Adición y sustracción

Adición y sustracción ADICIÓN Es la operación aritmética que asocia cantidades de la misma especie (homogéneas) en una sola, llamada suma. a 1 + a + a +... + a n = s sumandos suma SUMAS NOTABLES Suma de términos de una sucesión aritmética: Ejemplo (1): Calcular R en: t 1 ; t ; t ;...; t n r r n(t t ) Suma = S = 1 + n R = 4 + 7 + 0 +... + 66 Calculamos el número de términos: 66-1 45 # Térm. = = = 15 Luego: 115(4 + 66) R = = 115 x 90 R = 45

CASOS PARTICULARES: S 1 : suma de los «n» primeros números naturales. n(n + 1) S 1 = 1+ + + 4 +... + n = S : suma de los «n» primeros números pares. S = + 4 + 6 + 8 +... + n = n(n + 1) S : suma de los «n» primeros números impares Ejemplo (): S = 1 + + 5 + 7 +... + (n-1) = n La suma de los «n» primeros números pares es un número de forma a 00. Hallar: a n + 4 + 6 +... + n = a00 n (n+1) = 100a n (n+1) = 5 4a 4a= 4 Luego: n = 4 y a = 6 a. n = 144 Otros casos: S 4 : suma de los «n» primeros cuadrados perfectos. S4 = 1 + + +...... + n n(n + 1)(n + 1) = 6 S 5 : suma de los «n» primeros cubos perfectos. S 5 = 1 + + +... +n n(n + 1) =

S 6 : suma de los «n» primeros números oblongos. n(n + 1)(n + ) S 6 = 1. +. +.4 +...... + n(n + 1) = S 7 : Si A Z+, y A > 1, entonces: n+1 O 1 n A -1 A + A + A + A +...A = A-1 Ejemplo (): Calcular: Y = 7 + 97 + 997 +... + 99...997 "n+ 1"cifras Dividiendo entre ambos lados: y 9 99 999... 99...99 = + + + + "n"términos y = (10 1-1)+ (10-1)+ (10-1)+.. + (10 n -1) y = (10º + 10 1 + 10 + +10 n ) n 1 Y 10 n+ 1 = 9n 10 9 10 n+ 1 Y = 9n 10

Ejemplo (4): La suma de 500 números consecutivos es igual a 999 veces el menor de dichos sumandos. Entonces, el mayor de dichos números es: a;a +1;a + ;...;a + 499 500 #s ( a1 an)n S = + ( a + a + 499)500 999a = 999a = (a + 499). 50 999a = 500a + 499. 50 499a = 499. 50 a = 50 Nº mayor: a + 499 = 749 SUSTRACCIÓN Es la operación aritmética inversa a la adición, en la que dados el «minuendo (M)» y el «sustraendo (S)», se busca un tercero llamado «diferencia (D)»; de tal modo que al adicionar la diferencia al sustraendo nos reproduce el minuendo. Es decir: M S = D Propiedades 1. En toda sustracción: M + S + D = M. En todo número de tres cifras abc donde a > b; si se tiene: abc - n = 9 También: cba mnp m + p = 9 a - c = m + 1

Ejemplo (1): Cuántos numerales abc, cumplen que: abc cba = mn (m)? n = 9 m + m = 9 m = 9 m = Entonces: a c = 4 5 1 6 7 5 casos 8 4 9 5 Luego: a b c 5 0 1 6 1 7 8 4 9 5 9 5 10 = 50 Nros. COMPLEMENTO ARIMÉTICO (C.A.) C.A.(7) = 10 7 = C.A.(8) = 100 8 = 6 C.A.(547) = 1000 547 = 45 C.A.( abcd ) = 10 000 abcd Si N es un número entero de «K» cifras: C. A. (N) = 10 k N MÉTODO PRÁCTICO: C.A.(508) = 64918 9 10

C.A.(460700) = 59700 9 10 C.A.( abcd ( 9 a)(9 b)(9 c)(10 d) ) = 9 10 Donde d cero Ejemplo (): Hallar el valor de a + b, si el complemento aritmético de a 7b es igual al producto de sus cifras de mayor y menor orden. Por dato: C.A.( a 7b )=a.b (como máximo es 81) O sea, a.b es un número de cifras, por tanto a = 9 Luego: C.A.( 97 b ) = 9b 1000-97 b = 9b 1000 970 b = 9b 0 = 10b b = a + b = 1 Ejemplo (): Se tiene un número de 4 cifras significativas que sumadas dan, entonces la suma de cifras de su C.A. es: Dado: abcd a + b + c + d = C.A. abcd = (9 - a)(9 - b)(9 - c)(10 - d) cifras = 9 a + 9 b + 9 c + 10 d Σ Σ Σ Σ cifras = 7 a b c d cifras = 7 (a+ b + c + d) cifras = 7 Σ cifras = 5

