporcionalitat. Esbrina el nombre pel qual s ha de multiplicar i/o dividir per passar d una sèrie a una altra, tenint en compte que tots dos nombres han de ser proporcionals. a) c) 0 0 b) d) 0 00 0.000 0 00 0.000 En un mercat, kg de pomes costa,0. Elabora una taula de proporcionalitat amb les magnituds: massa de pomes (d a 0 kg) i el preu corresponent. PES (kg) PREU ( /kg),0 RAÓ ENTRE DOS NOMBRES O QUANTITATS Una raó és el quocient entre dos nombres qualssevol o quantitats que es poden comparar. a Si a i b són dos nombres, la raó entre aquests és. b No s ha de confondre raó amb fracció: En una raó, els nombres a i b poden ser nombres naturals i/o decimals., 0 Per tant,,, són raons., 0 En una fracció, els nombres a i b són nombres naturals, i,, són fraccions. PROPOSTES PER A L ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
Indica si aquests quocients són fraccions o raons: 0,, a) b) c) d) e) 0 Recordem l exemple dels alumnes i les croquetes: NOMBRE D ALUMNES 0 NOMBRE DE CROQUETES 0 0 0 Podem expressar les raons dels valors de cada magnitud de la manera següent:,,,,,...,,...,,..., 0 0 Són raons de les magnituds, nombre d alumnes i croquetes. Observem que: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ormen una sèrie de raons iguals. Tenen el mateix valor: 0,. La igualtat de dues raons forma una proporció: 0, 0, 0, El quocient de les raons d una proporció s anomena constant de proporcionalitat (0,). Completa aquestes sèries de raons iguals: a) c) b) d) 0 0 Completa les taules, forma raons iguals, escriu les proporcions i indica la constant de proporcionalitat. a) b) 00 0 MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
PROPIETATS DE LES RAONS IGUALS a a La suma dels antecedents dividida entre la suma dels consegüents és igual a la raó de proporcionalitat. a b En una una proporció, el producte d extrems és igual al producte de mitjos. Recorda el concepte de fraccions equivalents i els productes creuats. a b c e a c e + + d f b+ d+ f c d 0 + + + 0 + + + 0, a d b c Comprova les propietats de les raons iguals de l exercici. Una entrada de cinema costa. Quant costaran,,, i 0 entrades? a) orma la taula de valors. b) Escriu les raons iguals. c) Calcula la constant de proporcionalitat. d) Comprova les propietats de raons iguals. PROPOSTES PER A L ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
OBJECTIU RECONÈIXER MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS NOM: CURS: DATA: En un estable amb kg de pinso s alimenten 0 vaques; amb kg, 0 vaques; amb kg, 0 vaques; amb kg, 0 vaques; amb 0 kg, 0 vaques... ormem la taula de valors de les dues magnituds: PINSO (kg) NOMBRE DE VAQUES 0 0 0 0 0 0 Observem que: r En augmentar els quilos de pinso (doble, triple...), augmenta el nombre de vaques en la mateixa proporció (doble, triple...). En disminuir una magnitud (meitat, terç...), l altra disminueix de la mateixa manera (meitat, terç...). n La raó entre dos valors qualssevol de quilos de pinso i nombre de vaques forma una proporció: 0 0 r La constant de proporcionalitat de dos o més valors de quilos de pinso i nombre de vaques és la mateixa: 0 0 0, 0 0 0 0 Per tant, les magnituds, pinso i nombre de vaques, són directament proporcionals. 0 0 0 0 0 Indica si les magnituds següents són directament proporcionals: a) El pes de taronges (en quilograms) i el seu preu. b) La velocitat d un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància. c) El nombre d operaris d una obra i el temps que triguen a acabar-la. d) El nombre de fulls d un llibre i el seu pes. e) El preu d una tela i els metres que se n compraran. f) L edat d un alumne o alumna i la seva alçada. En un supermercat hi trobem la informació següent: «ampolla de refresc de cola costa,0 ; ampolles, ; ampolles, ; ampolles,.» Indica si les magnituds, el nombre d ampolles de refresc i el preu que se n paga, són directament proporcionals. Raona la resposta. Completa les taules perquè els valors siguin directament proporcionals. Comprova-ho aplicant les propietats anteriors. a) b).0 MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
Si retoladors costen, quant costaran retoladors? Hi intervenen dues magnituds, el nombre de retoladors i el preu, que són directament proporcionals: com més retoladors comprem, més diners costaran. Coneixem tres quantitats d aquestes magnituds: quantitats de retoladors: i. quantitat de preu:, que correspon a retoladors. Desconeixem una quarta quantitat: el que costen retoladors. Es resol de la manera següent. Si retoladors costen retoladors costaran x Són magnituds directament proporcionals: x x x x x retoladors costaran. Dos quilos de taronges costen,0. Quant costaran kg? I kg? En una obra, dos obrers fan una rasa de m. Si mantenen el mateix ritme de treball, quants metres de rasa obriran si s incorporen a la feina obrers més? El preu de fotocòpies és de 0,0. Quant costarà fer 0 fotocòpies? Un ciclista recorre km en hores. Si manté sempre la mateixa velocitat, quants quilòmetres recorrerà en hores? PROPOSTES PER A L ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
