HISTORIA DEL DOCUMENTO

ASIGNATURA: Asignatura DOCUMENTO: Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación CÓDIGO DOCUMENTO: Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc HISTORIA DEL DOCUMENTO Nombre del documento: Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación Código del documento: Tráfico-Ejer-06-12.doc Versión Revisión Fecha Motivo de la modificación Responsable 01 0 2/8/2006 Documento Original Jesús Corrales Serrano 01 0 2/6/2006 Documento Original Víctor Riesco Maqueda 01 0 2/6/2006 Ampliación Elisa Bernal 02 1 23/9/2006 Cotejo Jesús Hernández Puga 02 1 23/9/2006 Cotejo José Luis Galarreta 1 30/10/2006 Cotejo y ampliación Estefanía Moya 1 30/10/2006 Ampliación Blanca Esther García 1 20/10/2006 Ampliación Cristina Martín

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación

INDICE 1. DESCRIPCIÓN DEL DOCUMENTO... 4 2. INTRODUCCIÓN... 6 2.1 A QUIÉN VA DIRIGIDO EL DOCUMENTO... 6 2.2 PROPÓSITO DEL DOCUMENTO... 6 2.3 CÓMO UTILIZAR EL DOCUMENTO... 6 2.4 DOCUMENTOS RELACIONADOS... 6 2.5 FORMA DE CONTACTAR CON LOS AUTORES... 6 3 DESARROLLO...8 3.1 EJERCICIO 1... 8 3.2 EJERCICIO 2... 10 3.3 VARIACIÓN DEL EJERCICIO 2... 14 3.4 EJERCICIO 3... 17 3.5 EJERCICIO 3 RESUELTO CON QUEUE... 19 3.6 EJERCICIO 4... 21 3.7 EJERCICIO 4 RESUELTO CON QUEUE... 22 3.8 EJERCICIO 5... 24 3.9 EJERCICIO 5 RESUELTO CON QUEUE... 26 3.10 EJERCICIO 6... 34 3.11 EJERCICIO 6 RESUELTO CON QUEUE... 35 3.12 EJERCICIO 7... 39 3.13 EJERCICIO 7 RESUELTO CON EL QUEUE... 41 3.14 EJERCICIO 8... 43 3.15 EJERCICIO 9... 46 3.16 EJERCICIO 10... 47 3.17 EJERCICIO 10 RESUELTO CON QUEUE... 48 3.18 EJERCICIO 11... 50 3.19 EJERCICIO 12... 51 3.20 EJERCICIO 13... 54 3.21 EJERCICIO 14 RESUELTO CON QUEUE... 56 3.22 EJERCICIO 15 RESUELTO CON QUEUE... 58 3.23 EJERCICIO 16 RESUELTO CON QUEUE... 61 3.24 EJERCICIO 17 RESUELTO CON QUEUE... 64 3.24.1 Solución Ejercicio 17(horas)... 66 3.24.2 Solución Ejercicio 17(minutos)... 67 3.25 EJERCICIO 18 RESUELTO CON QUEUE... 68 3.25.1 Solución Ejercicio 18(horas)... 69 3.25.2 Solución Ejercicio 18 (minutos)... 70 3.26 EJERCICIO 19 RESUELTO CON QUEUE... 71 3.26.1 Solución Ejercicio 19 (horas)... 73 3.27 EJERCICIO 20 RESUELTO CON QUEUE... 73 3.27.1 Solución Ejercicio 20 (horas)... 74 3.28 EJERCICIO 21 RESUELTO CON QUEUE... 75 3.29 EJERCICIO 22 RESUELTO CON QUEUE... 78 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 1

3.30 EJERCICIO 23... 81 CONCLUSIONES... 86 REFERENCIAS 88 APÉNDICE A. GLOSARIO... 90 Pág 2 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

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1. DESCRIPCIÓN DEL DOCUMENTO Pág 4 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

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2. INTRODUCCIÓN 2.1 A quién va dirigido el documento A todos los alumnos que cursen la asignatura Redes de Comunicación I. 2.2 Propósito del documento Desarrollo de una serie de ejercicios propuestos para una mayor comprensión de la teoría de tráfico en sistemas de telecomunicación. 2.3 Cómo utilizar el documento Desarrollar los ejercicios propuestos. 2.4 Documentos relacionados Documento (Apuntes) desarrollado por el alumnado sobre teoría de tráfico en sistemas de telecomunicación. 2.5 Forma de contactar con los autores Pág 6 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

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3 DESARROLLO 3.1 Ejercicio 1 En un haz de 4 circuitos, cada uno está ocupado un cuarto de hora diferente de la hora cargada (HC) Cuál es el tráfico cursado por cada circuito y por el haz? Si coinciden los 4 cuartos de hora, cuál es ahora el tráfico cursado por cada circuito y por el haz? a) 4 3 2 1 15 30 45 60 V T U = Donde T = HC T 1 1 1 1 V = HC+ HC+ HC+ HC = HC = 60 min t 4 4 4 4 V HC 60 min t U = = = = 1E t T HC 60 min U 1 t U = = E i 4 4 b) Al igual que en el apartado anterior pero ahora coinciden los cuatro cuartos de hora. Pág 8 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

4 3 2 1 15 30 45 60 U V T = Donde T = HC T 1 1 1 1 V = HC+ HC+ HC+ HC = HC = 60 min t 4 4 4 4 V HC 60 min t U = = = = 1E t T HC 60 min U 1 t U = = E i 4 4 Como se puede observar el trafico cursado en el caso a y en el caso b es el mismo, ya que el volumen de trafico es la suma de los tiempos de ocupación, sin influir el periodo de tiempo en el que este ocupado el circuito. Por ello los resultados en el apartado a y b son los mismos. Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 9

3.2 Ejercicio 2 Un sistema de espera que inicialmente está vacío, se le atribuye la secuencia de tiempos de llegada {1, 3, 4, 16,17} y la correspondiente secuencia de tiempos de servicio {5, 6, 2, 3, 1}. El sistema se va ha estudiar en el intervalo de tiempo 0-20. Considere tres disciplinas de gestión de cola: FIFO (First In First Out) SJF (Shortest Job First) sin expropiación. SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) con expropiación. a) Dibujar gráficamente la curva de trabajo por hacer. b) Dibujar para cada disciplina de gestión de cola el proceso de servicio pendiente de recibir el usuario en el intervalo de tiempo 0-20. c) Para cada una de las disciplinas estime el tiempo medio de espera en cola. d) Para cada una de las disciplinas estime el tiempo medio promediado sólo sobre los usuarios que esperan. e) Calcular la tasa de llegadas, el factor de utilización y el tiempo medio de servicios. a) Tiempos de llegada [1, 3, 4, 16, 17] Tiempos de servicio [5, 6, 2, 3, 1] Intervalo de tiempo [0-20] t 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t Pág 10 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

b) - FIFO (First input, First output) t 10 9 8 7 6 5 4 5 min 6 min 3 2 1 U1 U2 2 min U3 3 min U4 1 min U5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t - SJF (Shortest Job First) sin expropiación. Cuando hay cola el primero que se ejecuta es el que menos tiempo solicite. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 U1 U3 U2 U4 U5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 11

- SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) con expropiación. En cuanto llega una petición mas corta que el tiempo que queda por ejecutarse de la anterior, lo desaloja y comienza a ejecutarse. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 U1 U3 U2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t c) FIFO SJF SRPT w = 0 w = 0 w = 0 1 1 1 w = 6 3 = 3min w = 8 3 = 5min w = 8 3 = 5min 2 2 2 w = 12 4 = 8min w = 6 4 = 2min w = 6 4 = 2min 3 3 3 w = 0 w = 0 w = 1 w 4 4 4 = 19 17 = 2min w = 2min w = 0min 14 424443 5 5 5 144424443 14 424443 3+ 8+ 2 13 5+ 2+ 2 9 5+ 2+ 1 8 WQ= = = 2,6min WQ= = = 1,8min W Q = = = 1,6 min 5 5 5 5 5 5 d) 13 9 8 FIFO WQ = min SJF WQ = min SRPT WQ = min 3 3 3 Pág 12 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

e) La tasa de llegadas, el factor de utilización y el tiempo medio de servicios no de penden de la disciplina de cola, pero si la probabilidad de estado. t s = 3 1= 2 1 t = 4 3 = 1s 2 16 t = = t = 16 4 = 12s 3 4 t = 17 16 = 1s 4 4seg seg E = t = 4 usu 1 1 1 usu E = λ = = = 0,25 λ E 4 seg 5+ 6+ 2+ 3+ 1 seg Tiempo medio de servicios S = = 3,4 5 usu 1 1 1 usu S = µ = = = 0,29 µ S 3,4 seg λ Factor de utilización ρ = = µ 0,25 = 0,86 86% ρ 1 0,29 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 13

3.3 Variación del ejercicio 2 Estado: corregido Ejemplo de sistema M/M/1 5 llegadas consecutivas Usuarios Instante de entrada al sistema (sg) Instante de entrada al servidor T (sg) Instante de salida del servidor T (sg) 0 0 0 0.051 1 1.75 1.75 3.006 2 2.405 3.006 39.992 3 20.557 39.992 74.533 4 22.95 74.533 100.517 a) Calcular el tiempo medio de estancia en el sistema. b) Calcular la tasa media de llegadas. c) Calcular la tasa media de servicio (tiempo medio en el servidor). d) Calcular el tiempo medio de espera ( Q T ) e) Observación: Pág 14 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

a) Calcular el tiempo medio de estancia en el sistema. Tiempo de estancia en el sistema = Instante de salida del servidor Instante de entrada al sistema T = T T i i i Usuarios Instante de entrada al sistema T (sg) Instante de salida del servidor T (sg) Tiempo de estancia en el sistema T(sg) 0 0 0,051 0,051 1 1,75 3,006 1,256 2 2,405 39,992 37,587 3 20,557 74,533 53,976 4 22,95 100,517 77,567 T T + T + T + T + T 0, 051+ 1.256 + 37,587 + 53,976 + 77,567 0 1 2 3 4 = = =34, 087 sg 5 5 b) Calcular la tasa media de llegadas. Tiempo entre llegadas: Instante de entrada al sistema del usuario t + 1 instante de entrada al sistema del usuario t. Usuarios Instante de entrada al sistema T (sg) Tiempos entre llegadas (sg) 0 0-1 1,75 = 1, 75 t 1 2 2,405 t 2 = 0,655 3 20,557 t 3 = 18,152 4 22,95 t 4 = 2,393 Tiempo medio entre llegadas: 1 λ i = 4 T i= 1 = = 4 i 5,74 sg/usuario λ = (Tiempo medio entre llegadas) -1 = (5,74) -1 = 0,174 usuarios /s Dato de la simulación para fuente de 5 usuarios: 1 = 2 sg / usu λ Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 15

c) Calcular la tasa media de servicio (tiempo medio en el servidor). Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación Tiempo de servicio = Instante de salida del servidor Instante de entrada al servidor Usuarios Instante de entrada al servidor(s) Instante de salida del servidor (s) Tiempo de servicio (s) 0 0 0,051 0,051 1 1,75 3,006 1,256 2 3,006 39,992 36,986 3 39,992 74,533 34,541 4 74,533 100,517 25,984 Tasa media de servicio = µ -1 = (Σ tiempos de servicio) / nº de servicios = = 0,051+1,256+36,986+34,541+25,984 5 = 19, 763 sg /usuario Dato de la simulación para fuente de 5 usuarios: 1 = 18 sg / usu µ d) Calcular el tiempo medio de espera ( T Q ) Tiempo de espera = Instante de entrada al servidor Instante de entrada al sistema Usuarios Instante de entrada al sistema (s) Instante de entrada al servidor(s) Tiempos de espera (s) 0 0 0 0 1 1,75 1,75 0 2 2,405 3,006 0,601 3 20,557 39,992 19,435 4 22,95 74,533 51,583 0 + 0 + 0, 601+ 19, 435 + 51,583 T = = 14, 324 sg/usuario Q 5 Comprobación: 1 T = T Q + = 14.324 + 19.763 = 34.087 sg / usuario µ e) Observación: λ >> µ Sistema inestable Pág 16 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

3.4 Ejercicio 3 Los enlaces que unen los nodos componentes de una Red Iberpac X.25 tienen una velocidad de transmisión de 9600 bps. El conmutador de paquetes puede analizarse como un modelo M/M/1. Despreciando el tiempo de proceso y considerando paquetes con longitud media de 128 bytes, calcular: a) Número medio de paquetes servidos por segundo. b) Valor medio del tiempo de respuesta de los paquetes para garantizar un tiempo de respuesta no mayor a 10 segundos para el 95% de los casos. Suponer que el tiempo de respuesta tiene una distribución exponencial. c) Número máximo de paquetes por segundo que puede admitir el conmutador en la situación anterior. d) Ocupación media (en bytes) de la memoria intermedia o buffer del conmutador. V = 9600bps bytes bytes bits bits Longitud paquete =128 = 128 x8 = 1024 paquetes paquetes bytes paquetes a) En este apartado nos piden una tasa de servicio, paquetes servidos/segundo, la longitud de paquete que nos proporcionan es de bytes/paquetes y la velocidad de bits/segundos. Convertimos los paquetes (bytes) en bits, para realizarlo sabemos que 1byte equivale a 8bits, nos queda: V = 9600bps bytes 8bits Longitud paquete = 128 bytes = 128 = 1024bits paquetes paquete 1byte paquetes µ bits 1paquete ( pq / s) = 9600 9,375 paquetes segundo 1024bits = segundo b) Nos indican que el tiempo de respuesta del sistema tiene una distribuión exponencial, 1 donde γ es la tasa media de respuesta de los paquetes y por tanto γ es el tiempo medio de respuesta (lo que me están pidiendo). Para garantizar un tiempo < 10s y viene dada por la función: f ( t) = γ e γt P{t T 0 (10s)}= 0,95 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 17