Ejemplo (4): La suma de los tres términos de una resta es 1480. Si el sustraendo es el C.A. del minuendo, calcular el cuádruplo de la tercera parte de la diferencia. M + S + D = 1480 Propiedad: M = 1480 M = 740 Luego: S = C.A. (M) M S = D S = C.A. (740) 740 60 = D S = 60 D = 480 Piden: 4 ( 480 ) = 640

1. Si: xy + z 4x = ppp 4 hallar : «x + y + z - p» A) 4 B) 15 C) 1 D) E) 0. Si el C.A de: pua es ( p + )( u)( a ) hallar: «p + u + a» A) 17 B) 1 C) 15 D) 1 E) 14. Si el C.A. de xyz = bbb b <. hallar: «z.b + x.y» A) 67 B) 65 C) 68 D) 69 E) 66 4. y hallar: «x - y» A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 7 5. Si < 400 y además = hallar «x + y + z» A) 10 B) 8 C) 6 D) 9 E) 7 6. hallar las tres últimas cifras de «S»: S =6+64+64+646+...+ A) 57 B) 474 C) 578 D) 564 E) 47 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. La suma de los números de dos cifras diferentes que se puede formar con tres cifras consecutivas es igual a 96. Hallar el mayor de los números. A) 86 B) 65 C) 87 D) 98 E) 76 8. Hallar: «x.y.z» en la siguiente adición: A) 90 B) 105 C) 10 D) 84 E) 7 9. hallar números de cifras cada una sabiendo que suman 1019 si se sabe que el C.A. de uno de ellos es el doble del C.A. del otro. Dar la suma de cifras del mayor. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 10. Si: y = 61 hallar: a.b.c A) 17 B) 180 C) 4 D) 0 E) 195 11. La suma de los términos de una resta es 6 veces el sustraendo. si la diferencia es 4, hallar el minuendo. A) 57 B) 48 C) 7 D) 60 E) 6 1. En el triángulo numérico. hallar la suma de términos de la fila 0. A) 7050 B) 7060 C) 700 D) 7010 E) 7090

1. La suma de dos números excede a la diferencia de los mismos en 56. Si los números están en relación de 45 a 0. hallar el mayor A) 70 B) 60 C) 7 D) 88 E) 79 14. Calcular: S=1x7+x8+x9+4x10+...+0x6 A) 4145 B) 415 C) 4150 D) 4140 E) 410 15. El último campeonato de la copa américa duró 9 semanas, si en cada semana se jugó 4 partidos. Cuántos equipos participaron, sabiendo que han jugado de visita y de local? A) 1 B) 170 C) 14 D) 15 E) 16 16. Si ambas sumas tienen la misma cantidad de sumandos: s 1 = 40 + 41 + 4 +... + n s = 10 + 1 + 14 +... + m y además s 1 = s. hallar «m + n» A) 0 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 17. Hallar: a + b + x + y; si: sustraendo. Hallar la suma de cifras de la diferencia. A) 9 B) 8 C) 6 D) 10 E) 7 0. Si: hallar: A) 81 B) 100 C) 64 D) 144 E) 11 1. Si: además: x y z. Calcular: x.y.z A) 50 B) 506 C) 505 D) 504 E) 507. Hallar el valor de «x» si: +14+16+8+...+x = 816 A) 14 B) 18 C) 16 D) 10 E) 150. Cuántos números de 4 cifras tales que su C.A. de su C.A. tienen cifras? A) 60 B) 81 C) 50 D) 0 E) 97 4. Hallar a.b.c; si: A) 11 B) 1 C) 1 D) 14 E) 15 18. Calcular el valor de «S» si tiene 0 sumandos: S = +100+6+98+9+96+1+94+... A) 1575 B) 1600 C) 165 D) 1650 E) 1675 19. Si la suma de los elementos de una sustracción es igual a 840, en donde el minuendo es el triple del b = a + c A) 56 B) 6 C) 7 D) 48 E) 81 5. Calcular el máximo valor que puede asumir: m + n + p. A) 17 B) 7 C) 7 D) 7 E) 47

6. La diferencia de dos números es 158. Si el minuendo disminuye en unidades, entonces la diferencia aumenta en 17. Cómo varió el sustraendo? A) aumento 41 B) disminuyó 50 C) aumento 9 D) disminuyó 40 E) no varió 7. El C.A. de un número escrito en base 10 es el mismo número pero escrito en base 8. Cuál es la suma de cifras de dicho número sabiendo que son dos? A) 14 B) 15 C) 10 D) 1 E) 1 8. Se tiene un número de 4 cifras significativas que sumadas dan ; entonces la suma de cifras del C.A. es: A) B) C) 4 D) 5 E) 6 9. Hallar «a + b + c»; si el C.A. de: mas el C.A. de resulta 101. A) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) 14 0. La suma de los C.A. de los números: es 915. Hallar el valor de «a» A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 CLAVES 01. E 0. B 0. B 04. B 05. B 06. A 07. E 08. A 09. B 10. C 11. E 1. C 1. D 14. E 15. A 16. A 17. A 18. D 19. D 0. E 1. D. A. B 4. C 5. A 6. B 7. C 8. D 9. C 0. C