Un túnel de rentatge neteja cotxes en una hora (0 minuts). Quant temps trigarà a rentar cotxes? I 0 cotxes? Deu barres de pa costen,. Quant costaran barres? I barres? 0 El preu de bitllets d autobús és 0. Quin serà el preu de bitllets? I de bitllets? Si ampolles de llet costen,, quant en costarà una caixa de ampolles? I una caixa de ampolles? MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
OBJECTIU RECONÈIXER MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS NOM: CURS: DATA: Magnituds inversament proporcionals Dues magnituds són inversament proporcionals quan: En augmentar una magnitud el doble, el triple..., l altra disminueix el doble, el triple... En disminuir una magnitud la meitat, la tercera part..., l altra augmenta la meitat, la tercera part... En multiplicar (o dividir) un dels valors d una magnitud per un nombre, el valor corresponent de l altra magnitud queda dividit (o multiplicat) pel mateix nombre. Una aixeta aboca d aigua cada minut i triga minuts a omplir una bóta. Si augmentem el cabal a per minut, trigarà, minuts a omplir-la. Si l augmentem a per minut, l omplirà en minuts. Si l augmentem a, trigarà, minuts, etc. Distingim dues magnituds: el cabal d aigua (en litres per minut) i el temps (en minuts) a omplir la bóta. En augmentar el nombre de litres per minut, disminueix el temps en què s ompliria la bóta. Si disminueix el cabal, augmenta el temps. Són magnituds inversament proporcionals. CABAL (litres/minut) TEMPS (minuts),, Veiem que en les raons de les proporcions s inverteix l ordre., 0, En multiplicar (o dividir) un dels valors, el valor corresponent queda dividit (o multiplicat) pel mateix nombre. 0,,,,, : : Indica si les magnituds següents són inversament proporcionals o no: a) La velocitat d un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància. b) El nombre de netejadors d un edifici i el temps que triguen a fer la feina. : PROPOSTES PER A L ADAPTACIÓ CURRICULAR c) El nombre de maons d una paret i la seva alçària. d) El pes de la fruita i els diners que costa. e) La velocitat d un corredor i la distància que recorre. f) El nombre d aixetes d un dipòsit i el temps que triga a omplir-se. MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
Completa les taules de valors següents: a) c) 0 0 0 0 b) d) Deu paletes triguen dies a construir una paret. Si es vol acabar l obra en dies, quants paletes faran falta? Les magnituds són el nombre de paletes i els dies de feina. Són inversament proporcionals: si volem fer l obra en menys temps, s hauria d augmentar el nombre de paletes. Ho resolem de la manera següent: 0 x 0 x 0 x 0 x x0 arien falta 0 paletes per acabar la feina en dies. Esbrina el nombre de paletes que farien la feina anterior si es vol acabar en dies. Un dipòsit d aigua s omple en hores amb una aixeta de la qual surten 0 litres per minut. a) Quant trigaria a omplir-se el dipòsit si en sortissin 0 litres per minut? b) I si en sortíssin 0 litres per minut? MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
OBJECTIU COMPRENDRE EL CONCEPTE DE PERCENTATGE. ER OPERACIONS I PROBLEMES NOM: CURS: DATA: SIGNIICAT DEL PERCENTATGE, TANT PER CENT (%) ixa t en les frases següents: «L equip va guanyar aquest any el % dels partits.» «El % de l alumnat de la classe supera els anys.» En la vida diària s utilitzen els nombres mitjançant expressions de percentatge. Expressar un tant per cent determinat ( %, %) d una quantitat (partits, alumnes) consisteix a dividir aquesta quantitat en 00 parts i agafar, prendre, indicar, assenyalar... la xifra indicada. % SIGNIICAT RACCIÓ VALOR ES LLEGEIX L equip va guanyar el % dels partits. de cada 00 00 0, per cent El % de l alumnat supera els anys. de cada 00 00 0,0 per cent Completa la taula següent. % SIGNIICAT RACCIÓ VALOR ES LLEGEIX 0, 00 de cada 00 Expressa la fracció i el tant per cent que representa la zona acolorida. a) RACCIÓ % b) c) PROPOSTES PER A L ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
PERCENTATGE D UNA QUANTITAT Si recordem el concepte de fracció d una quantitat, el tant per cent d una quantitat es pot calcular de dues maneres: a Multiplicant la quantitat pel tant per cent i dividint entre 00. a Dividint la quantitat entre 00 i multiplicant pel tant per cent. L Enric ha comprat unes sabatilles a les rebaixes. Les sabatilles marcaven un preu de 0, però li han fet un descompte del % en l article. Quants euros li han rebaixat del preu inicial? % de 0 ( 0) 00 li han descomptat. 00 00 0 0, li han descomptat. 00 Un cas particular dels tants per cent d una quantitat són els augments i disminucions percentuals, que consisteixen a sumar o restar, respectivament, el tant per cent a la quantitat a la qual s aplica. Després de fer el descompte al preu de les sabatilles, quant va haver de pagar l Enric? Una vegada fet el descompte, es resta a la quantitat el que valia l article. 0 Per tant, l Enric va pagar per les sabatilles. Expressa els nombres en percentatges. a) 0, c) 0,0 e) 0, b) d) f) 0, Calcula el, % de 0. El nombre de nois del total d alumnes de r ESO és el 0 % del nombre de noies. Si hi ha 0 noies, quants nois hi ha? ixa t en el raonament: Els nois són el 0 % de les noies, és a dir, el 0 % de 0. 0 0 0 % de 0 de 0 0 00 00 0 MATEMÀTIQUES r ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.