P{t > T 0 (10s)}=(1-0,95)= 0,05 P{t > T 0 (10s)}= To f ( t) dt = γ e To Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación γt dt = -e γ = e γ t 10 To 0,05 = e γ 10 γ = ln (0,05)/(-10) = 0,2996 s 1 T = 1/γ = 3,338 s Tiempo medio de respuesta de los paquetes es de 3,338 s F(t) To c) En este apartado nos piden la tasa media de llegadas ( λ ), ya que nos piden el número máximo de paquetes por segundo que pueden llegar al conmutador en la situación de respuesta no mayor a 10s. T = 3,338s, si además sabemos que la tasa de servicio µ = 9,375 paquetes segundo Tratándose de un sistema M/M/1, Solo tenemos que despejar λ 1 T = µ λ µ λ = 0.296 λ = 9.375 0.2996 = 9.0754 pq s Pág 18 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

buffer T Q. d) Ocupación media ( N Q ), el tiempo que debemos considerar es el tiempo de espera en el N N Q Q = λ x T 2 ρ = 1 ρ Q λ ρ = = 0.968 NQ = 29.324 pq µ byte NQ = 29.324 pq x 128 = 3752bytes pq 3.5 Ejercicio 3 Resuelto con QUEUE Los enlaces que unen los nodos componentes de una Red Iberpac X.25 tienen una velocidad de transmisión de 9600 bps. El conmutador de paquetes puede analizarse como un modelo M/M/1. Despreciando el tiempo de proceso y considerando paquetes con longitud media de 128 bytes, Calcular: a) Número medio de paquetes servidos por segundo. b) Número máximo de paquetes por segundo que puede admitir el conmutador para garantizar un tiempo de respuesta no mayor a 10 segundos para el 95% de los paquetes. Suponer que el tiempo de respuesta tiene una distribución exponencial. c) Ocupación media (en bytes) de la memoria intermedia o buffer del conmutador. Extracción datos del problema - C=1 servidores - M/M/1 porque es una distribución de Poisson y es un sistema de espera puro. bytes byte bits bit - L = 128 = 128 8 = 1024 pq pq byte paq - V = 9600bytes tx A) bit 1 paq paq µ =9600 = 9,375 paq 1024 bit seg Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 19

B) T = = 3,338sg γ 1 T = µ λ λ = 9.0754 1 Final Solution for ejerc13 M/M/1 With lambda = 9.0754 customers per sg and æ = 9.375 customers per sg Overall system effective arrival rate = 9.074966 per sg Overall system effective service rate = 9.074966 per sg Overall system effective utilization factor = 0.968004 Average number of customers in the system (L) = 29.9976 Average number of customers in the queue (Lq) = 29.0296 Average time a customer in the system (W) = 3.305532 sg Average time a customer in the queue (Wq) = 3.198865 sg The probability that all servers are idle (Po)= 0.032004 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.967996 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.03200 P(1) = 0.03098 P(2) = 0.02999 P(3) = 0.02903 P(4) = 0.02810 P(5) = 0.02721 P(6) = 0.02634 P(7) = 0.02550 P(8) = 0.02468 P(9) = 0.02389 P(10) = 0.02313 P(11) = 0.02239 P(12) = 0.02167 P(13) = 0.02098 P(14) = 0.02031 P(15) = 0.01966 P(16) = 0.01903 P(17) = 0.01843 P(18) = 0.01784 P(19) = 0.01727 P(20) = 0.01671 P(21) = 0.01618 P(22) = 0.01566 P(23) = 0.01516 P(24) = 0.01468 P(25) = 0.01421 P(26) = 0.01376 P(27) = 0.01332 P(28) = 0.01289 P(29) = 0.01248 P(30) = 0.01208 30 i 0 = () P i = 0.635561 Factor ocupación = ϕ = Pw = 0.9679 96,8 % Pág 20 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación C) Nq= 29.029 pq bytes Nq = 29.029 pq 128 = 3715.78bytes paq 3.6 Ejercicio 4 Un concentrador reparte paquetes de datos en N líneas de forma equiprobable. La longitud media de los paquetes es de 4096 bits. En promedio llega al concentrador un paquete cada 0.208 segundos. Cada línea tiene una capacidad de 2048 bps. a) Calcular el número mínimo de líneas de salida para poder cursar el tráfico ofrecido. b) Para el número mínimo de líneas, calcular el tráfico cursado por línea. c) Porcentaje de ocupación de las líneas. d) Calcular el número de líneas del sistema para que cada línea estuviera desocupada al menos el 10% del tiempo. e) Determinar el número de paquetes por segundo que envía cada línea y el sistema completo en las condiciones del apartado anterior. Datos: M/M/C bit L = 4096 pq bit 1 1 µ = 2048 x = sg bit 4096 2 pq E = 0.208sg 1 1 pq E = λ = = 4.808 λ E sg pq sg a) λ λ ρ = = 1 c = = 9.6 c = 10 c. µ µ b) c = 10 pq λ = 4.808 sg λ pq λ = = 0.4808 i c sg c) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 21

λi ρ = = 0.9619 1 96.16% i µ d) ρ 0.9 λ λ ρ = = 0.9 c= = 10.68 c = 11 c. µ µ e) λ pq λ = = 0.436 i c sg λ = c. λ i 3.7 Ejercicio 4 Resuelto con QUEUE Un concentrador reparte paquetes de datos en N líneas de forma equiprobable. La longitud media de los paquetes es de 4096 bits. En promedio llega al concentrador un paquete cada 0.208 segundos. Cada línea tiene una capacidad de 2048 bps. a) Calcular el número mínimo de líneas de salida para poder cursar el tráfico ofrecido. b) Para el número mínimo de líneas, calcular el tráfico cursado por línea. c) Porcentaje de ocupación de las líneas. d) Calcular el número de líneas del sistema para que cada línea estuviera desocupada al menos el 10% del tiempo. e) Determinar el número de paquetes por segundo que envía cada línea y el sistema completo en las condiciones del apartado anterior. Extracción datos del problema - M/M/C porque es una distribución de Poisson y es un sistema de espera puro. - L = 4096 bits paq - 1 0.208 seg λ = paq λ = 4.808 paq seg Pág 22 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

bit - µ = 2048 bits 2048 seg paq µ = = 0.5 seg bit 4096 seg paq λ λ A) ϕ = min{1, } 1 cµ cµ = c λ = = µ 10 B) C = 10 λ = 4.808 pq / sg λ λ = = 0.4808 i c λ C) ϕ = = 0.9616 < 1 i µ λ D) ϕ 0.9 ϕ = = 0.9 c = 10.68 c = 11 cµ λ paq E) λ = = 0.436 i c(11) seg Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 23

Final Solution for ejer14 Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación M/M/10 With lambda = 4.808 customers per s and æ =.5 customers per s Overall system effective arrival rate = 4.807905 per s Overall system effective service rate = 4.807905 per s Overall system effective utilization factor = 0.961582 Average number of customers in the system (L) = 31.1695 Average number of customers in the queue (Lq) = 21.5537 Average time a customer in the system (W) = 6.482968 s Average time a customer in the queue (Wq) = 4.482966 s The probability that all servers are idle (Po)= 0.000018 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.864438 3.8 Ejercicio 5 Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con media 115 sg/cliente. Determinar: a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera. b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal. c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda ventanilla al público. Repita los cálculos realizados. Pág 24 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

M / M /1 c λ = 30 h sg S = 115 c 1 1 c c µ = = = 0.008695 = 31.30 S 115 sg h a) b) N N Q Q = λ. T Q N = λ. T λ = λ 30 ρ =.100 = 95.8% 31.30 ρ N = = 22.9 clientes 23 clientes 1 ρ T Q 2 ρ = = 22.04 clientes 1 ρ = 44.08 min T = 45.997 min c) M / M /2 λ ρ = = 0.479 c. µ 1 NQ =. C c, U 1 ρ λ M / M / C ρ = c. µ λ U = µ ( ) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 25

N Q = 0.285 clientes N = 1.24 clientes T Q = 34.23 sg T = 2.49 min 3.9 Ejercicio 5 resuelto con QUEUE Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con media 115 sg/cliente. Determinar: a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera. b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal. c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda ventanilla al público. Repita los cálculos realizados. Lo primero que tenemos que hacer es identificar los términos que nos están dando en el enunciado y transformarlos de tal manera que podamos trabajar con ellos; - Tasa de Entrada clientes 30 clientes clientes λ = 30 = = 0.5 hora 60 min min - Tasa de Salida 1 seg 60 clientes clientes = 115 => µ = = 0.5217 µ cliente 115 min min - Numero de servidores Pág 26 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Como solo hay una ventanilla luego tenemos un único servidor, y como nos indica en el enunciado que es un proceso con una distribución de Poisson y tal y como hemos aprendido en la teoría que es un sistema de espera puro, luego estamos ante un M/M/1 Una vez hallamos adecuado los datos empezaremos a trabajar con ellos en el QUEUE: por lo tanto abrimos la aplicación QUEUE.EXE Esta es la pantalla principal de presentación del Queue, desde la cual vamos a poder acceder a todas las aplicaciones del programa. Para acceder a dichas funciones nos valdría únicamente con pulsar el numero de la función que deseemos en cada momento, o bien, desplazarnos con los cursores. Para empezar lo primero que tenemos que hacer es meter nuestro problema, en cuyo caso la función que nos interesa en este caso es la numero 2. Dicha función nos lleva ala siguiente pantalla: Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 27

En esta pantalla nos pide: - En primer lugar que pongamos el nombre del ejercicio - En segundo lugar que introduzcamos con que unidades vamos a trabajar. En este caso como ya hemos realizados las operaciones oportunas hemos visto que las operaciones nos las dan en minutos (m) En la siguiente pantalla nos pide que insertemos todos los datos para la resolución del problema. Pág 28 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

* Para la distribución de Poisson o Normal, no hay que especificar la desviación típica puesto que una distribución de Poisson queda completamente definida por el valor medio del tiempo entre sucesos. * Pressure coefficient: 0. (no es necesario especificar) * Discouraged coefficient: 0. (no es necesario especificar) * Bulk arrival size (tamaño de llegadas en bloque). Valor medio = 1, desviación típica = 0. (No es necesario especificar) Procedemos a insertar los datos del problema. Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 29

Al no poner nada en las ultimas líneas el programa sobreentiende que tanto la población como la cola es infinito, es decir que pueden llegar a la ventanilla infinitas personas. Ahora al salir de esta pantalla vuelve a la pantalla principal del menú donde elegiremos la opción Nº 5 para solucionar el problema En esta pantalla lo que nos esta planteando la pregunta es que cuantas probabilidades queremos que calcule y muestre por pantalla. Pág 30 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Una vez que solucionamos el problema nos disipemos a obtener los resultados Tal y como podemos observar en la pantalla anterior obtenemos los siguientes resultados: L = N = número de clientes en el sistema = 23 clientes Lq = Nq = numero de clientes en cola = 22.04 clientes Nc = numero de clientes que están siendo atendidos = Uc = 0.9583 clientes W = T = tiempo en el sistema = 46 min Wq = Tq = tiempo en la cola = 44 08 min Wc = Tc = tiempo que tarda en ser atendido = 1 = 115 sg µ ρ = factor de ocupación = 0.9583 = 95.8% De estos resultados podemos sacar como conclusión que es un sistema muy lento en el cual se produce mucha cola, con un factor de ocupación muy alto (96%) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 31

En esta pantalla observamos el resultado de la probabilidad para cada numero de clientes que puede haber en el sistema. El siguiente dato que nos da es la suma de probabilidades, en este caso no nos da igual a 1 (que es lo que debe dar en teoría), esto es debido a que la cola es infinita y no hemos metido suficientes valores. C) En este apartado el único dato que cambia es que ahora tenemos dos servidores (C=2). Por lo que tenemos que repetir los cálculos con los nuevos datos. Para no tener que volver a introducir todo el problema utilizamos la función nº 7 para modificar el problema dejándolo de tal manera: Pág 32 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 2 > Number of servers < 0.5217 > Service rate (µ) per server per ---min------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 0.5 > Arrival rate (λ) per ---min------- < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population * Otra forma de mostrar los resultados es guardando la solución como un archivo de texto, mediante la función nº 8 show final solution save solution Obtenemos la siguiente solución: Final Solution for e1c M/M/2 With lambda =.5 customers per m and æ =.5217 customers per m Overall system effective arrival rate = 0.500000 per m Overall system effective service rate = 0.500000 per m Overall system effective utilization factor = 0.479203 Average number of customers in the system (L) = 1.244093 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.285687 Average time a customer in the system (W) = 2.488185 m Average time a customer in the queue (Wq) = 0.571375 m The probability that all servers are idle (Po)= 0.352080 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 33

The probability an arriving customer waits(pw)= 0.310485 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.35208 P(1) = 0.33744 P(2) = 0.16170 P(3) = 0.07749 P(4) = 0.03713 P(5) = 0.01779 P(6) = 0.00853 P(7) = 0.00409 P(8) = 0.00196 P(9) = 0.00094 P(10) = 0.00045 P(11) = 0.00022 P(12) = 0.00010 P(13) = 0.00005 P(14) = 0.00002 P(15) = 0.00001 P(16) = 0.00001 P(17) = 0.00000 P(18) = 0.00000 P(19) = 0.00000 P(20) = 0.00000 P(21) = 0.00000 P(22) = 0.00000 P(23) = 0.00000 P(24) = 0.00000 P(25) = 0.00000 P(26) = 0.00000 P(27) = 0.00000 P(28) = 0.00000 P(29) = 0.00000 P(30) = 0.00000 P(31) = 0.00000 P(32) = 0.00000 P(33) = 0.00000 P(34) = 0.00000 P(35) = 0.00000 P(36) = 0.00000 P(37) = 0.00000 P(38) = 0.00000 P(39) = 0.00000 P(40) = 0.00000 P(41) = 0.00000 P(42) = 0.00000 P(43) = 0.00000 P(44) = 0.00000 P(45) = 0.00000 P(46) = 0.00000 P(47) = 0.00000 P(48) = 0.00000 P(49) = 0.00000 P(50) = 0.00000 50 = 0 i () P i = 1.00 Tal y como podemos ver tanto el tiempo de espera como la cola se reducen de una manera importante, convirtiéndose en un sistema mucho mas eficaz. y recomendable. 3.10 Ejercicio 6 Un cyber-café mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al día. Se considera que llegan al local (siguiendo un proceso de Poisson) una media de 24 clientes diarios y el tiempo medio de servicio (distribución exponencial) es de 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los puestos ocupados, abandona el local. a) Calcular la probabilidad de que estén los 8 puestos ocupados. Calcular la probabilidad de que al llegar un nuevo cliente tenga algún sitio disponible. b) Número mínimo de máquinas para que la probabilidad de que un cliente abandone el local (todos puestos ocupados) no sea superior al 10 %? c) Conteste de nuevo a los apartados anteriores si el tiempo medio de servicio se reduce a la mitad. Datos: Pág 34 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

C=8 servidores clientes 24 clientes clientes λ = 24 = = 3 dia 8 hora min 1 h 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25 µ cliente 4 h h a) ( ) B( ) B c, U = 8,12 = 0.42 42% λ U = = 12E µ { } ( ) P Servidor = 1 B c, U = 1 0.42 = 0.58 58% r b) ( ) B c, U = 0.1 c= 15 c) 1 λ = 2 h U = = 6E µ ` µ ( ) B( ) { } ( ) (,6) = 0.1 c= 13 B c, U = 8, 6 = 0.15 15% P Servidor = 1 B 8, 6 = 1 0.15 = 0.85 85% r B c 3.11 Ejercicio 6 Resuelto con QUEUE Un cyber-café mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al día. Se considera que llegan al local (siguiendo un proceso de Poisson) una media de 24 clientes diarios y el tiempo medio de servicio (distribución exponencial) es de 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los puestos ocupados, abandona el local. a) Calcular la probabilidad de que estén los 8 puestos ocupados. Calcular la probabilidad de que al llegar un nuevo cliente tenga algún sitio disponible. b) Número mínimo de máquinas para que la probabilidad de que un cliente abandone el local (todos puestos ocupados) no sea superior al 10 %? c) Conteste de nuevo a los apartados anteriores si el tiempo medio de servicio se reduce a la mitad. Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 35

Extracción datos del problema - C=8 servidores - M/M/8/8 porque es una distribución de Poisson y es un sistema de perdida puro. - Tasa de Entrada clientes 24 clientes clientes λ = 24 = = 3 dia 8 hora h - Tasa de Salida 1 h 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25 µ cliente 4 h h Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 8 > Number of servers < 0.25 > Service rate (µ) per server per --h-------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 3 > Arrival rate (λ) per --h-------- < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < 8 > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population Final Solution for ejer2 M/M/8/8 With lambda = 3 customers per h and æ =.25 customers per h Overall system effective arrival rate = 3.000000 per h Overall system effective service rate = 1.732035 per h Overall system effective utilization factor = 0.866017 Average number of customers in the system (L) = 6.928139 Pág 36 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 2.309380 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.000040 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.422655 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.00004 P(1) = 0.00048 P(2) = 0.00285 P(3) = 0.01141 P(4) = 0.03424 P(5) = 0.08218 P(6) = 0.16437 P(7) = 0.28177 P(8) = 0.42266 P(9) = 0.00000 P(10) = 0.00000 10 = 0 i () P i = 1.00 Tal y como podemos observar es un sistema de perdida puro por lo que vemos que no hay cola, es decir que cuando todos los puestos estan llenos los desechan A) Pw = 0.4226 = 42.2 % =PB Pr(A) = 1- Pw = 1-0.4226 = 0.57 = 57 % B) PB< 10 % Lo que vamos haciendo es modificar el programa haciendo variar el número de servidores (aumentando) hasta conseguir el dato. Final Solution for ejer2 M/M/15/15 With lambda = 3 customers per h and æ =.25 customers per h Overall system effective arrival rate = 3.000001 per h Overall system effective service rate = 2.742812 per h Overall system effective utilization factor = 0.731417 Average number of customers in the system (L) = 10.9712 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 37

Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 3.657082 h Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.73E-05 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.085729 < 0.1 = 10 % Probability of n Customers in the System P(0) = 0.00001 P(1) = 0.00009 P(2) = 0.00052 P(3) = 0.00210 P(4) = 0.00629 P(5) = 0.01509 P(6) = 0.03018 P(7) = 0.05173 P(8) = 0.07760 P(9) = 0.10346 P(10) = 0.12415 P(11) = 0.13544 P(12) = 0.13544 P(13) = 0.12502 P(14) = 0.10716 P(15) = 0.08573 P(16) = 0.00000 16 = 0 i () P i = 1.00 Luego hasta que no tengamos 15 servidores no conseguiremos descender la probabilidad de bloqueo por debajo del 10 % C.1) Final Solution for ejer2 M/M/8/8 With lambda = 3 customers per h and æ =.5 customers per h Overall system effective arrival rate = 3.000000 per h Overall system effective service rate = 2.634373 per h Overall system effective utilization factor = 0.658593 Average number of customers in the system (L) = 5.268745 Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 1.756248 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h Pág 38 The probability that all servers are idle (Po)= 0.002926 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

The probability an arriving customer waits(pw)= 0.121876 Pw= 0.121876 = PB = 12.2 % Pr (A) = 1 PB = 87.7 % C.2) El otro lo lograremos de igual manera variando el numero de servidores hasta comprobar que se cumple cuando el numero de servidores es igual a: C = 9 Pw = 0.07 < 0.1 3.12 Ejercicio 7 En una carretera comarcal hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media 10 a la hora mientras que el tiempo medio de servicio es de 4 minutos por cliente, siendo éste exponencial. a) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor esté vacío. b) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la gasolinera, haya más de dos esperando en la cola. c) Cuando llega un vehículo al sistema cuál es el número esperado de vehículos que encontrará en la cola? d) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio. Datos: M / M /1 c 1 c λ = 10 = h 6min 1 c = 4min µ = 0.25 µ min a) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 39

P = 1 ρ 0 λ 2 ρ = = µ 3 1 P = 0 3 b) r n { } = + + +... = 1 ( + + ) P A P P P P P P P n ρ P = ρp = 0.22 1 0 0 2 2 0 r P P = ρ P = 0.148 P = 3 4 5 0 1 2 { A} ( ) = 1 0.33 + 0.22 + 0.148 = 0.3 c) NQ d) 4 2 ρ 9 4 = = = = 1.33usuarios 1 ρ 1 3 3 N = λt M / M /1 λ = λ 2 ρ N = = 3 = 2 1 ρ 1 3 2 T = = 12 min 1 6 Pág 40 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

3.13 Ejercicio 7 Resuelto con el QUEUE En una carretera comarcal hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media 10 a la hora mientras que el tiempo medio de servicio es de 4 minutos por cliente, siendo éste exponencial. a) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor esté vacío. b) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la gasolinera, haya más de dos esperando en la cola. c) Cuando llega un vehículo al sistema cuál es el número esperado de vehículos que encontrará en la cola? d) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio. Extracción de datos: - Nº servidores C = 1 - M/M/1 Proceso de Poisson, proceso de espera puro - Tasa de Entrada clientes 10 clientes clientes λ = 10 = = 0.167 h 60 min min - Tasa de Salida 1 min 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25 µ cliente 4 min min Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 1 > Number of servers < 0.25 > Service rate (µ) per server per ----min------ < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 0.167 > Arrival rate (λ) per ----min------ < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 41

Final Solution for ejer3 M/M/1 With lambda =.167 customers per m and æ =.25 customers per m Overall system effective arrival rate = 0.167000 per m Overall system effective service rate = 0.167000 per m Overall system effective utilization factor = 0.668001 Average number of customers in the system (L) = 2.012049 Average number of customers in the queue (Lq) = 1.344048 Average time a customer in the system (W) = 12.0482 m Average time a customer in the queue (Wq) = 8.048190 m The probability that all servers are idle (Po)= 0.332000 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.668000 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.33200 P(1) = 0.22178 P(2) = 0.14815 P(3) = 0.09896 P(4) = 0.06611 P(5) = 0.04416 P(6) = 0.02950 P(7) = 0.01970 P(8) = 0.01316 P(9) = 0.00879 P(10) = 0.00587 P(11) = 0.00392 P(12) = 0.00262 P(13) = 0.00175 P(14) = 0.00117 P(15) = 0.00078 P(16) = 0.00052 P(17) = 0.00035 P(18) = 0.00023 P(19) = 0.00016 P(20) = 0.00010 P(21) = 0.00007 P(22) = 0.00005 P(23) = 0.00003 P(24) = 0.00002 P(25) = 0.00001 P(26) = 0.00001 P(27) = 0.00001 P(28) = 0.00000 P(29) = 0.00000 P(30) = 0.00000 30 = 0 i () P i A) Po = 0.332 33.2 % = Po = 0.99999 B) Pág 42 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación P ( A) = P + P + P + P +... = 1 ( P + P + P + P) r 4 5 6 7 3 2 1 0 = 1 (0.332 + 0.221+ 0.148 + 0.099) 0.2 = P( A) Luego la probabilidad de que haya más de 3 en el sistema es de un 20% r C) D) Nq = Lq = 1.34 clientes T = W = 12min 3.14 Ejercicio 8 Un supermercado cuenta con 7 cajas de cobro. Los clientes llegan a ellas siguiendo un proceso de Poisson con una tasa media de 100 clientes/hora. El personal que atiende cada caja de cobro necesita en media 5 segundos para procesar cada unidad de compra (cada elemento que el cliente desea comprar) Además, se estima que el tiempo de cobro de un cliente, sea en efectivo o con tarjeta, es de 1.5 minutos. Se estima que los clientes se distribuyen en dos grupos: - Grupo A: clientes que compran cestas de hasta x unidades, - Grupo B: usuarios que llevan en sus carros más de x unidades. El grupo A supone el 10% de los clientes totales. En este grupo, el número medio de unidades en las compras es 9 unidades/cliente, mientras que en el grupo B asciende a 30 unidades/cliente. Con vistas a reducir el tiempo medio de espera en cola, el gerente de tienda se está planteando aplicar una de las dos soluciones siguientes: -Añadir una caja de cobro equivalente a las ya existentes. -Añadir una caja de cobro rápida. La caja rápida despacharía todos los clientes del grupo A y ninguno del grupo B. a) Calcule el tiempo medio de espera en cola en la situación inicial, con 7 cajas de cobro. b) Cuál de las dos soluciones planteadas recomendaría al responsable? Justifique la respuesta con los cálculos apropiados. Datos: Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 43

M / M / C c = 7 c 10 c λ = 100 = = 1.667 h 6 min min t = 1.5 c c seg 5 1 min t = 5 = = r unidad 60 12 unidad A 10% 9 unidades por cliente B 90% 30 unidades por cliente Análisis: M / M /8 usu λ = 1.667 min uni k = 9x0.1+ 30x0.9 = 27.9 cliente 1min uni min t = x27.9 = 2.325 r 12 uni cliente cliente 1 = t + t = 3.525 c r µ 1 µ = = 0.28 3.525 λ U = = 6.375E µ 1) M / M /1 usu λ = 0.1667 1 min 1 min uni 3 min t = x9 = = 0.75 r 12 uni cliente 4 cliente 1 = t + t µ U = 0.375E c r 1 1 µ 1 Pág 44 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

2) M / M /7 cliente λ = λx0.9 = 1.5 2 min t 1 min = x30 = 2.5 12 cliente r 1 = t µ + t = 4 min µ = 0.25 c r 1 1 U = λ x = 6E µ a) M / M /7 N Q = λxt Q ( ) C( ) C c, U = 7, 6.375 = 0.75 1 NQ TQ = xnq = 4.6 min λ b) b.1) Sistema Completo ( ) c= 8 C c, U = 0.45 N Q T = 1.06 min Q b.2) Sistema (A) M / M /1 N N Q Q ρ λ = = 1 2 1 ρ1 ρ µ 1 1 NQ = 0.235 TQ = = 1.35 min λ b.3) Sistema (B) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 45

M / M /7 C( c, U) C( 7,6) = 0.6 NQ NQ TQ = = 2.4 min λ La opción del sistema completo (M/M/8) es el que introduce un menor tiempo de espera en la cola. 3.15 Ejercicio 9 Una central telefónica produce un tráfico saliente de 750 LLR/HC. Suponga que los circuitos desean explotarse con una pérdida menor del 1%. a) Calcule el número mínimo de circuitos empleando un único haz. Indique el rendimiento de utilización de los circuitos. b) Si se emplean 5 haces, indique el número de circuitos por haz. Indique en este caso también el rendimiento de utilización de los circuitos. Datos: LLR U = 750 HC Perdida p 1% B c, U 0.01 ( ) 750 U = = 25E 30 Mirando la tabla de la Erlang-B para un trafico de 25 Erlangs y un probabilidad del 1% a) ( ) B c, U = 0.01 c = 36circuitos 25 η = x 100 = 69.4% 36 b) Pág 46 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

25 5 haces U = = 5 5 B c, U = 0.01 ( ) c = 11circuitos 5 η = x 100 = 45.45% 11 3.16 Ejercicio 10 Un codificador trabaja a 10 kbps y le llega un nuevo paquete de información cada 125 milisegundos. La longitud media de los paquetes es de 128 bytes. Suponga que el elemento tiene una capacidad de almacenamiento suficiente para evitar pérdidas de paquetes. Determinar: a) Probabilidad de que al llegar un paquete sea almacenado en el buffer de memoria. b) Número medio de paquetes en el buffer de memoria del codificador. c) Tiempo medio de estancia en el buffer. d) Si se duplican el tráfico entrante y la velocidad del codificador, cómo afectaría esta variación a los parámetros calculados en los apartados anteriores? Datos: µ = 10Kbs Cada paquete 128bytes 4 10 bps pq µ = = 9.765 bytes bits 128 x8 sg pq byte 1 sg pq λ = 0.125 λ = 8 pq sg a) M / M /1 λ ρ = = 0.82 82% µ b) 2 NQ = ρ NQ = 3.73pq 1 ρ Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 47

Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación c) N T Q Q λ = λ = λt Q = 464msg d) ` λ ` µ = 2µ ` ρ = 2λ ` λ ` µ = = ρ a) No varia b) No varia c) T = 232msg Q 3.17 Ejercicio 10 Resuelto con QUEUE Un codificador trabaja a 10 kbps y le llega un nuevo paquete de información cada 125 milisegundos. La longitud media de los paquetes es de 128 bytes. Suponga que el elemento tiene una capacidad de almacenamiento suficiente para evitar pérdidas de paquetes. Determinar: a) Probabilidad de que al llegar un paquete sea almacenado en el buffer de memoria. b) Número medio de paquetes en el buffer de memoria del codificador. c) Tiempo medio de estancia en el buffer Extracción datos del problema - C=1 servidores - M/M/1 porque es una distribución de Poisson y es un sistema de espera puro. - bytes byte bits bits L = 128 = 128 8 = 1024 paq paq byte paq - V = 10Kbps tx - bit 1 paq paq µ =10000 = 9.765 paq 1024 bit seg Pág 48 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

- paq λ =0.125 seg <1 > Number of servers <9.765 > Service rate (æ) per server per units <1 > Distribution of service time <.1024066> Standard deviation of service time in units <0 > Pressure coefficient <8 > Arrival rate (lambda) per units <1 > Distribution of interarrival time <.125 > Standard deviation of interarrival time in units <0 > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size <0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population M/M/1 With lambda = 8 customers per units and æ = 9.765 customers per units Overall system effective arrival rate = 8.000000 per units Overall system effective service rate = 8.000000 per units Overall system effective utilization factor = 0.819252 Average number of customers in the system (L) = 4.532577 Average number of customers in the queue (Lq) = 3.713324 Average time a customer in the system (W) = 0.566572 units Average time a customer in the queue (Wq) = 0.464166 units The probability that all servers are idle (Po)= 0.180748 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.819252 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.18075 P(1) = 0.14808 P(2) = 0.12131 P(3) = 0.09939 P(4) = 0.08142 P(5) = 0.06671 P(6) = 0.05465 P(7) = 0.04477 P(8) = 0.03668 P(9) = 0.03005 P(10) = 0.02462 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 49

Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación A) Prob {esperar} = Pw = 0.819252. Luego la probabillidad de que sea almacenado es de un 81.92 % Otra forma de calcularlo es: Prob {esperar} = p(1) + p(2) + p(3) +... = p(n) = 1 p(0) n = 1 Al tratarse de un sistema con un único servidor, la probabilidad de esperar coincide con el factor de ocupación (probabilidad de estar ocupado el servidor) B) C) Nq = Lq = 3.7133 pq Tq = Wq = 0.464166sg T = W = 0.5665sg esto es el tiempo medio de estancia en el sistema 3.18 Ejercicio 11 Para el conjunto de 5 órganos de una red telefónica se ha verificado que en la hora cargada la intensidad de tráfico es de 30 Erlangs. En este período son rechazadas 2 llamadas entrantes que encuentran todos los órganos ocupados. El tiempo total en la hora cargada en que todos los órganos están ocupados de forma simultánea es de 12 segundos. Se pide: a) Grado de servicio (G S) b) Tráfico ofrecido y cursado. c) Duración media de las llamadas. Datos: c = 5 U = 30E( HC) ll λ =Α Α=2 r r HC a) ( PB ) 12seg 12seg 1 0.33% P HC = 3600sg = 300 = = B Pág 50 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

b) Α =Α +Α 0 c r Α = Α. P r 0 B ll 2 Α ll r Α = = HC = 600 0 P 1 HC B 300 Α = Α0 ( 1 P c B) Α = Α Α c ll Α = 598 c HC c) U = λ µ 0 r 1 U = µ λ 1 30E HC 1 min t = = = 0.05 = 3 µ ll 60 ll µ ll HC 3.19 Ejercicio 12 Una empresa de supermercados con tiendas a lo largo de toda la geografía nacional distribuye sus productos con dos marcas diferentes: -AhorraSuper, marca original de la empresa con presencia en centro y sur de España. -SuperPrecios, empresa recientemente adquirida y con presencia en el norte y este de la península. Cada una de las cadenas dispone de su propio Centro de Atención al Cliente: un Call Center de AhorraSuper en Madrid y otro de SuperPrecios en Barcelona. Los centros de llamadas están diseñados bajo los siguientes criterios: - Número de enlaces primarios RDSI (30 canales de voz): 3 en enlaces para AhorraSuper y 4 primarios para SuperPrecios. Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 51

- Considerar que el número de teleoperadores atendiendo llamadas coincide con el número de circuitos. - Si todos los canales de voz se encuentran ocupados no se retiene la llamada sino que directamente se libera con el tono de ocupado. Adicionalmente, analizando las estadísticas de llamadas de ambos call centers se conoce lo siguiente: - El tiempo medio de atención por llamada es de 4 minutos. - La distribución de llamadas en función del tramo horario en el centro de SuperPrecios en Barcelona se muestra en la figura 1. Considere que la hora cargada corresponde a los 60 minutos consecutivos de mayor volumen de tráfico con inicio en horas en punto, es decir entre las xx:00 horas y las xx:59 horas. - Suponga que la hora de mayor intensidad de llamadas coincide en Madrid y Barcelona. - El número de llamadas no atendidas en AhorraSuper es mayor que en SuperPrecios detectado por un mayor número de reclamaciones. Una auditoria externa en AhorraSuper concluye que en la hora de mayor carga se pierden una de cada 20 llamadas. a) Calcule la probabilidad de que una llamada de el tono de ocupado por saturación en el call center de SuperPrecios en Barcelona. b) Indique el número mínimo de E1 s (enlaces primarios) que habría que ampliar en Madrid para tener una calidad de servicio no peor que en Barcelona. c) Si se tuviese un único Centro de Atención al Cliente con recursos totales idénticos a la suma de los recursos de los dos call centers, la probabilidad de pérdida de llamadas variaría? En caso afirmativo, indique si aumentaría o se reduciría. Justifique su respuesta. Pág 52 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

Datos: E1 c= 30ctos Ah Madrid 3E1 3 30= 90ctos S Barcelona 4E1 4 30 = 120ctos Todo ocupado Sistema de pérdidas (M/M/c/c) 1 min = 4 µ llam ll ll Barcelona De la grafica A = 1500 λ = 25 o HC min λ Tráfico en Barcelona U = = 100E µ a) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 53

B { } (M/M/c/c) Erlang B P Barcelona B(c,U)=B(120,100)=0,6% b) 1 Madrid P = = 5% B 20 BcU (, ) c = 90ctos U = 85 E P = 5% B U = 85E c = 105ctos 4E1 Añadir 1E1 P = 0,6% B c) P B se reduciría 3.20 Ejercicio 13 En un comedor universitario hay una cola de autoservicio en la que tres camareros en serie atienden al público. Un camarero sirve el primer plato, el segundo camarero sirve el segundo plato y el tercero se encarga de cobrar el menú. El número de clientes que forma cola para ser atendido por el primer camarero no tiene limitación (hay suficiente espacio físico para los clientes que están esperando). Por el contrario, el número de clientes que esperan ser atendidos por el encargado de servir el segundo plato, o por el cajero, está limitado a dos personas como máximo por razones de espacio. Dado que el autoservicio se puede modelar como una red de colas, se realiza un estudio que muestra que, a la hora de la comida, la tasa media de llegada es de 57 clientes por hora. El primer camarero tiene un tiempo medio de servicio de un minuto y el segundo de 36 sg. a) El valor máximo del tiempo medio de servicio del tercer camarero para que su labor no entorpezca la de sus compañeros. En esas condiciones: b) La longitud de todas las colas que se forman en el sistema. Pág 54 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

c) El tiempo medio que un cliente pasa en el autoservicio desde que llega hasta que sale dispuesto, por fin, a comer. Datos: c c λ = 57 = 0.95 h min 1 c = 1min µ = 1 1 µ min 1 1 5 c = 36seg µ = 2 µ 3min 2 1 T = µ λ N M/M/1 LITTLE a) NQ = 2 2 ρ M / M /1 NQ = 1 ρ λ ρ = µ ρ = 0.732 2 ρ 2ρ 2= 0 ρ3 ρ =... λ µ = = 46.23sg 3 ρ 3 b) Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 55

N Q 1 2 ρ = 1 ρ λ ρ = µ N = 18.05c N N Q Q Q 2 3 = 0.75c = 2c c) N = λt 1 T = µ λ T = 19.99 min 1 T = 83.72sg T 24`16`` 2 = T = 172.48sg 3 3.21 Ejercicio 14 Resuelto con QUEUE Se pretende mejorar el rendimiento de una sala de ordenadores. El sistema tiene las siguientes características: 3 ordenadores. Usuarios acceden a la sala (distribución poissoniana) con una tasa de 5 usuarios/hora. Tiempo medio de utilización de cada ordenador, bajo una distribución exponencial negativa, es de 2 horas. Cuando un usuario encuentra todos los puestos ocupados abandona la sala. Determinar en número de computadoras a adquirir si se desea triplicar el número medio de usuarios en la habitación. Extracción de datos: - Nº de Servidores C= 3 - M/M/3/3 Proceso de Poisson de perdida puro Pág 56 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

- Tasa de Entrada λ = 5 clientes/hora - Tasa de Salida 1 1 = 2 hora/cliente => µ = clientes/hora = 0.5 clientes/hora µ 4 Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 3 > Number of servers < 0.5 > Service rate (µ) per server per ---------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 5 > Arrival rate (λ) per ---------- < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < 3 > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population Final Solution for ejerc4: M/M/3/3 With lambda = 5 customers per h and æ =.5 customers per h Overall system effective arrival rate = 5.000000 per h Overall system effective service rate = 1.339678 per h Overall system effective utilization factor = 0.893119 Average number of customers in the system (L) = 2.679356 Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 0.535871 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.004392 The probability an arriving customer waits(pw)= 0.732064 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.00439 P(1) = 0.04392 P(2) = 0.21962 P(3) = 0.73206 P(4) = 0.00000 P(5) = 0.00000 P(6) = 0.00000 P(7) = 0.00000 7 = 0 i () P i = 1.00 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 57